湖南省蓝山二中高二数学《第一讲优选法三、黄金分割法0.618法》教案新人教A版

黄金分割法教案

黄金分割法【教学目标】1、掌握黄金分割法原理。

2、理解黄金分割法流程。

【教学重点】1、黄金分割法原理。

【教学难点】1、黄金分割法原理。

2、黄金分割法流程。

【教学准备】多媒体课件、多目标优化方法学习资料。

【教学过程】一、创设问题，引入课题以社会热点巴黎圣母院起火为切入点，巴黎圣母院、中国国旗、蒙娜丽莎三者有什么共同的特点。

二、黄金分割法又称作0.618法是一种等比例缩小区间的直接搜索方案，适用于单谷函数的求极小值问题。

三、黄金分割法原理指一条线段分为长短两部分，较长部分的长度与总长的比值，适用于较短部分的长度与较长部分的长度的比值。

在函数f(x)的已知区间[a,b]内搜索区间适当插入两点x1和x2（x1＜x2），得到其函数值f(x1)和f(x2)。

两个插入点将线段分割成三段。

黄金分割法要求插入点x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，即|ax2|=|x1b|，|ax1|=|x2b|，如下图所示。

设|ab|=l，|ax2|=|x1b|=c，|ax1|=|x2b|=l-c。

已知x2点将线段ab分为ax2和x2b两部分，若|ax2|/|ab|=|x2b|/|ax2|，则有c/l=（l-c）/c设c/l=λ，故λ2+λ-1=0，可得λ≈0.618λ（λ≈0.618）称为黄金分割比，x2是线段ab的黄金分割点。

x2=a+0.618（b-a）x1=a+0.382（b-a）黄金分割法每一次搜索区间都是取相同的区间多段率。

每次缩小区间后，新搜索区间是原区间的0.618倍，消去的区间是原区间的0.382倍。

比较f(x1)和f(x2)，根据区间消去原理来逐步缩小搜索区间：（1）如果f(x1)＜f(x2)，则新的搜索区间是[a,x2]。

已知x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，c/l=（l-c）/c=λ，可知|ax1|/|ax2|=λx1点则是线段ax2|的黄金分割点由于|x1x2|/|x1b|≈0.382，可知x2点则是线段x1b黄金分割点的对称点。

湖南省蓝山二中高二数学《第一讲优选法四、分数法》教案新人教A版

湖南省蓝山二中高二数学《第一讲优选法四、分数法》教案新人教A 版一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.ΛΛ, , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138F F =10=11=22=F 33=F 54=85=136=F来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：阻值(K Ω) 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 排列(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的nn n n F F F F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.4F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》第一讲第四课时.。

高中数学第1讲优选法三黄金分割法——0.618法(二)练习新人教A版选修4-7-新人教A版

三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL 到110 mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL. 答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618]. 答案 [1.382，1.618] 二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764. 答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度. 解因最佳温度为1001 ℃.试验范围为 2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n－1的结果比试验点a n要好，即a n－1与a n中a n－1为好点.(1)如果b2＝b1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b2n－1＝b2n时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？解(1)由b2＝b1，说明a2与a1的试验效果一样好.又因为目标函数f(x)是[m，n]上是一个单峰函数，x＝c是最佳点，且f(a2)＝f(a1)，则根据f(x)在[m，c]和[c，n]上单调，可知a2，a1不会同在[m，c]或[c，n]上，因此a2，a1分别在c的两侧，即c在保留的中间范围[a2，a1]上，故存优范围是[a2，a1].(2)当b2n－1＝b2n时，由(1)可知，最佳点c保留在中间范围[a2n，a2n－1]上.由a2，a1是区间[m，n]两个黄金分割点知，若n－m＝1，则有a1－a2＝0.618－0.382＝0.236，即经过2次试验后，存优范围缩小为原来的0.236.每经过2次试验，可得出存优范围是前面的0.236倍.即经过2n次试验后的精度δ2n＝0.236n.三、探究与创新10.膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料.由于产品产量低、成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用.为了解决这一问题，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验.在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300 ℃～1 400 ℃范围内进行优选.(精确到10 ℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50 kg/m3(每立方米50公斤).(2)又找出第二试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65 kg/m3.两试点比较，1 360℃时质量较好，故将______________________________________.(3)再找出第三试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55 kg/m3，并有少量粘炉.两试点比较，1 360 ℃时质量较好.根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定.解析(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340，1 400]之间，故把1 340以下部分舍去.(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340，1 380]之间，故把1 380以上部分舍去.从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360知，可把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度. 答案(1)1 360 (2)1 340 1 340 ℃以下部分舍去(3)1 380 1 360。

2017_2018版高中数学第1讲优穴三黄金分割法__0.618法二练习新人教A版选修4_7

三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg 0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL.答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618].答案 [1.382，1.618]二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764.答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度.解因最佳温度为1001 ℃.试验范围为2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n －1的结果比试验点a n 要好，即a n －1与a n 中a n －1为好点.(1)如果b 2＝b 1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b 2n －1＝b 2n 时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？解 (1)由b 2＝b 1，说明a 2与 a 1的试验效果一样好.又因为目标函数f (x )是[m ，n ]上是一个单峰函数，x。

黄金分割法教案

黄金分割法教案介绍：黄金分割法是一种常用于艺术、设计和数学等领域的比例原则。

它的起源可以追溯到古希腊时期，被认为是一种美学上最具吸引力和对称感的比例。

在本教案中，我将向你介绍黄金分割法的背景、原理以及如何应用于不同的艺术创作中。

一、黄金分割法的背景和意义（200字）黄金分割法或黄金比例最早出现在古希腊，古希腊建筑师和数学家发现，黄金比例可以创造出最和谐、平衡和美丽的形状。

黄金分割法的核心概念是将一个整体分割成两个部分，其中较小部分与较大部分的比例等于整体与较大部分的比例。

这种比例通常被表示为1:1.618（约等于）。

黄金分割法的意义在于它提供了一种直观且可衡量的美学准则，帮助艺术家和设计师在他们的作品中创建吸引人的比例和对称感。

它被广泛应用于绘画、摄影、建筑和平面设计等领域，为作品带来了视觉上的平衡和和谐。

二、黄金分割法的原理（300字）黄金分割法的原理基于黄金比例的数学特性。

黄金比例是指两个数之间的比例，其中较大数与较小数的比例等于整个数与较大数的比例。

具体来说，如果用A代表总长度，B代表较大部分的长度，C代表较小部分的长度，那么黄金比例可以表示为以下公式：A/B = B/C = φ（黄金比例）黄金比例的近似值约为1.618。

在艺术中，黄金分割法的应用体现在将画面分成合适的比例，使元素之间达到平衡和和谐。

例如，将画布按照黄金分割法划分为三个水平或垂直部分，将关键元素放置在这些分割线的交叉点上，可以增强画面的对称感和视觉吸引力。

三、黄金分割法的应用（500字）1. 绘画和摄影中的黄金分割法黄金分割法在绘画和摄影中被广泛应用，可以帮助艺术家和摄影师创造出吸引人的构图和视觉效果。

在绘画中，艺术家可以利用黄金分割法的原理来决定物体的尺寸和位置，以达到视觉上的平衡和美感。

例如，水平和垂直分割线可以用来决定背景、前景、主体和元素之间的关系。

在摄影中，摄影师可以使用黄金分割法来决定照片的主体位置和背景布局。

高中数学 1.3 黄金分割法 0.618法教案新人教A版选修4

三黄金分割法——0.618法1．黄金分割常数2．黄金分割法——0.618法课标解读1.了解0.618法进行试验设计的原理．2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.1．黄金分割常数(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则： ①使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同． (2)黄金分割常数常用ω表示，且ω＝5－12≈0.618. 2．黄金分割法——0.618法(1)定义：利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一． (2)确定试点的方法类别第一试点第二试点… 第n 试点计算方式 x 1＝小＋0.618×(大－小) x 2＝小＋大－x 1 …x n ＝小＋大－x m 原理用黄金分割法确定x 1 加两头减中间…加两头减中间①定义：用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为δn ＝n 次试验后的存优范围原始的因素范围. ②0.618法中，n 次试验后的精度δn ＝0.618n －1_.1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？【提示】先在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a ，b ]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？【提示】当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间． 3．在存优范围[a ，x 1]内取第三个试点x 3，则x 3与x 2的相对位置如何？【提示】如图所示：结合黄金分割常数原理可知x 2，x 3关于区间[a ，x 1]的中心a ＋x 12对称且x 3在x 2的左侧.用0.618法确定试点为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？【思路探究】第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．【自主解答】在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1，满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.第二个试点x2满足，x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1 382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.示意图如下：0．618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？【解】由于x2的效果比x1的效果好，消去x1＝1 618以上部分，此时的存优范围为[1 000,1 618]，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236.∴第三个试点应选在1 236处.0.618法的应用调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g到2 000 g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．(1)写出这个试验的操作流程．(2)达到精度0.001需要多少次试验？【思路探究】(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→利用对称性确定第二个试点x2―→利用x n＝小＋大－x m来确定第n个试点(2)确定精度―→求试验次数【自主解答】用一张纸条表示1 000～2 000 g，以1 000为起点标出刻度．(1)试验可按以下步骤进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为：(2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)，即取1 618 g柠檬汁进行第一次试验．②做第二次试验：取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量为：1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1 618 g以上的部分：如果第一点较好，则去掉1 382 g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1 382 g以下的部分，即存优范围为[1 382,2 000]，在此范围找出第一点(即1 618)的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：2 000－1 618＋1 382＝1 764(g)．④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1 764 g以上部分，如果第三点好些，则去掉1 618 g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分(即[1 618,2 000])找出第三点(即1 764)的对称点做第四次试验．第四点加入量为：2 000－1 764＋1 618＝1 854(g)．⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．(2)精度σ≤0.001.所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg 0.001/lg 0.618＋1，即n≥16.故需要16次试验．黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．【解析】由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.【答案】 2.618(教材第10页习题1.3第3题)举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．已知一种材料的最佳加入量在100 g到200 g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【命题意图】本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法，属基础题．【解析】用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(200－100)×0.618＋100＝161.8.第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝200－(200－100)×0.618＝138.2.【答案】161.8或138.21．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A．1.618 B．1.5C．1.382 D．1.618或1.382 【解析】用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382.【答案】 D2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．( )A．[0,0.1] B．[0.1,1]C．[0,0.2] D．[0.2,1]【解析】如图所示：∵峰值在(0,0.1)内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．【答案】 C3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．【解析】上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.【答案】0.84．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．【解析】由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.【答案】0.6183(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A．12 B．13C．14 D．15【解析】在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.【答案】 C2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL 或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )A．4 500,3 500 B．4 382,3 618C．4 236,3 764 D．4 618,3 618【解析】x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.【答案】 C3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml 到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )A．35 ml B．40.9 mlC．33.6 ml D．86.4 ml【解析】由黄金分割法可知，第一个试点为x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为：x2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.【答案】 C4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )A．8 B．9 C．10 D．11【解析】由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥lg 0.01lg 0.618≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．【解析】第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.【答案】 2.7646．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【解析】第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．【答案】171.8或148.2三、解答题(每题10分，共30分)7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．【解】由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？【解】由题意设面积为S，则S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．当x＝500时，S＝700 000，x＝700时，S＝700 000.x1＝623.6，x2＝576.4，∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，∴x5＝601.314 425 6，x6＝598.685 574 4，∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.此时601.314 425 6－598.685 574 4＝2.628 851 2＜10.∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x ＝600 m.创新应用9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度 1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．【解析】(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．【答案】(1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉(3)1 380 1 360教师备选10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以a n表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．(1)a1＝________；(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.【解析】(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774.【答案】(1)718 (2)774。

三、黄金分割法——0.618法

我们希望能“最快” 我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数，点的方法不只针对某个具体的单峰函数，而是对这类函数有普遍意义.由于在试验而是对这类函数有普遍意义由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作一次差，为因素范围[a, 的分界点的分界点，为因素范围 b]的分界点，所以为了克服盲目性和侥幸心理，服盲目性和侥幸心理，在安排
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点假设因素区间为，、 10 1 1 中的单峰函数，，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图；两次试验便去掉了长度为的区间图 1)； 5 2 的函数，但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图，试验效率就不理想了. 为的区间图 2)，试验效率就不理想了 10
课后作业 1.阅读教材阅读教材P.5-10 阅读教材
怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？？？
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点假设因素区间为，、 10 1 1 中的单峰函数，，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图；两次试验便去掉了长度为的区间图 1)； 5 2 的函数，但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图，试验效率就不理想了. 为的区间图 2)，试验效率就不理想了 10
往往取其近似值0.618.相应地，也把黄相应地，往往取其近似值相应地金分割法叫做0.618法. 金分割法叫做法
二、黄金分割法——0.618法黄金分割法法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求. 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求假设为了炼出某种特定用途的钢，假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之需要加入某元素的量在到之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？优加入量？

黄金分割教案

黄金分割教案教案题目：黄金分割教案目标：1.了解黄金分割的定义和原理；2.掌握黄金分割的计算方法；3.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力。

教学重点：1.黄金分割的概念和原理；2.黄金分割的计算方法。

教学难点：1.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力；2.理解黄金分割的原理。

教学准备：1.计算器；2.黄金分割的相关教学图片。

教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）通过展示一张黄金分割的例图，提问学生是否觉得该图看起来很美观，引导学生思考美学与黄金分割的关系。

Step 2：讲解黄金分割的原理（15分钟）1.向学生介绍黄金分割的概念，即将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例，这个比例约为1:0.618。

2.解释黄金分割的原理，即黄金分割点的位置是一种具有视觉和美学上的平衡和和谐感。

Step 3：计算黄金分割（15分钟）1.向学生演示如何计算黄金分割，即将一段线段的长度乘以0.618，得到黄金分割点的位置。

2.让学生自己计算一些线段的黄金分割点。

Step 4：艺术鉴赏（15分钟）通过展示一些著名艺术作品，引导学生分析其中是否存在黄金分割，并让学生讨论这些作品是否看起来很美观。

Step 5：总结与拓展（5分钟）总结黄金分割的概念、原理和计算方法，并鼓励学生在日常生活中观察和欣赏黄金分割的存在。

教学方法：1.讲解法：通过向学生讲解黄金分割的概念、原理和计算方法；2.示范法：向学生演示如何计算黄金分割；3.讨论法：引导学生讨论艺术作品中的黄金分割。

教学评估：1.课堂讨论：根据学生的回答和讨论情况，评估学生对黄金分割的理解程度；2.作业检查：布置相关作业，检查学生对黄金分割的计算方法的掌握情况。

板书设计：黄金分割教案黄金分割的定义和原理：- 将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例；- 黄金分割点位置具有视觉和美学上的平衡和和谐感。

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