江苏省高考数学总复习-第6章第三节-理-苏教版PPT课件

法二：∵a>b，b>0,4a＋b＝1， ∴ab＝144a·b≤14(4a＋ 2 b)2＝116， 当且仅当 4a＝b＝12， 即 a＝18，b＝12时等号成立． 所以 ab 的最大值为116.
(2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 (x－2)·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
变式训练 1 解下列问题． (1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，求 ab 的 最大值； (2)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值．
解：(1)法一：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116.所以 ab 的最大值为116.
【解】 (1)∵0<x<2，∴0<3x<6,8－3x>2>0， ∴y＝ 3x(8－3x)≤3x＋(28－3x)＝82＝4， 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时，取等号． ∴y＝ 3x(8－3x)的最大值是 4.
(2)显然 a≠4， 当 a>4 时，a－4>0，
∴
3 a－4
＋
a
＝
3 a－4
＋
数的算术平均数_不__小__于__它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当_x_＝__y_时，和 x＋y 有最小值_2__P__. (2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当_x_＝__y__时，积 xy 有最大值__14_S_2.
思考感悟 在利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一 正、二定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是 正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定 值)．“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时 要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件．
(2)ab_≤__(a＋2 b)2(a，b∈R)；
a2＋b2 (3) 2
_≥__(a＋2 b)2(a，b∈R)；
(4)ba＋ab≥_2__(a，b 同号且不为零)．
3．算术平均数与几何平均数 a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2__，几
何平均数为__a_b__，基本不等式可叙述为：两个正
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条 件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本 不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．
2．基本不等式的几种变形公式
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且
(a
－
4)
＋
4≥2
a－3 4×(a－4)＋4＝2 3＋4，
当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a<4 时，a－4<0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－[4－3 a＋(4－a)]＋4 ≤－2 4－3 a×(4－a)＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4， ＋∞)．
第三节 基本不等式
第双基研习·面对高考三节基考点探究·挑战高考
本
不
等
式
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．基本不等式
基本不等式
不等式成立 的条件
等号成立的 条件
ab≤a＋2 b _a_>_0_，___b_>_0__ _a_＝__b__
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b_(a，b∈R)；
还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的
逆运用等．如：
a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
例1 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x的 最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围；
(3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最 小值．
【思路分析】 解答 (1)题直接应用基本不等式， 本题 — (2)配凑，(3)题常值代换
解析：∵x＋2y＋2xy＝8， ∴y＝28x－＋x2>0， ∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·28x－＋x2 ＝(x＋1)＋x＋9 1－2≥2 (x＋1)·x＋9 1－2＝4， 此时 x＝2，y＝1.
答案：4
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
1．创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆 与凑的目的在于使等号成立，且每项为正值， 必要时需出现积为定值或和为定值．
3．已知5x＋3y＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值 是________．
解析：2＝5x＋3y≥2 1x5y， 所以 xy≥15，当且仅当5x＝3y， 即 x＝5，y＝3 时等号成立．所以 xy 的最小值是 15. 答案：15
4．(2010年高考重庆卷改编)已知x>0，y>0，x ＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
(3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1，
∴
8 x
＋
2 y
＝
(
8 x
＋
2 y
)(x
＋
y)
＝
10
＋
8y x
＋
2x y
≥10
＋
2
8xy·2yx＝18. 当且仅当8xy＝2yx，即 x＝23，y＝13时等号成立，
∴8x＋2y的最小值是 18.
【名师点评】 (1)利用基本不等式求最值，必 须满足三条：一正、二定、三相等，即①x、y 都是正数；②积xy或和x＋y为定值；③x与y必 须能够相等． (2)利用基本定理解决一些较为复杂的问题时需 要同时或连续使用基本定理，这时要注意保证 取等号的一致性．
课前热身 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
________．(填序号)
①y＝x＋4x；
②y＝sinx＋si4nx(0<x<π)；
③y＝ex＋4e－x;
④y＝log3x＋logx81.
答案：③
2．(2011 年苏州调研)“a>b>0”是“ab<a2＋2 b2” 的________条件．
解析：a>b>0⇒a2＋2 b2>ab. ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴由a2＋2 b2>ab⇒a， b∈R 且 a≠b/a>b>0. 答案：充分不必要