2020-2021学年北京市西城区三帆中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)-解析版

2020-2021学年北京市西城区三帆中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为()A. 三角形B. 菱形C. 矩形D.正方形2.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象，只需将函数y=x2的图象()A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.若关于x的方程(m+1)x|m|+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的取值为()A. m=1B. m=−1C. m=±1D. m≠−15.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是()A.AB=ADB. BC=CDC. AB⏜=BD⏜D. ∠BCA=∠DCA6.已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是()A. B.C. D.7.小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是()①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB.两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y与时间x(单位：秒)的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是()A. 小红的运动路程比小兰的长B. 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C. 当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD. 在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.方程x2−2x=0的根为______．10.已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积是______．11.请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=______ ．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：______．13.关于x的二次函数y=ax2−2ax+a−1(a>0)的图象与x轴的公共点有______个．14.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是______．15.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆(如图)；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，不写画法)，并写出点M表示的数为______．16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4,0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE//AB，并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.解下列一元二次方程：(1)3(1+x)2=15；(2)3x2−4x−2=0．18.已知一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−m=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)若抛物线y=x2−(2m−1)x+m2−m经过原点，求m的值．19.已知二次函数y=x2−2x−3．(1)将y=x2−2x−3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______；(2)此函数与x轴的交点坐标为______；(3)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(不用列表)(4)直接写出当−2<x<3时，y的取值范围．AC．20.如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE//AC，DE=12(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF=CE=1，求AC长．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=4，AC=4√2．(1)求点O到AC的距离；(2)求∠ADC的度数．22.小明根据学习函数的经验，对函数y=x4−5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x…−94−115−2−32−54−1−12−14141215432211594…y… 4.3 3.20−2.2−1.40 2.8 3.74 3.72.80−1.4−2.2m 3.2 4.3…其中m=；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质______；(4)进一步探究函数图象发现：①方程x4−5x2+4=0有______个互不相等的实数根；②有两个点(x1,y1)和(x2,y2)在此函数图象上，当x2>x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：y1______y2(填“>”、“<”或“=”)；③若关于x的方程x4−5x2+4=a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．23.已知二次函数y=ax2−4ax+3a．(1)该二次函数图象的对称轴是直线x=______；(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；(3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足，y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．24.在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．(1)依题意补全图形；(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小(用含α的式子表示)；(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．25.对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P(−3,4)到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4．(1)①点A(2,−5)的最大距离为______；②若点B(a,2)的最大距离为5，则a的值为______；(2)若点C在直线y=−x−2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；(3)若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．故选：B．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据对角线互相垂直平分的四边形的菱形即可判断．本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，×(180°−100°)=40°．∴∠B=∠ADB=12故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【解答】解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1,2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+2．故选B．4.【答案】A【解析】解：∵关于x 的方程(m +1)x |m|+1−2x =3是一元二次方程，∴{m +1≠0|m|+1=2， 解得m =1．故选：A ．根据一元二次方程的定义进行解答．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0(且a ≠0).特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5.【答案】B【解析】解：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，∴BC⏜=DC ⏜， ∴BC =CD ．故选：B ．利用角平分线得到∠BAC =∠DAC ，再根据圆周角定理得到BC ⏜=DC ⏜，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到BC =DC ．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．6.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件“a <0、b >0、c <0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．本题考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根据二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴的交点．【解答】解：∵a =−1<0，b >0，c <0，>0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a故选D．7.【答案】D【解析】解：①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；故选：D．结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．本题考查了平均数和方差以及读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．8.【答案】D【解析】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；=4.84，D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682故本选项正确；故选：D．利用图象信息一一判断即可解决问题．本题考查动点问题函数图象、解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．9.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：因式分解得x(x−2)=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．因为x2−2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．10.【答案】2√3【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=2，∠B=60°，=√3，∴AH=AB⋅sinB=2×√32∴菱形ABCD的面积=BC⋅AH=2×√3=2√3．故答案为2√3．过点A作AH⊥BC于H，在直角三角形ABH中求出AH的长，再根据菱形的面积公式计算即可．本题考查了菱形的性质，锐角三角函数定义，三角形的面积，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，比较简单．11.【答案】−x2+2x(答案不唯一)【解析】解：∵开口向下，∴a<0，∵抛物线过坐标原点，∴c=0，∴答案不唯一，如y=−x2+2x．故答案为：y=−x2+2x(答案不唯一)．直接利用二次函数的性质分析其a，c的值进而得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确确定a，c的值是解题关键．12.【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF【解析】解：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF；故答案为：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．考查了坐标与图形变化−旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．13.【答案】2【解析】解：△=b2−4ac=(−2a)2−4a(a−1)=4a，∵a>0，∴△=4a>0，∴关于x的二次函数y=ax2−2ax+a−1(a>0)的图象与x轴的公共点有2个，故答案为：2．根据△=b2−4ac=4a>0可得有2个交点．考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是正确的计算根的判别式，难度不大．14.【答案】52【解析】解：连接OA，∵C是AB的中点，AB=2，OC⊥AB，∴AC=12∴OA2=OC2+AC2，即OA2=(OA−1)2+22，，解得，OA=52故答案为：5．2连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．15.【答案】√15+1【解析】解：如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC=√AB2−BC2=√42−12=√15，∴点M表示的数为√15+1，故答案为：√15+1．按照要求作图即可得点M ，连接AC 、BC ，由题意知AB =4、BC =1、∠ACB =90°，从而可得AM =AC =√AB 2−BC 2=√15，继而可得答案．本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．16.【答案】②④【解析】解：①该函数图象的开口向下，a <0，错误；②∵a <0，−b 2a >0，∴b >0，正确；③把x =2代入解析式可得4a +2b +c >0，错误；④∵AD =DB ，CE =OD ，∴AD +OD =DB +OD =OB =4，可得：AD +CE =4，正确．故答案为：②④根据图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中等题． 17.【答案】解：(1)3(1+x)2=15，两边都除以3得，(1+x)2=5，∴1+x =±√5，∴x 1=−1+√5，x 2=−1−√5；(2)3x 2−4x −2=0，∵a =3，b =−4，c =−2，△=b 2−4ac =16+24=40，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=4±√402×3=2±√103， ∴x 1=2+√103，x 2=2−√103．【解析】(1)方程两边同除以3后，然后直接开平方即可．(2)找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程−公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．18.【答案】解：(1)由题意有△=[−(2m −1)]2−4(m 2−m)=1>0．∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)抛物线过原点，则m2−m=0，解得m=0或1．【解析】(1)根据二次函数的根的判别式△=b2−4ac的符号来判断方程的根的情况；(2)抛物线过原点，则m2−m=0，即可求解．本题考查了抛物线和x轴的交点、根与系数的关系等，熟练掌握根的判别式是解题的关键．19.【答案】y=(x−1)2−4(−1,0)、(3,0)【解析】解：(1)y=x2−2x−3=(x−1)2−4，故答案为y=(x−1)2−4；(2)令y=x2−2x−3=0，解得x=−1或3，故答案为(−1,0)、(3,0)；(3)根据(1)、(2)的数据描点连线大致画出函数的图象如下：(4)从函数图象看，当−2<x<3时，当x=−2时，y=x2−2x−3=1，函数的顶点坐标为(1,−4)，故y的取值范围为−4<y<1．(1)y=x2−2x−3=(x−1)2−4，即可求解；(2)令y=x2−2x−3=0，解得x=−1或3，即可求解；(3)根据(1)、(2)的数据描点连线大致画出函数的图象即可；(4)从函数图象看，当−2<x<3时，当x=−2时，y=x2−2x−3=1，函数的顶点坐标为(1,−4)，故y的取值范围为−4<y<1．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，AC，∴AC⊥BD，OA=OC=12∴∠DOC=90°，AC，∵DE//AC，DE=12∴OC=DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形；(2)解：由(1)得：四边形OCED是矩形，∴OD//CE，∠OCE=90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF=AF=EF，∵CF=CE=1，∴CF=1，∴AE=2，∴AC=√AE2−CE2=√22−12=√3．【解析】(1)根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA=OC，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据直角三角形的性质得到CF=AF=EF，得出AE=2，根据勾股定理即可得到答案．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)作OM⊥AC于M，∵AC=4√2，∴AM=CM=2√2，∵OC=4，∴OM=√OC2−MC2=2√2；(2)连接OA，∵OM=MC，∠OMC=90°，∴∠MOC=∠MCO=45°，∵OA=OC，∴∠OAM=45°，∴∠AOC=90°，∴∠B=45°，∵∠D+∠B=180°，∴∠D=135°．【解析】(1)作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=2√2，根据勾股定理即可得到结论；(2)连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】(1)观察对应数值表可知：m=0，(2)用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：(3)函数图象关于y轴对称；<a<4．(4)① 4 ；②<；③−94【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，(答案不唯一)，故答案为：函数图象关于y轴对称；(4)①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4−5x2+4=0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2>x1>2时，y1<y2；故答案为<；<a<4，③观察函数图象，结合对应数值表可知：−94<a<4．故答案为：−94【分析】(1)观察对应数值表即可得出；(2)用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；(3)观察函数图象，即可求得．本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．23.【答案】2=2．【解析】解：(1)对称轴x=−−4a2a故答案为2．(2)∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a−8a+3a=2．解得a=−2，∴二次函数为y=−2x2+8x−6．(3)∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4．(1)利用对称轴公式计算即可；(2)构建方程求出a的值即可解决问题；(3)当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q 左边或重合时，满足条件，可得t+1≤5，由此即可解决问题．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)如图：(2)∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°−2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；(3)补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°−α，由(2)知∠ABH=90°−2α，∠DBP=90°−α−(90°−2α)=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB−∠DBP=45°+α−α=45°，∴DGDP =√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【解析】(1)依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；(2)依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°−2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；(3)依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB−∠DBP=45°+α−α=45°，据此可得BC=√2DP．本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．25.【答案】解：(1)5，±5；(2)设点C的坐标(x,y)，∵点C的“最大距离”为5，∴x=±5或y=±5，当x=5时，y=−7，当x=−5时，y=3，当y=5时，x=−7，当y=−5时，x=3，∴点C(−5,3)或(3,−5)．(3)如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=−5，直线y=5，直线y=−5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴5≤r≤5√2．【解析】解：(1)①∵点A(2,−5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∵2<5，∴点A的“最大距离”为5．②∵点B(a,2)的“最大距离”为5，∴a=±5；故答案为5，±5．(2)见答案；(3)见答案(1)①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；②点B(a,2)到x轴的距离为2，且其“最大距离”为5，所以a=±5；(2)根据点C的“最大距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；(3)如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=−5，直线y=5，直线y=−5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。