2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1．函数y3sin( 2x) 的最小正周期为．

4开始

2．设z( 2i )2（i为虚数单位），则复数 z 的模为．

n 1， a2

3．双曲线x2y2 1 的两条渐近线的方程为．n n 1 169

Y

a 20

4．集合{1,0,1} 共有个子集．

a 3a 2 N

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．

输出 n

结束

（第 5题）6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：

运动员第一次第二次第三次第四次第五次

甲8791908993

乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

方差为： S2(89

90) 2(90 90) 2(91 90)2(8890) 2(92 90) 2 2 ．

5

7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m ， n （m7 ， n9 ）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为．

8．如图，在三棱柱A1B1C1ABC 中， D，E，F分别是C1

B1

AB， AC，AA1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为 V1，三棱柱A1

A1B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2．F C

E B

A D

9．抛物线y x2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若点 P( x, y) 是区域D内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．

10．设D，E分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD 1

AB，BE

2

BC，23

若 DE1 AB2 AC （1，2为实数），则1 2 的值为．

11．已知f (x)是定义在R上的奇函数。当x 0时，f (x) x24x ，则不等式 f ( x) x 的解集用区间表示为．

12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x

2

y 21( a0, b 0)

，右焦点为a2b2

F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2，若 d26d1，则椭圆C的离心率为．

13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1

（ x0 ）图象上一动点，x

若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数a的所有值为．

14．在正项等比数列{ a n} 中， a51

a2a n a1a2 a n的， a6 a7 3 ，则满足 a1

2

最大正整数n 的值为．

二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14 分）

已知 a＝(cos, sin )，b(cos ,sin ) ， 0．

（ 1）若|a b | 2 ，求证：a b ；

（ 2）设c(0,1) ，若a b c ，求,的值．

16．（本小题满分 14 分）

如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB平面 SBC ， AB BC，AS AB，过 A作AF SB，垂足为 F ，点 E， G 分别是棱SA， SC的中点．求证：

（1）平面EFG //平面ABC；S

（2）．

BC SA E G

F

C

A

B

17．（本小题满分 14 分）

y

如图，在平面直角坐标系

xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x

4 ．

l

设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．

A （ 1）若圆心 C 也在直线 y x

1上，过点 A 作圆 C 的切线，

O

x

求切线的方程；

（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐

标 a 的取值范围．

18．（本小题满分 16 分）

如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行

到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两

位游客从 A 处下山，甲沿

AC 匀速步行，速度为 50m/ min ．在甲出发 2 min 后，乙从

A 乘缆车到

B ，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到

C ．假设缆车匀速直线运动的

速度为 130m / min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量， cos A

12

， cosC 3 ．

（ 1）求索道 AB 的长；

13

5

（ 2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（ 3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过

3 分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？

A

M

B

N

D

19．（本小题满分 16 分）

C

设 { a n } 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列 (d

0) nS n ，

， S n 是其前 n 项和．记 b n

2

n

c

n N * ，其中 c 为实数．

（ 1）若 c

0 ，且 b 1，b 2， b 4 成等比数列，证明： S nk n 2S k （ k, n

N * ）；

（ 2）若 {b n } 是等差数列，证明：

c 0．

20．（本小题满分 16 分）

设函数 f ( x) ln x ax ， g( x)

e x ax ，其中 a 为实数．

（1）若 f ( x) 在 (1, ) 上是单调减函数，且

g( x) 在 (1,

) 上有最小值，求

a 的取值范围；

（2）若 g( x) 在 ( 1, ) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．

2013 年答案

一、填空题

1、【答案】π

2π 2 π

【解析】 T＝ | ω| ＝ | 2 | ＝π．

2、【答案】 5

【解析】 z＝ 3－4i， i2＝－ 1， | z | ＝＝ 5．

3、【答案】y 3 x

4

【解析】令：x

2

y 20 ，得y9x 2

3

x ．169164

4、【答案】 8

【解析】 23＝ 8．

5、【答案】 3

【解析】 n＝ 1，a＝ 2， a＝ 4， n＝2； a＝ 10， n＝ 3； a＝ 28， n＝ 4．6、【答案】 2

【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：

8990918892

90 x

5

20

7、【答案】

63

【解析】 m 取到奇数的有 1，3， 5， 7 共 4 种情况； n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共 5 种情况，则 m， n 都取到奇数的概率为4520 ．

7963

8、【答案】 1： 24

【解析】三棱锥 F ADE 与三棱锥A1ABC 的相似比为1： 2，故体积之比为 1： 8．

又因三棱锥 A1ABC 与三棱柱A1B1C1ABC 的体积之比为1： 3．所以，三棱锥F ADE 与三棱柱 A1 B1C1ABC 的体积之比为1： 24．

1

9、【答案】 [— 2，2]

【解析】抛物线 y

x 2 在 x 1 处的切线易得为 y ＝ 2x — 1，令 z ＝ x 2 y ， y ＝— 1 x ＋ z ．

2

2

画出可行域如下，易得过点

(0，— 1)时， z min ＝— 2，过点 ( 1

， 0)时， z max ＝ 1

．

2 2

y

y ＝ 2x — 1

O

x

1

y ＝— 2 x

1

10、【答案】 2

【解析】 DE

DB BE

1

AB 2

BC 1

AB

2

(BA AC)

2

3

2

3

1

AB

2

AC

1 AB

2 AC

6

3

所以， 1

1 ， 2

2

，1 2

1．

6

3

2

11、【答案】

(﹣ 5， 0)∪(5，﹢∞

)

【解析】做出

f ( x)

x 2

4x

( x 0 )的图像，如下图所示。由于

f ( x)

是定义在

R 上的奇函数，

利用奇函数图像关于原点对称做出

x ＜0 的图像。不等式

f ( x)

x ，表示函数

y ＝

f ( x)

的图像在

y ＝ x 的上方，观察图像易得：解集为

(﹣5， 0)∪ (5，﹢∞ )。

y

P(5,5)

y ＝ x

y ＝x 2— 4 x

x

Q(﹣ 5, ﹣5)

3

12、【答案】

3

y l

B

【解析】如图， l ： x ＝

a 2 a 2

b

2

b

a

c

， d 2 ＝

－ c ＝

，由等面

c

c

c

O

F

x

积得： d 1 ＝

bc

。若 d 2

6d 1 ，则

b 2

＝ 6

bc

，整理

a

c

a

2

0 ，解之得：

b

＝

得： 6a 2

ab

6b 2

0 ，两边同除以： a 2 ，得： 6 b

b

6

a a

a

6

，所以，离心率为：

b 2

3 ．

e1

3

a

3

13、【答案】 1 或 10

【解析】

14、【答案】 12

{ a n } 首项为

q ，则：

a 1 q 4

1 【解析】设正项等比数列

a 1，公比为 2

a 1q 5 (1

q) 3

，得： a 1＝ 1

，

q 32

2n

1

(n 1) n

＝ 2 ， a n ＝ 26－

n ．记 T n a 1 a 2

a n

，

n

a 1 a 2 a n 2 2

． T n

n ，则

25

n

(n 1) n

1 n

2 11

n 5

2 1 2

2

，化简得： 2

n

1 2

2

2

1 n

2 11 n

5 时，n

13

121 12 ．当

，当 n

25

2

2

2

n ＝ 12 时， T 12 12 ，当 n ＝ 13 时， T 13

13 ，故 n max ＝ 12．

二、

解答题

15、解：（ 1） a － b ＝ (cos α－cos β， sin α－sin β)，

| a －b| 2＝ (cos α－ cos β)2＋ (sin α－sin β)2＝ 2－2(cos α· cos β＋ sin α· sin β)＝ 2，

所以， cos α· cos β＋ sin α·sin β＝ 0，

所以， a b ．

（ 2）

cos cos 0 ① ，① 2＋② 2 得： cos(α－ β)＝－ 1． sin sin 1

②

2

所以， α－ β＝ 2 ， α＝

2

＋ β，

3

3

带入②得： sin(

2

＋ β)＋ sin β＝ 3

1

＋ β)＝ 1，

cos β＋ 2sin β＝sin( 3

2 3

所以，

＋ β＝ ．

3

2

所以， α＝ 5

， β＝ ．

6

6

16、证：（ 1）因为 SA ＝ AB 且 AF ⊥ SB ，

所以 F 为 SB 的中点．

又 E ， G 分别为 SA ， SC 的中点，所以， EF ∥ AB ， EG ∥AC ．

又 AB ∩ AC ＝ A ， AB 面 SBC ， AC 面 ABC ， 所以，平面 EFG // 平面 ABC ．

（ 2）因为平面 SAB ⊥平面 SBC ，平面 SAB ∩平面 SBC ＝BC ，

AF 平面 ASB ， AF ⊥ SB ． 所以， AF ⊥平面 SBC ．

又 BC 平面 SBC ， 所以， AF ⊥ BC ．

又 AB ⊥ BC ， AF ∩ AB ＝ A ， 所以， BC ⊥平面 SAB ． 又 SA 平面 SAB ，

所以， BC SA ．

y x 1

17、解：（ 1）联立：

2 x ，得圆心为： C(3， 2)．

y

4

设切线为： y kx 3 ，

| 3k 3 2 |

r 1 ，得： k

0 or

k

3

d ＝

k 2

．

1

4

故所求切线为： y

0 or y

3 x 3 ．

4

（ 2）设点 M (x ， y)，由 MA

2MO ，知：

x 2

( y

3) 2

2 x 2

y 2 ，

化简得： x 2

( y 1) 2

4 ，

即：点 M 的轨迹为以 (0， 1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D ．

又因为点 M 在圆 C 上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切．

故： 1≤ | CD| ≤3，其中 CDa 2 (2a 3) 2 ．

解之得： 0≤ a ≤

12

．

5

18、解：（ 1）如图作 BD ⊥ CA 于点 D ，

设 BD ＝20k ，则 DC ＝ 25k ， AD ＝ 48k ， AB ＝52k ，由 AC ＝63k ＝1260m ， 知： AB ＝ 52k ＝1040m ．

（ 2）设乙出发 x 分钟后到达点 M ，

此时甲到达 N 点，如图所示． 则： AM ＝ 130x ， AN ＝ 50(x ＋2)，

由余弦定理得： MN 2＝ AM 2＋AN 2－2 AM · ANcosA ＝ 7400 x 2－ 14000 x ＋ 10000，

35

其中 0≤ x ≤ 8，当 x ＝ 37(min) 时， MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．

（ 3）由（ 1）知： BC ＝ 500m ，甲到 C 用时：

1260＝ 126

50

5 (min) ．

126

141

86

若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时： 5 ＋ 3＝ 5 (min) ，在 BC 上用时： 5 (min) ．

此时乙的速度最小，且为：

500÷ 86＝1250

5

43 m/min ．

若乙等甲 3 分钟，则乙到

C 用时：

126

－ 3＝

111

56

(min) ．

5

5

(min) ，在 BC 上用时： 5

56 625

此时乙的速度最大，且为：

500÷ 5 ＝

14 m/min ．

故乙步行的速度应控制在

[1250， 625

4314 ] 范围内．

19、证：（ 1）若 c

0 ，则 a n

a

(n

1) d ， S n

n[( n 1)d 2a]

(n 1)d 2a

2

， b n ．

2

当 b 1，b 2，b 4 成等比数列， b 22

b 1b 4 ，

d 2

3d

即： a

a a

，得： d 2 2ad ，又 d

0 ，故 d

2a ．

2

2

由此： S n n 2 a ， S nk (nk ) 2 a n 2 k 2a ， n 2 S k n 2 k 2 a ．

故： S nk

n 2S k （ k ,n N * ）．

nS n n 2 (n 1)d 2a

（ 2） b n

2 ，

n 2 c

n 2

c

n 2 (n 1)d

2a

c (n

1)d 2a c ( n 1)d

2a

2

n 2 2 2

c (n 1)

d 2a

c (n 1)

d 2a

2

．

(※ )

2

n 2 c

若 {b n } 是等差数列，则 b n An

Bn 型．

观察 (※ )式后一项，分子幂低于分母幂，

c (n 1)d

2a

0 ，即 c

(n

1)d

2a

0 ，而

(n

1) d 2a ≠ 0，

故有：

n 2 2

故 c

0 c

2

2

．

经检验，当 c

0 时 { b n } 是等差数列．

20、解：（ 1） f (x)

1 a ≤ 0 在 (1,

) 上恒成立，则 a ≥ 1

， x

(1，

) ．

故： a ≥ 1． x

x

g ( x) e x

a ，

若 1≤ a ≤e ，则 g ( x) e x

a ≥ 0 在 (1, ) 上恒成立，

此时， g( x)

e x

ax 在 (1, ) 上是单调增函数，无最小值，不合；

若 a ＞ e ，则 g ( x)

e x ax 在 (1，ln a) 上是单调减函数，在 (ln a ，

) 上是单调增函

数，

( )

(ln ) ，满足．

g

min

x g a

故 a 的取值范围为：

a ＞ e ．

（2） g (x)

e x

a ≥ 0 在 ( 1,

) 上恒成立，则 a ≤e x ，

故： a ≤ 1．

e

f ( x)

1

a

1 ax

0) ．

x

(x

x

(ⅰ )若 0＜ a ≤

1

，令 f

(x) ＞0 得增区间为 (0， 1 )；

e

a

令 f (x) ＜0 得减区间为 (1

，﹢

∞ )． a

当 x→ 0 时， f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时， f(x)→﹣∞；

当 x＝1

时， f(

1

)＝﹣ lna－1≥ 0，当且仅当a＝

1

时取等号．a a e

故：当 a ＝1

时， f(x)有 1 个零点；当 0＜a＜

1

时， f(x)有 2 个零点．e e

(ⅱ )若 a＝ 0，则 f(x)＝﹣ lnx，易得 f(x)有 1个零点．

()a0

，则f ( x)a0

在 (0，) 上恒成立，

ⅲ 若＜1

x

即： f ( x)ln x ax 在 (0，) 上是单调增函数，

当x→ 0 时， f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时， f(x)→﹢

∞．此时， f(x)有 1 个零点．

综上所述：当a ＝1或a＜0时，f(x)有1个零点；当

e

0＜a＜ 1时， f(x)

有

e

2 个零点．