锐角三角函数知识点总结与复习.

根据上述规律，计算 sin2a+sin2（ 90°﹣ a） =
．
解析：根据 ①②③ 可得出规律，即 sin2a+sin2（90°﹣ a） =1 ，继而可得出答案．
答案：解：由题意得， sin230°+sin2（ 90°﹣ 30°） =1； sin245°+sin2（ 90°﹣ 45°） =1；
sin260°+sin2（ 90°﹣ 60°） =1；故可得 sin2a+sin2（ 90°﹣ a） =1 ．故答案为： 1．
不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接
CD （如下图所示） ，恰好可证得
CD ⊥ AB ，于是有 sinA＝ CD ＝ 2 ＝ 5 ． AC 10 5
2
例
5
(
2012
宁波
)， Rt
△
0
ABC,∠ C=90 ,AB=6,cosB=
2 3
,则 BC
的长为
【解析】
cosB=BC AB
2 =3
5
； 分析 在 Rt△ ABC
中，设 AC＝ 3k，AB＝ 5k，则 BC＝ 4k，由定义可知 tan A＝ BC
4k
4 ．
AC 3k 3
分析 在 Rt △ ABC 中， BC＝ AB 2 AC2
52 42 ＝ 3，∴ sin A＝ BC 3 ．故填 3 ．
AB 5
5
例 3（ 12·哈尔滨） 在 Rt△ ABC中，∠ C=900，AC=4，AB=5，则 sinB 的值是
ctanA
【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便）
，然后在计算出其它 22 题图
边长，根据余切定义进而求出
ctan30?（。 2）由 tanA= 3 为了计算方便， 可以设 BC=3 4，
AC=4
根据余切定义就可以求出 ctanA 的值．【解析】（1）设 BC=1, ∵ α =30 ?
斜边 c
对
a边
A
邻边
C
b
定义
表达式
取值范围
关系
正弦 余弦 正切
sin A cos A tan A
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A 的邻边
a sin A
0 sin A 1
c ( ∠ A 为锐角 )
cos A b 0 cosA 1
c ( ∠ A 为锐角 )
tan A a b
tan A 0
( ∠ A 为锐角 )
【解析】因为△ ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以
锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数值也不变． 【答案】选 A ．
例 8（ 2012 湖南）观察下列等式
① sin30°=
cos60°= ② sin45°=
cos=45°= ③ sin60°=
cos30°=
直角三角形中 的边角关系
锐角三角函数知识点总结与复习
锐角三 角函数
解直角 三角形
实际问题
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a2 b 2 c 2
2、如下图，在 Rt △ ABC中，∠ C 为直角， 则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠ A 可换成∠ B) ：
B
∴AB=2 ∴由勾股定理得： AC=
3 ctan30?= AC =
3 3 (2) ∵ tanA=
BC
4
∴设 BC=3
AC=4 ∴ ctanA=
AC
4
=
BC 3
例 7（ 2012 山东滨州）把 △ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角
A 的正弦函
数值（
） A．不变 B．缩小为原来的 1 C．扩大为原来的 3 倍 D．不能确定 3
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另 外 sin2a+sin2（ 90°﹣ a） =1 是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
弦值。
sin A cosB cos A sin B
由 A B 90 得 B 90 A
sin A cos(90 A) cos A sin(90 A)
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正
切值。
tan A cot B cot A tan B
由 A B 90 得 B 90 A
3 ( )A ． sin A＝
2
1 B． tan A＝
3 C． cosB＝
D． tan B＝ 3
2
2
分析 sinA＝ BC ＝ 1 ， tan A＝ BC ＝ 3 ， cosB＝ BC ＝ 1 ．故选 D.
AB 2
AC 3
AB 2
3 例 2 在△ ABC 中，∠C＝ 90°，cosA＝ ,则 tan A 等于
余切
cot A
A的邻边 A的对边
b cot A
a
cot A 0
( ∠ A 为锐角 )
sin A cosB cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
tan A cot B cot A tan B tan A 1 ( 倒数 )
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正
tan A cot(90 A)
cot A tan(90 A)
5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 )
三角函数
0°
30°
45°
60°
90 °
1
sin
0
cos
1
tan
0
cot
不存在
6 、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤ 90°时， sin
1 2
2
3
1
2
2
3
2
1
0
2
2
2
3
1
3
3
不存在
3
1
3
0
3
随 的增大而增大， cos 随 的增大而减小。
7、正切、余切的增减性： 当 0°< <90°时，tan 随 的增大而增大， cot
随 的增大而减小。
一、知识性专题
专题 1：锐角三角函数的定义
例 1 在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， BC＝ 1， AB ＝ 2，则下列结论正确的是
；
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于
对边比邻边，故 sinB= 4 . 5
例 4（ 2012 内江）如图 4 所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点， 则 sinA 的值为
；
A
A
D
B
C
图4
B
C
图4
【解析】欲求 sinA，需先寻找∠ A 所在的直角三角形，而图形中∠ A 所在的△ ABC 并
，又∵ AB=6∴ BC=4
例 6（2012 贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形
ABC 中，锐角
； 的邻边与对边的比
角 的邻边
叫做角 的余切，记作 ctan , 即 ctan =
角 的对边
AC
，根据上述角的余切定义，
BC
解下列问题：（ 1） ctan30?=
；
（ 2）如图，已wenku.baidu.com 的值．
tanA= 3 ，其中∠ A 为锐角，试求 4