2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数y3sin( 2x) 的最小正周期为．4开始2．设z( 2i )2（i为虚数单位），则复数 z 的模为．n 1， a23．双曲线x2y2 1 的两条渐近线的方程为．n n 1 169Ya 204．集合{1,0,1} 共有个子集．a 3a 2 N5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．输出 n结束（第 5题）6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．方差为： S2(8990) 2(90 90) 2(91 90)2(8890) 2(92 90) 2 2 ．57．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m ， n （m7 ， n9 ）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱A1B1C1ABC 中， D，E，F分别是C1B1AB， AC，AA1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为 V1，三棱柱A1A1B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2．F CE BA D9．抛物线y x2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若点 P( x, y) 是区域D内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．10．设D，E分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD 1AB，BE2BC，23若 DE1 AB2 AC （1，2为实数），则1 2 的值为．11．已知f (x)是定义在R上的奇函数。

当x 0时，f (x) x24x ，则不等式 f ( x) x 的解集用区间表示为．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x2y 21( a0, b 0)，右焦点为a2b2F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2，若 d26d1，则椭圆C的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1（ x0 ）图象上一动点，x若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数a的所有值为．14．在正项等比数列{ a n} 中， a51a2a n a1a2 a n的， a6 a7 3 ，则满足 a12最大正整数n 的值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）已知 a＝(cos, sin )，b(cos ,sin ) ， 0．（ 1）若|a b | 2 ，求证：a b ；（ 2）设c(0,1) ，若a b c ，求,的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB平面 SBC ， AB BC，AS AB，过 A作AF SB，垂足为 F ，点 E， G 分别是棱SA， SC的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC；S（2）．BC SA E GFCAB17．（本小题满分 14 分）y如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x4 ．l设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．A （ 1）若圆心 C 也在直线 y x1上，过点 A 作圆 C 的切线，Ox求切线的方程；（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．18．（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。

一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为 50m/ min ．在甲出发 2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量， cos A12， cosC 3 ．（ 1）求索道 AB 的长；135（ 2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（ 3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？AMBND19．（本小题满分 16 分）C设 { a n } 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列 (d0) nS n ，， S n 是其前 n 项和．记 b n2ncn N * ，其中 c 为实数．（ 1）若 c0 ，且 b 1，b 2， b 4 成等比数列，证明： S nk n 2S k （ k, nN * ）；（ 2）若 {b n } 是等差数列，证明：c 0．20．（本小题满分 16 分）设函数 f ( x) ln x ax ， g( x)e x ax ，其中 a 为实数．（1）若 f ( x) 在 (1, ) 上是单调减函数，且g( x) 在 (1,) 上有最小值，求a 的取值范围；（2）若 g( x) 在 ( 1, ) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．2013 年答案一、填空题1、【答案】π2π 2 π【解析】 T＝ | ω| ＝ | 2 | ＝π．2、【答案】 5【解析】 z＝ 3－4i， i2＝－ 1， | z | ＝＝ 5．3、【答案】y 3 x4【解析】令：x2y 20 ，得y9x 23x ．1691644、【答案】 8【解析】 23＝ 8．5、【答案】 3【解析】 n＝ 1，a＝ 2， a＝ 4， n＝2； a＝ 10， n＝ 3； a＝ 28， n＝ 4．6、【答案】 2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：899091889290 x5207、【答案】63【解析】 m 取到奇数的有 1，3， 5， 7 共 4 种情况； n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共 5 种情况，则 m， n 都取到奇数的概率为4520 ．79638、【答案】 1： 24【解析】三棱锥 F ADE 与三棱锥A1ABC 的相似比为1： 2，故体积之比为 1： 8．又因三棱锥 A1ABC 与三棱柱A1B1C1ABC 的体积之比为1： 3．所以，三棱锥F ADE 与三棱柱 A1 B1C1ABC 的体积之比为1： 24．19、【答案】 [— 2，2]【解析】抛物线 yx 2 在 x 1 处的切线易得为 y ＝ 2x — 1，令 z ＝ x 2 y ， y ＝— 1 x ＋ z ．22画出可行域如下，易得过点(0，— 1)时， z min ＝— 2，过点 ( 1， 0)时， z max ＝ 1．2 2yy ＝ 2x — 1Ox1y ＝— 2 x110、【答案】 2【解析】 DEDB BE1AB 2BC 1AB2(BA AC)23231AB2AC1 AB2 AC63所以， 11 ， 22，1 21．63211、【答案】(﹣ 5， 0)∪(5，﹢∞)【解析】做出f ( x)x 24x( x 0 )的图像，如下图所示。

由于f ( x)是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0 的图像。

不等式f ( x)x ，表示函数y ＝f ( x)的图像在y ＝ x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5， 0)∪ (5，﹢∞ )。

yP(5,5)y ＝ xy ＝x 2— 4 xxQ(﹣ 5, ﹣5)312、【答案】3y lB【解析】如图， l ： x ＝a 2 a 2b2bac， d 2 ＝－ c ＝，由等面cccOFx积得： d 1 ＝bc。

若 d 26d 1 ，则b 2＝ 6bc，整理aca20 ，解之得：b＝得： 6a 2ab6b 20 ，两边同除以： a 2 ，得： 6 bb6a aa6，所以，离心率为：b 23 ．e13a313、【答案】 1 或 10【解析】14、【答案】 12{ a n } 首项为q ，则：a 1 q 41 【解析】设正项等比数列a 1，公比为 2a 1q 5 (1q) 3，得： a 1＝ 1，q 322n1(n 1) n＝ 2 ， a n ＝ 26－n ．记 T n a 1 a 2a n，na 1 a 2 a n 2 2． T nn ，则25n(n 1) n1 n2 11n 52 1 22，化简得： 2n1 2221 n2 11 n5 时，n13121 12 ．当，当 n25222n ＝ 12 时， T 12 12 ，当 n ＝ 13 时， T 1313 ，故 n max ＝ 12．二、解答题15、解：（ 1） a － b ＝ (cos α－cos β， sin α－sin β)，| a －b| 2＝ (cos α－ cos β)2＋ (sin α－sin β)2＝ 2－2(cos α· cos β＋ sin α· sin β)＝ 2，所以， cos α· cos β＋ sin α·sin β＝ 0，所以， a b ．（ 2）cos cos 0 ① ，① 2＋② 2 得： cos(α－ β)＝－ 1． sin sin 1②2所以， α－ β＝ 2 ， α＝2＋ β，33带入②得： sin(2＋ β)＋ sin β＝ 31＋ β)＝ 1，cos β＋ 2sin β＝sin( 32 3所以，＋ β＝ ．32所以， α＝ 5， β＝ ．6616、证：（ 1）因为 SA ＝ AB 且 AF ⊥ SB ，所以 F 为 SB 的中点．又 E ， G 分别为 SA ， SC 的中点，所以， EF ∥ AB ， EG ∥AC ．又 AB ∩ AC ＝ A ， AB 面 SBC ， AC 面 ABC ， 所以，平面 EFG // 平面 ABC ．（ 2）因为平面 SAB ⊥平面 SBC ，平面 SAB ∩平面 SBC ＝BC ，AF 平面 ASB ， AF ⊥ SB ． 所以， AF ⊥平面 SBC ．又 BC 平面 SBC ， 所以， AF ⊥ BC ．又 AB ⊥ BC ， AF ∩ AB ＝ A ， 所以， BC ⊥平面 SAB ． 又 SA 平面 SAB ，所以， BC SA ．y x 117、解：（ 1）联立：2 x ，得圆心为： C(3， 2)．y4设切线为： y kx 3 ，| 3k 3 2 |r 1 ，得： k0 ork3d ＝k 2．14故所求切线为： y0 or y3 x 3 ．4（ 2）设点 M (x ， y)，由 MA2MO ，知：x 2( y3) 22 x 2y 2 ，化简得： x 2( y 1) 24 ，即：点 M 的轨迹为以 (0， 1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D ．又因为点 M 在圆 C 上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切．故： 1≤ | CD| ≤3，其中 CDa 2 (2a 3) 2 ．解之得： 0≤ a ≤12．518、解：（ 1）如图作 BD ⊥ CA 于点 D ，设 BD ＝20k ，则 DC ＝ 25k ， AD ＝ 48k ， AB ＝52k ，由 AC ＝63k ＝1260m ， 知： AB ＝ 52k ＝1040m ．（ 2）设乙出发 x 分钟后到达点 M ，此时甲到达 N 点，如图所示． 则： AM ＝ 130x ， AN ＝ 50(x ＋2)，由余弦定理得： MN 2＝ AM 2＋AN 2－2 AM · ANcosA ＝ 7400 x 2－ 14000 x ＋ 10000，35其中 0≤ x ≤ 8，当 x ＝ 37(min) 时， MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（ 3）由（ 1）知： BC ＝ 500m ，甲到 C 用时：1260＝ 126505 (min) ．12614186若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时： 5 ＋ 3＝ 5 (min) ，在 BC 上用时： 5 (min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷ 86＝1250543 m/min ．若乙等甲 3 分钟，则乙到C 用时：126－ 3＝11156(min) ．55(min) ，在 BC 上用时： 556 625此时乙的速度最大，且为：500÷ 5 ＝14 m/min ．故乙步行的速度应控制在[1250， 6254314 ] 范围内．19、证：（ 1）若 c0 ，则 a na(n1) d ， S nn[( n 1)d 2a](n 1)d 2a2， b n ．2当 b 1，b 2，b 4 成等比数列， b 22b 1b 4 ，d 23d即： aa a，得： d 2 2ad ，又 d0 ，故 d2a ．22由此： S n n 2 a ， S nk (nk ) 2 a n 2 k 2a ， n 2 S k n 2 k 2 a ．故： S nkn 2S k （ k ,n N * ）．nS n n 2 (n 1)d 2a（ 2） b n2 ，n 2 cn 2cn 2 (n 1)d2ac (n1)d 2a c ( n 1)d2a2n 2 2 2c (n 1)d 2ac (n 1)d 2a2．(※ )2n 2 c若 {b n } 是等差数列，则 b n AnBn 型．观察 (※ )式后一项，分子幂低于分母幂，c (n 1)d2a0 ，即 c(n1)d2a0 ，而(n1) d 2a ≠ 0，故有：n 2 2故 c0 c22．经检验，当 c0 时 { b n } 是等差数列．20、解：（ 1） f (x)1 a ≤ 0 在 (1,) 上恒成立，则 a ≥ 1， x(1，) ．故： a ≥ 1． xxg ( x) e xa ，若 1≤ a ≤e ，则 g ( x) e xa ≥ 0 在 (1, ) 上恒成立，此时， g( x)e xax 在 (1, ) 上是单调增函数，无最小值，不合；若 a ＞ e ，则 g ( x)e x ax 在 (1，ln a) 上是单调减函数，在 (ln a ，) 上是单调增函数，( )(ln ) ，满足．gminx g a故 a 的取值范围为：a ＞ e ．（2） g (x)e xa ≥ 0 在 ( 1,) 上恒成立，则 a ≤e x ，故： a ≤ 1．ef ( x)1a1 ax0) ．x(xx(ⅰ )若 0＜ a ≤1，令 f(x) ＞0 得增区间为 (0， 1 )；ea令 f (x) ＜0 得减区间为 (1，﹢∞ )． a当 x→ 0 时， f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时， f(x)→﹣∞；当 x＝1时， f(1)＝﹣ lna－1≥ 0，当且仅当a＝1时取等号．a a e故：当 a ＝1时， f(x)有 1 个零点；当 0＜a＜1时， f(x)有 2 个零点．e e(ⅱ )若 a＝ 0，则 f(x)＝﹣ lnx，易得 f(x)有 1个零点．()a0，则f ( x)a0在 (0，) 上恒成立，ⅲ 若＜1x即： f ( x)ln x ax 在 (0，) 上是单调增函数，当x→ 0 时， f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时， f(x)→﹢∞．此时， f(x)有 1 个零点．综上所述：当a ＝1或a＜0时，f(x)有1个零点；当e0＜a＜ 1时， f(x)有e2 个零点．。