江苏省八校高三数学联考 文
江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题及答案
江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集{|29}U x N x +=∈-<<，{3,4,5}M =，{1,3,6}P =，那么集合{2,7,8}是（ ） A ．M P ⋃ B ．MP C ．()()U U C M C PD ．()()U U C M C P2．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin 23θ=，则cos θ=（ ）A BC D 4．已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2iB ．2i -C ．1i +D ．1i -+5．已知双曲线C ：()222103x y a a-=>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在双曲线C 上，若12AF F △的周长为10，则12AF F △的面积为（ ）A B ．C ．15D ．306．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α=（ ）A ．12 BC D 7．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+B ．2()y f x x =+C ．3()y f x x =+D ．4()y f x x =+8．已知x ，y 满足2266x y y +=- ）A ．1BC ．1D ．1 二、多选题9．已知,,,a b c d ∈R ，则下列结论中正确的有（ ） A ．若22,ac bc >则a b >B ．若11,a b<则a b > C ．若0a b >>，0ac bd >>，则c d >D ．若2211,a b ab >则a b < 10．已知函数21()222x x f x +=-+，定义域为M ，值域为[]1,2，则下列说法中一定正确．．．．的是（ ） A ．[]0,2M =B ．(],1M ⊆-∞C ．0M ∈D ．1M ∈11．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系,0,2πθα⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当θα>时，截口曲线为椭圆；当θα=时，截口曲线为抛物线：当0α<时，截口曲线为双曲线.（如左图）现有一定线段AB 与平面β夹角ϕ（如上右图），B 为斜足，β上一动点P 满足BAP γ∠=，设P 点在β的运动轨迹是Γ，则（ ）A ．当4πϕ=，6πγ=时，Γ是椭圆 B ．当3πϕ=，6πγ=时，Γ是双曲线 C ．当4πϕ=，4πγ=时，Γ是抛物线D ．当3πϕ=，4πγ=时，Γ是椭圆12．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、F 、G 分别是1DD 、AD 、BC 中点，连结1A D 、AC 分别交EF 、FG 于S 、K 两点，则下面选项叙述正确的是（ ）A ．四棱锥E DFGC -B ．SK EC ⊥C ．平面DSK 被四棱锥E DFGC -的外接球所截得的截面面积是724π D ．若1O 为正方形ABCD 的内切圆，2O 为正方形11A ADD 的外接圆，P 、Q 分别为1O 、2O 上的点，则线段PQ三、填空题13．过点(的直线l 与圆224x y +=相切，则直线l 在y 轴上的截距为__________．14．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，2DE EC =，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE PM ⋅的最小值为______.四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++=，则1a =__16．已知向量cos sin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12cos()13αβ+=，6()5f β=，求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n a S +=+，()*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a -之间插入n 个实数，使这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：158n T <.18．如图所示，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，5CD =，3CE =，且△EDC 的面积为(1)求边DE 的长；(2)若3AD =，求△ABC 的面积.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BADE ⊥平面ACFD ，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====.（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值.20．已知函数()e ln 2xf x a x x -=--（a ∈R ，0x >）.(1)若1a =，0x 是函数()f x 的零点，求证：00e 1xx ⋅=；(2)证明：对任意0x >，01a <≤，都有2sin ln e x a x x x x --<+.21．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，抛物线C 上一点A 的横坐标为()110x x >，过点A 作抛物线C 的切线1l ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，与直线l ：2py =交于点M .当2FD =时，60AFD ∠=︒. (1)求抛物线C 的方程；(2)若B 为y 轴左侧抛物线C 上一点，过B 作抛物线C 的切线2l ，与直线1l 交于点P ，与直线l 交于点N ，求PMN 面积的最小值，并求取到最小值时1x 的值. 五、双空题22．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221x y a b+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：22143x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.参考答案：1．D 【解析】 【分析】先求得全集U ，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意可知{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，对于A 选项，{}1,3,4,5,6M P ⋃=，故A 选项不符合； 对于B 选项，{}3M P ⋂=，故B 选项不符合；对于C 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,81,2,4,5,6,7,8U U C M C P ⋃=⋃=，故C 选项不符合；对于D 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,82,7,8U U C M C P ⋂=⋂=，故D 选项符合. 故选D. 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3．B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式可得正确的选项. 【详解】,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos20θ<，cos 23θ=-()21113cos 1cos 21223236θθ⎛⎫-=+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭而,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ= 故选：B. 4．D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D. 5．A 【解析】 【分析】根据离心率，可求得21a =，即可得双曲线方程，不妨设A 在双曲线的右支上，根据双曲线定义，可得1222PF PF a -==，根据题意，可得126PF PF +=，即可求得12,PF PF ，即可求得答案. 【详解】由题意得2c e a ==，所以21a =，所以双曲线方程为2213y x -=，不妨设A 在双曲线的右支上，由双曲线定义可得1222PF PF a -==△，又12AF F △的周长为121210PF PF F F ++=，且124F F ==， 所以126PF PF +=△，△△联立，解得124,2PF PF ==，所以12AF F △的面积为122⨯=故选：A 6．B 【解析】 【分析】如图，以点A 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设平面的法向量为()000,,n x y z =，根据平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，可得1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，求出平面的法向量，从而可得出答案.【详解】解：如图，以点A 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1B D A ，()1,0,0AB =，()0,1,0AD =，()10,0,1AA =. 设平面的法向量为()000,,n x y z =，则可令1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，△(),,n m m m =，所以sin cos ,3n AB m n AB n ABα⋅=〈〉===故选：B.7．C 【解析】 【分析】对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【详解】对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点， 从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞， 所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，从而2()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误；对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：△当[0,]4x π∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当(,]42x ππ∈时，2233()14x π>⨯>，即23sin 0x x ->，从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当(,)2x π∈+∞时，2233()2x π>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当[,0)2x π∈-时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，△当(,)2x π∈-∞-时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>， 从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞， 所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点， 从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】的几何意义，利用正弦函数的.【详解】求maxy y +=+设(),P x y 是圆()2233x y +-=上任一点，过P0y +=的垂线，垂足为T ，PT 的长PT=PO ，sin PTPOT PO==∠，直线y kx =与圆()2233xy +-=相切时k =令tan θ=y =与圆相切于第一象限时，sin POT ∠取最大值，此时21sin sin sin 32POT πθθθ⎛⎫∠=-=+⎪⎝⎭1122==△max1=故选：D.9．AD 【解析】根据不等式的性质判断AD ，再由特殊值判断BC. 【详解】A 选项，由22ac bc >可得20c ≠，则a b >，A 正确；B 选项，由1a =-，1b =是一个反例，B 错误；C 选项，3a =，1c =，1b =，2d =是一个反例，C 错误；D 选项，222222111100b ab a a b ab a b ab a b->⇒-=>⇒->，D 正确； 故选：AD. 10．BCD 【解析】先研究值域为[]1,2时函数的定义域，再研究使得值域为[]1,2得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】由于[]212()222(21)11,2x x x f x +=-+=-+∈，[]2(21)0,1x ∴-∈，[]211,1x ∴-∈-，[]20,2x ∴∈，(],1x ∴∈-∞，即函数21()222x x f x +=-+的定义域为(],1-∞当函数的最小值为1时，仅有0x =满足，所以0M ∈，故C 正确； 当函数的最大值为2时，仅有1x =满足，所以1M ∈，故D 正确； 即当[]0,1M =时，函数的值域也为[]1,2，故(],1M ⊆-∞，故B 正确； 当2x =时，函数值[](2)101,2f =∉，故A 错误； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题. 11．ACD 【解析】 【分析】认为P 在以AB 为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可. 【详解】△AB 为定线段，BAP γ∠=为定值，△P 在以AB 为轴的圆锥上运动， 其中圆锥的轴截面半顶角为γ，β与圆锥轴AB 的夹角为ϕ对于A ，ϕγ>，△平面β截圆锥得椭圆，A 正确；对于B ，ϕγ>，Γ是椭圆，B 错. 对于C ，ϕγ=，Γ是抛物线，C 正确.对于D ，ϕγ>，Γ是椭圆，D 正确. 故选：ACD. 12．ACD 【解析】 【分析】根据直接求解E DFGC -的外接球的半径得r =A 选项；对于B 选项，建立空间直角坐标系，利用坐标法求SK EC ⋅判断即可;对于C 选项，结合坐标法求得O 到平面DSK的距离d ，进而得截面半径，计算面积判断即可；对于D 选项，由题设设1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【详解】解：对于A 选项，四边形CDFG 的外接圆是以DG圆心设为M ，外接球球心为O ，半径为r .设OM h =，△222215216516h r h r ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，△{ℎ=14r =√64△334433V r ππ=⋅=⎝⎭，A 对. 对于B 选项，如图，建系()0,0,0D ，11,0,44S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022K ⎛⎫⎪⎝⎭，111,,424SK ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0C ，10,1,2EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，508SK EC ⋅=≠，△SK 与EC 不垂直，B 错.对于C 选项，设平面DSK 的法向量为(),,n x y z =00n DS n DK ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，△1104411022x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，不妨设1x =，则1y =-，1z =-， △()1,1,1n =--，111,,042O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则111,,424O ⎛⎫⎪⎝⎭，14OM =，△O 到平面DSK的距离123OD n d n ⋅=== 设截面半径为r '，则()2238r d '+=，△()2724r '=，△()2724S r ππ='=，C 对. 对于D 选项，由题知P 在22111224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，Q 在22111222x z ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，设1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11cos ,0,2222Q ββ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭22221111cos sin 2222PQ αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111111cos cos cos sin sin sin 4242442ααββααββ=+++++++155cos cos sin 222424αβαββ=-+++≤+5544≤==，△PQ ≤D 对. 故选：ACD 【点睛】本题考查空间几何体的外接内切问题，坐标法解决立体几何问题.考查空间想象能力，数学运算能力，是难题.本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标法求解，其中D 选项的解决借助圆的参数方程1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,进而求解最值. 13．4 【解析】 【分析】根据题意，分析可得点(在圆224x y +=上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果. 【详解】因为22(14+=，所以点(在圆224x y +=上，△切线l的斜率110k =-=- 则切线l的方程为1y x -=+，变形可得4y =+， 所以直线l 在y 轴上的截距为4； 故答案为：4. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题. 14．2352【解析】 【分析】构建直角坐标系，令()1AP AB AD λλ=+-求P 的坐标，进而可得PE ，PM ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可. 【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则()2,2E ，()3,1M ，又(3,0)=AB ，(0,2)AD =，令()()13,22AP AB AD λλλλ=+-=-，01λ≤≤， 故(3,22)P λλ-，则(23,2)PE λλ=-，(33,21)PM λλ=--，()()23332(21)PE PM λλλλ⋅=--+-213176λλ=-+，所以1726λ=时，PE PM ⋅取最小值2352.故答案为：2352. 15．2 【解析】 【分析】先利用1(2)n n n a S S n -=-和题设⇒11n n S S n n -=-，2n ，进而说明数列{}n S n是每项均为1S 的常数列，求得n S 的表达式，再利用246601860S S S S +++⋯+=求得1a ． 【详解】 解：n n S na =，1()n n n S n S S -∴=-，2n ，即1(1)n n n S nS --=，2n ，即11n n S S n n -=-，2n ， ∴数列{}nS n是每项均为1S 的常数列， ∴11nS S a n==，即1n S na =， 又246601860S S S S +++⋯+=，113062(24660)18602a a ⨯∴+++⋯+==，解得：12a =. 故答案为：2．16．（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）12665. 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由（1）得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13αβ+=，5sin()13αβ+=，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】解（1）22()cossin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+，得23x k ππ=+，k Z ∈，所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭△02βπ<<，△2663βπππ<+<，又31sin 652πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， △664πππβ<+<，△4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，△1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关键点在于2663βπππ<+<，31sin 6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中档题. 17．(1)13-=n n a (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据等差数列的性质，可得1331n n n d n --=+，可得11123n n n d -+=⋅，再利用错位相减法即可得出． (1)解：△121n n a S +=+△2n ≥时，121n n a S -=+△△−△()11232n n n n n a a a a a n ++⇒-=⇒=≥而2121a a =+，由{}n a 为等比数列，△1112131a a a +=⇒=，△11133n n n a --=⋅=；(2)解： 11332311n n n n d n n ---⋅==++，△11123n nn d -+=⋅ △0122123412323232323n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅△ 12211231132323232323n n n nn n n T ---+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅△ △−△121211111323232323n n nn T -+⇒=+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅111116311111111234432313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=+-- ⎪⋅⋅⎝⎭-525443n n +=-⋅， △11525158838n n n T -+=-<⋅ 18．(1) (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得sin ∠DCE DE 的长； （2）应用正余弦定理求,AC BC 的长，注意3BC CE >=(题设有误无答案). (1)由题设，11sin 35sin 22EDCSCE CD DCE DCE =⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠=sin ∠DCE ，由DCE ∠为锐角，故1cos 5DCE ∠=.△由余弦定理可得：DE == (2)在△ABC 中，1sin sin cos 25ACD BCD BCD π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，由ACD ∠为锐角，所以cos ACD ∠=， 由正弦定理：531sin 1sin 35A A =⇒=，故tan A =由余弦定理：225259AC AC +-⋅=，可得AC =当AC =13BC =<，与3BC CE >=矛盾，当AC =13BC <，与3BC CE >=矛盾， 故此题为错题.19．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，证明CD AB ⊥，AB AC ⊥，则AB ⊥平面ACFD 即得证；（2）以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角F BE D --的平面角的余弦值即得解. 【详解】证明：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，DG =，32CG =，60DAC ︒∠=，所以CD =所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥， 又因为平面ABED ⊥平面ACFD ，且平面ABED ⋂平面ACFD AD =，CD ⊂平面ACFD ， 所以CD ⊥平面ABED ，又AB平面ABED ，所以CD AB ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C =，AC ，CD ⊂平面ACFD 所以AB ⊥平面ACFD .（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）知AB ⊥平面ACFD 所以AB AH ⊥，AB AC ⊥，以A 为原点，以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，10,2D ⎛ ⎝⎭，30,2F ⎛ ⎝⎭，(0,2,0)C ，所以(3,2,0)BC →=-，10,2CF →⎛=- ⎝⎭，设平面FBE 的法向量为n (x,y,z)→=，则00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即320102x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令2x =，则n →=， 由（1）知CD ⊥平面BED，所以30,2CD ⎛=- ⎝⎭是平面BED 的一个法向量，则932cos ,4n CD n CD n CD-+⋅===⋅ 设二面角F BE D --的平面角为θ，又二面角F BE D --的平面角为锐角，cos θ= 所以二面角F BE D --20．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）1a =时，将()00f x =整理为0000ln ln x x x x e e --+=+，构造函数()ln g x x x =+，根据其单调性推知00x x e -=，则命题得证； （2）利用0x >时sin x x >，将所证不等式变形为证明1ln 10e x x x x x ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭，接下来构造函数()1ln 1e x h x x x x =++-，令e x x t =，得另一函数()1ln 1H t t t=+-，通过求导判断其单调性，最终即可证明不等式成立.(1)当1a =时，()e ln 2x f x x x -=--，()0000000000e ln 20e ln e lne x x x x f x x x x x x ----=--=⇒-=+=+令()ln g x x x =+，显然()g x 在()0,∞+上单调递增，0x ，0e 0x ->由()()0000e e x x g x g x --=⇒=， △00e 1x x =(2)对0x ∀>，令()sin x x x ϕ=-，()1cos 0x x ϕ'=-≥则()x ϕ在()0,∞+单调递增，且()00ϕ=，所以当0x >时，()0x ϕ>，即sin x x >，当01a <≤时，22e ln sin e ln x x x x x a x x x x ax --++->++-21e ln ln 1e x x x x x x x x x x -⎛⎫≥++-=++- ⎪⎝⎭令()1ln 1ex h x x x x =++-，令e x x t =， △()()1ln 1h x H t t t ==+-，()22111t H t t t t-'=-+= ()H t 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，△()()10H t H ≥=，即()0h x ≥△2e ln sin 0x x x x a x -++->（△两次不等式取“=”条件不一致）即2sin ln e x a x x x x --<+，证毕!【点睛】关键点点睛：利用0x >时sin x x >将所需证不等式变形，以及在构造函数之后，采用换元令e x x t =得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式，是本题不等式证明的两个关键点.21．(1)24x y =(2)min =S ,1x 【解析】【分析】（1）根据题意得切线1l 方程为：2112x x y x p p=-，进而得D 为AE 的中点，再根据焦半径公式得AF EF =，进而根据几何关系得1OF =，故抛物线C 的方程为24x y =；（2）结合（1）得122P x x x +=，122P x x y =，112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得12122222x x MN x x =+--，12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可.(1) 解：由题知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22x y p =， 所以x y p '=，11l x k p =，切点211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 切线1l 方程为：()221111122x x x x y x x x p p p p =-+=-， 令10,02x y D ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，2100,2x x E p ⎛⎫=⇒- ⎪⎝⎭， 所以D 为AE 的中点， 因为根据焦半径公式得：211222x p p AF y EF p =+=+=，60AFD ∠=︒. 所以DF AE ⊥，60OFD AFD ∠=∠=︒， 因为2FD =， 所以1OF =，即2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =；(2) 解：设222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）得1l 方程：21124x x y x =-△ 同理2l 方程22224x x y x =-△，联立△△122P x x x +⇒=， 所以124P x x y =， 因为直线l 的方程为：1y =， 所以112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以12122222x x MN x x =+--， 所以12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△()()121212122111224x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫=⋅+--⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦， ()1212121212112121122424x x x x x x x x x x ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+---≥-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭， 令()120x x t t -=>，△12121124282PMN t t S t t ⎫⎛⎫⎫=++=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎭△218t t ⎫++⎪⎭，m ，()3208m S m m m=++>， ()()224222223443238161888m m m m S m m m m-++-'=-+==当0m <<S单调递减，m ，S 单调递增，△min S S =，当且仅当121243x x x x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时取“=”，此时1x . 所以PMN1x的值为1x .【点睛】本题考查抛物线的切线问题，抛物线中的三角形面积最值问题.考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合第一问设点求切线方程，进而得112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，122P x x y =，进而12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，再利用换元法，结合导数求解最值.22． 103ty x -+-=（或330x ty -+=）；【解析】【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程；（2）求出cos ,OP n →→〈〉=sin PMB ∠=利用基本不等式求解.【详解】解：（1）由题得AB ：4143x ty -+=，即103ty x -+-=， （2）()4,OP t →=-，3k AB t→=，△AB →的方向向量(),3n t =，所以cos ,OP nOP n OP n→→→→→→⋅〈〉==sin PMB ∠=即()min sin PMB ∠=. 故答案为：103ty x -+-=。
2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题(word版)
江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考数学理试卷2019．10一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A B＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：146．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣27．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：79．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ．答案：10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=，则AE EB ⋅＝ ．答案：1412．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ． 答案：21113．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ． 答案：0a <或1a =二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ， 且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分 注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD又因为AB ⊥AD ，PD AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ----11分ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为P A 的中点，故ED ⊥P A ；---------13分P A AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以ED ⊥平面P AB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=，求△ABC 的面积； （2）设向量x ＝(B 2sin2，3)，y ＝(cos B ，Bcos 2)，且x ∥y ，b ＝53，求a 的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C ＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． ………6分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分 所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧AB ，CD 和弦BC 这三部分组成，在弧AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m，2n]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。
江苏大联考2021届高三第八次联考数学(理)试卷 Word版含答案
江 苏 大 联 考2021届高三第八次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷分数学Ⅰ试题,共160分,考试时间120分钟;数学Ⅱ(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.数学Ⅰ试题一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.) 1.已知集合A={x|x ≥-2},集合B={x|x 2≤4},则集合(R B)∩A=▲.2.已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2= ▲ .3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ▲ .4.甲、乙两队进行足球竞赛,若甲获胜的概率为0.3,甲不输的概率为0.8,则两队踢成平局的概率为 ▲ .5.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 ▲ .6.若sin α=-35,α是第三象限的角,则cos α2+sin α2cos α2-sin α2=▲ .7.设 F 1、F 2分别是双曲线 C:x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点,点 P(√62,√22)在此双曲线上,且 PF 1⊥PF 2,则双曲线C 的离心率e= ▲ .8.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AA 1=AD=2,BE=1,F 是BD 1上一点,且EF ∥平面ADD 1A 1,则三棱锥E-AFC 的体积为 ▲ .9.若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 5=-10,S 9=-36,则a 3与a 5的等比中项为 ▲ . 10.在△ABC 中,|AB|=6,|AC|=8,O 为△ABC 的外心,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ▲ . 11.设函数f(x)=e x (sin x-cos x)(0<x<2π),则函数f(x)的极大值为 ▲ .12.已知不等式组{lnm -lnn ≥0,23-mn ≥0对任意正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .13.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2= ▲ .14.已知x ∈R,符号[x]表示不超过x 的最大整数,若函数f(x)=[x]x -a(x ≠0)有且仅有3个零点,则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)如图,在△ABC 中,B=π3,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足.(1)若△BCD 的面积为√33,求CD 的长;(2)若ED=√62,求角A 的大小.16.(本小题满分14分)如图所示的五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥平面ABEF,AB ∥EF,且AD=1,AB=12EF=2√2,AF=BE=2,点P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点. (1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF.17.(本小题满分14分) 已知椭圆T:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√53,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为83.(1)求椭圆T 的方程;(2)过点P(2,1)的两条直线分别与椭圆T 交于点A,C 和B,D,若AB ∥CD,求直线AB 的斜率. 18.(本小题满分16分)某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为每千克1.8元,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用(若n 天购买一次,需要支付n 天的保管费),其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按每天10元支付;超出7天以外的天数,依据实际剩余配料的重量,以每千克每天0.03元支付.(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用p 是多少元?(2)若该厂x 天购买一次配料,求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y(元)关于x 的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少? 19.(本小题满分16分)设函数f(x)=(x-1)e x -kx 2(其中k ∈R). (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k ∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }中,a 1=3,a n+1+a n =3·2n ,n ∈N *.(1)证明:数列{a n -2n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式.(2)在数列{a n }中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出全部符合条件的项;若不存在,请说明理由. (3)若1<r<s 且r,s ∈N *,求证:使得a 1,a r ,a s 成等差数列的点列(r,s )在某始终线上.数学Ⅱ (附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小．．．．．．．题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 为☉O 的直径,直线CD 与☉O 相切于E,AD 垂直CD 于D,BC 垂直CD 于C,EF 垂直AB 于F,连接AE,BE.求证:∠FEB=∠CEB.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵M=[2ba 1],矩阵M 对应变换将点(1,2)变换成点(10,5),求M -1.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是{x =1+tcosα,y =tsinα(t 是参数).若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且|AB|=√14,求直线倾斜角α的值.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知a 、b 、c 都是正数,求证:12a +12b +12c ≥1b+c +1c+a +1a+b .【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)某企业规定,员工在一个月内有三项指标任务.若完成其中一项指标任务,可得奖金160元;若完成其中两项指标任务,可得奖金400元;若完成三项指标任务,可得奖金800元;若三项指标都没有完成,则不能得奖金且在基本工资中扣80元,假设员工甲完成每项指标的概率都是12.(1)求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率;(2)求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望.23.(本小题满分10分)设m>3,对于项数为m 的有穷数列{a n },令b k 为a 1,a 2,…,a k (k ≤m)中的最大值,称数列{b n }为{a n }的“创新数列”.例如:数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2,…,m(m>3)的全部排列,将每种排列都视为一个有穷数列{c n }.(1)是否存在数列{c n }的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由.(2)是否存在数列{c n },使它的创新数列为等差数列?若存在,求出全部符合条件的数列{c n }的个数;若不存在,请说明理由.。
2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题(PDF解析版)
1 to 4
答案：11
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频
率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为 100，则 n 的值为
．
答案：1000
5．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个
．
答案： a 0 或 a 1
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知集合 A＝ x y log2 (4x2 15x 9)，x R ，B＝ x x m 1，x R ．
．
4
3
4
4
答案： 6 3
11．直角△ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB＝ 6
3
，AC＝6，
uuur AE
1
uuur ED ，则
uuur AE
uuur EB
＝
．
2
B
D
E
A
C
答案：14
12．已知奇函数 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，若当 x(﹣1，1)时， f (x) lg 1 x 且 f (2019 a) 1 (0
食堂用餐的概率为
．
答案： 1 4
6．已知 是第二象限角，其终边上一点 P(x， 5 )，且 cos 2 ，则 x 的值为
．
3
答案：﹣2
7．将函数 y sin(x ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左 3
2023八省联考数学试卷及答案
2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测 数学试卷【含答案】
江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测数学试卷一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则（）A ．||z =B ．21z =C ．1z z ⋅=D ．z z +为纯虚数2．已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合{sin 0},{||31}A x x B x x =>=-<∣∣，则A B = （）A ．{2π}xx <<∣B ．{02}xx <<∣C ．{0π}xx <<∣D ．{24}xx <<∣4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5mg/mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（）（参考数据:lg 20.301,lg30.477,lg 70.845≈≈≈）A ．8B ．7C ．6D ．55．已知|||2|2a b a b -=-= ，且2a b - 在a方向上的投影向量为单位向量，则||b = （）A ．4B ．C ．D ．66．记M =“720的不同正因数的个数”，N =“5(1)x y +-的展开式中22x y 项的系数”，则（）A ．20M N -=B ．0M N -=C ．0M N ->D ．0M N +<7．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作C 的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于M 点，此时12cos MF F ∠=，则C 的离心率为（）AB ．2C D ．38．对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()()001f x f x λ+=，其中0λ≠，则称()f x 为“可移λ倒数函”，0x 为“()f x 的可移λ倒数点”.设e ,0()1,0x x f x x x a⎧>⎪=⎨<⎪+⎩，若函数()f x 恰有3个“可移1倒数点”，则a 的取值范围（）A ．(2,e)B ．(2,)+∞C ．(1,2)-D ．15,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:1l y x =-与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（）A ．2p =B ．OA OB⊥C ．||8AB =D ．8FA FB ⋅=-10．已知1234,,,x x x x 是函数432()2132024f x x x x x =+--+有四个零点，记()f x 的导函数为()f x '，则（）A ．123420x x x x +++=B ．123424x x x x =C ．()()g x f x '=在[]0,1上的最小值为36-D ．存在R m ∈，使得1()2h x f x m '⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是奇函数11．在棱长为2的正方体1111OBCD O B C D -中，E 为11O B 的中点，以O 为原点，OB ，OD ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点(,,)P x y z ，满足22220(1)(2)1y z x y z +-=⎧⎨-++-=⎩，则（）A ．点P 的轨迹长为2πB ．1CP CB ⋅的最小值为8-C ．1EP BC ⊥D ．三棱锥O PCD -体积的最小值为23三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.13．已知()0.4,()0.3,()0.5P A P AB P BA ===∣，则()PB =.14．已知函数*(),N n f n a n =∈.①当2a =时，11()n b f n =+，记{}n b 前n 项积为n T ，若n m T >恒成立，整数m 的最小值是;②对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立，则a 的最小值是.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是BC 和CD 的中点.(1)求证：11AB D E ⊥；(2)求直线EF 和11B D 之间的距离；(3)求直线EF 与平面1CD E 所成角的正弦值.16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且,1a b c ≠=.(1)若||||,2sin sin CA CB AB A C +==，求ABC 的面积;(2)若cos cos 2a bB A --=，求使得m a b >+恒成立时，实数m 的最小值.17．2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据：年份代码i x 12345678910年份i t 2014201520162017201820192020202120222023保有量iy 0.120.501.091.602.613.814.927.8413.1020.41并计算得:10101022111385,699,466, 5.5, 5.6iii i i i i x y x y x y ====≈≈==∑∑∑.(1)根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)；(2)现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；(3)某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望.附:相关系数：()()178niix x yy r --=∑.18．已知圆22:4O x y +=，直线1:l x m =，直线2:l y x b =+和圆交于A ，B 两点，过A ，B 分别做直线1l 的垂线，垂足为C ，D .(1)求实数b 的取值范围;(2)若4m =-，求四边形ABDC 的面积取最大值时，对应实数b 的值;(3)若直线AD 和直线BC 交于点E ，问是否存在实数m ，使得点E 在一条平行于x 轴的直线上?若存在，求出实数m 的值;若不存在，请说明理由.19．已知函数()2()cos ,()2f xx g x a x ==-.(1)1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点个数;(2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的最大值;(3)求证:)21sin 2(R)33ni kn k k i π=⎛⎫->-∈ ⎪⎝⎭∑.1．C【分析】根据已知复数逐个分析判断即可【详解】对于A ，因为cos isin z θθ=+，所以1z ==，所以A 错误，对于B ，因为cos isin z θθ=+，的以()222cos isin 2i cos sin cos 2isin 2z θθθθθθ=++=+不一定等于1，所以B 错误，对于C ，因为cos isin z θθ=+，所以22(cos isin )(cos isin )cos sin 1z z θθθθθθ⋅=+-=+=，所以C 正确，对于D ，因为cos isin z θθ=+，所以cos isin +cos isin 2cos z z θθθθθ+=+-=为实数，所以D 错误，故选：C 2．B【分析】通过0q <且10a >，可知虽然12a a >，但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果.【详解】当等比数列0q <且10a >时，2110a a q a =<<，3220a a q a =>>此时{}n a 不是递减数列∴充分性不成立当等比数列{}n a 为递减数列时，12a a >显然成立∴必要性成立综上所述：“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件故选B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定义，属于基础题.3．A【分析】求得集合,A B ，根据集合交集的概念可得A B ⋂.【详解】因为{|sin 0}{|2ππ2π,Z}A x x x k x k k =>=<<+∈，{||31}{|24}B x x x x =-<=<<∣，所以}|2π{A B x x =<< .故选：A.4．C【分析】设至少经过n 个小时才能驾驶，由题意可得1.5(130%)0.2n -≤，计算即可.【详解】设至少经过n 个小时才能驾驶，则由题意得1.5(130%)0.2n -≤，则20.715n≤，所以2lg2lg 2lg310.60200.477115 5.6lg 0.7lg 710.8451n ----≥==≈--，所以他至少经过6个小时才能驾驶.故选：C.5．B【分析】根据题意，分别将|2|2a b -=与2a b -= 平方，然后作差可得232a a b =⋅ ，再由条件可得()2221a b a a a b a a-⋅-⋅==，即可求得a r ，从而得到a b ⋅，即可得到结果.【详解】由题意可得|2|2a b -=，所以()224a b-= ，即22444a a b b -⋅+= ，所以22444a a b b -⋅+= ①，因为2a b -= ，所以()24a b-= ，即2224a a b b -⋅+= ，所以2224a a b b -⋅+= ②，①-②可得232a a b =⋅，即232a b a⋅= 又2a b - 在a方向上的投影向量为单位向量，则()2221a b a a a ba a -⋅-⋅==，即223221a a a-=，解得2a = ，则2362a b a ⋅== ，代入②中可得24264b -⨯+=，解得b = 故选：B 6．B【分析】由42720235=⨯⨯，即可求出720的约数的个数，即可求出M ，再根据二项式定理求出N ，即可判断.【详解】因为42720235=⨯⨯，所以720的约数有53230⨯⨯=个，即30M =，又5(1)x y +-展开式的项可以看作从5个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有1，x ，y -，要得到22x y ，需从2个盒子中取出x ，2个盒子中取出y -，1个盒子中取出1，所以2253C C 30N ==，所以M N =，即0M N -=.故选：B 7．C【分析】根据题意，联立直线方程可得点M坐标，再由12cos 13MF F ∠=可得12tan MF F ∠，在1Rt MF N 中可得1222tan 32bca MF F c c ∠==+，从而得到2b a =，再由离心率公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则其渐近线方程为b y x a=±，且()()12,0,,0F c F c -，过2F 作C 的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于M 点，则直线方程为()b y x c a =--，联立直线方程()b y x c a by x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,22c bc M a ⎛⎫⎪⎝⎭，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，因为12cos MF F ∠=12sin MF F ∠则121212sin 2tan cos 3MF F MF F MF F ∠∠==∠，且1212tan 2bcMN a MF F cF N c ∠==+，即2232bca c c =+，化简可得2b a =，则e =故选：C8．A【分析】利用定义转化为求方程()()11f x f x +=恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.【详解】依题意，e ,0()1,0x x f x x x a⎧>⎪=⎨<⎪+⎩，由()f x 恰有3个“可移1倒数点”，得方程()()11f x f x +=恰有3个不等实数根，①当0x >时，10x +>，方程()()11f x f x +=可化为21e 1x +=，解得12x =-，这与0x >不符，因此在()0,∞+内()()11f x f x +=没有实数根；②当10x -<<时，10x +>，方程()()11f x f x +=可化为1e 1x x a+=+，该方程又可化为1e x a x +=-．设()1ex k x x +=-，则()1e 1x k x +=-'，因为当()1,0x ∈-时，()0k x '>，所以()k x 在()1,0-内单调递增，又因为()()12,0e k k -==，所以当()1,0x ∈-时，()()2,e k x ∈，因此，当()2,e a ∈时，方程()()11f x f x +=在()1,0-内恰有一个实数根；当(][)0,2e,a ∈+∞ 时，方程()()11f x f x +=在()1,0-内没有实数根．③当=1x -时，()10,1x f x +=+没有意义，所以=1x -不是()()11f x f x +=的实数根．④当1x <-时，10x +<，方程()()11f x f x +=可化为1111x a x a ⋅=+++，化为()222110x a x a a ++++-=，于是此方程在(),1-∞-内恰有两个实数根，则有()()()22221410211212110a a a a a a a ⎧+-+->⎪⎪+-<-⎨⎪-+++->⎪⎩，解得12a >，因此当a >()()11f x f x +=在(),1-∞-内恰有两个实数根，当0a <≤()()11f x f x +=在(),1-∞-内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为()()2,e )2,e ∞⋂+=．故选：A【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．9．ACD【分析】利用已知可得12p=，可判断A ；联立直线与抛物线方程，可得12124,4,y y y y +==-可得0,OA OB ≠判断B ；求得||AB 判断C ；1122(1,)(1,)FA FB x y x y =-- 可判断D.【详解】对于A ：因为直线:1l y x =-经过点F ，可得(1,0)F ，即12p=，所以2p =，故A 正确；对于B ：设1122(,),(,),A x y B x y 由241y xy x ⎧=⎨=-⎩，所以2440y y --=，所以12124,4,y y y y +==-所以212121212()26,1,16y y x x y y x x +=++===所以12121430,OA OB x x y y =+=-=-≠ 所以OA 与OB 不垂直，故B 不正确；12||628AB x x p =++=+=，故C 正确；对于D ：1122121212(1,)(1,)()16148FA FB x y x y x x x x y y =--=-++=-+-=-，故D 正确.故选：ACD.10．BCD【分析】由1234()()()()()f x x x x x x x x x =----展开得到对应系数相等，即可判断A 、B ，求出函数的导函数，说明()g x 的单调性，即可判断C ，求出()g x 的对称中心，即可判断D.【详解】由题意可得4321234()2132024()()()()f x x x x x x x x x x x x x =+--+=----()()4321234123413241423x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++++++()1231242341341234x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++，所以1234x x x x +++即为3x 系数的相反数，即12342x x x x +++=-，故A 错误；1234x x x x 即为常数项24，即123424x x x x =，故B 正确；因为32()()462620g x f x x x x '==+--，所以221()12122612292g x x x x ⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭，则()g x '在[]0,1上单调递增，又()21g '=-，则()0g x '<在[]0,1恒成立，所以()g x 在[]0,1单调递减，所以()min ()146262036g x g ==+--=-，故C 正确；因为32()()462620g x f x x x x '==+--，则()()()()3232141612612046268g x x x x x x x --=--+------=--++，所以()()112g x g x +--=-，所以()g x 的对称中心为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以162g x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于()0,0对称，即11()()()22h x f x m g x m '=-+=-+为奇函数，则6m =，所以存在6m =，使得()h x 为奇函数，故D 正确．故选：BCD ．11．BC【分析】由已知方程可得点P 的轨迹，画出图形，再计算轨迹长度可得A 错误；由投影法可得，当点P 在1CB 上投影最小时，向量积最小，求出投影长可得B 正确；由1BC ⊥平面11CDO B 可得C 正确；当点P 位于半圆弧中点时，可由棱锥的体积公式计算体积的最小值可得D 错误；【详解】对于A ：由222(1)(2)1x y z -++-=可知，点P 在以E 为球心，1为半径的球上，又由20y z +-=可知，点P 在平面11CDO B 上，所以点P 为球面与平面的交线，如图（2）所示，在矩形11CDO B 中，以E 为圆心，1为半径的半圆，所以点P 的轨迹长为π，故A 错误；对于B ：由投影法可得，当点P 在1CB 上投影最小时，向量积最小，此时点P 位于半圆弧中点，投影长为1，所以)118CP CB ⋅≥-=-B 正确；对于C ：因为1BC ⊥平面11CDO B ，EP ⊂平面11CDO B ，所以1EP BC ⊥，故C 正确；对于D ：因为1BC ⊥平面11CDO B ，所以点O 到平面平面11CDO B 的距离为112BC =，则3O PCD PCD V S -= ，由图（2）可知当点P 位于半圆弧中点时，PCD 的面积最小为()12112⨯⨯=，所以)22421333O PCD PCD V S -=≥-=，故D 错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题选项A 关键是能根据已知点P 的方程结合图形画出点P 的轨迹平面图形，从而计算即可.12．⎡-⎣【分析】首先分析函数的周期，再分[]0,πx ∈，(]π,2πx ∈求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.【详解】因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x+=+++=+=，所以()f x 是以2π为周期的周期函数，当[]0,πx ∈时()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎝⎭，由[]0,πx ∈，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎝⎦⎭，则()f x ∈-⎡⎣；当(]π,2πx ∈时()πsin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，由(]π,2πx ∈，则,π9445π4πx ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以πsin 1,42x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x ∈-⎡⎣；综上可得()f x 的值域为⎡-⎣.故答案为：⎡-⎣13．0.6##35【分析】由条件概率和全概率公式结合已知计算即可.【详解】因为()()()()()()0.50.31()0.6P ABP AB P AB P BA P AB P A P A ====Þ=-∣，所以()()()0.6P B P AB P AB =+=，故答案为：0.6.14．3【分析】①先得到1112nn b =+>，32T >，故2n T >，构造()()ln 1g x x x =+-，0x >，求导得到其单调性，从而确定当0x >时，()ln 1x x +<，利用放缩和等比数列求和公式得到1l 1n 21n nT <-<，求出e n T <，确定()2,e n T ∈，整数m 的最小值为3；变形得到()()333()1()1ln 211ln n a n f n n f n n -≥⇒+≥++，令()()3ln 21,0x h x x x+=>，求导得到函数单调性和最值，得到()()3ln 21ln172n h n n+=≤，故ln17ln 2a ≥，得到答案.【详解】()2n f n =，1112n n b =+>，3123359135224864T b b b ==⨯⨯=>，故2n T >，设()()ln 1g x x x =+-，0x >，则()11011xg x x x-'=-=<++，故()()ln 1g x x x =+-在()0,x ∈+∞上单调递减，则()()00g x g <=，故当0x >时，()ln 1x x +<，则221121l 1n ln ln ln l 22ln l n 1111n n 2l n n n n T b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+=++=+⎝⎭1211111111122222221n n n +<+-++==-<- ，所以e n T <，综上，()2,e n T ∈，若n m T >恒成立，整数m 的最小值为3，()33333()1111()11111211n n n f n n a n f n a n a n n --≥⇒≥⇒+≥-++++++，化简得321na n ≥+，即()3ln 21ln n a n+≥，令()()3ln 21,0x h x x x +=>，()()()333332263ln 213ln 212121x x x x x h x x x -+--+++'==，当2x ≥时，()()33333ln 213ln 213ln17021x x x --+<-+<-<+，所以()()3ln 21,0x h x x x+=>在()2,+∞上单调递减，又()()()()ln172,1ln 3,212h h h h ==>，所以()()3ln 21ln172n h n n+=≤，故ln17ln 2a ≥，解得a ≥，所以a.故答案为：3【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)证明见解析(2)4(3)12【分析】（1）建立空间直角坐标系，由110AB D E ⋅=，即可得证；（2）首先说明11//EF B D ，即点E 到直线11B D 的距离即为两条平行线EF 和11B D 之间的距离，再由空间向量法求出点E 到直线11B D 的距离，即可得解；（3）求出平面1CD E 的法向量，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1(0,1,1)AB = ，11(,1,1)2D E =- ，所以1110111(1)02AB D E ⋅=⨯+⨯+⨯-=，故11AB D E ⊥；（2）因为11,,022FE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(1,1,0)D B = ，所以112FE D B = ，所以11//D B FE ，由题意知E ，F ，1B ，1D 不共线，故11//EF B D ，故知点E 到直线11B D 的距离即为两条平行线EF 和11B D 之间的距离，又11,0,12B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则11112D BE B -=⋅，11D B =152B E = ，设点E 到直线11B D 的距离为d，则324d =，即直线EF 和11B D 之间的距离为4；（3）因为1,0,02CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1CD =-，设平面1CD E 的法向量为(),,n x y z = ，则10102CD n y z CE n x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取()0,1,1n = ，设直线EF 与平面1CD E 所成角为α，则112sin 2n FEn FEα⋅==⋅ ，所以直线EF 与平面1CD E 所成角的正弦值为12.16．(1)8【分析】（1）根据题意，由条件可得||||CA CB CA CB +=- ，从而可得CA CB ⊥，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到221a ab b ++=，再由基本不等式代入计算，即可得到a b +<.【详解】（1）因为||||CA CB AB += ，即||||CA CB CA CB +=- ，所以22||||CA CB CB CA +=-，即222222CA CA CB CB CA CA CB CB +⋅+=-⋅+ ，则0CA CB ⋅= ，所以CA CB ⊥ ，所以π2C ∠=，且2sin sin A C =，由正弦定理可得21a c ==，则12a =，所以b =1122ABC S =⨯ （2）因为cos cos 2a b B A --=，由余弦定理可得222222222a cb bc a a bac bc +-+---=，又1c =，则222211a b b a a b a b +-+--=-，即2211b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b--=，化简可得()()3322a b a b a b a ab b -=-=-++，因为a b ¹，所以221a ab b ++=，所以()22112a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，即()2314a b +≤，所以3a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立，又a b ¹，所以233a b +<，故m ≥即可，所以m 17．(1)0.89(2)0.7(3)分布列见详解，1【分析】（1）直接根据公式计算即可；（2）利用全概率公式即可求解；（3）设被选到新能源汽车车主人数为X ，则X 可能取值为0,1,2,3，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望.【详解】（1）由10101022111385,699,466, 5.5, 5.60iii i i i i x y x y x y ====≈≈==∑∑∑，则()()0.89nniii ix x y y x y nxyr ---==≈∑∑.（2）设1A =“第1辆购买新能源汽车”，1B =“第1辆购买非新能源汽车”，2A =“第2辆购买新能源汽车”，()()()()1121210.5,0.6,0.8P A P B P A A P A B ====，由全概率公式得，()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为0.7.（3）设被选到新能源汽车车主人数为X ，则X 可能取值为0,1,2,3，()()03124848331212C C C C 14280,1C 55C 55P X P X ======，()()21304848331212C C C C 1212,3C 55C 55P X P X ======，则被选到新能源汽车车主的分布列为，X0123P145528551255155所以()14281210123155555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．(1)b -<<(2)当2b =-ABDC 的面积最大(3)m =【分析】（1）利用圆O 与直线2l 相交可建立关于b 的不等式，求解即可；（2）联立圆O 与直线2l 的直线方程，利用韦达定理和b 表示出四边形ABDC 的面积，再构造函数，利用导数求解即可；（3）表示出直线AD 和直线BC 交的直线方程，联立方程组得到y 的值，再结合韦达定理可得实数m .【详解】（1）圆O 的半径为2，因为直线2l 和圆O 交于A ，B 两点，所以圆心到直线2l 的距离2d =，解得b -<<则实数b 的取值范围为b -<<（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则()()124,,4,--C y D y ，由224y x b x y =+⎧⎨+=⎩得222240x bx b ++-=，所以212124,2-+=-=b x x b x x ，1212y y x x-=-，则12-==y y =因为四边形ABDC 为直角梯形，所以四边形ABDC 的面积()1212=+-S AC DB y y()12121442=+++-=x x y y令()()()2288=--f b bb (-<<b ，()()()24844'=---f b b b b，令()0f b '=，解得2b =-当2-<<-b ()0f b '>，()f b 单调递增，当2-<<b ()0f b '<，()f b 单调递减，所以当2b =-ABDC 的面积最大，且最大值为(6+（3）()()1122,,,A x y B x y ，则()()12,,,C m y D m y ，且直线AD 、BC 的斜率存在，由（2）212124,2-+=-=b x x b x x ，11y x b =+，22y x b=+，直线2121:--=--y y x m AD y y x m ，直线1212:--=--y y x mBC y y x m，联立得()()()()2112212112121222+-++-+--==+-+-x b x m x b x m y x x y my my y x x m x x m，()()()221121222424222++------+===+---+x x x x b m bmb b b m bmbm x x mb mb m若42++bm b m为常数，则()42+=+bm k b m ，其中k 为常数，可得42k m mk=⎧⎨=⎩，解得2k =所以当2m =E 在一条平行于x 轴的直线上.【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、y 的值.19．(1)2个(2)12(3)证明见解答【分析】（1）2()cos 2F x x x =-+，求导后令()()sin 2h x F x x x '==-+，再次求导可得()0h x '>，进而可判断()F x 的单调性，结合(0)F ，(2)(2)F F =-的值可得结论；（2）2()cos 2,m x x a ax =-+由题意可得(0)0m ≥，可得12a ≤，进而判断12a =时，不等式()()f x g x ≥恒成立；（31sin cos 2sin 2cos 3233k k k k k i i i i i ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合（2）以及放缩法可证明不等式.【详解】（1）当1a =时，2()2g x x =-，则2()()()cos 2F x f x g x x x =-=-+，所以()sin 2F x x x '=-+，令()sin 2h x x x =-+，则()cos 20h x x '=-+>，所以()sin 2h x x x =-+在R 上单调递增，即()sin 2F x x x '=-+在R 上单调递增，当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(0,)+∞上为增函数，当0x <时，()0F x '<，所以()F x 在(),0∞-上为减函数，又(0)1F =-，(2)(2)cos 220F F =-=+>，且x →-∞时，()→+∞F x ，则存在()10x ∈-∞，，()20,2x ∈，使得12()0,()0F x F x ==，所以()F x 有两个零点.（2）令2()cos 2,m x x a ax =-+由(0)0m ≥，得12a ≤，令2211()cos 1cos (2),22h x x x x x =-+=+-所以()sin h x x x '=-+，令()sin x x x ϕ=-+，可得()cos 10x x ϕ'=-+≥，所以()sin x x x ϕ=-+在(0,)+∞上为增函数，所以()sin sin 000x x x ϕ=-+>+=，所以()0h x '>，所以2211()cos 1cos 010022h x x x =-+>-+⨯=，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，即211s 2co x x >-，所以()()f x g x ≥恒成立，所以实数a 的最大值是实数12；（31sin cos 2sin 2cos 3233k k kk k i i ii i ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）可得211s 2co x x >-，所以21cos 1(2k k i i >-，所以21111]2(cos )2()3nn n i i i k k k n i i iπ===⎛⎫-+≥>- ⎪⎝⎭∑∑∑，所以211()3n ni i k k n i iπ==⎛⎫->- ⎪⎝⎭∑，又22222221111111111()(1)(11)22322331ni k k k k in n n ==++++<+-+-+++-<-∑ ，所以)21sin 2(R)3ni k n k k i π=⎛⎫->-∈ ⎪⎝⎭∑.【点睛】方法点睛：第三问，考查放缩法证明不等式，其中证明不等式211s 2co x x >-成立是关键.。
江苏省2020届高三上学期八校联考数学(理)试题 (含答案)
江苏省2020届高三上学期八校联考模拟试卷数学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：146．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣27．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ． 答案：79．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ．答案：10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：1412．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ． 答案：21113．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ． 答案：0a <或1a =二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a 的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． ………6分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分 所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。
江苏省南通市四星级高三上学期八校联考(数学文)
江苏省南通市四星级高三上学期八校联考（数学文）.11.25一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合=⋂∈=<--=B A N x x B x x x A 则},|{},032|{2___ ． 2．已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k =___ ． 3．在等差数列{a n }中，40,19552==+S a a ，则______10=a ． 4．若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为___ ．5．在=⋅==∆BC AD BC D AC AB ABC 则的中点为中,,1,3,__ ． 6．已知关于x 的一元二次不等式}1|{022ax x b x ax -≠>++的解集为，则)(722b a ba b a >-++其中的最小值__ ． 7．设双曲线的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作双曲线实轴所在直线的垂线交双曲线于点P ，若2122PF F F =，则双曲线的离心率是＿＿＿＿．8.已知1(6,2),(4,),2a b ==-直线l 过点(3,1)A -且它的方向向量c 与向量(2)a b +满足,0)2(=+⋅b a c ，则直线l 的方程为 .9.在),,(),0(,为实数设中n m n m ABC +=>=∆λλ则nm 11+的最小值为_ ． 10．已知等差数列n b n n n a b b b a a a ====+1152,3}{,9,3}{满足若数列满足，则{n b }的通项公式n b =___ ．11．设不等式组0,022x y x y ≥≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线12y x =上方的概率为____.12．设函数3()()f x x bx b =-+为常数，若函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，且方程()0f x =的根都在区间[2,2]-内，则b 的取值范围是 ．A BC DDC 1B 1A 1 13．设函数[])0(,,321)1ln()(2>-∈+-+=t t t x x e x x f x，若函数)(x f 的最大值是M ，最小值是m ，则M m +=________.14．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,f M m n p=,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为____ __； 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．16．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．17、（本小题满分14分）直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．BAC DE第14题M CAP18. (本小题满分15分) 数列{an}的前n 项和记为Sn ，()111,211n n a a S n +==+≥（I ）求{an}的通项公式;（II ）等差数列{bn}的各项为正，其前n 项和为Tn ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求Tn19.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为.916)35(222c y c x =+-（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：21PF PF 为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (331=为坐标原点），求圆M 的方程。
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- 1 -一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数1z i =-(i 为虚数单位), z 是z 的共轭复数,则z z ⋅的实部为A ．1-B ．1C ．0D ． 22．已知集合11M y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，{}2ln(1)N y y x ==+，则M N ⋂= A.(0)+∞，B. [)0+∞，C. (1)+∞，D. [)1+∞，3.以向量)2,3(-=a为方向向量的直线l 平分圆2220x y y ++=，则直线l 的方程为A. 2320x y ++=B. 2330x y +-=C. 2330x y ++=D. 3220x y --= 4. 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为 A. 80 B. 40C.803D.4035. 已知实数,a b ,则“22ab >”是 “22log log a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(2013)f 等于A ．1-B ．2C ．0D ．17. 若实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+,1001,0x y x y x ，则目标函数|3|y x z -=的最大值为A.6B.5C.4D.3 8. 如图，平面α⊥平面β，l αβ⋂＝，A C ，是α内不同的两点，B D ，是β内不同的两点，且A B C D ∉，，，直线l ，M N ，分别是线段AB CD ，的中点．下列判断正确的是A ．当2CD AB ＝时，M N ，两点不可能重合B ．M N ，两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当AB CD ，是异面直线时，直线MN 可能与l 平行9. 设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)( )(1x f x f n n '=+，+∈N n ，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=，则A sin 的值是第4题图- 2 - A.1B.32 C. 22 D. 1210．如图所示，在ABC ∆中，906,8B AB cm BC cm ∠===，，点P 以1/cm s 的速度沿A B C →→的路径向C 移动，点Q 以2/cm s 的速度沿B C A →→边向A 移动，当点Q 到达A 点时，P Q ，两点同时停止移动.记PCQ ∆的面积关于移动时间t 的函数为()s f t =，则()f t 的图像大致为二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 不等式2401x x-≥-的解集是 . 12．下图的算法中，若输入19222A B ==，，输出的是 .13. 等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是___________.14. 双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于 .15. 已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个结论：①若12()()f x f x =-，则12x x =-； ②()f x 的最小正周期是2π； ③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数； ④()f x 的图象关于直线34x π=对称． 其中正确的结论是 .tStStStS- 3 -三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AD AB =，记α=∠CAD ，β=∠ABC .（1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若DC AC 3=，求β．17.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，999S =. （1）求n a 及n S ；（2）若数列241n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T ，试证明不等式112n T ≤<成立.C DA B- 4 - B 1A 1MABCNC 119. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,090BAC ∠=,1AB AC AA ==2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明:1A M ⊥平面MAC ; (2)求三棱锥1A CMA -的体积; (3)证明://MN 平面11A ACC . 20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 上取两点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点 1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(1)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与曲线M 分别交于B A ,两点.证明点O 到直线AB 的距离为定值.并求弦AB 长度的最小值.- 5 -21．（本小题满分14分） 已知函数||ln )(2x x x f =， （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若关于x 的方程1f x kx =-()有实数解，求实数k 的取值范围．江西省2013届八校联考数学试卷（文科） 参 考 答 案11．(,2](1,2]-∞- 12．213．2 14．215．③④ 三、解答题（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.解: （1）证明：C βα=+，2C B π=-， (1)分22πβα∴=+，…………………3分sin cos 20αβ∴+= …………………5分（2）解：在ABC ∆中,DC AC 3=，αβsin 3sin =∴ (6)分2sin 2βαββ∴===. (8)分(0,)2πβ∈，sin 2β∴=， ………………………10分3πβ∴=. (12)分17.解: （1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯分钟． ……3分- 6 - B 1A 1MPC 1NC BA（2）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=， ………………………………4分 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．………………………………6分（3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a ab a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ， 343132(,),(,),(,)a a ab a b ，4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b ， ………………………………10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815． ……………………………12分 18.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .∵25a =，999S =，∴119(28)5,992a d a d ++== ………………2分解得 2,31==d a ………………4分∴ 12+=n a n ,n n S n 22+=,n N +∈. ………………6分（2）设241n n b a =-,n N +∈； ∵12+=n a n ， ∴ )1(412+=-n n a n∴ 41114(1)(1)1n b n n n n n n ===-+++ ………………9分123n n T b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+=11111(1)()()2231n n -+-++-+=1111n -<+…………11分又111021(2)(1)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++， 1111=2n n n T T T T +-∴>>>> 综上所述：不等式112n T≤<成立. …………12分 19.解: 在Rt BAC ∆中，BC ===在Rt 1A AC ∆中，1AC ===. 1BC A C ∴=,即1A CB ∆为等腰三角形.又点M 为1A B 的中点,1A M MC ∴⊥. ……2分 又四边形11AA BB 为正方形,M 为1A B 的中点,∴1A M ⊥MAAC MA A ⋂=,AC ⊂平面MAC ,MA ⊂平面MAC …………4分 1A M ∴⊥平面MAC- 7 -A（2）由(1)的证明可得:三棱锥1A CMA -的体积11113A CMA C AMA AMA V V S CA --∆==⨯⨯ 1121232=⨯⨯⨯⨯2.3= …………7分 (3)取11A B 中点P ,连,MP NP , …………8分 而,M P 分别为1AB 与11A B 的中点,1//,MP AA ∴MP ⊄平面11A ACC ,1AA ⊂平面11A ACC//MP ∴平面11A ACC ,同理可证//NP 平面11A ACC …………9分 又MP NP P ⋂=∴平面//MNP 平面11A ACC . …………10分 MN ⊂平面MNP ， …………11分 ∴//MN 平面11A ACC . …………12分20．解：（1）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+ ① ……………1分直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-- ② ……………2分设(,)Q x y 是直线11A N 与直线22A N 的交点，①×②得：22(4)4mn y x =-- ③……3分将3mn =代入③整理得22143x y += ………………4分 12N N ，不与原点重合∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上 ∴轨迹M 的方程为221(0)43x y y +=≠ ……………5分 (2) 设),(),,(2211y x B y x A ，若直线AB 的方程为,m kx y += …………………7分与椭圆13422=+y x 联立消去y 并化简得 222(43)84120k x kmx m +++-= 由根与系数的关系得： .43124,4382221221k m x x k km x x +-=+-=+ ………………………8分 .0))((,0,21212121=+++∴=+∴⊥m kx m kx x x y y x x OB OA即：221212(1)()0,kx x km x x m ++++=22222224128(1)0,3434m k m k m k k-∴+-+=++ 整理得)1(12722+=k m 所以O 到直线AB 的距离: .72127121||2==+=k m d 若直线AB 的方程为x t =,易得O 到直线AB 故, 点O 到直线AB 的距离为定值.……………10分OB OA AB OB OA OB OA ⋅≥=+∴⊥2,222 ，- 8 - 当且仅当OB OA =时取“=”号。