课 题.余弦定理doc
(学习指导) 余弦定理Word版含解析
11.1余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s n mile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v n mile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m n mile，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．思考1：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示：当a＝b＝c时，C＝60°，a2＋b2－2ab cos C＝c2＋c2－2c·c cos 60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2ab cos C．思考2：在c2＝a2＋b2－2ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？提示：ab cos C ＝|CB →|·|CA →|cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB 2→＋CA 2→－2CB →·CA → ＝(CB →－CA →)2＝AB 2→＝c 2. 猜想得证． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ca ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .(2)余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．思考3：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？提示：二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．3．解三角形(1)一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫作三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则a ＝________.1[a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1.]2．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝________. 6[由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ， 即b 2－92b －9＝0， 解得b ＝6.]3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，则B ＝________. 60°[cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12，∴B ＝60°.]4．在△ABC 中，若b 2＋c 2－a 2<0，则△ABC 必为________三角形． 钝角[∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴A ∈(90°，180°)． ∴△ABC 为钝角三角形．]已知两边与一角解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________ cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________. (1)60 (2)4或5[(1)由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910， 所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5.]1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解．2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法， 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．[跟进训练]1．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形. [解] 根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边解三角形【例2】 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C ． [解] 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[跟进训练]2．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 中各角的度数． [解] 已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6k )2＋[(3＋1)k ]2－(2k )22×6k ×(3＋1)k＝22，∵0°<A <180°，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋[(3＋1)k ]2－(6k )22×2k ×(3＋1)k＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.余弦定理的综合应用在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则C ＝π2成立吗？反之若C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？[提示]因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，即cos C ＝0，所以C ＝π2，反之若C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.【例3】 在△ABC 中，若(a －c cos B )·b ＝(b －c cos A )·a ，判断△ABC 的形状. [解]∵(a －c ·cos B )·b ＝(b －c ·cos A )·a ， ∴由余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形； (2)已知两边及一角解三角形．3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理列方程求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．() (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形．() (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．()[解析] 由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC 是唯一的，(3)错误．[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12B [由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，所以C ＝π6，故选B ．]3．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.219[根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.13[由B ＝C,2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.]5．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解]在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b＝19.。
余弦定理练习 含答案
课时功课2 余弦定理 【2 】时光：45分钟 满分：100分教室练习1．在△ABC 中,已知a ＝5,b ＝4,∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a2＋b2－2abcosC ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61. 2．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a,b,c,若a,b,c 知足b2＝ac,且c ＝2a,则cosB ＝( ) A.14B.34 C.24D.23【答案】B【解析】由b2＝ac,又c ＝2a,由余弦定理 cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 3．在△ABC 中,三个角A.B.C 的对边边长分离为a ＝3.b ＝4.c ＝6,则bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝________. 【答案】612【解析】bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝bc ·b2＋c2－a22bc ＋ca ·c2＋a2－b22ac ＋ab ·a2＋b2－c22ab＝12(b2＋c2－a2)＋12(c2＋a2－b2)＋12(a2＋b2－c2)＝12(a2＋b2＋c2)＝612. 4．在△ABC 中：(1)a ＝1,b ＝1,∠C ＝120°,求c;(2)a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角; (3)a:b:c ＝1:3:2,求∠ A.∠ B.∠C. 【剖析】 (1)直接运用余弦定理即可; (2)在三角形中,大边对大角; (3)可设三边为x,3x,2x.【解析】(1)由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3,∴c ＝ 3. (2)显然∠C 最大,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°. (3)因为a:b:c ＝1:3:2,可设a ＝x,b ＝3x,c ＝2x(x>0)． 由余弦定理,得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝3x2＋4x2－x22·3x ·2x ＝32, ∴∠A ＝30°.同理cosB ＝12,cosC ＝0.∴∠B ＝60°,∠C ＝90°. 【纪律办法】1．本题为余弦定理的最根本运用,应在此基本上闇练地控制余弦定理的构造特点． 2．对于第(3)小题,依据已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可斟酌用正弦定理求∠B,但要留意评论辩论解的情形．课后功课一.选择题(每小题5分,共40分) 1．△ABC 中,下列结论：①a2>b2＋c2,则△ABC 为钝角三角形; ②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A 为60°; ③a2＋b2>c2,则△ABC 为锐角三角形; ④若∠A:∠B:∠C ＝1:2:3,则a:b:c ＝1:2:3, 个中准确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cosA ＝b2＋c2－a22bc <0, ∴∠A 为钝角,准确; ②cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12, ∴∠A ＝120°,错误; ③cosC ＝a2＋b2－c22ab>0, ∴∠C 为锐角,但∠A 或∠B 不必定为锐角,错误; ④∠A ＝30°,∠B ＝60°,∠C ＝90°, a:b:c ＝1:3:2,错误．故选A.2．△ABC 的三内角A.B.C 所对边长分离为a.b.c,设向量p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)．若p ∥q,则∠C 的大小为( ) A.π6B.π3 C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)且p ∥q, ∴(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0即a2＋b2－c2＝ab,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴∠C ＝π3. 3．△ABC 中,角A,B,C 的对边分离为a,b,c,∠A ＝π3,a ＝7,b ＝1,则c 等于( ) A ．22B ．3 C.3＋1 D ．23 【答案】B【解析】由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA,所以(7)2＝1＋c2－2×1×c ×cos π3, 即c2－c －6＝0,解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中,a 为最大边,且a2<b2＋c2,则∠A 的取值规模是( ) A ．(π2,π) B ．(π4,π2) C ．(π3,π2) D ．(0,π2) 【答案】C【解析】因为a 为最大边,所以∠A 为最大角,即∠A>∠B,∠A>∠C,故2∠A>∠B ＋∠ C.又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A,所以2∠A>π－∠A,即∠A>π3.因为a2<b2＋c2,所以cosA ＝b2＋c2－a22bc >0,所以0<∠A<π2.综上,π3<∠A<π2. 5．在△ABC 中,已知a ＝4,b ＝6,∠C ＝120°,则sinA 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab ·cosC ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76, ∴c ＝76.由正弦定理得a sinA ＝c sinC ,即4sinA ＝76sin120°, ∴sinA ＝4sin120°76＝5719. 6．△ABC 中,a.b.c 分离为∠ A.∠B.∠C 的对边,且2b ＝a ＋c,∠B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于( ) A.1＋32B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋3 【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c,又因为∠B ＝30°, ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12acsin30°＝32,解得ac ＝6, 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a ＋c)2－2ac －2ac ·cos30°＝4b2－12－63, 即b2＝4＋23,由b>0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中,若acosA ＋bcosB ＝ccosC,则这个三角形必定是() A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形 【答案】B【解析】由余弦定理acosA ＋bcosB ＝ccosC 可变为a ·b2＋c2－a22bc ＋b ·a2＋c2－b22ac＝c ·a2＋b2－c22ab, a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0, (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0, ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2, ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20,面积是103,∠A ＝60°,则BC 边的长是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bcsinA, 得103＝12bc ×sin60°,即bc ＝40.又周长为20,故a ＋b ＋c ＝20,b ＋c ＝20－a.由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc ＝(b ＋c)2－3bc,故a2＝(20－a)2－120,解得a ＝7. 二.填空题(每小题10分,共20分)9．在△ABC 中,三边长AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________． 【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB ＝1935,∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝－|AB →|·|BC→|·cosB ＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________． 【答案】62a【解析】如图,AB ＝AC ＝2a,BC ＝a,BD 为腰AC 的中线,过A 作AE ⊥BC 于E,在△AEC 中,cosC ＝EC AC ＝14,在△BCD 中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC ·CD ·cosC,即BD2＝a2＋a2－2×a ×a ×14＝32a2,∴BD ＝62a. 三.解答题(每小题20分,共40分．解答应写出必要的文字解释.证实进程或演算步骤) 11．在△ABC 中,已知b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccosB ·cosC,试断定三角形的外形． 【剖析】 解决本题,可分离运用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解． 【解析】办法一：由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R,R 为△ABC 外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C ＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC ≠0,sinBsinC ＝cosBcosC,即cos(B ＋C)＝0,∴∠B ＋∠C ＝90°,∠A ＝90°,故△ABC 为直角三角形． 办法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab )2－c2(a2＋c2－b22ac)2＝2bc ·a2＋b2－c22ab ·a2＋c2－b22ac. 即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2也即b2＋c2＝a2,故△ABC 为直角三角形．【纪律办法】 在运用正弦定理实行边角转化时,等式双方a,b,c 及角的正弦值的次数必须雷同,不然不能互相转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ,理)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝3,BC ＝1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12,求PA; (2)若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC ＝60°,∴∠PBA ＝30°,在△PBA 中,由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74,∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α,由已知得,PB ＝sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α,化简得,3cos α＝4sin α,∴tan α＝34,∴tan ∠PBA ＝34.。
余弦定理知识点+经典题(有答案)
余弦定理余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边：余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6 B ．26 C ．36 D ．463．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB→·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－47．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．28．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________．11．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．16．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．17．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．18．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC的形状．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．36D ．46解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B.2C.5D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2， ∴c ＝2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．150°解析：选D.cos∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc 2bc＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B.显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB→·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3C.3或23D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或23.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝3.答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝k 2＋k 2－k22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4) 13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3. 答案：2 314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －2－k ＋2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4， ∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1， ∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝a2＋b2－2ab(－1 2 )＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积12BC·AC·sin C＝16sin C，得BC·AC＝13，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC＋BC2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以C＝60°.19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A， 得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又根据余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。
高一数学余弦定理试题答案及解析
高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。
《余弦定理》教案(含答案)
《余弦定理》教案（含答案）章节一：余弦定理的定义与表达式教学目标：1. 了解余弦定理的定义及其在几何中的应用。
2. 掌握余弦定理的表达式。
3. 能够运用余弦定理解决实际问题。
教学内容：1. 余弦定理的定义。
2. 余弦定理的表达式：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。
3. 余弦定理的应用实例。
教学活动：1. 引入余弦定理的概念，通过几何图形引导学生理解余弦定理的定义。
2. 推导余弦定理的表达式，并通过实例解释其含义。
3. 运用余弦定理解决实际问题，如已知三角形两边和夹角，求第三边的长度。
作业布置：1. 复习余弦定理的定义和表达式。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，求角A的余弦值。
章节二：余弦定理的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在三角形中的应用。
2. 能够运用余弦定理解决三角形的不全信息问题。
教学内容：1. 余弦定理在三角形中的应用。
2. 余弦定理解决三角形不全信息问题的方法。
教学活动：1. 通过几何图形引导学生理解余弦定理在三角形中的应用。
2. 讲解余弦定理解决三角形不全信息问题的方法，如已知两边和夹角，求第三边和两个角。
作业布置：1. 复习余弦定理在三角形中的应用。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。
章节三：余弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 了解余弦定理在实际问题中的应用。
2. 能够运用余弦定理解决实际问题。
教学内容：1. 余弦定理在实际问题中的应用实例。
2. 运用余弦定理解决实际问题的方法。
教学活动：1. 通过实际问题引导学生理解余弦定理的应用。
2. 讲解运用余弦定理解决实际问题的方法，如测量三角形的边长和角度。
作业布置：1. 复习余弦定理在实际问题中的应用。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【答案】（1）（2）≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.因为a＋c＝1，cos B＝，有b2＝32＋.又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.3.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】【解析】由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．6.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是( )A．2B．3C．4D．4【答案】C【解析】由余弦定理得:a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc bc≤16，∴S＝bcsinA≤×16×sin＝4．8.在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为，约去，得的值，进而求；（2）已知三角形的面积和，不难想到，得，又根据余弦定理得，联立求即可．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，∴．（2）由余弦定理，又， 10分由解得 13分【考点】1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得所以.在三角形AOB中，由于,所以由余弦定理得,即，所以，的形状为等边三角形.【考点】几何概型概率，余弦定理10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化、概括．由题知，将展开，得，移项合并得，注意到，可求，进而求角A的大小；（2）由（1）知，结合△ABC的面积为，不难想到①，得关系；又根据，利用余弦定理得②，联立求．试题解析：（1）∵，∴可得，∴． 4分∵，可得．∴． 7分=∴，解得bc=8．① 10分（2）由（1）得．∵S△ABC由余弦定理，得， 12分即．②将①代入②，可得． 14分【考点】1、两角差的余弦公式；2、诱导公式；3、余弦定理.11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为( ) A．B．C．－1D．1＋【答案】D【解析】因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝，即cos＝＝＝，得b＝1＋.13.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为()A．3B．4C．6D．7【答案】B【解析】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数得到解.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1),则n+1对的角θ为钝角,由余弦定理得cosθ= ,所以(n-1)2+n2<(n+1)2,解得0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.故最长边的长度为4.14.已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．【答案】(1)（2）sinB=【解析】（1）f(x)的图像经过点,带入函数得到关于的三角等式,再利用常见三角函数值与的范围即可求出的值.（2）利用三角形关于C角的余弦定理与题目已知式子结合即可得出C角的余弦值,进而得到C角的正弦值(三角形内角的正弦值都为正数),再把带入函数解析式即可得到A角的余弦,利用余弦与正弦的关系得到A角的正弦值,而三角形三个角和为180度,则B角的正弦利用和差角公式即可用A,C两个角的正余弦值来表示,进而得到B角的余弦值.试题解析：（1）由题意可得，即． 2分，，，． 5分（2），， 7分． 8分由（1）知，．，， 10分又，． 12分【考点】三角函数的图象与性质，三角恒等变换余弦定理15.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理有：.所以.【考点】余弦定理.16.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－17.已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.余弦定理.18.在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】设BC＝m，AC＝n，则＝，m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mn cos 60°，先求得m＝a，n＝a，代入得4c2＝a2，e＝.19.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．20.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为()．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝＝－.21.在△中，，，，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由余弦定理，代入各值整理可得,解得,三角形面积,所以面积为或【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积公式。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。
(完整word)余弦定理-例题解析
正弦定理和余弦定理-例题解析例1．在△ABC 中，已知b=16，A=30°，B=120°，求边a 及S △ABC．思路解析本题是已知两角和任一边解三角形，由三角形全等的判定定理知,这样的三角形有一解。
利用正弦定理求边a ，然后利用公式S △ABC =21absinC ． 解:由正弦定理得a=B A b sin sin =︒︒⨯120sin 30sin 16=3316， 又C=180°-（A+B ）=180°-（30°+120°）=30°,∴S △ABC =21absinC=21×3316×16×21=3364。
例2．根据下列条件解三角形：①a=7，b=9，A=100°；②a=10，b=20，A=60°；③a=2,b=2，A=45°;④a=23，b=6，A=30°. 思路解析本题是已知三角形的两边及其一边的对角解三角形，可能会出现一解、两解或无解的情况，应该注意判断.解：①a=7，b=9,∴a〈b ，∴A〈B ．又A=100°，∴本题无解。
②bsinA=20·sin60°=103，∴a<bsinA．∴本题无解.③∵a=2，b=2，A=45°〈90°，∴a>B．∴三角形有一解. sinB=a A b sin =245sin 2︒⨯=21，∴B=30°。
C=180°-（A+B ）=180°—（30°+45°）=105°， c=B C b sin sin =21105sin 2︒⨯=22×426+=3+1. ④a=23，b=6，a<b ，A=30°〈90°,又∵bsinA=6sin30°=3，a>bsinA ，∴本题有两解。
余弦定理练习题(含答案)
余弦定理练习题（含答案）本页仅作为文档封面，使月変T以删除This document is for reference onlyjar21year余弦定理练习题11. ABC中，如果BC=6, AB=4, cosB=§,那么AC 等于（）A. 6B. 2、/i C・ 3、/i D・ 4、/i2. 在△ABC 中，a=29 b=\[l-l9 C=30\ 则 c 等于（）D・23. 在A ABC中，，=匕2+以+羽be,则z &等于（）A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°4. ABC中，Z/k Z B. ZC的对边分别为a、H c,若0+呂_夕曲曲=羽却则Z B的值为（）5TX2n或T 或亍5. 在△ ABC中，a、b、c分别是4、C的对边，则acosS+bcos4等于（）A. aB. bC. cD.以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定8. 在AABC 中，b=g C=39 S=30°,贝!| a 为（）B・ 2、/i 或2、/i D・ 29. 已知bABC的三个内角满足2B=A + C9且48=1, SC=4,则边BC上的中线AD的长为 __________________ ・10. A ABC中，sin4： sinB ： sinC=（｛i —：L）：（yfl+l）:倔，求最大角的度数.已知a. b、c是bABC的三边，S是'ABC的面积，若a=4, b=5, S=5©则边c的值为______________________ ・12. 在AABC 中，sin A : sin S ： sin C=2 ： 3 ： 4,贝Ij cos A ： cos B : cos C= _______ ・13. ABC中，0=3^2, cos C=|, S^ABC=4y[39则b= __________________ ・/+，一c215・已知4 ABC的三边长分别是a、b. c,且面积S= ---------------- -------- ,则角C= __________ ・16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_____________ •17・在AABC中，BC=a9 AC=b f a, b是方程只_2压+2 = 0的两根，且2cos（4 + B） = l,求48的长.18.已知"BC的周长为y/1+l,且sin A + sin B=y/lsin C.⑴求边AB的长；⑵若4 ABC的面积为^sin C,求角C的度数.19.在△ABC 中，BC=G AC=39 sin C=2sinA.(l)求AB 的值；(2)求sin(24的值.20.在4 ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab・且2cos Asin B=sinC,确定A ABC的形状.余弦定理答案在bABC 中，a=2, b=y[3-l 9 C=30°,则 c 等于（B ） D. 2 在4 ABC 中.a2=b2+w+羽矗，则ZA 等于（D ）A ・ 60°B. 45°C. 120°D. 在b ABC 中，Z Z By ZC 的对边分别为 a. c 9 若（a 2+c 2—b 2）tanB=y/3ac 9亠5兀亠2TX 或T 或亍 解析：选D.由（a 24-c 2-b 2）tanS=V3ac,联想到余弦定理，代入得 c^+c 2—b2 y[3 1 羽 cosB n . 羽 n 2ncosB== 2ai = 2 t^B = 2 sin8•显然fi#2r •: S ，n8= 2 ••: Z 或亍.5. ABC 中.a 、b 、c 分别是久8、C 的对边，则acosS+bcosA 等于（C ）A ・a B. S C. c D ・以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.宜角三角形C ・钝角三角形 D.由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a, b 9 c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m,则c+m>a+m 9 c+m>b+m, 又（a+m ）2+（b+m ）2=a 2+b 2+2 佃+b ）E+2m2>c2+2cm+E2=（c+E ）r•:三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.8・在4ABC 中.b=g C =39 S=30°,贝!）a 为（ ）B ・ 2、/i 或 2、/iD ・ 2 解析：选 C ・在AABC 中，由余弦定理得 62=02+^—2accosS,即 3=a 2^9—3y[3a 9 :. a 2 —3^3a+6=0,解得 a=\[3或 2羽・9. 已知bABC 的三个内角满足2B=A+C 9且AB=l f BC=4,则边BC 上的中线AD 的长为 ___________________ ・ 解析:T 2B=A + C, 4 + B+C=n,・•・ 3=扌・在AABD 中，AD=\）AB 2-}-BD 2—2AB BDcosB= yj 1+4—2xlx2x^=^3.答案：羽10. A ABC 中，smA : sinB : sinC=^-l ）:（羽+ 1）: 嗣,求最大角的度数・解：・・ sin4 : sinB : sinC=（V3~l ） : （W+1）:屈,・.a ： b ： c =（\（3-l ）:（羽+1）:伍・ 设 a=（羽一b=（y[3 + l ）k 9 c=yjldk （k>O}fa 24~b 2—c 2 1 ・・・c 边最长，即角C 最大.由余弦定理，得cosC=―面一=一刁 又ce （o°, 180°）, /. C=120°.11. 已知a 、b 、c 是6ABC 的三边，S 是b ABC 的面积，若a=4, b=5, S=5品 则边c 的值为 ___________________ ・ 解析：S=#absinC, sinC=^, /. C=60°或 120°./. cosC=#,又T c 2=a 2+b 2—2abcosC tA ^=21或61,・・,=回或佰•答案： 回或屈12. 在 AABC 中.sinA ： sinB ： sin C=2 ： 3： 4,贝l| cos A : cos 8 ： cos C= ________ ・解析：由正弦定理 a ： b ： c=sin A : sin B : sin C=2 ： 3 ： 4,2k 2+ 4k 2- 3/c 2 11IS 9 13.在△ ABC 中，a=3\（29 cos C=-： 解析:cos c=扌,sin2. 3. 4. 150° 则ZB 的值为（D ）cP+c 2—b 2 设 a=2k （k>0）,贝0 b=3k 9 c=4k, cos B=同理可得:cos 4=^, cos C=—右・・ cos A ： cos B : cos C=14 : 11 : （—4）.答案:14 ： 11 ： （—4）S AABC =4~\》,则 b= __________ ..又S AAB c=^absinC=4yj3t 即知3迄普=裁,二b=2品答案；2伍a 2-f-b 2—c 215.已知AABC 的三边长分别是a 、b. c,且面积S=——,则角C= ________________________ ・2x2kx4k1 a'+b2—c2，+堺一c2 ab 1解析：尹bsinC=S= ---------- - ------= --- 書^—=2obcosC, sinC=cosC, tanC=l, /. C=45°.答案：45°2ab16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.疋+ k—1 2—k+1 2<0解析：设三边长为k-l9 k f k+l(k>29 kWN),则‘ 一亠-々=2VkV4,A+k—l>k+l32+4'—2? 7 7• • k=3,故三边长分别为2,3,4, 最小角的余弦值为2x3x4 =：答案:百17.在bABC中，BC=a, AC = b9 a, b是方程x z-2y(3x^2 = 0的两根，且2cos(A + S) = 1,求AB的长.1 1解：・.• A+B+C=TI且2cosS+B)=l, cos(n—C)=-t即cosC=—-又T 6 b是方程x2—2^/3x+2=0的两根,・・・a+b=2晶ab=2.・・.AB2=AC2+BC2-2AC BCcosC=a2+b2-2ab(-^=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yj3)2-2 = lQ9 /. AB=y[ld.18.已知AABC的周长为迄+1,且sinA+sinS=V2sinC・⑴求边AB的长；⑵若bABC的面积为fsinC,求角C的度数.解：⑴由题意及正弦定理得AB+BC+AC=7i+l, BC+AC=y/2AB,两式相减，得48=1.(2)由厶ABC的面积扌BC AC sin C=|sin C,得BC AC=^,在△ ABC 中,BC=G AC=3f sin C=2sinA・⑴求AB的值；(2)求sin(2A-为的值.解：⑴在BABC中，由正弦定理黒=鳥，得AB=^BC=2BC=2y/5. ▲毋+&7—BC2 2\[s(2)在△ ABC中，根据余弦定理，得cos A= 2AB AC = 5，于是si" … 4 3从而sin 24=2sin AcosA=^9 cos 24=cos2 4 —sin2 ^ = g-所以sin(2A—R = sin 2Acos^—cos 2Asin^=-J^・20.在b ABC中，已知(a+b+c)佃+b—c)=3cr® 且2cos4sin S=sinC,确定b ABC的形状. 」十7亠e ^sin C c .亠sinC c解：由正弦定理，得sin 8=匸由2cos Asin B=sin C,有cos4 = 2s j n g = 2b・b'+c2—ct2 c b'+c2—a'又根据余弦定理，得COS 4= 2bc ,所以沪2bc /即云=屏+以一a"所以a=b又因为(a+b+c)(a+b—c) = 3ab,所以(a+b)2—c2=3ab f所以4S2—c2=3S2, 所以b=6所以a=b=c f因此4 ABC为等边三角形.。
(完整版)余弦定理练习含答案
课时作业2余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1.在△ABC 中，已知 a = 5, b =4,Z C = 120°.则 c 为()A. 41B. , 61C. 41 或 61D. , 21【答案】 B【解析】 c = ” a 2 + b 2 — 2abcosC=52 + 42 — 2X 5X 4X — 2 = 61.2.^ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足 b 2 = ac ，且 c = 2a ,则 cosB =( )3B. 3C.【答案】 B【解析】 由b 2 = ac ，又c = 2a ,由余弦定理3. 在厶ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a = 3、b = 4、c = 6,贝卩 bccosA + cacosB + abcosC =A*_ a 2 + c 2 — b 2 cosB = 2ac a 2+ 4a 2 — a x 2a 3 2a 2a — 4.b 2 +c 2— a 2bccosA + cacosB + abcosC = bc •c 2 + a 2 — b 2 a 2 + b 2 — c 2 1 1 1 ca -20c + ab • 2ab = 2(b 2 + c 2— a 2) + 2(c 2 + a 2 — b 2) + ^(a 2 + 1 61b 2—c 2) = 2(a 2 + b 2+ c 2)=亍4. 在△ ABC 中：(1) a = 1, b = 1,Z C = 120° 求 c ; (2) a = 3, b = 4, c = 37,求最大角； (3) a:b:c = 1: 3 :2,求/ A 、/ B 、/ C. 【分析】(1)直接利用余弦定理即可； (2) 在三角形中，大边对大角； (3) 可设三边为x ， 3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC 1=12+ 12 — 2X 1 x 1 x (—刁=3,「・c = 3. (2) 显然/C 最大，a 2+b 2 —c 2 32+ 42— 37 1/cosC = —2ab — = 2x 3x 4 = — 2.AzC = 120°(3) 由于 a:b:c = 1: 3 :2, 可设 a = x , b = V3x , c = 2x(x>0).b 2+c 2 — a 2 3x 2 + 4/ — x 2 百由余弦定理，得 cosA = —2bc — = 2 • 3X 2X = ~2,/./\= 30 °【答案】 612 【解析】1同理cosB=2 cosC= O.「./3= 60 ,ZC= 90 .12,【规律方法】1. 本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦 定理的结构特征.2. 对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求 出/A ,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/ B ,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）ABC 中，下列结论：① a 2>b 2 + &,则厶ABC 为钝角三角形; ② a 2= b 2 + c 2 + be,则/ A 为 60° ③ a 2+ b 2>e 2，则△ ABC 为锐角三角形;④ 若/ A:Z B: / C = 1:2:3，贝卩 a:b:e = 1:2:3, 其中正确的个数为（）A . 1B . 2 C. 3 D . 4【答案】 A•••么为钝角，正确;b 2 + e 2— a 2【解析】 ① eosA = b 2+ c 2—a 2 —2bc —<°，②eosA=—2be—12,a 2+b 2—c 2③ cosC = 2ab >0，•••©为锐角，但/ A 或/B 不一定为锐角，错误;④ Z A = 30 ° ZB = 60 ° ZC= 90 °a:b:c = 1: 3 :2,错误.故选 A.2.A ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ,设向量p =(a + c , b), q = (b — a , c — a).若 p// q ,则/ C 的大小为( )人nA~6nB.3nc.2【答案】 B【解析】 Tp = (a + c , b), q = (b — a , c — a)且 p 〃q , • .(a + c)(c — a) — b(b — a) = 0n zC= 3.冗 ,△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,/ A =3 a=7, b = 1,则 c 等于()A . 2 2B . 3 C/ 3 + 1 D . 2 3【答案】 B【解析】 由余弦定理得，a 2= b 2 + c 2— 2bccosA ,即 a 2+ b 2— c 2= ab , 「•cosC = a 2+ b 2—c 2=_ab =1 2ab = 2ab =2.所以(7)= 1 + c2—2x 1 x e x cog.即c2—c—6= 0,解得c= 3 或c= —2（舍）.故选 B.4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+ c2,则/ A 的取值范围是（）A.（扌，n ）B. （n, nC.（n，f）D. （0, n【答案】C【解析】因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A> ZB,/A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为Z B+ Z C= n-Z A,所以2ZA> n—Z A, 即Z Ag因为a2<b2+ c2,所以cosA=葺b—2>0,所以0<从W综上,n /A n3<zA<25. 在△ ABC 中，已知 a = 4,b= 6,Z C= 120° 则si nA 的值为() A语D「I?【答案】【解析】由余弦定理得c = a2+ b2—2ab cosC = 42+ 62—2X4X 6( —2)= 76,••c= 76.由正弦定理得轟=sinC,即蠢=sinLZQ ,4sin120。
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课 题：正弦定理、余弦定理（2） 教学目的：1．掌握正弦定理、余弦定理；2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 教学过程： 一、复习引入：1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b ababab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a3．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b a c += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 二、讲解新课：1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导] 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵AC AB BC =+∴()()AC AC AB BC AB BC ∙=+∙+ 222AB AB BC BC =+∙+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+∙-+22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 2．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例1在ΔABC 中，已知a ＝2，c ＝2， b ＝31+，求A 、B 和C解：∵ bc a c b A 2cos 222-+= ＝22， ∴ A=45°cabABC∵ ab c b a C 2cos 222-+=＝23， ∴ C=30°,∴ B ＝180°－(A ＋C)=105°(∵sinC ＝a A c sin =21,∴ C = 30°或150°(舍)) 例2、在ΔABC 中，a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积312=∆ABC S ，bc ＝48，b -c ＝2，求a ． 解：例 3、 在ABC ∆中，已知ab c b a c b a 3))((=-+++，且C B A sin sin cos 2=⋅，确定ABC∆的形状。
练习2、在ABC ∆中，B a A b cos cos =，试判断三角形的形状。
例4 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) a与b 的夹角为θ （0≤θ≤π），求证：x1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ证明：如图，设a , b起点在原点，终点为A ，B则A=(x 1, y 1) B=(x 2, y 2) AB =b -a在△ABC 中，由余弦定理|b -a |2=|a |2+|b |2-2|a ||b| cos θ∵|b -a |2=|AB |2=|(x 2-x 1, y 2-y 1)|2=(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2 |a |2=x 12+y 12，|b |2= x 22+y 22∴(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2= x 12+y 12+ x 22+y 22-2|a||b| cos θ∴x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ 即有a •b = x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ四、课堂练习：1在△ABC 中，b Cos A =a cos B ，则三角形为( )A 直角三角形B 锐角三角形C 等腰三角形D 等边三角形2在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为3在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为4在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 参考答案： 1C 2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形3等腰三角形 4120°五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业：1在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0 (2).112cos 2cos 2222b a b B a A -=- 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2）BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a B R BA R A b a b Ba A 故原命题得证2在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A，试判断此三角形的类型 解：∵sin B ·sin C ＝cos 22A , ∴sin B ·sin C ＝2cos 1A+∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］ 将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1, ∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π ∴B －C ＝0 ∴B ＝C 故此三角形是等腰三角形3在△ABC 中，b cos A ＝a cos B 试判断三角形的形状解法一：利用余弦定理将角化为边∵b cos A ＝a cos B ,∴b ·acb c a a bc a c b 22222222-+⋅=-+∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2 ,∴a 2＝b 2 ,∴a ＝b ，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边转化为角 ∵b cos A ＝a cos B又b ＝2Ｒsin B ，a ＝2Ｒsin A ，∴2Ｒsin B cos A ＝2Ｒsin A cos B ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0 ∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ，∴A －B ＝0 即A ＝B 故此三角形是等腰三角形4、已知圆O 的半径为R ，它的内接三角形ABC 中2R B b a C A sin )2()sin (sin 22-=-成立，求ABC ∆面积S 的最大值。
22ab 2cosC ab 2)2(sin 2)2(sin R 4sin 4R 2222222222222π=-+==-+-=--=-即：由正弦定理知：，得：在已知两边同乘以c b a c b a b b a c a B R b a C A R.R 21-2S 4744A 2430A 2R )42sin(R 22A 43sin sin R 2sin sin R 222B sin R 2sin R 221absinC 21S 22222的最大值是，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴⎪⎭⎫⎝⎛∈-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅==ππππππ A A B A A。