福建省厦门市2016届高中毕业班第一次教学质量检测 数学(理)试题(word版)
2016年福建普通高中毕业班质量检查
2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知复数3i1iz +=-，则z = （A ）1 （B ）2 （C（D ）5 (2)集合{{}2|,20A y y B x x x ===--≤,则A B =（A ）[)2,+∞ （B ）[]0,1 （C ）[]1,2 （D ）[]0,2 (3)已知1cos ,23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则cos2α的值等于（A ）97 （B ）97- （C ）89 （D ）89-(4) 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为4，则输出的S 的值为（A ）15 （B ）6 （C ）10- （D ）21-(5) 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如右表：由表中数据，得线性回归方程:l ˆˆˆybx a =+（121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑），则下列结论错误的是 （A ）ˆ0b> （B ）ˆ0a > （C ）直线l 过点(4,8) （D ）直线l 过点(2,5)输出 输入 为奇数？(6)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱 （7）在ABC △中，3B π=，2AB =,D 为AB 中点,△BCD，则AC 等于（A ）2 （B（C（D(8)函数()e e ()ln 2x x x f x --=，则()f x 是（A ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递减 （B ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 （C ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递减（D ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递增(9)在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,2A ，()0,2,0B ， ()2,2,2C ，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（A ）3π （B） （C ）12π （D ）48π(10)若,x y 满足约束条件20,20,20,x y y x y -+⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≥≥则22(2)(3)x y +++的最小值为（A ）1 （B ）92（C ）5 （D ）9 (11)已知过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点的直线l 与C 交于,A B 两点，且使4AB a =的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的渐近线方程为(12) 已知函数()f x kx =，2()2ln 2e(e )eg x x x =+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是（A ）24,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）224,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省厦门市高中毕业班第一次质量检查理科数学试题参考答案
福建省厦门市高中毕业班第一次质量检查理科数学试题&参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]， 2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D.3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A a b =︒=，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 15.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 6．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则AE EB ⋅等于A. 14-B. 9-C. 9D.14 7.抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A. 4B. 5C.D.8.某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是A ．15 B. 310 C. 710 D.459.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入12120.1x x d ===，，，则输出n 的值为A.2B.3C.4D. 5 10.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=，且(1)1f =，则A. ()f x 是增函数B.()f x 是减函数C. ()f x 有最大值 1D. ()f x 有最小值111.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，过x 轴上点P 的直线l 与双曲线的右支交于N M ，两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 412．已知P ，Q 为动直线(02y m m =<<与sin y x =和cos y x =在区间[0,]2π上的左，右两个交点，P ，Q 在x 轴上的投影分别为S ，R .当矩形PQRS 面积取得最大值时，点P 的横坐标为0x ，则A ．08x π< B. 08x π=C.086x ππ<<D.06x π>第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5(2x的系数为___________14．化简：01cos80-=____________ 15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______16．若实数a ，b ，c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，满足11a =，1323nn n a a a +=+，*n N ∈. （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）设212233445212221111111n n nn n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-，求2n T .18．（本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。
福建省厦门第一中学2016届高三上学期期中考试理数试题 含解析
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1、设全集{}{}{}15,1,2,5,14U x Z x A B x N x =∈-≤≤==∈-<<,则U B C A =（ ）A 、 {}3B 、 {}0,3C 、 {}0,4D 、 {}0,3,4【答案】B 【解析】试题分析:由题意{1,0,1,2,3,4,5}U =-，所以{1,0,3,4}UC A =-，{0,3}U B C A =,故选B ．考点：集合的运算．2、在复平面内,复数21iz i+=-， 则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、 第三象限 D 、第四象限 【答案】D考点:复数的运算，复数的几何意义． 3、下列说法错误的是（ ) A 、命题“若2320xx -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B 、"1"x >是"1"x >的充分不必要条件C 、若p 且q 为假命题,则p 、q 均为假命题D 、命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:",p x R ⌝∀∈均有210"x x ++≥ 【答案】C试题分析：逆否命题是把条件与结论交换并都加以否定所得，命题“若2320xx -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，A 正确；由11x x >⇒>,但1x >时，不能得出1x >，如2x =-，B 正确；p 和q 中一假一真时，p 且q 也为假命题，C 错误；命题的否定就是把结论否定，条件不变,但存在量词与全称量词要互换，命题p ：“0x R ∃∈，使得20010xx ++<"的否定为",x R ∀∈均有210"x x ++≥，D 正确．故选C ．考点：命题真假的判断（四种命题，充分必要条件，复合命题的真假，命题的否定)．4、已知数列{}na 为等比数列,且2113724a aa π+=，则212tan()a a 的值为(）A 、 3±B 、 3-C 、3D 、33-【答案】C考点：等比数列的性质，三角函数求值．5、如果,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为030和045，则A 点离地面的高AB 等于（ ）A 、10mB 、 53mC 、 ()531m -D 、 ()531m +DCBA【解析】 试题分析：10tan 30tan 45AB AB-=︒︒,解得5(31)AB =+．故选D ．考点：解三角形的实际应用． 6、已知函数()()1222,1log 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,且()3f a =-，则()6f a -=（ )A 、74- B 、54-C 、 34- D 、14-【答案】A考点：分段函数． 7、函数()()()3sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，若2AB BC AB⋅= ，则ω等于（ ）A 、 6πB 、 4πC 、 3πD 、 12π【答案】A 【解析】试题分析：由三角函数的对称性知22AB BC AB BD AB BD ⋅=⋅=⋅222cos()AB ABD ABπ-∠=,所以1cos 2ABD ∠=-，即23ABD π∠=,3tan 623TAD π===，12T =,2126ππω==．故选A ．考点：8、变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A 、 —2B 、 —1C 、 1D 、 2 【答案】C 【解析】试题分析:作出题设约束条件表示的可行域如图ABO ∆内部（含边界)，联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得A(22,2121mm m --)， 化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为42422212121m mm m m --==---，解得：m =1．故选C ．考点：简单的线性规划．9、已知(),,,xf x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f aB b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是( ） A 、A B >B 、 A B ≥C 、 A B <D 、A B ≤【答案】C考点：指数函数的性质,比较大小．【名师点睛】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法,解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．本题还可以用构造法解题．如下图易知：A 为曲边梯形面积；B 为梯形MNPQ 面积,故B>A ,故选C ．O yxQM PN10、函数ln 1y x =-的图象与函数()2cos ,24y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A 、3B 、 6C 、 4D 、 2 【答案】B考点:函数的图象的作法,函数图象的交点．11、设函数()f x 在R 上存在导数()/,f x x R ∀∈，有()()2f x f x x -+= ，在()0,+∞上()/f x x ≤，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（ ）A 、 []2,2-B 、 [)2,+∞C 、 [)0,+∞D 、 (][),22,-∞+∞ 【答案】Bx= 1xy考点：利用导数研究函数的单调性．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化的数学思想，属于中档题．作为选择题可以采取特殊值法，即构造特殊函数，令()212f x xx =- ,符合题意，代入求解可得。
福建省厦门市2016届高三3月第一次质量检查 数学(文)试题
厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查数学(文科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}，，032|41|2≤--=<<=x x x B x x A 则()=B C A RA ．[ 3,4) B.[-1,4) C.(1,3] D.(1,3)2．在数列{a n }中，a n+1-a n =3，a 2 =4，S n 为{a n }的前n 项和，则S 5=A ．30B ．35C ．45D ．503．已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为A ．y = 0.7x -2.3B ．y = - 0.7x+10.3C ．y = - 10. 3x+0.7D ．y =10. 3x -0.74．已知双曲线222-1(0)3x y a a =>的离心率为2，则其一条渐近线方程为 A ．x- 3y=0 B ．3x -y =0C ．x- 3y=0D ．3x -y=05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，BC =8，AM =3，AM ⊥BC ，则AB AC ⋅=A ．一7B ．一72C ．0 D.7 6．已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 2(x+l)+m ，则f(1一2）的值为A ．- 12B ．-log 2(2-2）C ．12D ．log 2(2一2） 7．在右侧程序框图中，输入n=l ，按程序运行后输出的结果为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知x ，y 满足约束条件-030,0x y ax y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（其中a>0），若z=x+y 的最大值为1，则a=A. l . .B.3C.4D.59．函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象经过点（712π，0），则函数()x f 在区间[0，2π]上的最大值与最小值的和为 A ．1-3 B.0 C ．12 D ．1+3 10.已知直线l 1的方程为x-y-3 =0，l 1为抛物线x 2= ay(a>0)的准线，抛物线上一动点P 到l 1，l 2距离之和的最小值为22，则实数a 的值为A. l B ．2 C.4 D.2811.如图，网格纸上的小正方形的边长为l ，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．12πB ．24 πC ．36πD ．48π12.已知函数f(x)=xlnx 一ax 2+a 不存在最值，则实数a 的取值范围是A ．（0，1]B ．（0，12] c ．[1，+∞） D ．[12，+∞）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若复数z满足(1+2i)z=5，则复数z的共轭复数z=14,如图，已知三棱柱ABC - A1B l C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为15.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是．16.已知数列{a n}满足a1=a2 =2，且a n+2=(1+cosn )（a n-1）+2(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和，则S2n= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省厦门市2016届高中毕业班第一次教学质量检测 理综试题(word版)
厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查理科综合能力测试（本试卷满分300分，考试时阃150分钟）2016.3.8第I卷（选择题共126分）一、选择题：（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关于酵母菌的叙述，正确的是A．酵母菌与乳酸菌的细胞结构相同B．在无氧和有氧条件下，酵母菌均能产生二氧化碳C．酵母菌无氧呼吸产生的酒精可用溴麝香草酚蓝检测D．在适宜温度下，锥形瓶中酵母菌种群数量呈“J”型增长2．下列有关果蝇精子形成过程的叙述，正确的是A．精原细胞增殖时发生基因重组B．初级精母细胞中存在X染色体C．次级精母细胞不会发生染色体变异D．精子细胞含有两个染色体组3．注射乙型肝炎疫苗，可预防乙型肝炎，下列说法正确的是A．疫苗可作为引起免疫反应的抗原B．疫苗可刺激B细胞产生淋巴因子C．疫苗可刺激效应T细胞分化成记忆细胞D．第二次接种乙肝疫苗时，记忆细胞能快速产生抗体4．某同学为验证Cu2+对唾液淀粉酶活性有抑制作用，进行如下实验：下列分析错误的是：A．还应增设实验以排除S042-的影响B．步骤③的日的是维持反应液中pH的稳定C．预期实验现象：甲试管深蓝色，乙试管浅蓝色或无色D．步骤⑦可用双缩脲试剂代替碘溶液检测5．植物学家在野外调查中发现，在一片草原上有甲乙两个相邻的植物种群，它们的植株形态并不相同，花的颜色也不一样，但是，在甲乙相遇处，它们通过杂交直接产生了可育的后代。
下列说法正确的是A．甲乙两个种群的基因库相同B．甲乙两个种群存在生殖隔离C．甲乙种群的植株形态、花色不同，可为进化提供原材料D．甲乙种群植株形态、花色不同，说明自然选择是不定向的6．图甲为燕麦胚芽鞘的向光性实验，图乙为水平放置于地面的幼苗根与茎的生长情况，图丙为生长素浓度与根（或芽、茎）生长的关系。
下列分析合理的是A．单侧光照使甲图中背光侧生长素接近丙图中D浓度B．乙图中生长素对2处与3处的生长都是起抑制作用C．甲、乙两图中植物的生长情况，是生长素作用具有两重性的结果D．不同浓度的生长素对同种植物同一器官生长的促进作用可能相同7．下列我国科学家（括号中为其重大成果）中，为化学理论作出重大贡献的是A．徐光宪（创立稀土萃取理论）B．屠呦呦（创制新的抗疟疾药）C．袁隆平（培育杂交水稻）D．于敏（提出氢弹构型理论）8．利用右图所示装置进行下列实验，其中丙中实验现象描述正确的是9．分子式为C9H8O2的芳香族化合物中能与溴水反应，并能与NaHCO3溶液反应的同分异构体有几种（不考虑立体异构）A．4 B．5 C．6 D．710. N A为阿伏加德罗常数的值。
福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题 Word版含答案
福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,234,5U =，，，集合{}34A =，，{}12B =，，则()U C A B 等于（ ）A ．{}12，B ．{}13，C ．{}125，，D ．{}123，， 2.下列函数中，是奇函数且在()0+∞，上单调递减的是（ ） A ．1y x -= B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．12log y x =3.用系统抽样方法从编号为1,2,3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（ ）A ．48B ．62C ．76D ．904.如图所示为某城市去年风向频率图，图中A 点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B 市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确．．．的是（ ）A ．去年吹西北风和吹东风的频率接近B ．去年几乎不吹西风C ．去年吹东风的天数超过100天D ．去年吹西南风的频率为15%左右 5.已知函数()1ln 2f x x =-，若a b ≠，()()f a f b =，则ab 等于（ ） A ．1 B ．1e - C. e D ．2e6.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（ ） A ．15 B ．14 C.25 D ．9207.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为98,63，则输出的a 为（ ）A ．0B ．7 C.14 D ．288.已知函数xy a =（0a >且1a ≠）是减函数，则下列函数图象正确的是（ ）A ．B ． C. D ．9.已知()2ln 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()75313579f f f f f f f f -+-+-+-++++=（ ）A ．0B ．4 C.8 D ．1610.矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点E ，记“AEB ∆的最大边是AB ”为事件M ，则()P M 等于（ ）A ．2B 1-11.元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n 为（ ）A ．7B ．8 C.9 D ．1012.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1f x x =-.若方程()f x =4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,14⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为 ．14.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小，说明空气质量越好.某地区1月份平均()AQI y 与年份()x 具有线性相关关系.下列最近3年的数据：根据数据求得y 关于x 的线性回归方程为14y x a =-+，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI 为 ．15.已知()()321f x x a x =+-是奇函数，则不等式()()f ax f a x >-的解集是 ．16.已知函数()()2log 11,1,1,x x k f x x x k x a ⎧-+-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知集合{}|20A x x x =<->或，1|33xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若集合{}|1C x a x a =<≤+，且A C C =，求a 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()24,0,1,0xx x x f x a x ⎧-+≥=⎨-<⎩（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,3-.（Ⅰ）求a 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）若()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，求m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择. 方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖. （注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于12.你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由. 20. （本小题满分12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的,a b ；（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命.21. （本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为224m ，三月底测得覆盖面积为236m ，凤眼莲覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy kak a =>>与()120y pxq p =+>可供选择.（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份. （参考数据：lg 20.3010≈，lg 30.4771≈） 22. （本小题满分12分）已知函数()()20f x x ax a =+>在[]1,2-上的最大值为8，函数()g x 是()xh x e =的反函数.（Ⅰ）求函数()()g f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：函数()()()10y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且()()02001g x x h x <-.（参考数据：2.71828e =…，ln 20.693≈）福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题答案一、选择题1-5:AABDC 6-10:CBDCB 11、12：CB二、填空题13. 85 14.36 15.1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭16.12a ≤≤ 三、解答题17.本小题考查集合的运算，集合间的关系，指数不等式解法等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分10分． 解：（Ⅰ）111()3(),33x -≥=且函数1()3x y =在R 上为减函数， ∴1x ≤-，18.本小题考查二次函数、指数函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分12分． 解：（Ⅰ）∵函数()f x 的图象经过点(2,3)-，∴213a --=，解得12a =， ∴24,0,()1()1,0.2x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是(),0-∞，()2,+∞，∴10m +≤或2m ≥或120m m +≤⎧⎨≥⎩，∴m 的取值范围为1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥.19.本小题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，考查化归与转化等数学思想. 本题满分12分．解：（Ⅰ）将4个红球分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别记为1b ，2b ，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{1a ,1b }，{1a ,2b }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{2a ,1b }，{2a ,2b }，{3a ,4a }，{3a ,1b }，{3a ,2b }，{4a ,1b }，{4a ,2b }，{1b ,2b }，总共15种， 其中2个都是红球的有{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{3a ,4a }共6 种， 所以方案一中奖的概率为16211552p ==<， 所以顾客的想法是错误的.（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（5,4），（6,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6）共11种，所以方案二中奖的概率为2112365p =<， 所以应该选择方案一.20.本题考查学生收集、整理、分析数据的能力；考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想. 本题满分12分． 解：（Ⅰ）频率分布表补齐如下：0.2250.056254a ==，0.1750.043754b == （Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为610.05650.15690.275730.225x =⨯+⨯+⨯+⨯770.175810.125+⨯+⨯71.8=根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁.21.本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识．本小题满分12分．解：(Ⅰ)两个函数xy ka =(0,1)k a >>，12(0)y px q p =+>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数xy ka =(0,1)k a >>的值增加的越来越快，而函数12(0)y px q p =+>的值增加的越来越慢. 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型xy ka =(0,1)k a >>适合要求．由题意可知，2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以2324,36.ka ka ⎧=⎨=⎩解得32,33.2k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以该函数模型的解析式是32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()x N *∈．(Ⅱ) 0x =时, 032332323y ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭, 所以元旦放入凤眼莲面积是232,3m 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭得310,2x⎛⎫> ⎪⎝⎭所以32lg101log 10,3lg 3lg 212x g >==- 因为115.7,lg 3lg 20.47700.3010=≈--所以6x ≥，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.本小题考查二次函数、反函数、函数的单调性、函数的零点等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：(Ⅰ) 函数2()(0)f x x ax a =+>的图象开口向上，且()(2)1330f f a --=+>，所以()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)428f a =+=， 所以2a =，2()2f x x x =+， 因为()g x 是()e x h x =的反函数，所以()ln g x x =，()2(())ln 2g f x x x =+， 由220x x +>，得0x >或2x <-，又因为()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以(())g f x 的单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),2-∞-. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，2()2,f x x x =+记()()1()()0x f x h x x xϕ=->， 设120x x <<，则12120,0x x x x -<>，所以12120x x x x -<， 因为()f x 在(0,)+∞上递增且()0f x >，所以()()210f x f x >>，又因为21e >e 0x x>，所以()()1212e e x xf x f x <，所以21212111)()()()(21x x e x f ex f x x x x +--=-ϕϕ=21212121)()(x x x x e x f e x f x x -+-.0< 即()()12x x ϕϕ<，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，又因为12202ϕ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，11e e 212e 1e e e e 0e e ϕ+⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，即1102e ϕϕ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()1()()0y f x h x x x =->恰有一个零点0x ，且0x 11,e 2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()0200012e 0xx x x +-=，即()020001e 2x x x x =+， 所以()22000000200011()()ln ln 22x h x g x x x x x x x x -=-=-++，因为1ln 2y x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 所以0012122ln ln ln 20.6125255x x ->-=+>+=+，即2000()()1g x x h x <-， 综上，函数()1()()0y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且2000()()1g x x h x <-.。
厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题参考答案及评分标准(完全可编辑
厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：ADCDB 6~10：CBCAC 11~12：BD 第12题解析：连结1PF ，∵122OF OF OP PF c ====，260OF P ∠=o ， ∴1290F PF ∠=o，2PF =， 又∵22PF a c =-，∴2a c -=，1c a==，∴22222111)3b ca a=-=-=， 设00(,)P x y ，00(,)M x y --，(,)N x y 为椭圆C 上的点，则2200221x y a b +=，22221x y a b+=，即2222002()b y a x a=-，22222()b y a x a =-，22222222222200222000222222200000()()()3)NP NMb b b a x a x x x y y y y y y b a a a k K x x x x x x x x x x a-----+-⋅=⋅====-=--+---∵NP k =∴2NM K =-（另解：取PN 中点Q ，22NP NM NP OQb k K k K a⋅=⋅=-，转化为中点弦问题，使用点差法即可）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若0mn ≠，则220m n +≠ 14．127 1516．2第16题解析：2ABD ACD S S ∆∆=Q 2BD CD ∴=AD Q 是BAC ∠的角平分线，由角平分线定理，得2AB AC ∴=在Rt AHD ∆中，2AD AH =，则30ADH ∠=o设CD x =，AC y =，在Rt AHB ∆中，17．本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证····························· 1分 ····························· 2分 ····························· 3分 ····························· 4分····························· 6分····························· 7分····························· 8分 ····························· 9分 ···························· 10分···························· 1分····························· 3分····························· 4分18．本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．本小题满分12分. 解：（Ⅰ）当1=n 时，1122S a =-又11a S = 21=∴a ···················································································· 1分 当时2≥n ，11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，12-=n n a a 得 ···························································································· 3分{}为公比的等比数列为首项，是以22n a ∴ ··················································· 4分则n n n a 2221=⋅=- ···················································································· 5分（Ⅱ）Q {}为公差的等差数列为首项，是以31n n a b - 233)1(1-=⋅-+=-∴n n a b n n ······································································· 6分 又n n a 2=Θ 232-+=∴n b n n ······································································ 7分则()()232222147(32)nn T n =+++++++++-L L ·········································· 9分2)231(21)21(2-++--=n n n ． ··································································· 11分12312222n n n +=+--． ··········································································· 12分19．本小题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的大小；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．本小题满分12分.（Ⅰ）证明：PAD ∆中：∵P A=PD ，且O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD ； ····························· 1分∵ CD ⊥平面P AD ，OP ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PO ；········································ 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD CD D =I ， ························· 3分∴PO ⊥平面ABCD ． ·········································································································· 4分（Ⅱ）解： ∵ CD ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ；连接OB ，∵BC ∥OD 且BC =OD =4， ∴OB ∥AD ，∴OB ⊥AD ； ······························· 5分 以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,4,0A - ，()3,0,0B ，()3,4,0C ()0,4,0D ，()0,0,3P ， ····························· 6分()3,4,0AB =u u u r ，()0,4,3AP =u u u r ，()3,0,0CD =u u u r ，(DP =u u u r设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m CD m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即30,430.x y z =⎧⎨-+=⎩ 令3y =， 4z =，∴(0,3,4)m =u r； ···························设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即340,430.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令4x =，则3y =-， 4z =，∴(4,3,4)n =-r； ················································· 10分5,41,7m n m n ∴==⋅=u r r u r r设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为α，7741cos 541α∴==⨯ ···································································· 11分 ∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为741205. ···································· 12分20．本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）∵点(2,2)C 在抛物线E 上，∴44p =，1p =，∴抛物线E 的方程为22y x =， ············································································· 1分∵20223CD k -==--，且AB CD ⊥， ∴1AB CD k k ⋅=-，∴12AB k =，又∵直线AB 过点(3,0)H ， ∴直线AB 方程为1(3)2y x =-，·················································································································· 2分设11(,)A x y ，22(,)Bx y ， 联立221(3)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2460y y --=；所以400∆=>，且12124,6y y y y +==-， ······· 3分 此时2(12)(1624)102AB =++=，22(23)(20)5CH =-+-=， ····························· 4分 ∴11102551022ABC S AB CH ∆=⋅⋅=⨯⨯=. ···························································· 5分（Ⅱ）设3344(,),(,)C x y D x y ，则2233(3,),(3,)HB x y HC x y =-=-u u u r u u u r，∵AB CD ⊥， ∴2323232323(3)(3)3()90(1)HB HC x x y y x x x x y y =--+=-+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u r u u u rg ······························ 7分 ∵直线BC 过焦点(1,0)F ，且直线BC 不与x 轴平行，∴设直线BC 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440(2)y ty --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，216160t ∆=+>，且23234,4y y t y y +==-， ······ 8分∴223232311()242x x ty ty t y y t +=+++=++=+，222323223()14416y y y y x x =⋅==； ················· 9分 代入(1)式得：213(42)940t -++-=，解得0t =， ··················································· 10分代入(2)式解得232,2y y =-=，此时231x x ==；∴C 点坐标为(1,2)， ·························· 11分 ∴23110CD k -==--，∴直线CD 的方程为3y x =-+． ············································· 12分21．本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识． 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）解法一：连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ··················································· 1分 ∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分在直角三角形MAB 中，22210,AM BM AM AB BM+=⎧⎨+=⎩，解得95MA =， ································································································· 4分∴415AN MB ==，∴94155x ≤≤. ······································································ 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分（Ⅱ）114()(10)1010y x x x x =++-- ········································································ 8分 1104(5)1010x x x x -=++- ············································································ 9分 910≥. ······································································································ 10分 当且仅当10410x x x x -=-，即103x =941[,]55∈时， ·········································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ··································································· 12分解法二：（Ⅰ）连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ····································· 1分∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分以AB 为X 轴，以O 点为坐标原点， 建立如图所示的直角坐标系.由椭圆定义可得，曲线段MN 的方程：221(44)259X Y X +=-≤≤， ··············································································· 4分 由已知得29||5b MA a ==，41||5AN ===， ∴94155x ≤≤. ·································································································· 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分 （Ⅱ）14941()1055y x x x =+≤≤-，可化为310(10)x y x x +=-， ·········································· 7分 设310t x =+，77183[,]55t ∈， ········································································ 8分 ∴29994005040010()50t y t t t t==≥-+--++， ················································ 10分 当且仅当400t t =，即7718320[,]55t =∈， 即103x =941[,]55∈时， ··············································································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ······································································ 12分22．本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：（Ⅰ）设点G 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则002200,2,4,x x y y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩························ 2分消去00,x y 得2214y x +=，即为所求轨迹C 的方程． ················································· 4分 （Ⅱ）设O 到直线l 的距离为d，则AB =，1825OMN S d ∆=⨯=，解得2165d =或245d =，············································· 5分 ∵OMN ∆为钝角三角形（d <）， ∴245d =，即d = ······················································································ 6分设1122(,),(,)E x y F x y ，（1）当l x ⊥轴时，1x =，代入C方程，得1y =11x y =，∴90EOF ∠=o ； ····················································································································· 7分 （2）当l 不垂直于x 轴时，设直线:l y kx m =+，原点到直线l的距离5d ==，即22544m k =+（*） ································ 8分 联立22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得222(4)240k x kmx m +++-=，∴1222122222,44,416(4)0km x x k m x x k k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+->⎪⎩ ················································································ 9分 ∵1212OE OF x x y y ⋅=+u u u r u u u r121222121222222222()()(1)()42(1)()445444x x kx m kx m k x x km x x m m kmk km m k k m k k =+++=++++-=++-+++--=+ ···················································································································· 10分将（*）式代入上式，得12120x x y y +=，即OE OF ⊥u u u r u u u r ，即90EOF ∠=o． ················ 11分由（1）、（2）可得，EOF ∠是定值，且90EOF ∠=o． ·········································· 12分。
厦门市届高中毕业生第一次质量检查
厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}，，032|41|2≤--=<<=x x x B x x A 则()=B C A R I A.(1,2)B.(1,3)C.(1,4)D.(3,4)2.欧拉公式θ+θ=θsin cos i e i (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，01=+πi e 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数i e6-π的虚部为 A. i 21- B.i 21 C.21- D.21 3.函数()()06sin >ω⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ω=x x f 的最小正周期为π，则()x f 的单调递增区间可以是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ63-， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ12512-， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ1211125， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ326，4.已知x,y 满足不等式组,052020⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥y x y x x 则()221y x z +-=的最小值为A.223B.29C.5D.5 5.甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从()21.05，N ，如果零件尺寸在()σ+μσμ33-，以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是A.甲、乙两厂生产都出现异常B.甲、乙两厂生产都正常C.甲厂生产正常，乙厂出现异常D.甲厂生产出现异常，乙厂正常6.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，点()3-1，在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为 A.1322=-x y B.1322=-x y C.141222=-x y D.112422=-x y 7.在右侧程序框图中，输入n=5，按程序运行后输出的结果是A.3B.4C.5D.68.已知(),0,0,231⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x x f x 若()1=αf ，则()()=-α1f f A.243或1B.21或1C.21D.1 9.已知()()611ax x -+展开式中2x 项的系数为21，则实数=aA.535±B.27-C.1或57- D.-1或57 10.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是A.38+πB.383+πC.8+πD.382+π11.已知椭圆15922=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上一点， 点()32,0A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积等于 A.4311 B.4321 C.411D.421 12.已知点列()()*∈N n b a A n n ,n 是函数()1,0≠>=a a a y x 图像上的点，点列()0,n n B 满足1n n +=n n B A B A ，若数列{}n b 中任意相邻三项能构成三角形三边，则a 的取值范围是 A.2150-<<a 或215+>a B.1215<<-a 或2151+<<a C.2130-<<a 或213+>a D.1213<<-a 或2131+<<a第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(),23*∈-=N n a S n n 则数列{}n a 的通项公式为 。
厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查3月质检理答案
厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1—5：DCADD 6—10： BCADA 11-12： BB11. 提示：APF ∆的周长=2AF AP PF AF a PF AP '++=+-+. 要使周长最大，即F P AP '-最大，如图,当F P A '，，三点共线时取到. 由)32,0(A ,2c =，直线AP 倾斜角为3π，32π='∠F F P ，由余弦定理得F P F P F P '++'='-416)6(22，解得45='F P ，4353sin 21''=='∆πFF PF S F F P ，432134435=+='∆F F A S . 12. 提示：由已知得，212+=n a n ，212n n b a +=，当1>a 时，11+-<<n n n b b b ，由题意11+->+n n n b b b ，解得1a <<10<<a1a <<.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13. 1*3()()2n n a n N -=∈ 14. 7-15. 16. 1a =或2ln 2a ≥15. 提示：如图，O 是四棱锥P ABCD -的外接球（半径为R ）的球心，则R OP OA ==，设h OM =，7722222=+=+=PNONAMOM R ，，4-722a h =，222)4a R a h =+-，解得32=a . 16. 提示：由奇函数,0)0(=f 又0)1(=f ，问题转化为)(x f 在)2,0(如图1a =时，x x x h ln )(=与1)(-=x x g 相切满足题意；当1,0≠>a a 时，)1()(-=x a x g 过点)2ln 2,2(时与x x x h ln )(=有2个交点，要使)1()(-=x a x g 与x x x h ln )(=仅有1个交点，2ln 2≥a . 综上所述：a 的取值范围是2ln 2≥a 或1=a .三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）在ADC ∆中，CAD ∠，C ∠(0,)π∈， ····················· ·········································· 1分cos CAD C ∠=∠=， ∴ sin CAD C ∠=∠= ， ······ 3分∴ cos cos()cos cos sin sin ADC CAD C CAD C CAD C ∠=-∠+∠=-∠∠+∠∠ ······ 4分2==-， ······················· ·········································· 5分又(0,)ADC π∠∈，所以34ADC π∠=； ··················· ·········································· 6分 （Ⅱ）在△ADC 中，由正弦定理得，sin sin DC CAD CAD ⋅∠==∠， ···································· 8分 在△ABD 中，4ADB ADC ππ∠=-∠=， ·············· ·········································· 9分 由余弦定理得，2101822BD BD =+-⋅⋅， ···· ········································ 10分 第15题化简得2680BD BD -+=，解得4BD =或2BD =，综上所述，4BD =或2BD =. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一； （Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理得，sin sin DC CAD CAD⋅∠==∠， ······································ 8分在△ABD 中，4ADB ADC ππ∠=-∠=， ··················· ·········································· 9分由正弦定理得，sin sin AD ADB B AB ⋅∠==，cos B ∴=， ························ 10分当cos B =cos sin()BAD B ADB ∠=∠+∠=，由余弦定理得，2101816BD =+-=，即4BD =; ························· 11分当cos B =cos sin()BAD B ADB ∠=∠+∠=，由余弦定理得，210184BD =+-=，即2BD =，综上所述，4BD =或2BD =. ······························ ········································ 12分18. （本小题满分12分）本小题主要考查空间线面间的位置关系和直线与平面所成的角；考查空间想象能力,及公理定理的应用;考查运算求解能力及化归的思想方法.解法一：（Ⅰ）所作直线l 如图所示， ……………3分取AC 中点E ,连接1,,ED C E 则直线1C E 即为l . ……………6分（Ⅱ）取BC 中点G ,ABAC AG BC =∴⊥ ， 取CG 中点H ,连接EH ,则//EH AG ,从而EH BC ⊥.111111,,B B ABC B B B BCC ABC B BCC ⊥⊂∴⊥ 面面面面， ……7分又11,,ABC B BCC BC EH ABC EH BC =⊂⊥ 面面面，11EH B BCC ∴⊥面， ………………………………………………8分 连接1C H ,则1EC H ∠即为所求l 与平面11B C CB 所成角. ……9分 令A A AB AC 1==2=,在1Rt C CE ∆中,111,2,CE CC C E ==∴= ……10分 又122EH AG ==,在1Rt C HE ∆中,11sin HE EC H C E ∠==.即直线l 与平面11B C CB …………………12分解法二：（Ⅰ）延长1B D 与1A A 交于 F ,连接1C F 交AC 于点E ， 则直线1C E （或1C F ）即为l . …………………………………………6分（Ⅱ） D 是AB 中点,11//AD A B , A ∴是A F 1的中点,又11//AE AC , 故E 为AC 中点.分别以1,,AB AA AC 为,,x y z 轴,建立空间之间坐标系,如图. …………7分令A A AB AC 1==2=,则有11(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,2),B B C C E 11(0,2,1),(0,2,0),(2,0,2).C E BB BC ∴=--==-…………8分设平面11B C CB 的法向量为(,,)n x y z =.作法一作法二由120,220,n BB y n BC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 可取(1,0,1)n = ， …………9分 设l 与平面11B C CB 所成角为θ,有111sin cos ,C E n C E n C E nθ⋅=<>=== ………11分 即直线l 与平面11B C CB所成角的正弦值为10. …………12分 (注意不同建系所求的法向量不同)19. （本小题满分12分）本小题主要考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力及应用意识；考查化归与转化、分类讨论思想． 解：（Ⅰ）设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则~(2,0.1)B ξ， ······························ 1分这2只动物中只要有一只血样呈阳性，它们的混合血样呈阳性，所求的概率为(1)1(0)P P ξξ≥=-=21(10.1)=--0.19=. 答：2只动物的混合血样呈阳性的概率为0.19. ····································· 4分 （Ⅱ）方案一： 4只动物都得化验，所需化验次数为4次. ·········································· 5分方案二：设所需化验的次数为X ，则X 的所有可能取值为2，4，6； ····················· 6分(2)0.810.810.6561P X ==⨯=，(4)20.810.190.3078P X ==⨯⨯=，(6)0.190.190.0361P X ==⨯=； ····· ·········································· 8分 所以20.656140.307860.0361 2.76EX =⨯+⨯+⨯=； ························ 9分方案三：设所需化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为1，5；由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为40.90.6561=， 所以(1)0.6561P Y ==，(5)10.65610.3439P Y ==-=， ················· 10分所以10.656150.3439 2.3756EY =⨯+⨯=； ·································· 11分因为2.3756 < 2.76 < 4，所以4只动物混合在一起化验更合适. ··························· 12分20.（本小题满分12分）考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。
2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】
2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷（理科）【解析版】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin（2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
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厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查
数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}，
，032|41|2≤--=<<=x x x B x x A 则()=B C A R A.(1,2) B.(1,3) C.(1,4) D.(3,4)
2.欧拉公式θ+θ=θsin cos i e i (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发
明的，01=+πi e 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数i e 6-π的虚部为
A. i 21-
B.i 21
C.2
1- D.21 3.函数()()06sin >ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛
π+ω=x x f 的最小正周期为π，则()x f 的单调递增区间可以是 A.⎪⎭⎫
⎝⎛ππ63-， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ12512-， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ1211125， D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππ326， 4.已知x,y 满足不等式组,052020⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤+-≥y x y x x 则()221y x z +-=的最小值为
A.2
23 B.29 C.5 D.5 5.甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从()
21.05，N ，如果零件尺寸在()σ+μσμ33-，以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：
则以下判断正确的是
A.甲、乙两厂生产都出现异常
B.甲、乙两厂生产都正常
C.甲厂生产正常，乙厂出现异常
D.甲厂生产出现异常，乙厂正常
6.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，点()
3-1，在双曲线的一条渐近线上，
则双曲线的方程为
A.1322
=-x y B.1322=-x y C.141222=-x y D.11242
2=-x y 7.在右侧程序框图中，输入n=5，按程序运行后输出的结果是
A.3
B.4
C.5
D.6 8.已知(),0
,0,231
⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x x f x 若()1=αf ，则()()=-α1f f A.2
43
或1 B.21或1 C.21 D.1 9.已知()()611ax x -+展开式中2x 项的系数为21，则实数=a
A.535±
B.27-
C.1或57-
D.-1或57
10.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A. 38+π
B.383+π
C.8+π
D.3
82+π 11.已知椭圆15
92
2=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上一点， 点()
32,0A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积等于 A.4311 B.4
321 C.411 D.421 12.已知点列()()*∈N n b a A n n ,n 是函数()1,0≠>=a a a y x 图像上
的点，点列()0,n n B 满足1n n +=n n B A B A ，若数列{}n b 中任意相邻
三项能构成三角形三边，则a 的取值范围是
A. 2150-<<a 或2
15+>a B.1215<<-a 或2
151+<<a C. 2130-<
<a 或213+>a D.1213<<-a 或2131+<<a
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
,23*∈-=N n a S n n 则数列{}n a 的通项公式为 。
14.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=8，则=∙AC AB 。
15.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，其外接球的表面积为π28，
PAB ∆ 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则=a 。
16.定义在(-2，2)上的奇函数()x f 恰有3个零点，当()20，
∈x 时，()()(),01ln >--=a x a x x x f 则a 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在ABC ∆中，点D 在BC 边上，已知10103,552cos =∠=
∠C COS CAD . (Ⅰ)求ADC ∠；
(Ⅱ)若610==CD AB ，,求BD.
18.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱111-C B A ABC 中，
AC AB A A AC AB ==⊥1，，D 是AB 中点.
(Ⅰ)记平面 D C B 11平面l CA C A =11，在图中作出l ，并说明
画法；
(Ⅱ)求直线l 与平面CB C B 11所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验.
(Ⅰ)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
(Ⅱ)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：混合在一起化验.
请问：哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).
20 .(本小题满分12分)
已知抛物线()022>=p px y 上一点M(t,8)到焦点F 的距离是t 4
5. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，是否存在一个定圆与以AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()x g x x f ,ln =是()x f 的反函数.
(Ⅰ)求证：当0≥x 时，()x x x f +≥+22
1-1； (Ⅱ)若()()()
22mx g x g x g ≤-+对任意R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，点A 在⊙O 上，过点O 的割线PBC 交⊙O 于点B,C ，且PA=4，
PB=2，OB=3，∠APC 的平分线分别交AB,AC 于D ，E.
(Ⅰ)证明：∠ADE=∠AED ；
(Ⅱ)证明：CE BD AE AD ∙=∙.
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数选讲
已知曲线C 的极坐标方程是0sin 4-=θρ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M(1，0)，倾斜角为4
3π. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；
(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MB MA +.
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()2-=x x f .
(Ⅰ)解不等式()()51≥++x f x f ； (Ⅱ)若1>a 且()⎪⎭
⎫
⎝⎛∙>a b f a ab f ，证明：2>b .。