时滞脉冲微分方程三点边值问题解的存在性和唯一性
时间尺度上三点边值问题正解的存在性
时间尺度上三点边值问题正解的存在性吕淑佳【摘要】讨论了时间尺度上三点边值问题,利用锥拉伸与锥压缩型的Krasnosel'skii不动点定理,对其正解的存在性进行探究.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2015(035)012【总页数】3页(P24-26)【关键词】时间尺度;边值问题;正解【作者】吕淑佳【作者单位】中北大学理学院,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】O175.8近年来，时间尺度上三点边值问题正解的存在性受到了广泛关注[1-7].文献[2]考虑了时间尺度上三点边值问题其中：利用锥不动点定理得到了一些新的有关边值问题（1）的单个和多个正解存在的条件.本文考察非线性三点边值问题引理3T: K→K是全连续算子.证明根据引理1和引理2可得此结论. 证毕.引理4[6]127设X是Banach空间，Ω是X的一个有界开子集，且θ∈Ω，F:Ω→X为一个全连续算子，则结论（1）存在λ＞1，使得F( x)=λx；（2）算子F存在一个不动点u*∈Ω.【相关文献】[1]王颖，施军.时间尺度上三点边值问题多个正解的存在性[J].四川师范大学学报：自然科学版，2011（5）：672-677[2]Sun H R，Li W T.Positive solutions for nonlinear three-point boundary value problems on time scales[J].J Math Anal Appl，2004，299：508-524[3]桑彦彬，韦忠礼.时间尺度上一类半正三阶三点边值问题的解的存在性[J].数学物理学报，2011，31A（2）：455-465[4]郭秋生，梁月亮.一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性[J].德州学院学报，2010（2）：22-25[5]梁月亮，续晓欣.一类三点边值问题单调递增正解的存在性[J].河南理工大学学报：自然科学报，2010（3）：425-429 [6]Guo Dajun，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones[M].San Diego：Academic Press，1988：127[7]桑彦彬.非线性算子方程与时间尺度上动力学方程[M].北京：世界图书出版公司，2014：114-138。
二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。
一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。
三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。
四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。
一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. 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r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J 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一类二阶时滞微分方程多点边值问题正解的存在性
（ 陕西工业职业技术学院基础部 ， 陕西 咸 阳 ７ ２０ ） １００
摘
要 ： 究 了一 类 时 滞微 分 方程 的 多 点边 值 问题 。利 用单 调 迭 代 方 法在 未 引入 上 下 解 的 条 件 下得 到 了该 边 值 问 研
题正解存在的充分条件 ， 并确立 了收敛到 该正解的迭代序 列 ， 推广和改进 了一些 已有结果 关键词 ： 时滞微分方程 ； 多点边值 问题 ； 单调 迭代 ； 正解
Ｚｈ ｎ ｕ ｈ ａ，Ｌ ｕ Ｎａ ｅ ｇ Ｃｈ ｎ ｕ ｉ ｎ
（ ａｉ Ｄ ｐｒ ｎ， ｈ ａｘ Ｐ ｌ ｅｈ ｉ Ｉｓｔｔ， ｉ ｙｎ ｈａｘ ７ ２０ ， ｈ ａ Ｂ ｓ ｅａｔ ｔ Ｓ ａｎ ｉ ｏ ｔｃｎｃ ｎｔｕｅ Ｘａ ａｇＳ ａｎｉ １０ ０ Ｃ ｉ ） ｓ ｍｅ ｙ ｉ ｎ ｎ
收 稿 日期 ：０２～３— ２１ ４
作者简介 ： 郑春华 （９ ２一） 男 ， １８ ， 河南 漯河 人 ， 助教 ， 研究方 向 ： 微分方程边值问题 。
陕西工业职业技术学院学报
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２１ ０ ２拄
（）＋Ａ （）（， ｔ ） ：０ ｔ∈ ［ ，］ ｔ ｐ 厂 ｔ （ — ） ０ １
中 图分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ５ ９ ９—２ １ （ ）一 Ｏ ５一ｏ ４ ０２２ ０４ ４
Ｓ ｃ ｎｄ Ｏｒ ｅ ｆｅ ｅ ｉ ｌＥｑ ｔｏ Ｗ ｉｈ Ｍ ｕ ｉ ｌ —ｐ ｉ ｅ ｏ ｄ ｒ Ｄｉ ｒ ｎｔａ ｕａ ｉ ｎ ｔ ｔｐ ｉ・ ｏ ｎｔ — Ｂｏ ｄ ｒ ｌ ｎｄ ｔｏ ｎ ｌ ｙ ｕｎ ａ ｙ Ｖａ ｕｅ Ｃｏ ｉｉ ｎｓ ａ ｄ Ｄｅａ
ｏ ｔｉ ｅ ｎ ｏ ｒ ｓ ｎ ｉ ｇ ｉ ｒ ｔ ｅ ｓ ｈｅ ｓｗｈ ｃ ｏ ｖ ｒ ｅ ｔ ｈｅ ｓ ｌｔｏ ｓ ａ ｅ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ． Ｓ ｍｅ ｋ ｏ ｅ ｕ ｔ ｂ ａｎ ｄ ａ ｄ ｃ ｒｅ ｐｏ ｄ ｎ ｔ ａｉ ｃ ｍｅ ｉｈ ｃ ｎ ｅ ｇ ｏ ｔ ｏｕ ｉ ｎ ｒ ｓａ ｌｓ ｅ ｅ ｖ ｏ ｎ ｗｎ ｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ｅ ｔ ｎ ｅ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｒ ｘｅ ｄ ｄ ａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｄ． Ｋｅ ｒ ｓ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉｌ ｑ ａ ｉｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉｆ ｅ ｔａ ｅ ｕ ｔ ｗｉｈ ｅ ａ ｅ ｏ ｔ ｄ ｌｙ； ｍｕ ｔ ｌ — ｐ ｉ ｔ ｏ ｎ ｒ ｖ ｌ ｐ ｏ ｌｍ ； ｍｏ ｏ ｏ ｅ ｔ ｒ ｔ ｎ； ｌｉ ｅ ｐ ｏ ｎ ｂ ｕ ｄａ ｙ ａｕｅ ｒ ｂ ｅ ｎ ｔｎ ｉ ａｉ ｅ ｏ
障碍带条件下三阶时滞微分方程边值问题解的存在性
杜睿娟 ．障碍 带条件 下三 阶时滞微分方程 边值 问题 解的存在 性
・７ ９・
使得
’ （ Ｉ ） 一 ’ （ １ ） ＝ ” （ ｄ ） （ ｔ 一 １ ） ， 故 Ｉ ｘ （ ｔ ） Ｉ ≤Ｉ ｘ （ ｄ １ ） ｌ ≤Ｃ ｌ （ ７ ）
ｔ ， ， Ｐ ， ｑ ） ≤ ０ ， （ ￡ ， ， Ｐ ， ｑ ） Ｅ［ ０ ， １ ］ Ｘ Ｒ ×［ Ｌ ｌ ，
作者简介 ： 杜睿娟（ １ ９ ８ ｌ 一） ， 女， 甘肃会宁人 ， 讲师、 硬士 ．
在Ｃ ［ ０ ， １ ］ 中至少存在一个解 。
定理 １ 设ｆ ： ［ ０ ， １ ］Ｘ Ｒ ＿ ＋ Ｒ连续．假 定存在
常数 １ （ 江 ｌ ， ２ ， ３ ， ４ ）满 足 ： ＞Ｌ １ ≥Ｏ ， Ｌ ３ ＜ 厶 ≤Ｏ ，
其中 Ｄ（ Ｌ ） ＝｛ ｌ Ｅ Ｃ ３ ［ ０ ， １ ］ ， （ ） ＝ （ １ ） ＝ ０ ， ∈［ ０ ， １ ） ｝。
本 文 的主要 工 具 是 Ｌ ｅ ａ ｆ ｙ—Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ原理 的 如 下 特款 。
ｔ ， ， Ｐ ） ３０ ， （ ｔ ， ｘ ， Ｐ ） Ｅ［ Ｏ ， １ ］ Ｘ Ｒ Ｘ［ Ｌ ｌ ， Ｌ ２ ］ 及 ｔ ， ， Ｐ ） ≤０ ， Ｅ［ ０ ， １ ］ Ｘ Ｒ Ｘ ［ Ｌ ３ ， Ｌ ４ ］
则边值问题（ Ｉ ）在 ｃ ２ ［ ０ ， １ ］ 中至少有一个解。
受文献［ ５ ］的启发 ， 对非线性项厂在∞的限制 ， 运用 Ｌ ｅ ａ ｒ ｙ — Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 原理讨论 障碍带条件下的三
定理 ０ 设厂 ． ［ Ｏ ， １ ］ ｘ Ｒ
连续 ， ￡ ： ｃ ３ ［ ０ ， １ ］
三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究
目录中文摘要 (1)英文摘要 (3)第一章绪论 (5)1.1研究背景及本文的主要工作 (5)1.2预备知识 (5)第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性 (7)2.1引言 (7)2.2预备知识和引理 (8)2.3主要结果及证明 (14)第三章三点边值问题多解的存在性 (25)3.1引言 (25)3.2上下解与度理论,变分方法 (26)3.2.1上下解 (26)3.2.2上下解与度理论 (29)3.2.3上下解与变分方法 (31)3.3多解及变号解的存在性 (38)参考文献 (50)在读期间发表的学术论文 (54)致谢 (55)山东师范大学硕士学位论文三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究董瑶(山东师范大学数学与统计学院,济南,山东,250358)摘要近年来,在微分方程领域,三点边值问题在物理、化学、生物学等学科内一直被广泛应用,在如今科技迅速发展的时代,边值问题的应用更加普遍.随着对微分方程三点边值问题需求的提高,学者们关于三点边值问题的正解的研究也逐渐深入.但是我们发现,迄今为止,对于三点边值问题的多个解,无穷多解,以及变号解的研究文章却是少之又少.本文也将围绕着三点边值问题解的情况展开研究,我们首先对于特殊的三点边值问题的正解展开研究,其次,对于更加一般的三点边值问题,我们将研究它的多解的情况.第一章,我们介绍了三点边值问题的研究背景,本文主要做的工作以及一些预备知识.第二章,我们考虑如下三点边值问题：{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,并且λ是一个正参数.本章建立了针对三点边值问题的上、下解定理,并主要应用此定理,结合比较原则、第一特征值第一特征函数、Arzela-Ascoli引理等知识,在问题中的K,a,η,λ处于不同范围时,我们得出带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性等结论.在第三章,我们研究如下问题,{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).在本章,我们进行了对于三点边值问题多解的存在性研究.首先,我们定义了针对此问题的广义的上下解定义,其次为建立上下解方法与度理论的联系,我们给出了严格上下解的定义,并在上下解存在的情况下,利用度理论给出了三个解的存在性结论.此外,我们将上下解方法与变分方法结合,在空间W1,2((0,1))1中,将上述问题转化成为了能量泛函,通过求该泛函的临界点,得到了三点边值山东师范大学硕士学位论文问题解的存在性结论.我们利用此方法,通过改变条件,得出了三点边值问题的四个解、五个解以及变号解的存在性结论.另外,当右端项f(t,u(t))具有特殊形式时,我们得出问题具有无穷多个解的结论.关键词:三点边值问题;多解;上下解;度理论;变分方法.分类号:O175.8山东师范大学硕士学位论文The Existence,Uniqueness and MultipleSolutions of Three-point Boundary ValueProblemsYao DongInstitute of Mathematics and Statistics,Shandong Normal UniversityJinan,Shandong,250358,P.R.ChinaABSTRACTIn recent years,in the field of differential equations,the three-point boundary value problem has been widely used in physics,chemistry,biology and other fields. In the era of rapid development of science and technology,the application of the three-point boundary value problem is more and more common.With the increasing demand for three-point boundary value problems of differential equations,many scholars have gradually deepened their research on the positive solutions of three-point boundary value problems.However,we find that there are very few studies on multiple solutions,infinite solutions and sign-changing solutions of three-point boundary value problems.In this thesis,we will study the solutions of three-point boundary value problems.Firstly,we will study the positive solution of special three-point boundary value problems.Secondly,for more general three-point boundary value problems,we will obtain the existence of its multiple solutions.In the Chapter1,we introduce the background of three-point boundary value problems and the main work of this paper,and we give some preliminary knowledge.In the Chapter2,we consider the three boundary value problems{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),where K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,andλis a positive parameter.In this chapter,we establish the upper and lower solution theorem for the three-point boundary value problems,and combine this theorem with the knowledge of comparison principle,eigenvalues and corresponding eigenfunctions,and Arzela-Ascoli lemma.When K,a,ηandλare in different ranges,we obtain the existence, uniqueness,and dependence of the solutions on the three-point boundary value problem with singular nonlinear terms.山东师范大学硕士学位论文In Chapter3,we study the following problem{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).In this chapter,we make a study on the existence of multiple solutions to the three-point boundary value problem.Firstly,we define a generalized definition of the upper and lower solutions for this problem.And secondly,to establish the connection between the upper and lower solution method and degree theory,we give the definition of the strictly upper and lower solutions.In the presence of the upper and lower solutions,the existence of three solutions is given by using the degree theory.In addition,we combine the upper and lower solution method with the variational method.In space W1,2((0,1)),we transform the above problem into1an energy functional.By finding the critical point of the functional,we obtain the existence conclusion of the solution of the three-point boundary value problems. We use this method to obtain the existence of four solutions,five solutions,and sign-changing solutions for the three-point boundary value problem by changing the conditions.In addition,when the right term f(t,u(t))with special forms,we obtain that the problem has infinitely many solutions.Keywords:three-point boundary value problem,multiple solutions,upper and lower solutions,degree theory,variational method.Classification:O175.8山东师范大学硕士学位论文第一章绪论1.1研究背景及本文的主要工作最初的微分动力系统理论,是在经典力学蓬勃发展的背景下发展起来的.众所周知,Newton开创了一套体系相对完备的经典力学理论,他和Leibniz创立了微积分的理论基础,这部分数学与物理的发展是相辅相成的.在处理许多物理问题中,人们首先想到的是微分方程,这与经典力学理论与微分方程的共同发展是脱不开关系的.微分方程初值问题和边值问题是微分方程理论研究的重要课题,其中初值问题仅与定义域中的某一点有关,而边值条件至少与定义域中的两个不同的点有关.自然界中的许多物理现象都可以归结为一些典型的方程来研究.因此,研究三点边值问题解的情况就显得非常必要.再者,奇异边值问题起源于化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料中的热传导理论的研究,应用前景也逐渐广泛,如大气对流、边界层流动、天体运动等,因此具有奇异性的微分方程边值问题解的研究也成为重要的研究方向之一．在目前的研究中,绝大部分是通过利用锥上的不动点定理来证明解的存在性以及多解性.而我们发现,上、下解方法对于研究边值问题的解也有很重要的作用.上下解方法在两点边值问题中的研究已较为广泛,但在三点边值问题中的应用相对较少,且大多条件较为严格.所以如何把已有的较为成熟的两点边值问题的上下解方法应用到三点边值问题中,并且适当减少所需条件从而得出解的相关结论,是本文需要重点考虑的问题之一.此外,拓扑度理论对于研究三点边值问题解的存在性也非常有用,我们还将将上下解方法与拓扑度理论相结合,借助拓扑度的计算,来得出三点边值问题多个解存在的结论.而我们通过阅读大量的文献发现,关于两点边值问题和椭圆形边值问题经常有无穷多解方面的理论结果，而三点边值问题无穷多个解的存在性还未被研究过，我们计划将上下解方法与变分方法结合,将边值问题转换成一个能量泛函,然后通过寻找能量泛函的临界点来证明此临界点是原问题的解,从而得出相关的结论.1.2预备知识本文中,我们将用到以下空间符号：C([0,1])是[0,1]上连续函数u(t)的全体,‖u‖=max|u|∞,山东师范大学硕士学位论文C 1([0,1])={u :[0,1]→R |u (t )在[0,1]上连续可微},‖u ‖=max {|u |∞,|u ′|∞},其中|u ′|∞=max t ∈[0,1]|u ′(t )|.显然,C 1([0,1])是一个Banach 空间.W 2,1((0,1))是函数集,若u ∈W 2,1((0,1)),则u ∈C 1([0,1]),且二阶弱导u ′′∈L 1(0,1).W 1,21((0,1))={u ∈W 1,2((0,1))|u (0)=0,u (1)=au (η)}.此空间相应的范数为||u ||=(∫︀10|u ′|2dt )12.Arzela-Ascoli 引理对于我们解决文章中的问题是非常重要的.引理1.2.1.(Arzela-Ascoli 引理)[39]任何定义在区间[a,b ]上的一致有界且等度连续的函数族{f (x )},必可从中选出一个在此区间上一致收敛的子列.下面是关于线性方程{︃−x ′′(t )=λx (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(1.1)的特征值和特征函数的相关引理.引理1.2.2.[30]问题(1.1)的频谱由一组严格递增的特征值序列λk >0,k =1,2,···组成,特征函数φk =sin(λ12k t ).此外,(i)lim k →+∞λk =+∞;(ii)φk (t )在(0,1)内有k −1个简单零点,k =2,3,···并且φ1在(0,1)上严格为正.在文献[9]中,作者对微分方程{︃−x ′′(t )=f (t,x (t )),0<t <1,x (0)=ax (η),x (1)=0建立了最大值原理.引理1.2.3.假设0<η<1,且F ={x ∈C [0,1]∩C 2(0,1),x (0)−ax (η)≥0,x (1)≥0}.若x ∈F 使得−x ′′(t )≥0,t ∈(0,1),那么x (t )≥0,t ∈[0,1].山东师范大学硕士学位论文第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性2.1引言本章中,我们研究以下三点边值问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.1)其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,p,q>0,并且λ是一个正参数.我们在p,q处于不同范围下展开研究,分别是0<p,q<1,0<p<1的情况.1987年,Ilin和Moiseev开始对非线性二阶m点边值问题展开研究[19,20].从那以后,出现了许多关于一般非线性多点边值问题解的存在性结果,见文献[10], [14],[23],[30]及它们的参考文献.例如,2007年,Rynne[30]采用Rabinowitz bifur-cation理论研究了以下问题：⎧⎪⎨⎪⎩−u′′=f(u),on(0,1),u∈R×X, u(0)=0,u(1)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),其中,m≥3,ηi∈(0,1),αi>0,m−2∑︁i=1αi<1且f(0)=0.Rynne在文中给出了该问题变号解的存在性.2008年,Rynne利用半特征值法和Fuˇc ik光谱理论研究了如下问题的可解性和不可解性：{︃−u′′=f(u)+ℎ,on(0,1),u(0)=0,u(1)=αu(η),我们知道,上下解方法对于研究边值问题是非常重要的,见文献[3],[6],[8],[26], [27],[32],[33],[36],[37],[16].因此,建立上下解方法对于研究三点边值问题是重要且有必要的.2007年,杜新生和赵增勤[9]研究了如下三点边值问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0,其中,0<a<1,0<η<1.在f不减的条件下,作者利用单调迭代技巧和上下解方法得出了正解存在的充要条件.2008年,在f递减的条件下,二人[10]又研究了山东师范大学硕士学位论文如下m点边值问题,⎧⎪⎨⎪⎩−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1), u(0)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),u(1)=0.作者通过构造问题的上下解得出了问题正解的存在和唯一性结果.同年,韦忠礼在[33]中构造了三点边值问题的上下解,并且给出问题{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0.的正解存在的充要条件.另一方面,奇异边值问题出现在化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料的热传导理论中,见文献[2,4,5,7,11,31].史俊平[31]应用上下解方法研究了下述问题,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Δu+K(x)u−q=λu p,x∈Ω, u(x)>0,∀x∈Ω,u|ðΩ=0,其中K∈C2,β(Ω),p,q∈(0,1),且λ是一个正参数.K(x)在不同情况下,史俊平得到了获得了问题古典解的存在唯一性.受上述文献启发,对于不同的λ,当p,q和K(t)在不同情况下,我们将得出问题(2.1)正解的存在性和唯一性.2.2预备知识和引理在本节,我们首先研究以下带导数的三点边值问题，{︃−x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.2)其中,η∈(0,1),0<a<1,且f∈[0,1]×R×R.下面,我们给出问题(2.2)的上下解的定义.定义2.2.1.如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t),α′(t)),t∈(0,1),α(0)≤0,α(1)≤aα(η),(2.3)那么α(t)称为问题(2.2)的一个下解.通过改变上述问题中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.山东师范大学硕士学位论文如果问题(2.2)存在一个上解α(t)和一个下解β(t)满足α(t)≤β(t),那么,我们称(α(t),β(t))为问题(2.2)的一对上下解.设Dβα={(t,x)∈(0,1)×R+|α(t)≤x≤β(t),t∈(0,1)}.引理2.2.1.假设ℎ∈L1(0,1).那么在C[0,1]内，对于每一个λ>0,问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=αx(1)(2.4)都有唯一解.证明:假设v1(t)和v2(t)分别满足{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x′(0)=1和{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(1)=0,x′(1)=−1.定义G(t,s)=1ω{︃v2(t)v1(s),0≤s≤t≤1,v1(t)v1(s),0≤t≤s≤1,且x(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].那么−x′′(t)+λx(t)=−1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]′′−e′′1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=−1ω[v′2(t)v1(t)−v′1(t)v2(t)]ℎ(t)−1ω[λ∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+λ∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t)−λ1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t),t∈(0,1),山东师范大学硕士学位论文并且x(1)−αx(η)=∫︁10G(1,s)ℎ(s)ds+e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=0.因此,x(t)是问题(2.4)的一个C[0,1]解.因为λ>0,问题(2.4)有唯一的C[0,1]解.证毕.定理2.2.1.设α,β∈C([0,1])∩C1(0,1)是(2.2)的一组上下解,满足α≤β.设ψ∈L1[0,1],并且φ:R+→R+0是一个连续函数，满足∫︁∞01φ(s)ds=+∞.(2.5)假设f:Dβα×R→R是一个L1-Carath´e odory函数，使得|f(t,x,v)|≤ψ(t)φ(|v|),∀(t,x)∈Dβα,v∈R.(2.6)那么问题(2.2)至少有一个解x∈C1[0,1]使得对于∀t∈[0,1],α(t)≤x(t)≤β(t).证明:我们的证明分为以下五步.一.我们考虑一个新的问题.由(2.5),存在一个足够大的R>0使得∫︁R 01φ(s)ds>‖ψ‖1.(2.7)并且(2.6)保证了存在一个N∈L1[0,1]使得|f(t,x,v)|≤N(t),∀(t,x)∈Dβα,|v|≤R.(2.8)定义χ(t,x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α(t),x<α(t),x,α(t)≤x≤β(t),β(t),x>β(t),(2.9)g(t,x,v)=max{min{f(t,χ(t,x),v),N(t)},−N(t)}.(2.10)选择一个λ>0,考虑新边值问题{︃−x′′(t)+λx=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.11)山东师范大学硕士学位论文其中0<a<1,0<η<1.二.我们考虑问题(2.11)的C1[0,1]解得存在性.引理2.2.1保证了对于∀ℎ∈L1[0,1],线性问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ,t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η)有唯一的C[0,1]解v(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].对于x∈C1[0,1],我们定义(F x)(t)=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈[0,1],(T x)(t)=∫︁10G(t,s)(F x)(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)(F x)(s)ds,s∈[0,1].由(2.9)和(2.10),我们可以得到|g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t))|≤N(t)+λmax{supt∈[0,1]|α(t)|,supt∈[0,1]|β(t)|},这表明函数属于集合{(T x)(t):x∈C1[0,1]}且{(T x)′(t):x∈C1[0,1]},且函数有界并等度连续.Arzela-Ascoli定理保证了T C1[0,1]是相对紧集.T的连续性证明成立.应用Schauder不动点定理,我们可以证明T至少有一个不动点x∈C1[0,1].三.(2.11)的解满足α(t)≤x(t)≤β(t).我们只需证明对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).事实上,假设存在一个t0∈[0,1)使得x(t0)>β(t0).因为x(0)=0≤β(0),t0>0.设w(t)=x(t)−β(t), t∈[0,1].则w(0)≤0,w(t0)>0.设t*=sup{t|w(s)>0,s∈[t0,t]},t*=inf{t| w(s)>0,s∈[t,t0]}.显然对于∀t∈(t*,t*)都有w(t)>0,w(t*)=0且w(t*)≥0.如果w(t*)=0,那么存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).如果w(t*)>0,显然t*=1且w(1)=x(1)−β(1)>0.因为w(η)=x(η)−β(η)=1a(x(1)−β(1))=1a w(1)>w(1),所以也存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).因此,w′(t′)=0(i.e.,β′(t′)=x′(t′))并且−w′′(t′)≥0.另一方面,因为−w′′(t′)=β′′(t′)−x′′(t′)≤−f(t′,β(t′),β(t′))+g(t′,x(t′),x′(t))+λχ(t′,x(t′))−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+max{min{f(t′,β(t′),β′(t)),N(t)},−N(t)} +λβ(t′)−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+f(t′,β(t′),β′(t′))+λβ(t′)−λx(t′)=λ(β(t′)−x(t′))<0,山东师范大学硕士学位论文矛盾.同理可证对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).因此,由(2.10),x满足{︃−x′′(t)=g(t,x(t),x′(t))=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)},t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η).(2.12)四.(2.11)的解满足|x′|∞≤R.相反地,假设存在一个t′∈(0,1)使得|x′(t′)|>R.不失一般性,我们假设x′(t′)>R.因为当0<a<1时,x(0)=0,x(1)=ax(η),所以存在一个t0∈(0,1)使得x′(t0)=0.不失一般性,对于∀t∈(t′,t0),我们假设x′(t)>0.观察到对于∀(t,x)∈Dβα,v∈R,max{min{f(t,x,v),N(t)},−N(t)}≤ψ(t)φ(|v|).那么,由(2.12),我们有∫︀R 01φ(s)ds=|∫︀x′(t′)x′(t0)1φ(s)ds|=|∫︀t0t′1φ(x′(t))dx′(t)|=|∫︀t0t′x′′(t)φ(x′(t))dt|=|∫︀t0t′g(t,x(t),x′(t))φ(x′(t))dt| =∫︀t0t′ψ(t)φ(x′(t))φ(x′(t))dt=∫︀t0t′ψ(t)dt=‖ψ‖1.这与(2.7)矛盾.因此|f(t,x(t),x′(t))|≤N(t),又因为u∈[α,β],我们得到g(t,x(t),x′(t))=f(t,x(t),x′(t)),∀t∈(0,1).五.我们证明x(t)满足问题(2.2).因为|x′|∞≤R,α(t)≤x(t)≤β(t),由(2.8),(2.10),(2.12),我们可以得到{︃−x′′(t)=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)}=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),也就是说,x(t)是问题(2.2)的一个C1[0,1]解.证毕.现在我们考虑下述问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.13)山东师范大学硕士学位论文其中η∈(0,1),0<a<1且f∈[0,1]×R×R.下面我们给出(2.13)的上下解的定义.定义2.2.2.[36]如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)且满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t)),t∈(0,1),(2.14)α(0)≤0,α(1)≤aα(η),那么函数α(t)称为(2.13)的一个下解.通过改变问题(2.14)中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.通过定理2.2.1,我们可以得到下述结论.推论2.2.1.假设存在问题(2.2)的一个下解α(t)和一个上解β(t),使得对,都于∀t∈[0,1],有α(t)≤β(t),并且存在F∈L1[0,1]使得对于∀(t,x)∈Dβα有|f(t,x)|≤F(t),那么问题(2.13)至少有一个C[0,1]解x(t),满足α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1].注2.2.1.这个结论在文献[33]中出现过,我们的定理改进了先前文献中的结论.引理2.2.2.假设f:(0,1)×[0,+∞)→R是一个连续函数,使得当s>0时,对于∀t∈(0,1)都有s−1f(t,s)严格递增.设w,v∈C[0,1]∩C2(0,1)满足(a)w′′+f(t,w)≤0≤v′′+f(t,v),t∈(0,1);(b)w,v>0,t∈(0,1)且w(0)≥v(0),w(1)≥aw(η),v(1)≤av(η);(c)v′′∈L1[0,1].那么w(t)≥v(t),t∈[0,1].证明:由v′′∈L1(0,1),我们可以知道v′(0+)和v′(1−)存在并且v∈C1[0,1].假设在[0,1]上v(t)≤w(t).不失一般性,我们假设存在t0∈(0,1)使得v(t0)−(v(t)−w(t))>0.设w(t0)=max0≤t≤1t*=inf{t1|0≤t1<t0,v(t)>w(t),t∈(t1,t0)},t*=sup{t2|t0≤t2<1,v(t)>w(t),t∈(t0,t2)}.显然0≤t*<t*≤1,且v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),其中D+表示Dini导数.对于t*≤1,有三种情况.(1)t*<1.那么v(t*)=w(t*),v′(t*)≤w′(t*),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t).(2)t*=1且v(t*)=w(t*),v′(t*−)≤D−w(t*−),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t),其中D−表示Dini导数.(3)t*=1且v(t*)>w(t*),对于∀t∈(t*,t*],v(t)>w(t).因为v(1)−w(1)≤山东师范大学硕士学位论文a(v(η)−w(η))<v(η)−w(η),所以存在t′∈[η,1]使得v(t′)−w(t′)>0,(v(t′)−w(t′))′<0.综上,存在一个t′>t*使得v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),v(t′)≥w(t′),v′(t′−)≤D−w(t′−),且v(t)>w(t),∀t∈(t*,t′).设y(t)=v′(t)w(t)−w′(t)v(t),t∈(t*,t′),那么我们可以得到lim t→t*+inf y(t)≥0≥limt→t′−sup y(t).(2.15)另一方面,对于t∈(t*,t′),我们有y′(t)=w(t)v′′(t)−w′′(t)v(t)=−w(t)f(t,v(t)+v(t)f(t,w(t))=w(t)v(t)(f(t,w(t))w(t)−f(t,v(t))v(t))≥0,并且在(α,β)内y′(t)≡0.这表明y(t′)>y(t*),这与(2.15)矛盾,所以v(t)≤w(t).证毕.利用文献[9]中类似的方法,我们可以建立下述极大值原理,这可以应用在我们正解的唯一性证明中.引理2.2.3.(极大值原理)假设0<η<1,且F={x∈C[0,1]∩C2(0,1),x(1)−ax(η)≥0,x(0)≥0},如果对于∀t∈(0,1),x(t)∈F时都有−x′′(t)≥0,那么x(t)≥0,t∈[0,1].2.3主要结果及证明定义K*=maxt∈[0,1]K(t),K*=mint∈[0,1]K(t).定理2.3.1当K*>0时,(i)若0<p,q<1,存在λ>0使得对于λ>λ,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)对于λ>λ,(2.1)有一个极大解xλ(t)并且xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.16)山东师范大学硕士学位论文其中0<q,p <1,K ∈C [0,1],K *>0,0<a <1,0<η<1,且λ是一个正参数.在[9]中,当f (t,x )关于x 递增时,问题{︃−x ′′(t )=f (t,x ),t ∈(0,1),x (0)=ax (η),x (1)=0有唯一C 1[0,1]正解.因此,我们可以假设x *(t )是问题{︃−x ′′(t )=x p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(2.17)的唯一C 1[0,1]正解,其中0<a <1,0<η<1.令β(t )=λ11−p x *(t ),则−β′′(t )+K (t )β−q (t )=λ11−p x *(t )+K (t )λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x *(t )+K *λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x p *(t ),λβp (t )=λ11−p x p *(t ).因此,−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ).结合(2.17)我们可以得到{︃−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ),t ∈(0,1),β(0)=0,β(1)=aβ(η).因此,β(t )是问题(2.16)的一个上解.设α(t )=Mϕ21+q1,其中M 是一个正实数,且ϕ1是第一特征函数.那么−α′′(t )+K (t )α−q(t )=−2M 1+q ϕ1−q1+q1(t )ϕ′′1(t )+K (t )M q ϕ2q 1+q 1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q1+q 1=2λ1M 1+q ϕ21+q1+K (t )M qϕ2q 1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q 1<2λ1Mϕ21+q 1+K *M q ϕ2q1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.由引理2.2.1我们有ϕ1(t )=sin(√λ1t ),ϕ′1(t )=√λ1cos(√λ1t ).因此我们可以得到，存在δ0>0和b ∈(0,1)使得|ϕ′1(t )|=|√︀λ1cos(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[0,b ),|ϕ1(t )|=|sin(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[b,1].(a )在[0,b )上,选择M ≥M 1=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q,那么我们有K *M q ϕ2q 1+q1≤2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.山东师范大学硕士学位论文(b )在[b,1]上,选择M ≥M 2=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q ,那么我们有K *M q ϕ2q1+q1≤λ1M 1+qϕ21+q 1.固定M =max {M 1,M 2},则−α′′(t )+K (t )α−q(t )≤3λ1M 1+q ϕ21+q 1,λαp (t )=λM pϕ2q 1+q1.令λ0=3M 1−q1+q|ϕ1|2−2p1+q ∞,我们有3Mλ11+q ϕ21+q 1<λM p ϕ2p 1+q1,∀λ>λ0.因此,∀λ>λ0,−α′′(t )+K (t )α−q (t )<λαp (t ).由引理2.2.1,α(0)=Mϕ21+q1(0)=0,α(1)=Mϕ21+q1(1)=M [aϕ1(η)]21+q=Ma21+qϕ21+q 1(η)<aMϕ21+q1(η)=aα(η).令λ2=(M |ϕ1x *|∞|ϕ1|1−q 1+q∞)1−p.那么对于∀λ>λ2,α(t )=Mϕ21+q1(t )≤λ11−p x *(t )=β(t ).因此我们选择λ=max {λ0,λ2},且λ>λ,则(α(t ),β(t ))是问题(2.16)的一对上下解.我们令F (t )=λβp +K *β−q ,则对于∀(t,x )∈D βα,|f (t,x )|≤F (t ),则F (t )∈L 1[0,1].由推论2.2.1,对于λ>λ,问题(2.16)至少有一个C [0,1]正解x (t )满足α(t )≤x (t )≤β(t ).(ii)(极大解的存在性)我们观察以下问题,{︃−x ′′(t )=λx p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η).(2.18)由[9],对于∀λ>0,我们记问题(2.18)的唯一解是w λ(t ).在(i)中,我们得到了问题(2.16)的解x λ(t ),则w ′′λ(t )+λw pλ(t )=0<x ′′λ(t )+λx p λ(t ),并且x −1f (t,x )=λx p −1λ(t )关于x 递减.由(i),x λ(t )∈L 1[0,1].由引理2.2.3,我们可以得到x λ(t )≤w λ(t ).设Ωj =[1i 0+j,1),j =1,2,···,且对于j =1,2,···,w j (t )是问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x ′′(t )+K (t )w −q j −1(t )=λw p j −1(t ),t ∈Ωj ,x (t )=w j −1(t ),t ∈[0,1i 0+j),x (1)=ax (η)(2.19)的解,w 0(t )=w λ(t )在(2.18)中已经被定义.设x λ(t )是(2.16)的解.山东师范大学硕士学位论文在(2.19)中,设j=1我们可以得到⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−w′′1(t)+K(t)w−qλ(t)=λw pλ(t),t∈Ω1,w1(t)=wλ(t),t∈[0,1i0+j),w1(1)=aw1(η).(2.20)结合(2.18)我们可以得到t∈Ω1时,w′′1(t)−w′′λ(t)≥0.由极大值原理,我们可以得到w1(t)≤w0(t)=wλ(t).同样地,我们可以得到w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t).下面,我们观察问题(2.16),结合(2.20)我们得到−w′′1(t)+x′′λ(t)+K(t)(w−qλ(t)−x−qλ(t))=λ(w pλ(t)−x pλ(t))≥0,因此当t∈Ω1时,x′′λ(t)−w′′1(t)≥0.由极大值原理易证当t∈[0,1]时,xλ(t)≤w1(t).同样的方法,我们可以得到xλ(t)≤w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t),t∈[0,1].此外,我们有{w j(t)}j∈N下方有界,且被xλ(t)界定.因为w j(t)是问题(2.18)的解,所以−w′′j (t)=λw pj−1(t)−K(t)w−qj−1(t)≤λw pj−1(t)−K*w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj(t).假设t0∈(0,1),w j(t0)=max0≤t≤1w j(t),则w′j(t0)=0,且w j(t)在(t,t0)上递增.对于−w′′j (t),从t到t0进行积分,可以得到∫︁t0t−w′′j(s)ds≤∫︁t0t[λw p+qj−1(s)−K*]w−qj(s)ds.所以w′j (t)w qj(t)≤λw p+qj−1(t0)−K*.同样地,通过对−w′′j(t)从t0到t上进行积分,我们也可以得到|w′j (t)w j(t)|≤λw p+qj−1(t0)−K*.对于给定的t1,t2∈[0,1],我们可以得到∫︁t2 t1w′j(s)w qj(s)ds≤∫︁t2t1|w′j(s)w qj(s)|ds≤∫︁t2t1[λw p+qj−1(t0)−K*]ds.我们可以找到一个足够大的K使得|λw p+qj−1(t0)−K*|<K.那么∫︀t2t1w′j(s)w qj(s)ds≤K|t2−t1|,|w q+1j (t2)−w q+1j(t1)|≤K|t2−t1|.(2.21)我们定义算子I(w)=w q+1,则I−1(w)=w1q+1.由(2.21)可知{I(w j(t))}j∈N 在[0,1]上一致有界且等度连续.显然,I−1在有界闭域Ω上一致连续,即对于∀ε> 0,存在一个δ>0使得当w1,w2∈Ω时,|w1−w2|<δ,我们得到|I−1(w1)−I−1(w2)|<ε.因为0<w j(t)<w0(t),所以存在一个M>0使得w j(t)∈(0,M].山东师范大学硕士学位论文由(2.21),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t 1−t 2|<δ′时,|w q +1j (t 2)−w q +1j (t 1)|<δ.所以,∀ε>0,存在δ′>0,当|t 1−t 2|<δ′时,|w j (t 2)−w j (t 1)|=|I −1(w q +1j (t 2))−I −1(w q +1j (t 1))|<ε.因此{w j (t )}j ∈N 等度连续.由Arzela-Ascoli 引理得出,存在子列{w j k (t )}j k ∈{j }使得lim j k →+∞w j k (t )=x λ(t ).不失一般性,我们设lim j →+∞w j (t )=x λ(t ),t ∈[0,1].(2.22)接下来,我们将证明x λ(t )是问题(2.16)的C [0,1]正解.固定t ∈(0,1)(t =12),那么w j (t )可以表示为w j (t )=w j (12)+w ′j (12)(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )w −q j −1(s )−λw pj −1(s )]ds.(2.23)固定j ∈N ,由Lagrange 中值定理,存在t n ∈(12,1)使得x λ(1)−w j (12)≤w j (1)−w j (12)=w ′j (t n )(1−12)<w 0(1).所以,存在M 1>0使得|w ′j (t n )|<2M 1.因为{w j (t )}j ∈N 在[0,1]上有界,我们可以假设m <w j (t )<M 2,t ∈[12,t n].|∫︀t n 12−w ′′j (s )ds |=|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K (s )w −q j −1(s )]ds |≤|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K *w −q j −1(s )]ds |≤λM p −K *m −q ,因此|w ′j (12)|−|w ′j (t n )|≤|w ′j (12)−w ′j (t n )|≤λM p 2−K *m −q ,i.e.,|w ′j (12)|≤2M 1+λM p2−K *m −q .所以{w ′j (12)}j ∈N 和{w j (12)}j ∈N均有界.那么它们都有一个收敛子列.不失一般性,我们假设lim j →∞w ′j (12)=r 0.在(2.23)中,t ∈(0,1)时,令j →∞,我们可以得到x λ(t )=x λ(12)+r 0(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )x −q λ(s )−λx pλ(s )]ds,即,−x ′′λ(t )+K (t )x −q λ(t )=λx pλ(t ).所以x λ(t )是问题(2.16)的一个C [0,1]正解.所以x λ(t )是问题(2.16)的一个极大解.下面我们将给出此极大解对于参数λ的依赖性.令H ={μ>0:当λ=μ时,(2.16)有一个C [0,1]正解}.由(i),显然H =∅.令λ1∈H ,且λ=λ1时,x λ(t )是相应的(2.16)的一个极大解.则对于∀λ2>λ1>λ,x ′′λ1(t )+λ1x p λ1(t )≥0,t ∈(0,1).由引理2.2.3可知,在[0,1]山东师范大学硕士学位论文内,xλ1(t)≤wλ2(t).在以上证明中,用xλ1(t)来替换xλ(t),我们发现{︃−x′′λ1(t)+K(t)x−qλ1(t)=λ1x pλ1(t)≤λ2x pλ1,t∈(0,1),−w′′λ2(t)+K(t)w−qλ2(t)≥λ2w pλ2(t).将此与边值条件相结合,可以得到当λ=λ2>λ1时,(xλ1(t),wλ2(t))是问题(2.16)的一对上下解.这可以证明λ=λ2时,xλ2(t)是问题(2.16)的一个解,满足xλ1(t)≤xλ2(t)≤wλ2(t).因此,λ2∈H.另外,由(ii),对于∀λ2>λ1≥λ,都有xλ2(t)≥xλ1(t).证毕.定理2.3.2当K*<0时,(i)若0<p<1,0<q,对于∀λ>0,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)若0<p,q<1,对于∀λ>0,问题(2.1)存在唯一C1[0,1]正解xλ(t).(iii)(ii)中的xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.24)其中q>0,0<p<1,K(t)∈C[0,1],K*<0,0<a<1,0<η<1且λ是一个正参数.我们首先考虑如下这个近似问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=1n ,x(1)=ax(η)+1n,(2.25)其中0<a<1,0<η<1,n≥1.令ε足够小,我们将证明αn(t)=εϕ1(t)+1n是(2.25)的一个下解.事实上,当n足够大时,我们可以得到εϕ1(t)+1n 无限接近于0.因为√λ1∈(π2,3π2)[30],我们可以推出−α′′n (t)+K(t)α−qn(t)−λαpn(t)=λ1εϕ1(t)+K(t)(εϕ1(t)+1n)−q−λ(εϕ1(t)+1n)p<λ1εϕ1(t)−λ(εϕ1(t)+1n)p<εϕ1(t)[λ1−λ(εϕ1(t)+1n)p−1]<0,αn(0)−1n =εϕ1(0)=0,且αn(1)−[aαn(η)+1n]=εaϕ1(η)+1n−aεϕ1(η)−an−1n<0,这表明αn(t)是问题(2.25)的一个下解.接下来,我们将构造(2.25)的一个上解.令β(t)=−Mt2+(M+aM)t+M,山东师范大学硕士学位论文其中M足够大,满足M>{(2λ)11−p,1n(1−a)}.我们可以得到−β′′(t)+K(t)β−q(t)=2M+K(t)[−Mt2+(M+aM)t+M]−q>2M+K*M−q>M,λβp(t)=λ[−Mt2+(M+aM)t+M]p<λ[M(1+a)24+M]p<λ(2M)p,−β′′(t)+K(t)β−q(t)≥λβp(t),β(1)−(aβ(η)+1n )=(a+1)M−a[−Mη2+(M+aM)η+M]−1n >(a+1)M−2aM−1n=M−aM−1n>0,且β(0)−1n =M−1n>0.易知β(t)是问题(2.25)的一个上解.选择F n(t)=λβp−K*α−qn ,那么对于∀(t,x)∈Dβαn,都有|f(t,x)|≤F n(t).易证F n(t)∈L1[0,1].由于ε足够小,且n足够大,所以αn(t)≤β(t).由推论2.2.1, (αn(t),β(t))是问题(2.25)的一对上下解.并且对于∀n∈N,(2.25)至少有一个C[0,1]正解x n(t)满足αn(t)≤x n(t)≤β(t).下面,我们将得出结论,存在子列{x nk (t)}和x(t)使得limn k→∞x nk(t)=x(t).因为β(t)∈C[0,1]∩C2(0,1),所以β(t)有界.因此,{x n(t)}n∈N在[0,1]上一致有界.因为x n(t)是问题(2.25)的一个C[0,1]正解,所以x n(t)满足−x′′n (t)=λx pn(t)−K(t)x−qn(t)≤λx pn(t)−K*x−qn(t)≤[λx p+qn(t)−K*]x−qn(t).假设t0∈(0,1),x n(t0)=max0≤t≤1x n(t),那么x′n(t0)=0,且x n(t)在(t,t0)上递增.对于−x′′n (t),从t到t0进行积分,我们可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].我们可以找到一个K>0使得x′n(t)x qn(t)≤K.并且对−x′′n (t)从t0到t进行积分,可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以−x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].对于上述K,可以得到|−x′n(t)x qn(t)|≤K,即|x′n (t)x qn(t)|≤K.山东师范大学硕士学位论文给定t1,t2∈[0,1],我们得到∫︁t2 t1x′n(s)x qn(s)ds≤∫︁t2t1|x′n(s)x qn(s)|ds≤∫︁t2t1Kds.那么∫︀t2t1x′n(s)x qn(s)ds≤K|t2−t1|,此等式可以写为|∫︁x n(t2)x n(t1)x qn(s)dx n(s)|≤K|t2−t1|,|x q+1n(t2)−x q+1n(t1)|≤K|t2−t1|.(2.26)我们定义算子I(x)=x q+1,则I−1(x)=x1q+1.由(2.26)我们可以得出,在[0,1]内,{I(x n(t))}n∈N一致有界,等度连续.显然在有界闭域Ω内,I−1一致连续,即,∀ε>0,存在一个δ>0使得当x1,x2∈Ω,|x1−x2|<δ时,|I−1(x1)−I−1(x2)|<ε.因为0<x n(t)<β(t),存在一个M>0使得x n(t)∈(0,M].由(2.26),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,有|x q+1n (t2)−x q+1n(t1)|<δ.所以,对于∀ε>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,|x n(t2)−x n(t1)|=|I−1(x q+1n (t2))−I−1(x q+1n(t1))|<ε.因此,{x n(t)}n∈N等度连续,由Arzela-Ascoli引理,存在子列{x nk (t)}使得limn k→+∞x nk(t)=x(t).不失一般性,我们假设limn→+∞x n(t)=x(t),t∈[0,1].(2.27)接下来,我们将证明x(t)是问题(2.24)的C[0,1]正解.固定t∈(0,1)(t=12),x n(t)可以表示为x n(t)=x n(12)+x′n(12)(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−qn(s)−λx pn(s)]ds.(2.28)固定n∈N,由Lagrange中值定理,存在t n∈(12,1)使得αn(1)−x n(12)≤x n(1)−x n(12)=x′n(t n)(1−12)≤β(1).所以,存在M1>0使得|x′n(t n)|≤2M1.因为{x n(t)}n∈N在[0,1]内有界,可以假设m≤x n(t)≤M2,t∈[12,t n].|∫︁t n12−x′′n(s)ds|=|∫︁t n12[λx pn(s)−K(s)x−qn(s)]ds|.我们可以得到|−x′n (t n)+x′n(12)|≤λM p2−K*M−q2,且|x′n(12)|≤2M1+λM p2−K*M−q2.因此{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N均有界,它们都有收敛子列.不失一般性,我们记子列为{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N.固定n∈N,假设limn→∞x′n(12)=r0.由(2.28),令n→∞,我们得到x(t)=x(12)+r0(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−q(s)−λx p(s)]ds.通过对x(t)进行二次求导,我们得到−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t).山东师范大学硕士学位论文结合(2.27),可以得到x(t)是问题(2.24)的一个C[0,1]正解.(ii)我们研究(2.24)的C1[0,1]正解的唯一性.令F(t)=λβp−K*(εϕ1)−q.显然,当0<q<1时,F(t)在(0,1)上可积,因为|x′′(t)|≤F(t),x(t)在(0,1)上绝对可积.那么x′(0+)和x′(1−)都存在,即x(t)∈C1[0,1].我们采用反证法来证明,假设x1(t),x2(t)是问题(2.24)的两个C1[0,1]正解,且在[0,1]上x1(t)≡x2(t).不失一般性,我们假设存在t*∈(0,1)使得x2(t*)−x1(t*)=max0≤t≤1(x2(t)−x1(t))>0.设α=inf{t1|0≤t1<t*,x2(t)>x1(t),t∈(t1,t*)},β=sup{t2|t*≤t2<1,x2(t)>x1(t),t∈(t*,t2)}.显然0≤α<β≤1,且x1(α)=x2(α),x′1(α)≤x′2(α),x1(β)≤x2(β),x′1(β+)≥x′2(β+),x1(t)<x2(t),t∈(α,β).设y(t)=x1(t)x′2(t)−x2(t)x′1(t),t∈(α,β).那么我们有limt→α+inf y(t)≥0≥limt→β+sup y(t).(2.29)另一方面,当t∈(α,β)时,y′(t)=x1x′′2−x2x′′1=x1(Kx−q2−λx p2)+x2(λx p1−Kx−q1)=Kx1x−q2−λx1x p2+λx p1x2−Kx−q1x2=Kx1x2(x−q−12−x−q−11)+λx1x2(x p−11−x p−12)≥0,且在(α,β)上,y′(t)≡0.这表明y(β−)>y(α+),这与(2.29)矛盾,所以x1(t)≡x2(t).因此,(2.24)的C1[0,1]正解唯一.(iii)我们假设0<λ1<λ2,且xλ1(t),xλ2(t)是相应的问题(2.24)的C1[0,1]正解.显然,x′′λ1(t)∈L1[0,1].在(2.24)中,f(t,x)=λx p(t)−K(t)x−q(t)连续.因为p,q∈(0,1),K*<0,易知当t∈[0,1]时,x−1f(t,x)=λx p−1(t)−K(t)x−q−1(t)关于x>0递减.当t∈(0,1)时,x′′λ2(t)−K(t)x−qλ2(t)+λ2x pλ2(t)=0<x′′λ1(t)−K(t)x−qλ1(t)+λ2x pλ1(t),xλ2(0)≥xλ1(0),xλ2(1)≥axλ2(η),且xλ1(1)≥axλ1(η).因此由引理2.2.3,xλ1(t)≤xλ2(t),t∈[0,1].所以x(t)关于λ递增.证毕.。
一阶脉冲时滞微分方程的周期边值问题
ｆ ￡ ≥一ａ ￡ （） （，（ ， ，≠ ｔ， ∈ Ｅ ， ］ （ ） （ 卢￡ ＋ｆ ｔ３ ） ） １ｔ ）ｔ ｋｔ ｏ Ｔ ，
Ｉ （ ≥ （（ ）ｋ一 １２ …， ） 卢 ） ， ，， ，
ｌ（） （ ）ｔ ［ ，］ ￡ 一 ０ ， ∈ 一ｒ０ ，
【（ ） ０ ≥ （ ． Ｔ）
２ ４
则 （） 为方 程 （． ） ￡称 １ １ 的上解 ．
曲阜 师范 大学 学报 （ 自然科 学版 ）
２０ ０ ７血
２ 预 备 知识
考虑 如下线 性脉 冲微分 方程 的边值 问题 ：
Ｉ （ 一 ￡ （ 一Ｎ （ ｄ＋ （ ， 女 ∈Ｅ，］ ￡ Ｍ（“￡ Ｊ ｓ ｓ 口￡ ￡ ， ｏＴ ， “） ） ） Ｉ“ ） ） ≠￡￡
一
阶脉 冲 时 滞 微 分 方程 的周 期 边 值 问题
张 小芝 ， 叶梅 燕 ， 罗清 雨
（ 昌大 学 数 学 系 ， ３０ ７ 江 西 省 南 昌市 ） 南 ３０ ４ ，
摘要 ： 利用上下解方 法及单调迭代 技巧 ， 论 了一类 一阶脉 冲时滞 微分方程 的周 期边值 问题 ， 讨 获得 了
（ｋ ｔ） Ｌ＾ ｔ ）＋ Ｊ （１ ｔ ） 一 Ｌｋ （ ｋ ， 一 １ ２， ， “（ ｋ ＾７ ｋ） （ ｒ ｔ） ｋ ］ ， … Ｐ， （ ２
１ 引
言
周期 边值 问题是 脉 冲微 分方 程 中的一个 重要 课题 ， 上下 解方 法则 是研究 微分 方程 强有力 的工具 之一 ， 特 别是 在关 于边值 问题 的研究 上Ｅ ， 根本 思想 是构 造两 个迭 代 序列 ， 后 迭代 序 列 分别 收 敛 为方 程 的极 大 其 然 解和极 小解 ． 当其 应用 在脉 冲微分 方程 上时 ， 则需 要依赖 于 比较原 理． 样一 来 ， 这 应用 在脉 冲微 分方程 上所 得 的成 果将 比应用 在相应 的微 分方程 上 的成果 丰富 得多 ． 于这 方 面 的成果 还 比较 丰 富 ， 绝 大 多数 是 在 关 但 下解小 于或 等于上 解 的假设下 进行 的 ， 而事实上 ， 解是 可 以大于上 解 的［ ， 下 ４ 但这 方 面的成果 很少 ， ］ 因此 我们 在这里 进行 了一些 研究 ． 本文 通过上 下解 方法 和单 调迭代 技巧 ， 讨论 了如 下脉 冲微分 方程 的周期 边值 问题 ： ｆ （）一一ａ ￡ ￡ ＋ ｆ ｔ ￡ ， ） ｔ ｔ， ∈ Ｅ ， ］ ￡ （） ） （ （， ） ， ≠ ｔ （ ｏＴ ，
【国家自然科学基金】_解的存在性和唯一性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
科研热词 推荐指数 存在性 7 唯一性 6 整体光滑解 3 随机脉冲 2 随机微分方程 2 周期解 2 变分包含 2 分数阶微分方程 2 具混合误差项的ishikawa迭代程序2 schauder不动点定理 2 riemann-liouville分数阶导数 2 m-增生映象 2 cauchy问题 2 非自治抛物方程 1 非线性算子 1 非线性波动方程组 1 非线性black-scholes型偏微分方程 1 集值映射 1 随机泛函微分方程 1 长短波相互作用方程 1 连续有限元方法 1 资产积累率 1 谱分离条件 1 记忆项 1 解的爆破 1 解的存在唯一性 1 美式期权定价 1 经济系统 1 粘性解 1 竞争扩散方程组 1 积分边值条件 1 积分方程 1 盲源分离 1 电报方程 1 特征法 1 渐近行为 1 比较原理 1 最小化互信息 1 时滞 1 无穷时滞 1 整体解 1 整体吸引子 1 数值迹 1 指数衰减性 1 抛物方程 1 强概率收缩对 1 广义超弹性杆方程 1 平移有界函数类 1 局部古典解的存在性和唯一性 1 局部不连续galerkin方法 1 对角化方法 1 对流扩散方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
奇异混合单调算子 1 增算子 1 四阶非线性抛物型方程 1 周期解 1 可压缩navier-stokes方程组 1 变分包含 1 初边值问题 1 减算子 1 具误差的两步迭代算法 1 具混合误差项的ishikawa迭代程序1 优化系统 1 不定常 1 不完全信息 1 不动点定理 1 上下解 1 η )-增生映象变分包含组 1 sobolev空间 1 navier-stokes方程. 1 m-增生映象 1 liapunov函数 1 kurzweil方程 1 k-次增生映象 1 green函数 1 faedo-galerkin方法 1 (a 1
时滞微分方程边值问题正解的存在性
非负连续凹泛函 ， ， 为非负连续 凸泛 函 ， 是非负连续泛函 ， 且记
０ ， 同 时 满 足０ ＜ ｆ ： ｐ （ Ｏ ｄ ＜ 。 。 ；
３ ） ０ ＜ － ｉ ＜ ＜ ｌ ， 叼 ＋ ｒ １ 。 引 理 １ 【 ｌ 】 如 果 Ｅ Ｐ ， 则 ｍ ａ ｘ ￣ （ ｔ ） Ｉ － ￣ … ｍ ａ ｘ Ｉ ．
ｇ ｌ ｉ ｂ２ 忙 如 果 ＥＰ ， 则 （ ￡ ） ￡ （ １ 一 ｔ ） ｍ ａ ｘ Ｉ ｘ （ ｔ ） Ｉ ．
２
ａ ＜ｂ ， 使 得如 Ｆ 条件 成 立 ：
肇庆学院学报
第３ ４ 卷
４ ） ｛ ｘ ￣ Ｐ （ ｙ ， ０ ， ， ６ ， ｃ ， Ｊ （ ＞ ６ ） ≠ ， ㈣＞ ６ ， 对于 ∈ 尸 （ ， ０ ， ， ６ ， ｃ ， ；
５ ） ） ＞ ｂ ， 对 于 ｃ Ｐ （ Ｔ ， ０ ， Ｏ ｌ ， ｂ ， 且 ㈣ ＞Ｃ； ６ ） ０话 Ｒ ， ， ａ ， ６ ） ， （ ＜ ａ ， 对 于 ｅ Ｒ （ ｙ ， ， ａ ， ６ ） 目． ∽ ＝ａ ．
１ ） ｆ在 Ｃ （ ［ ０ ， １ ］ × ［ ０ ， 叫Ｘ Ｒ ， ［ Ｏ ， 。 。 ） ） 上连续可微 ， 其 中 Ｒ为实数集 ；
２ ） ∈ｃ （ ｏ ， １ ） ｆ － ｌ Ｌ 【 ０ ， １ ］ ’ ： ６ － ａ （ ｒ ） ｄ ｒ ） ｄ ｓ （
２
ｐ （ ｒ ） ｄ ｒ ） ｄ ｓ ＜ ｏ 。 ， 臌 后 ＞ ３ ’ （ 丢 ， １ ） ， ） ＞
三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性
三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性达举霞;韩晓玲【摘要】本文应用锥上的不动点定理研究了三阶四点边值问题{u(")(t)+f(t,u(t))=0,t∈[0,1],u'(0)=αu(ξ),u'(1)+βu(η)=0,u"(0)=0正解的存在性,其中α和β是正的参数,0≤ξ≤η≤1.在f满足适当的增长条件下,本文通过对核函数的上下界估计获得了该问题正解的存在性.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(053)006【总页数】6页(P1177-1182)【关键词】边值问题;正解;不动点定理;锥【作者】达举霞;韩晓玲【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程起源于数学和物理应用.由于这类问题的普遍性和重要性, 三阶多点边值问题深受学者关注, 相关研究也得到了许多深刻的结.2014年, 文献中运用有序Banach空间的新不动点定理获得了三阶两点边值问题-u‴,u(0)=u′(0)=u′(1)=0(p(t)x′)″=f(t,x,p(t)x′,(p(t)x′)′),t∈(0,1)u‴u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0我们给出假设条件:.定理2.1 设E是一个Banach空间, 并且设P⊂E是一个锥. 假定Ω1,Ω2是E的两个开子集且⊂Ω2,设是全连续算子，使得:且且,引理 2.2 设α，β 是正的参数,A=α(1+βη)+β(1-αξ),则对,问题u‴(t)+y(t)=0，t∈(0，1)u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0,β(1-aξ+at)Hη(s)+α(1+βη-βt)Hξ(s)]-Ht(s)证明可以通过两边积分得到.引理 2.3 设条件成立, 则K(t,s)在上是正的, 并且满足如下的性质：存在一个可测函数, 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.证明很容易证得在满足条件,(H2)下K(t,s)在上是正的. 现在我们来证明K(t,s)满足性质. 我们需要得到Φ(s), 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.上界估计.我们取).情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t则.情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 则..下界估计.我们取⊂.情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t, 则(s).(s).情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 这种情况不可能发生.如果s>ξ,s>t, 则).我们设是连续的.定义锥如下：记.引理3.1 算子A:P→P是全连续的.证明取u∈P.则s.s..现在我们假设D⊂P是有界集. 则存在一个常数M1>0, 对于任意的u∈D, 有≤M1.综上, 我们证得A(D)是相对紧的. 令,s..另一的方面, 对ε>0, 由于G(t,s)在上连续, 从而在上一致连续.由一致连续的定义, 存在δ>0, 使得对任意当时,有，,最后我们证明A是连续的. 假设um(m=1,2，...),则存在M3>0使得对任意的.令..定理3.2 设(H1),(H2)成立,且在的任意子区间f(t,u)≠0. 则问题(3)-(4)在如下情况下有一个正解:且且证明超线性情形.由于,可以取H1>0, 当0<u≤H1时有f(t,u)≤εu, 其中ε>0并满足....其次, 由于，故存在,使得当时有f(t，u)≥μu，其中u>0且.取,...从而，由定理2.1和引理2.3,A在上有一个不动的点, 使得≤H2和,超线性部分的证明完成.次线性情形.由于，.....情形(1).f是有界的. 即对所有的有f(t,u)≤N. 在这种情况下选取则当时, 有.情形(2).f是无界的.选取使得..因此无论那种情形,u∈P∩∂Ω2,都有. 定理2.1的第二部分说明问题(1)-(2)在有一个正解. 这就完成了整个定理的证明.【相关文献】[1] Lin X L, Zhao Z Q. Sign-changing solution for a third-order boundary value problem in ordered Banach space with lattice structure [J]. Natural Science, 2014, 132: 1.[2] Cheng M. Nagumo theorems of third-order singular nonlinear value problems [J]. J Math Anal Appl, 2015, 135: 1.[3] Li Y K, Wang L Y. Multiple positive solutions of nonlinear third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Adv Diff Equ, 2015, 90: 1.[4] Fan H X, Ma R Y. Loss of positivity in a nonlinear second order ordinary differentialequations [J]. Nonlinear Analysis, 2009, 71: 437.[5] Tokmak F, Karaca I Y. Existence of positive solutions for third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Inequal Appl, 2013, 498: 1.[6] Infante G. Eigenvalues of some non-local boundary value problems [J]. Proc Edinb Math Soc, 2003, 46: 75.[7] Webb J R L. Positive solutions of some three point boundary value problems via fixed point index theory [J]. Nonlinear Analysis, 2001, 47: 4319.[8] Guo Y P, Liu Y J, Liang Y C. Positive solutions for the third-order boundary value problems with the second derivatives [J]. Bound Value Probl, 2012, 34: 1.[9] Sergey S. Nonlocal third order boundary value problems with solutions that change sign [J]. Mathematical and Analysis, 2014, 19: 145.[10] Rochdi J. Positive solution of system of third-order boundary value problem with three-point and integral boundary conditions [J]. J Bull Math Anal Appl, 2014, 6: 60.。