江苏版高考数学 20.1 计数原理与排列组合

专题二十计数原理【真题典例】20.1 计数原理与排列组合挖命题【考情探究】分析解读江苏高考对两个计数原理、排列、组合的考查往往与集合、数列、概率等进行综合,难度较大,主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点一加法原理与乘法原理1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有种.答案182.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求有公共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.答案260考点二排列1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为.答案642.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是.答案183.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有个.答案28考点三组合1.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有种.(用数字作答)答案4802.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法有种.答案4323.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种?(1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3;(3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2.解析(1)=60(种).(2)=60×6=360(种).(3)=15(种).炼技法【方法集训】方法一两个计数原理应用的基本策略1.(2018江苏靖江中学调研)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案4802.(2019届江苏海门中学调研)从0,8中任取一个数字,从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为.答案18方法二排列组合及其应用的解题策略1.(2019届江苏金陵中学调研)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有种.答案182.(2018江苏吴江中学月考)将甲、乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲、乙不分在同一组的分法有种.答案803.(2018江苏常州二中调研)桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个,相同颜色的球不加以区分,将此9个球排成一排共有种不同的排法.(用数字作答)答案 1 6804.(2019届江苏太湖中学月考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,则满足条件的点的个数为.答案252方法三集合中的计数问题1.(2019届江苏赣榆中学月考)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集.(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.解析(1)110.(2)集合M 有2n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n (2n -1)个.若A ⫋B,并设B 中含有k(1≤k ≤n,k ∈N *)个元素,则满足A ⫋B 的有序集合对(A,B)有(2k -1)=2k -=(3n -2n )个.同理,满足B ⫋A 的有序集合对(A,B)有(3n -2n )个. 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2n (2n -1)-2(3n -2n )=4n +2n -2×3n .2.(2019届江苏扬州中学月考)已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1,S 2,S 3,…,集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T:b 1,b 2,b 3,…,数组T 中所有数的平均值记为m(T). (1)若S={1,2},求m(T);(2)若S={a 1,a 2,…,a n }(n ∈N *,n ≥2),求m(T).解析 (1)S={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},所以数组T 为1,2,.因此m(T)==.(2)因为S={a 1,a 2,…,a n },n ∈N *,n ≥2,所以m(T)=--… - -…=--…-- …a i .又因为 - - = · - - - = - - = · - =,所以m(T)=… …a i =a i .过专题 【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组1.(2016江苏,23,10分)(1)求7 -4的值;(2)设m,n ∈N *,n ≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).-解析(1)7-4=7×-4×=0.(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)=··-=(m+1)··-=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).2.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n 的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=--.因此,当n≥5时,f n(2)=--.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点计数原理与排列组合1.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案162.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2603.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是.答案4.(2017课标全国Ⅱ理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有种.答案365.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6606.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2016课标全国Ⅱ理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.答案188.(2016课标全国Ⅲ理改编,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有个. 答案149.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为.答案72C组教师专用题组1.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 5602.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有个.答案1203.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有种.答案2164.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是.答案1205.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有对.答案486.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2011江苏,23,10分)设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.(1)记A n为满足a-b=3的点P的个数,求A n;(2)记B n为满足(a-b)是整数的点P的个数,求B n.解析(1)点P的坐标满足条件:1≤b=a-3≤n-3,所以A n=n-3.(2)设k为正整数,记f n(k)为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数.只要讨论f n(k)≥1的情形.由1≤b=a-3k≤n-3k知f n(k)=n-3k,且k≤-.设n-1=3m+r,其中m∈N*,r∈{0,1,2},则k≤m.所以B m=f n(k)=(n-3k)=mn-=--.将m=--代入上式,化简得B n=----.所以B n=-是整数--不是整数【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2019届江苏太仓中学月考)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有种.答案752.(2018江苏太湖中学月考)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.答案103.(2018江苏泰兴中学月考)用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有种.答案240二、解答题(共60分)4.(2019届江苏前黄中学月考)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?解析(1)每个盒子放一球,共有=24种不同的放法.(2)第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有4×=144种放法.5.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N*),其中a i∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b).(1)当k=2时,求m(1)的值;(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.解析(1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=+=64. (2)依题意,m(3)表示数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,……,或(4k-1)个1,其余为0,所以m(3)=+++…+-.同理,得m(1)=+++…+-.因为=-(i=3,7,11,…,4k-1),所以m(1)=m(3).又m(1)+m(3)=+++…+-+-=24k-1,所以m(3)=24k-2=42k-1.6.(2019届江苏苏州实验中学月考)记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈N*).性质T:排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i>a i+1(i∈{1,2,…,n-1}).(1)求f(3);(2)求f(n).解析(1)当n=3时,1,2,3的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i>a i+1的排列为(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以f(3)=4.(2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中,若a i=n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选(i-1)个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i-1,其余按从小到-.大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为-若a n=n,则满足题意的排列个数为f(n-1).综上,f(n)=f(n-1)+---=f(n-1)+2n-1-1.从而f(n)=----(n-3)+f(3)=2n-n-1.7.(2018江苏南师附中考前模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数. 解析(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},则A=⌀,{a1},{a2},则(A,B)的个数为3;若集合B含有1个元素,则B有种,不妨设B={a1},则A=⌀,此时(A,B)的个数为×1=2.综上,(A,B)的个数为5.(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=()2+()2+()2+…+()2-(+++…+).又(x+1)n(x+1)n的展开式中x n的系数为()2+()2+()2+…+()2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中x n的系数为,所以()2+()2+()2+…+()2=.又因为+++…+=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为-2n.所以A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为---=-.8.(2017江苏苏州期末)如图,由若干个小正方形组成的k层三角形图阵中,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k层有k个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x1,x2,…,x k,其中x i∈{0,1}(1≤i≤k),其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0.(1)当k=4时,若要求x0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法?(2)当k=11时,若要求x0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?解析(1)当k=4时,第4层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4;第3层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,x3+x4;第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4;所以x0=x1+3x2+3x3+x4.因为x0是2的倍数,x i∈{0,1},所以x1,x2,x3,x4中取值为1的个数为偶数个.其不同的取法总数为++=8.故所求的不同的标注方法有8种.(2)当k=11时,第11层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4,…,x10,x11;第10层标注的数字依次为x i+x i+1,i=1,2, (10)第9层标注的数字依次为x i+(+)x i+1+x i+2=x i+x i+1+x i+2,i=1,2, (9)依此规律,第1层标注的数字为x0=x1+x2+…+x10+x11.计算得==1,==10,当i=2,3,4,…,8时,均是3的倍数.若要求x0是3的倍数,等价于x1+x2+x10+x11是3的倍数,即x1+x2+x10+x11是3的倍数.所以x1,x2,x10,x11中,取值为1的个数为0个或3个.所以x1,x2,x3,…,x10,x11的不同的取法总数为(+)·27=640.故所求的不同的标注方法有640种.9.(2019届江苏无锡天一中学月考)当n≥3,n∈N时,对于集合M={1,2,3,…,n},集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1,N2,N3,…,N M(n)-1,N M(n),其中M(n)表示集合M的含3个元素的子集的个数.设p i为集合N i 中的最大元素,q i为集合N i中的最小元素,1≤i≤M(n),记P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n),Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n).(1)当n=4时,分别求M(4),P,Q;(2)求证:P=3Q.解析(1)当n=4时,M(4)==4,4个子集分别为{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},则P=3+4+4+4=15,Q=1+1+1+2=5.(2)证明:显然3≤p i≤n,p i∈Z,并且以3为最大元素的子集有个,以4为最大元素的子集有个,以5为最大元素的子集有个,……,以k(3≤k≤n)为最大元素的子集有-个,……,以n为最大元素的子集有-个,P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n)=3×+4×+…+n-,①因为k-=k--=3(k=3,4,…,n),所以P=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3.显然1≤q i≤n-2,q i∈Z,以1为最小元素的子集有-个,以2为最小元素的子集有-个,以3为最小元素的子集有-个,……,以k(1≤k≤n-2)为最小元素的子集有-个,……,以n-2为最小元素的子集有个.Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n),则Q=(n-2)+(n-3)+…+k-+…+-,②①+②得P+Q=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)=4. 所以P=3Q.。