2-2.3(行列式的计算)--线性代数PPT
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线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
2.3线性代数讲解PPT课件
anj
0 0
a11 a1, j1
a a i1,1
i1, j1
a a i1,1
i1, j1
an1 an, j1
0 0
a1, j1 a1n
a a i1, j1
i 1, n
a a i1, j1
i 1, n
an, j1 ann
(1)i j aij M ij aij (1)i j M ij aij Aij
cd
(1)2n1 b
cd
c
d0
0
0d
0c
d
c0
0
adD2(n1) bcD2(n1)
(ad bc)D2(n1)
递推公式
D2n (ad bc)1 D2(n1) (ad bc)2 D2(n2)
(ad bc)n1 D2
(ad bc)n
1 5 1 3
1 1 11 例7 设有行列式 1 1 2 3 , 求A41 A42 A43 A44 ，
即
m k 6, m 4k 12.
故 m 4,k 2.
3.3 Laplace定理
定义 设 D是一个n阶行列式，在D中取定某K个行及
某k个列 1 k n ，由这些行与列相交处的元素构成
一个k阶行列式，称之为D的一个k阶子式.
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
N1
a22 a32
a23 a33
N2
a21 a41
a23 a43
是 D的两个2阶子式.
0 0
a11 a1, j1
a a i1,1
i1, j1
a a i1,1
i1, j1
an1 an, j1
0 0
a1, j1 a1n
a a i1, j1
i 1, n
a a i1, j1
i 1, n
an, j1 ann
(1)i j aij M ij aij (1)i j M ij aij Aij
cd
(1)2n1 b
cd
c
d0
0
0d
0c
d
c0
0
adD2(n1) bcD2(n1)
(ad bc)D2(n1)
递推公式
D2n (ad bc)1 D2(n1) (ad bc)2 D2(n2)
(ad bc)n1 D2
(ad bc)n
1 5 1 3
1 1 11 例7 设有行列式 1 1 2 3 , 求A41 A42 A43 A44 ，
即
m k 6, m 4k 12.
故 m 4,k 2.
3.3 Laplace定理
定义 设 D是一个n阶行列式，在D中取定某K个行及
某k个列 1 k n ，由这些行与列相交处的元素构成
一个k阶行列式，称之为D的一个k阶子式.
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
N1
a22 a32
a23 a33
N2
a21 a41
a23 a43
是 D的两个2阶子式.
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
行列式的计算方法(常见)ppt
01
02
03
正确理解行列式的正负 号规则，行列式中元素 的排列顺序会影响符号
。
注意行列式中行和列的 交换对符号的影响，行 和列的交换会导致行列
式的符号发生变化。
正确处理行列式中元素 的正负号，避免因为符 号错误导致计算结果错
误。
理解行列式的几何意义
行列式可以表示一个n维向量的线性变换，理解这一几何意义有助于更好 地理解行列式的计算方法。
征向量。
在求解过程中，行列式用于判断特征值是否存在，以及计算特
03
征值和特征向量的数值。
04
行列式计算的注意事项
避免计算错误
01 仔细核对行列式的元素，确保没有遗漏或错误。 02 使用行列式计算法则时，要确保每一步都符合规
则，避免出现计算错误。
03 多次检查计算过程，确保每一步都正确无误。
注意行列式的符号问题
通过几何意义可以直观地理解行列式的值，以及行列式在几何空间中的作 用。
理解行列式的几何意义有助于更好地理解行列式在解决实际问题中的应用， 例如线性方程组求解、向量空间等。
感谢您的观看
THANKS
在矩阵计算中的应用
行列式在矩阵计算中主要用于计算矩 阵的逆、行列式、转置等。
行列式在矩阵的初等变换中也有应用 ，例如通过行列式值不变的特性，可 以判断矩阵是否可以通过初等行变换 或初等列变换化为单位矩阵。
在特征值和特征向量计算中的应用
01
行列式在特征值和特征向量的计算中起到关键作用。
02
通过行列式与特征多项式的计算，可以求出矩阵的特征值和特
计算方法
根据行列式的性质和已知的行列式值，推导出更高阶行列式的递推 关系式，然后逐步计算出高阶行列式的值。
2-2.1(行列式的性质1—性质3)--线性代数PPT
bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
an1 an2 ann an1 an2 ann
§2.2 行列式的性质与计算
证
左 按 第 i行 展 开 (bi1 ci1 ) Ai1 (bin cin ) Ain
(bi1 Ai1 bin Ain ) (ci1 Ai1 cin Ain )
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
bi1 bi 2
det A ak1 Ak1 ak 2 Ak 2 akn Akn , (k i, j)
Mkl(l=1,…,n): n-1阶行列式, 有两行元对应相等
Akl 0 (k 1, ..., n) det A 0
§2.2 行列式的性质与计算
性质3
a11
a12
a1n
推论 detA的某一行全为零 det A 0
性质2 detA 的第i行元素与第j行元素对应相等
即 aik = ajk , i≠j, k=1,…, n det A 0
证 对行列式的阶n用数学归纳法 1o: n=2, 显然. 2o: 设结论对n-1阶行列式成立, 对n阶行列式, 按第k(i, j)行展开:
0
ann
a1,n1
a2,n1
0
a11
a a nn n1,n1
an1,n1
a12
a1,n2
a22
a2,n2
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x2 x1
x3 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 ( x3 x1 )
xnn2 ( xn x1 )
xn x1 xn ( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 )
xn2 3
(
x3
x1 )
1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
xnn2 ( xn x1 )
x
1y 0 x y ( x (n 1) y)
1y
x
பைடு நூலகம்
y
0 x n 1 y x y n-1
00
x y
§2.2 行列式的性质与计算
例10. 证明范德蒙行列式(n≥2)
111
1
x1
x2
x3
Vn x12
x22
x32
xn xn2 ( xi x j ),
1 jin
x x x n1
n1
n1
§2.2 行列式的性质与计算
an
0
0
n
1 ai
i 1
1
1 a1 a2
an
a1 1 a2
an
a1
a2
1 an [结束]
1
2
3
x n1 n
证
n = 2:
1 x1
1 x2
x2 x1 ,
结论成立
设对于n-1阶结论成立，对于n阶：
§2.2 行列式的性质与计算
1 0 Vn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
1
1
x3
xn n-1阶范德
蒙行列式
x x n2
n2
2
3
xn2 n
Vn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
( xi x j )
( xi x j )
2 jin
1 jin
§2.2 行列式的性质与计算
例11
a a2 a3 a4
b b2 b3 b4
D
abcd
c c2 c3 c4
三. 行列式的计算
例7. 设 解.
，求 detA.
§2.2 行列式的性质与计算
例8. 计算 解.
§2.2 行列式的性质与计算
xy
y
yx
y
例9. 计算 Dn
yy
x
解（逐列相加）
x (n 1) y y
y
1y
y
x (n 1) y x Dn
y
1 ( x (n 1) y)
x
y
x (n 1) y y
d d2 d3 d4
1 a a2 a3 1 b b2 b3 1 c c2 c3 1 d d2 d3
abcd
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 a3 b3 c3 d 3
abcd d cd bd ac bc ab a
§2.2 行列式的性质与计算
1 a1 a2
an
例12. 计算 Dn a1 1 a2
an
a1
a2
解. 加边法
1 an
1 a1 a2
an
1 a1 a2
an
0 1 a1 a2
an 1 1 0
0
Dn 0 a1 1 a2
an 1 0 1
0
0 a1 a2
1 an 1 0 0
1
§2.2 行列式的性质与计算
n
1 ai a1 a2 i 1
0
0
10 01
0 00
其它方法 拆边法 逐行（列）相加法 先猜测，后归纳