4微分方程的解及解的稳定性
微分方程中的稳定性与周期解
微分方程中的稳定性与周期解微分方程是数学中的重要概念，用于描述许多自然界和科学问题中的变化与变化率。
在微分方程的解空间中，稳定性与周期解是两个关键概念。
本文将讨论微分方程中的稳定性与周期解，并探讨它们在不同类型微分方程中的应用。
一、稳定性稳定性是指微分方程解中的一个重要特性，它描述了系统在扰动（如初始条件的微小变化）下的行为。
稳定性分为两种类型：有界稳定和渐近稳定。
1. 有界稳定有界稳定是指当系统受到扰动时，解的变化被限制在一个有界的范围内。
换句话说，无论初始条件如何变化，解都在一定范围内波动。
这种稳定性在许多实际问题中非常重要，例如电路中的振荡器系统。
2. 渐近稳定渐近稳定是指当系统受到扰动时，解最终趋于一个稳定的平衡状态。
也就是说，随着时间的推移，解会逐渐接近一个固定的值。
这种稳定性可以帮助我们理解许多自然现象，如天体力学中的行星轨道。
二、周期解周期解是指在一定时间间隔内重复出现的解。
周期解在许多周期性现象中都有应用，例如振动系统和生物节律等。
对于一个周期解，我们需要确定它的周期和振幅。
1. 周期周期是指解重复出现的时间间隔。
在微分方程中，我们可以通过分析解的特征来确定周期。
例如，对于振动系统的微分方程，周期解对应于解的正弦或余弦波动。
2. 振幅振幅是指解在周期内变化的幅度。
在微分方程中，振幅可以通过解的极大值与极小值之间的差值来确定。
振动系统中的振幅通常与初始条件有关。
三、应用稳定性与周期解在许多科学和工程领域中都有重要的应用。
下面将介绍在不同类型微分方程中的具体应用。
1. 非线性方程非线性方程的解通常较为复杂，稳定性和周期解的分析对于理解系统行为非常重要。
例如，Lotka-Volterra方程是用于描述捕食和被捕食物种之间关系的非线性方程，通过分析方程的周期解，我们可以预测种群数量的周期性波动。
2. 线性方程线性方程的解相对较简单，但稳定性分析仍然重要。
例如，热传导方程是描述热量传输的线性方程，在稳定性分析中，我们可以确定热传导系统是否会达到热平衡状态。
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
微分方程解的稳定性
微分方程解的稳定性
微分方程解的稳定性是指对微分方程解的响应敏感程度，即在相同的条件下，不同的微分方程解的变化情况。
当我们利用数值方法计算微分方程时，其结果和微分方程解之间存在一定的差别，这种差别称为误差，而误差的大小决定了微分方程解的稳定性。
如果微分方程解的稳定性非常好，则说明在数值计算过程中，误差的变化很小，这样所得到的结果更加准确，也更能反映原有微分方程解的特性。
因此，在数值计算过程中，要尽量保证微分方程解的稳定性，以便更准确地反映原有微分方程解的特性。
微分方程解的稳定性，在微分方程求解过程中起到了重要作用。
首先，微分方程解的稳定性可以反映出数值方法的精度，可以以此为基准来估计计算结果的可靠性。
其次，微分方程解的稳定性也可以反映出格式方法的精度，可以以此来衡量格式方法选择的合理性，以及格式方法本身的质量。
最后，微分方程解的稳定性也可以用来比较不同的数值方法，从而判断哪种方法更有效。
因此，微分方程解的稳定性在微分方程求解过程中起到了重要作用，是提高数值求解精度的重要因素。
总而言之，微分方程解的稳定性是指通过数值方法求解微分方程时，误差的变化情况，是衡量微分方程解准确程度的一个重要参数，在微分方程求解过程中起到了重要作用，因此，要求在微分方程求解过程中，尽可能提高微分方程解的稳定性，以便更准确地反映原有微分方程解的特性。
微分方程数值解方法与稳定性分析
微分方程数值解方法与稳定性分析微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
求解微分方程的精确解并非总是可行的，因此需要借助数值方法来逼近方程的解。
本文将介绍微分方程数值解方法以及稳定性分析。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，它基于微分方程的定义，通过离散化自变量的步长来逼近解。
假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0，我们可以将自变量x离散化为x0, x1, x2, ..., xn，步长为h = (xn - x0)/n。
利用欧拉方法，我们可以得到逼近解y1, y2, ..., yn。
具体而言，我们可以通过迭代公式y_{i+1} = y_i + h*f(x_i, y_i)，其中i = 0,1, ..., n-1，来计算逼近解。
这个迭代过程从初始条件y0开始，一步一步地逼近真实解。
然而，欧拉方法的精度较低，容易积累误差，并且对于某些微分方程可能不稳定。
二、改进的欧拉方法为了提高数值解的精度，可以使用改进的欧拉方法，如改进的欧拉方法和改进的欧拉-Cauchy方法。
改进的欧拉方法是在欧拉方法的基础上，利用两个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i,y_i))/2)，来计算逼近解。
这种方法可以减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉-Cauchy方法是在欧拉方法的基础上，利用四个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + 3*f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i, y_i))/4)，来计算逼近解。
这种方法进一步提高了数值解的精度。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括经典的四阶龙格-库塔方法。
它通过计算多个点的斜率来逼近解，并且具有较高的精度和稳定性。
微分方程稳定性定理
微分方程稳定性定理微分方程是数学中的一种基础工具，它描述了自然界中的许多现象，例如物理学中的运动、力学、电路等等。
那么如何判断一个微分方程解的稳定性呢？这就需要用到微分方程稳定性定理。
微分方程稳定性定理是微分方程理论中的一个基础定理，通过研究微分方程的解的奇点的性质，可以判断微分方程的解的稳定性。
微分方程的解的稳定性与它的初值条件和参数有关。
下面我们来详细介绍微分方程稳定性定理。
首先，我们来看一个简单的微分方程的例子：$y'=-y$这个微分方程的解为$y=Ce^{-x}$，其中$C$为常数，在不同的初值条件下，这个微分方程的解会发生不同的情况。
如果初值条件为$y(0)>0$，那么解曲线将呈现出一种渐近逼近某个值的趋势，也就是我们所说的稳定性；如果初值条件为$y(0)<0$，那么解曲线将呈现出一种指数增长的趋势，也就是我们所说的不稳定性。
对于一个一阶微分方程$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，如果它的所有解在某一点$(x_0,y_0)$处存在且唯一，而且$f(x_0,y_0)=0$，那么称这个点$(x_0,y_0)$为微分方程的一个奇点。
奇点可以分为以下三类：1.鞍点若在$(x_0,y_0)$附近的任意一个点$(x,y)$，都有$f(x,y)\neq0$，那么$(x_0,y_0)$就是鞍点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
2.稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号相同，那么$(x_0,y_0)$就是稳定平衡点，这个点是微分方程的稳定平衡点。
3.不稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号不同，那么$(x_0,y_0)$就是不稳定平衡点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
接下来我们来介绍微分方程稳定性定理，微分方程稳定性定理包含了两个基本的结论：稳定性定理和不稳定性定理。
微分方程与动力系统的稳定性与解析解
微分方程与动力系统的稳定性与解析解一、引言微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自然界中许多现象和系统的变化规律。
在动力学系统中，微分方程被广泛应用于描述系统在不同时间点上的状态变化和稳定性分析。
本文将探讨微分方程与动力系统的稳定性问题，并介绍其解析解的求解方法。
二、微分方程的稳定性稳定性是研究微分方程动力学系统中的一个重要概念，它描述了系统的状态变化是否趋于平衡态。
在微分方程中，稳定性可分为稳定、不稳定和半稳定三种情况。
1. 稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下能够回到平衡态，并且对于初始条件的微小变化不会引起系统状态的剧烈变化时，系统被称为稳定的。
2. 不稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下不能回到平衡态，并且对于初始条件的微小变化会引起系统状态的剧烈变化时，系统被称为不稳定的。
3. 半稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下会回到平衡态，但对于初始条件的微小变化会引起系统状态的小幅度变化时，系统被称为半稳定的。
三、动力系统的稳定性分析方法为了了解动力系统的稳定性，可以使用解析解的方法进行分析。
下面将介绍两种常用的方法：线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析适用于一阶线性微分方程。
该方法通过求解微分方程的特征根，得到系统的稳定性。
当所有特征根的实部都小于零时，系统为稳定系统。
当至少存在一个特征根的实部大于零时，系统为不稳定系统。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析适用于高阶非线性微分方程。
该方法通过求解李雅普诺夫方程，判定系统的稳定性。
如果李雅普诺夫方程的解是有界的，且趋近于零，那么系统为稳定系统。
如果李雅普诺夫方程的解在无穷大时趋近于一个有界值，那么系统为半稳定系统。
如果李雅普诺夫方程的解在无穷大时趋近于无穷大，那么系统为不稳定系统。
四、微分方程解析解的求解方法微分方程的解析解为能够用已知函数表达的解。
有一些特定的微分方程能够求得解析解，下面介绍两种求解方法：分离变量法和特征方程法。
微分方程的数值解法与稳定性分析
微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。
在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。
基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。
考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。
欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。
欧拉法的简单易懂，但存在局限性。
当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。
二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。
举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。
改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。
三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。
最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。
其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析微分方程作为一种描述自然界各种现象的重要数学工具，在实际应用中经常需要求解。
然而，有些微分方程很难通过解析方法求解，这时就需要利用数值方法进行求解。
而数值解法的稳定性对于解的准确性和可靠性至关重要。
在数值解微分方程时，我们常用的方法包括欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法都是基于离散化的思想，通过将连续的微分方程转化为差分方程，然后逐步求解得到数值解。
其中，稳定性是一个关键的指标，用来评价数值方法在逼近真实解时是否会出现不稳定性，即解的误差是否会不断积累导致数值解失效。
一般来说，数值方法的稳定性可以通过稳定性分析进行评估。
稳定性分析主要包括绝对稳定性和相对稳定性两个方面。
绝对稳定性是指数值解法采用的离散格式是否能在给定步长下收敛到真实解，而相对稳定性则是指数值解法对输入参数的变化是否具有稳定性。
在实际应用中，我们常常需要对不同的数值解法进行稳定性分析，以选择最适合问题求解的方法。
例如，对于一阶常微分方程，欧拉方法是最简单的数值解法之一。
然而，欧拉方法的绝对稳定区域很小，只有在步长足够小的情况下才能保证数值解的稳定性，否则可能产生爆炸性增长的误差。
相比之下，改进欧拉方法和龙格-库塔方法具有更好的稳定性和收敛性。
改进欧拉方法通过考虑进一步的变量来提高计算准确性，而龙格-库塔方法则通过多步迭代来逼近真实解，从而提高了数值解的稳定性和准确性。
总之，稳定性分析在微分方程数值解法中具有重要意义，可以帮助我们选择合适的数值方法并保证数值解的准确性和可靠性。
通过理解和掌握各种数值方法的稳定性特点，我们可以更好地解决实际问题，并在科学计算领域取得更好的成果。
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第四讲 微分方程解的稳定性上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。
这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。
[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。
因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。
微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。
常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。
偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。
微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。
线性方程：方程的形式是线性的。
例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a是一个二阶线性常微分方程。
又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程：())()()(t k t k s t k⋅-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解：[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 一、 一阶微分方程一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy= (1.1) 其中，函数R R R f →⨯:是连续可微函数。
最简单的微分方程是)(x f dxdy= (1.2) 它的解可表示为不定积分：⎰+=c dx x f y )( (1.3)其中，⎰dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。
当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令⎰⎰xdt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定积分可表示为⎰+xc dt t f y 0)(＝这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是⎰+xy dt t f y 00)(＝ (1.4)二、 常见的一阶微分方程解法1． 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为)()(x g y x p dx dy=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。
为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以⎰xdt t p 0)(ex p , 则方程的左边为dxdt t p y d ydt t p x p dt t p dxdyxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⎰⎰⎰000)(exp )(exp )()(exp 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰x xdt t p x g dxdt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2)方程(2.2)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰c dt t p x g dt t p y x xx 000)(exp )()(exp (2.3)2. 可分离变量的微分方程一个方程是可分离变量的，如果它可以写成下列形式dy y g dx x f )()(=这类方程的解只需在方程两边同时积分即可。
⎰⎰=dy y g dx x f )()( (2.4)3. 可化为可分离变量或线性方程的贝努利方程方程 )()(x g y y x p dxdyn =+ (2.5) 叫做贝努利方程。
其中，n 为正整数。
方程(2.5)两边同除以n y)()(1x g y x p dxdyy n n =+-- )()(1111x g y x p dx dy n n n=+---n y z -=1)()(11x g z x p dxdzn =+- (2.6)这样，贝努利方程就转化为线性方程。
4．恰当方程考虑非线性方程0),(),(=+dxdyy x N y x M (2.7)或者0),(),(=+dy y x N dx y x M如果存在函数),(y x φ 满足),(),(),(y x d dy y x N dx y x M φ=+则称方程(2.7)是恰当方程，其解c y x =),(φ。
例1，方程0=+ydy xdx 的解是xy=c.方程0)(ln =+dx y dy yx的解是c y x =ln . 三、一阶常微分方程的图解法对于线性常微分方程而言，目前已经有完整的理论，方程的解也可以用明确的解析表达式来表示。
但是，对于非线性方程而言，除了个别特殊的形式之外，一般是没有办法获得解析表达式的，甚至根本不存在解析表达式。
我们希望在没有明确的解析表达式的情况下，仍然了解方程的解的性质。
例2，索罗－斯旺模型的基本方程())()()(t k t k s t k⋅-=δα (3.1) k 表示资本存量，δ表示资本折旧率，α表示资本的收入份额。
该方程表示资本存量的净增加等于总储蓄与总折旧之间的差额。
先求稳定点。
令0)(=t k, 得()0)()(＝t k t k s ⋅-δα可以求得两个解， ()())1(1*)(,0)(αδ-==s t k t k由于0≥k ,再判断稳定点稳定性。
()⎪⎩⎪⎨⎧><==<>⋅-=***,0,0,0)()()(k k k k k k t k t k s t k δα根据()0)()(1＝δαα-⋅=-t k s dkt k d ,可得()())1(1**)(-=ααδs t k , )(t k 在()())1(1**)(-=ααδs t k 有最大值，在()())1(1**)(-=ααδs t k 的左边大于0，是k 的增函数；在()())1(1**)(-=ααδs t k 的右边小于0，是k 的减函数。
即：()⎪⎩⎪⎨⎧><==<>=-⋅=-******1,0,0,0)()(k k k k k k t k s dk t k d δαα四、 一元高阶线性微分方程与多元微分方程组以二阶线性微分方程为例：0)()()()(321=+++t x t y a t y a t ya 令)()(t y t z =，则，)()(t yt z =，于是该二阶线性微分方程就可以用一个一阶线性微分方程组来表示：)()(0)()()()(321t z t y t x t y a t z a t za ==+++或者⎪⎩⎪⎨⎧=---)()()(1)()()(11312t z t yt x a t y a a t z a a t z ＝ 由此看来，一个二阶微分方程就可以用一个一阶线性微分方程组来表示。
同样道理，任何一个更高阶的微分方程，可以化成一个一阶微分方程组。
因此，要了解高阶微分方程的性质，只要研究一阶微分方程组的性质即可。
1. 最简单的线性线性方程组：对角矩阵系统。
)()()()(22221111t y a t yt y a t y==写成矩阵形式就是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(00)()(21221121t y t y a a t y t y 系数矩阵有两个特征根，分别是11a 和22a 。
方程的解1111)(c e t y t a +=2222)(c e t y t a +=情形1，,011>a 且022>a : 0)(,0)(0201>>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移而增加。
状态不稳定。
情形2，,011<a 且022<a :0)(,0)(0201>>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移而下降。
状态稳定。
情形3，,011>a 且022<a :0)(,0)(0201>>t y t y , y 1都随着时间的推移而增加, y 2随着时间的推移而下降。
状态为鞍点稳定。
2．一般非对角线性系统：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()()()()(21212222121121t x t x t y t y a a a a t y t y 该方程组的矩阵形式为)()()(t X t AY t Y+= 根据矩阵理论，对于矩阵A ，存在矩阵V ，使D AV V =1－为一个对角矩阵。
其中，对角线上的元素是矩阵A 的特征根。
令)()(1t Y V t Z -=，则)()()()()(111t X V t DZ t X V t AVZ V t Z---+=+= 这个方程组定义了两个独立的一阶常系数线性微分方程：)()()(1t X V t z t zi i i -+=α 其中，i α是矩阵A 的第i 个特征根，1-i V 是1－V 第i 行。
⎰+⋅=-t i i t t i i i i e b dt t X V e e t z ααα)()(1 再通过变换)()(1t Y V t Z -=求Y 。
二维系统稳定性的一般讨论：对角例子的稳定性性质依赖于对角元的符号。
所以，依此类推，非对角系统的稳定性性质依赖于其特征值的符号。
于是会产生以下几种可能性：1) 两个特征值不同且都是正实数，在这种情况下系统是不稳定的。
2) 两个特征值不同且都是负实数，在这种情况下系统是稳定的。
3) 两个特征值是实数但符号相反，在这种情况下系统是鞍点路径稳定的。
此外，当系统是鞍点路径稳定时,稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量。
同理，不稳定臂对应于正特征值相关的特征向量。
这里的直观想法仍然是与对角矩阵相关的轴就是特征向量。
正如我们前面的例子中看到的,当系统是对角的时,与对角矩阵的负分量相关的轴是稳定臂,与正分量相关的是不稳定臂。
4) 两个特征值都是负实部的复数，在这种情况下系统以一种振荡方式收敛到稳态。
5) 两个特征值都是有正实部的复数，系统是不稳定且振动的。
6) 两个特征值是有零实部的复数，所示其轨迹是环绕着稳态运动的椭圆。
7) 两个特征值相等。
在这种情况下特征向量矩阵不可逆，所以前面概括的解析解法不适用，此时的解的形式为 t i i i e t b b t y α)()(21+=其中1i b 和2i b 是积分常数和矩阵A 中的系数函数。
α是唯一的特征值。
若0<α解是稳定的,若0>α, 解是不稳定的。
更高维系统的稳定性也有类似的性质。
如果所有的特征值都为正，这系统是不稳定的。
如果所有的特征值都为负，则系统稳定的。
如果特征值异号，则系统是鞍点路径稳定的。
由于像前面所说的一样，稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量，那么稳定臂的维数就是负特征值的个数。
例如在有一个负特征值的3*3系统中,稳定臂(有时被称为稳定流形(stable manifold))是一条通过稳态且对应于这一负特征向量的直线。