第五章-抽屉原理和Ramsey理论
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《抽屉原理》(PPT课件
算法分析
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
组合数学幻灯片2.1鸽笼原理与Ramsey定理
由鸽笼原理知，用n除各和时有两个和的余数是
相同的。所以存在整数k和 l(k l) ,使得
a1 a2 ak 和 a1 a2 al 被n除时
有相同的余数r，即
a1 a2 ak b n r a1 a2 al c n r
两式相减得 ak1 ak2 al (c b)n
故当n=2时，本例结论成立。
当n≥3时，假设用 (i=1,2,…,n)表示第i个人 的熟人数目。下面分三种情况讨论。
(1)假设这群人中每人都有熟人。即 ≠0且 1≤ ≤n-1。
X1,X2 ,…,Xn为n个物体，1，2，…，n1为n-1个盒子。这样一来，问题就成为把n个物 体放入n-1个盒子的问题了。由鸽笼原理知至少 有两个物体放在同一盒子中。不妨设 与 在 同一盒子中( )，即 = 。这表明第k个人与 第l个人有相同数目的熟人。
故在第二种情况下，本例结论也是成立的。
(3)假设在这群人中至少有两个人都没有 熟人，也就是说这两个人的熟人数目为0。 故在这种情况下，本例结论仍然成立。
综上所述，本例结论成立。
[例7] 一棋手为参加一次锦标赛要进行77天 的训练，如果他每天至少下一盘棋，且每周 至多下12盘棋，试证明不管他怎样安排， 必存在相继的若干天，在这段时间中他恰好 下棋21盘。
如果把n+1个物体放到n个盒子中去， 则至少有一个盒子中放有两个或更 多的物体。
证明：用反证法。如果n个盒子中每个盒子至多 放入一个物体，则放入n个盒子中的物体总数至 多为n个。这与假设有n+1个物体矛盾。从而定
在这样的盒子，并没有给出“确定哪一个盒子有 此性质”的方法。因此，它只能用来解决存在性 问题。
解：设 为第一天该棋手下棋的盘数
， 是第一、二天该棋手下棋盘数的和， 是第一、二、…、j天该棋手下棋盘数的和 ，j=1,2,…,77，于是序列 是严格递增序列，且
Ramsey理论
边数大于m(n-d-1)/2.由归纳假设，c(G-W)>m (如果在G-W中的边数太大以至于不可能存在 ，则这种情况不会发生，这时要应用前一种 情况)．
引理：如果P=v1,…,vl是2-连通图G的一条 最长路径，则c(G) ≥min{n(G),d(v1)+d(vl)}. 定理：如果G是2-连通图且d(u)+d(v) ≥s对 任意不相邻的顶点u,v∈V(G)都成立，则c(G) ≥ min{n(G),s}.
17
上位于x之前的那个顶点．由于x≠vr+1,因此有 x’ ∈U．我们在P中用yx替换x’x，得到一条与 P具有同样长度但有更多端点位于U中的 x’,vm-路径．
因此，我们可以假设对于x∈X-vr+1，除vr之 外x没有其他相邻顶点位于Y中．如果 ∣Y∣≥2，这使得vr成为一个割点，除非vr+1 另有一个相邻顶点y∈Y-vr．现在重新排列P 使得它以vr,…,y,vr+1开始而不是以v1,…,vr,vr+1 开始．这就回到了刚刚讨论过的情况．
２n(n-1)/2－ｋ（ｋ－１）／２ 又因为 存在n(n-1) …(n-k+1)/k!个不同的｛ ｖ１，ｖ２ … ｖn ｝的ｋ元素子集，所以有 ︳V nk ︱≤（ n(n-1) …(n-k+1)/k!）２n(n-1)/2-k(k-1)/2 (2) 由（１）和（２）， ︳ V nk ／ V n ︳ ≤ （n(n-1) …(n-k+1)/k! ）２-k(k-1)/2 ＜(nk２-k(k-1)/2)/k! （３）
若S是图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的一个团，则Ｓ是图 Ｃ Ｃ Ｇ ＝（Ｖ，Ｅ ）的一个独立集，反之亦然。 问题4：设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是一个ｎ阶图，则Ｇ 中是否存在一个顶点数为ｒ１的团，或是否存在一
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03
抽屉原理的实例
生活中的实例
公交车的座位
假设一辆公交车有4个座位，那么 不管有多少乘客，总会有至少5个 人的时候，至少有一个人会没有 座位。
生日问题
在一年中有365天，如果有366人 ，那么至少有一天是两个人同一 天生日。
数学中的实例
整除问题
如果一个数除以3余1，除以5余2， 除以7余3，那么这个数最小是多少 ？这就是抽屉原理的一个应用。
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contents
目录
• 抽屉原理简介 • 抽屉原理的证明 • 抽屉原理的实例 • 抽屉原理的练习题及解析 • 抽屉原理的扩展知识
01
抽屉原理简介
抽屉原理的定义
抽屉原理，也称为鸽巢原理，是一种组合数学的基本原理，它指出如果n个物体 要放到m个容器中去，且n>m，则至少有一个容器包含两个或两个以上的物体。
证明方法三：数学归纳法
要点一
总结词
通过数学归纳法来证明抽屉原理。
要点二
详细描述
首先验证基础情况（即n=1和n=2时）结论成立。然后假 设当n=k时结论成立，即存在k个物品放入k个抽屉中，至 少有一个抽屉中放入了多个物品。当n=k+1时，增加一个 新的物品和抽屉，由于至少有一个抽屉中已经放入了多个 物品，因此可以将新物品放入该抽屉中，从而证明了当 n=k+1时结论也成立。最后通过数学归纳法得出结论对任 意正整数n都成立。
这个原理可以用数学语言描述为：设集合A包含n个元素，集合B包含m个元素（ n>m），如果对于集合A中的任意元素x，都有x属于集合B，则集合A中至少存 在一个元素y，y属于B且y不等于x。
抽屉原理的应用场景
01
抽屉原理
抽屉原理的应用：“Ramsey”问题
例1： 任何6个人的聚会，其中总会有3人互相认识或者3人 互相不认识。
（六个人的集会中成员间的相识情况共有32728种。）
例2： 任何10个人中，或者有4个人互相认识，或者有3个 人互相不认识。
例3： 任何9个人中，或者有4个人互相认识，或者有3个 人互相不认识。
第一章
鸽巢原理
鸽巢原理的由来
鸽巢原理也叫鞋箱原理，但用得最广的名字是“抽屉原 理”。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明 一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数 学中一个重要的原理。 虽然鸽巢原理的正确性十分明显，很容易被并不具备多少 数学知识的人所接受，但是如果将其灵活地运用，即可得到一 些意想不到的效果。各种形式的鸽巢原理，在初等数学乃至高 等数学中经常采用。
二桃杀三士
《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是： 齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇 士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自 用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并 献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功， 按功劳的大小吃桃。 三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接 讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另 一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、 田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出 桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好 汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰 天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己 而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活 着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。 晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的 目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺 的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！”
Ramsey型问题及其应用
Ramsey型问题及其应用【关键词】ramsey型问题；ramsey数；竞赛数学；通信1 ramsey型问题及相关背景ramsey理论起始于20世纪20年代末，30年代初，最初由英国数学家f.p.ramsey提出，其思想已日益被人们理解、接受并得到了一定的发展。
对于ramsey数的研究，以取得初步成果。
下面就介绍一下关于ramsey的理论知识及其性质定理以及ramsey型问题在数学竟赛和通信方面中的应用。
2 ramsey型问题的基本定理与性质2.1 ramsey定理对任意给定的自然数及都存在时，对的所有元集的任一种染色（每一个元集染上种颜色中的一种），必有一个有一个元子集，它的所有元集是同一种颜色的。
2.2 若干推论对ramsey型问题有以下结论：2.2.1 对6个顶点的完全图的边用红蓝二色任意着色，结果至少有两个同色的三角形。
2.2.2 10个人中若不是3个人互不相识，则必有4个人互相认识。
同样10个人中若不是3个人互相认识，则必有4个人互不相识。
其实此结论只要有9个人就够了。
问题相当于9个顶点的完全图用红，蓝二色任意着色，必然是红色三角形和蓝色的完全四边形两者必有其一。
类似地有红色完全四边形和蓝色边的三角形两者必有其一[2].2.2.3 18个人至少有4个人或互相认识或互相不认识。
这个问题相当于对18个顶点的完全图的边用红，蓝二色任意着色，则至少存在一个同色完全四边形[2].以上推论可写成2.3 ramsey数的一些简单性质ramsey数具有一些特殊性质，如下所示：2.3.1 . （对称性）2.3.2 .（个顶点的完全图的边用红蓝两色染色或存在一个个顶点着红（蓝）色的完全图，或至少存在一条着蓝（红）色的边）。
2.3.3 对任意正整数存在2.3.4 对任意正整数，有.推论：对所有整数和，若和是偶数，则. （详见参考文献[1]）。
2.3.5 对于有.3 ramsey数的推广定理3.1 对任意的正整数有定理3.2 对任意的正整数有。
Ramsey数的上界研究
Ramsey数的上界研究
自1928年Ramsey提出了著名的Ramsey定理之后,引起了对Ramsey类型问题的广泛研究.Ramsey数是其中一个非常重要的问题,但是Ramsey数的研究进展非常缓慢。
人们应用各种各样的方法也只得到了Ramsey数有限的几个值.所以Ramsey数成为了组合数学、离散数学、图论、算法研究领域的著名难题和热门
课题.学者们都试图找到求Ramsey数的一个通用方法,而不是一个一个的求出Ramsey数的值,但是到目前为止,仍然没有找到一种合理的方法来求出Ramsey的所有值.本文一共采用了三种方法来求不同类型的Ramsey数的上界.第一种方法是：抽屉原理.利用抽屉原理证明了Erdos和Szekeres(1935)以及Greenwood和Gleason(1955)提出的Ramsey数定理及其推广,同时由抽屉原理还得到了两类Ramsey的上界公式：Rn-1(k;k+1)≤n(Rn(k)-1)+2与Rn-1(k;l+1)≤
n(Rn-1(k;l)-1)+2.第二种方法是：将整数集合的S-F-S分拆进行推广,并对其进行了仔细的研究,然后说明其在求Ramsey数R(3,q)上界中的作用.第三种方法是：循环图.应用循环图求经典多色Ramsey数Rn-1(3；q)的上、下界.首先提出了计算Ramsey数Rn-1(3；q)下界的一种方法,然后根据根据这种方法得到了计算Ramsey数Rn-1(3；q)上界的一种新方法,并利用所提出的方法得到了
R(3,3,4)=30.。
第五章 抽屉原理和Ramsey理论
则（ri，si）的取值共有9种情形，即
（0，0） （1，0） （2，0） （0，1） （1，1） （2，1） （0，2） （1，2） （2，2）
下面来构造“抽屉”和“物品”。将上述9个余数对作 为“抽屉”（上述表格每个代表一个抽屉），
平面点作为“物品”。
抽屉原理的应用
问题转换为：9个抽屉，每个物品即每个点Pi依 据其相应的（ ri ，si ）被放入某个抽屉。
抽屉原理的应用
（2）否则，5个ri中最多有2个ri相同（即在每个抽屉 必不空的情况下，每个抽屉中最多放2个物品）。 三个抽屉的物品放置情况为： [00 11 2 ] [00 1 22 ] [0 11 22]
那么，从每个抽屉中选一个整数，余数之和为3，则所 选的这三个数的和能被3整除。
抽屉原理的应用
7 3 3个ai对应的余数ri相同，这三个数之和能被3整除。
抽屉原理的应用
n=7是最小的吗？ 其实，只要n=5就可以了。记这5个数为a1，a2 ，„， a5 （5个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，„，5）。 将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为5个物品放 入3个抽屉的问题。分情况讨论： （1）若有某3个ai对应的余数ri相同，则这三个数满足 条件；
n 2 1
t
抽屉原理的应用
问题四的一种理解：
k=2只是讨论线段中心是整点的问题。
对于二维空间（t=2）,当k=3时，就是讨论三角形的几 何中心是整点的问题。
下面来看t=2，k=3，最小n取值情况。
抽屉原理的应用
（3）当t=2，k=3时，则n=9. 即在平面上有n个整点，任何3个点都不共线，则 当n≥9时，其中必有3个点(即k=3) Pi=(xi,yi)，Pj=(xj,yj)，Pk=(xk,yk) 由此三点构成的三角形的几何中心
（0，0） （1，0） （2，0） （0，1） （1，1） （2，1） （0，2） （1，2） （2，2）
下面来构造“抽屉”和“物品”。将上述9个余数对作 为“抽屉”（上述表格每个代表一个抽屉），
平面点作为“物品”。
抽屉原理的应用
问题转换为：9个抽屉，每个物品即每个点Pi依 据其相应的（ ri ，si ）被放入某个抽屉。
抽屉原理的应用
（2）否则，5个ri中最多有2个ri相同（即在每个抽屉 必不空的情况下，每个抽屉中最多放2个物品）。 三个抽屉的物品放置情况为： [00 11 2 ] [00 1 22 ] [0 11 22]
那么，从每个抽屉中选一个整数，余数之和为3，则所 选的这三个数的和能被3整除。
抽屉原理的应用
7 3 3个ai对应的余数ri相同，这三个数之和能被3整除。
抽屉原理的应用
n=7是最小的吗？ 其实，只要n=5就可以了。记这5个数为a1，a2 ，„， a5 （5个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，„，5）。 将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为5个物品放 入3个抽屉的问题。分情况讨论： （1）若有某3个ai对应的余数ri相同，则这三个数满足 条件；
n 2 1
t
抽屉原理的应用
问题四的一种理解：
k=2只是讨论线段中心是整点的问题。
对于二维空间（t=2）,当k=3时，就是讨论三角形的几 何中心是整点的问题。
下面来看t=2，k=3，最小n取值情况。
抽屉原理的应用
（3）当t=2，k=3时，则n=9. 即在平面上有n个整点，任何3个点都不共线，则 当n≥9时，其中必有3个点(即k=3) Pi=(xi,yi)，Pj=(xj,yj)，Pk=(xk,yk) 由此三点构成的三角形的几何中心
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本例为此类问题的最简单情形，关于其一般情况， 可以从不同角度认识并加以推广，下面介绍该类问题 的推广。
抽屉原理的应用
【问题一】任给3个整数，其中必存在两个整数，其和能 被2整除。 等价问题例5.2.1
证明：记这3数为a1，a2 ， a3 ,令 ri = ai mod 2， 则 ri =0，1（i =1，2，3）。
5.1 抽屉原理
例5.1.4 任意一群人中，必有两人有相同数 目的朋友。
证 设有n个人,n至少为2，分3种情况讨论：
(1)有两人或两人以上的人无朋友，则朋友数 为零的人已经有两个了，结论成立.
(2)每人都有朋友，由上例可知结论成立。
(3)只有一人无朋友，余下的n-1人都有 朋友，由（2）知结论成立
5.1 抽屉原理
抽屉原理 “将n+1个物品放入n个抽屉，则至少有 一个抽屉中的物品数不少于两个。”
例１ 367人中至少有２人的生日同。 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有 两只是完整配对的。
5.1 抽屉原理
抽屉原理推广形式 设q1 , q2 , … , qn都是正整数，并有
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．
抽屉原理的应用
第一节中已经介绍了抽屉原理的基本形式及推广形式。 这一节主要来介绍其应用。
抽屉原理本身非常简单，其应用却非常广泛，它可以 解决很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。 主要用于证明某些存在性问题及必然性问题，比如整除问 题、染色问题、面积问题、几何问题等。
抽屉原理的应用
使用抽屉原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即 如何找出合乎问题条件的分类原则，首先找出哪些是 “物品”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成 存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一 些巧妙的方法去构造。
*
* 方形的对角线之长度 2 。证毕。
5.1 抽屉原理
注意，如果抽屉选择不当，可能于事无益。
如图，将正方形分为4个直角边长为 等腰直角三角形是达不到目的的。来自2的**
* 抽屉的构造很重要！
**
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
总结以上情况： 当k=2，t=1时，n=3; 当k=2，t=2时，n=5; 不难证明k=2，t=3时，n=9 …
以此类推，对任意的t， 当k=2时，有
n 2t 1
抽屉原理的应用
问题四的一种理解： k=2只是讨论线段中心是整点的问题。 对于二维空间（t=2）,当k=3时，就是讨论三角形的几
何中心是整点的问题。
抽屉原理的应用
那么，2必能同时整除整数xi + xj和yi + yj，即Pi和Pj的几何
中心 P 1 (Pi Pj) ( xi xj yi yj )
也为整点。 2
2
2
而当n=4时，选4个平面整点(0，6)，(8，9)，(1，8)，(5， 7).那么其中任意两个点（k=2）都不满足要求。
构造抽屉，将可能出现的余数值0，1视为两个抽 屉，3个数ai为物品，以 ri值决定将 ai放入哪个抽屉。
由抽屉原理（定理5.1.1），某个抽屉中至少有 两个ai ，其除以2的余数相同。那么，这两个数即满 足要求。
这个问题也就是例5.2.1的另一 种提法，偶数=能被2整除
抽屉原理的应用
【问题二（扩展）】任给n个数，其中必存在3个 整数，其和能被3整除。问n最小应为多少。
下面来看t=2，k=3，最小n取值情况。
抽屉原理的应用
（3）当t=2，k=3时，则n=9. 即在平面上有n个整点，任何3个点都不共线，则
当n≥9时，其中必有3个点(即k=3) Pi=(xi,yi)，Pj=(xj,yj)，Pk=(xk,yk)
由此三点构成的三角形的几何中心
P 1 3
Pi Pj Pk
抽屉原理的应用
下面通过一些例子来看抽屉原理的具体应用。
【例5.2.1】任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差 也为偶数）。 等价问题一
分析：该问题即利用抽屉原理解决“必然”性的问 题。问题的关键在于构造“抽屉”及“物品”，这样， 利用抽屉原理便可轻易解答该题。
抽屉原理的应用
证：首先构造两个抽屉：“奇数”和“偶数”。 3个 数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，由整数 求和的奇、偶性质即知此二数之和必为偶数。 同理可知，二者之差也为偶数。
（2）当点数增加到5个时，一维数轴上有5个整数点，则
其中必存在3个点xi、xj和xk，其几何中心 (xi + xj + xk)/3 也是一个整点。
抽屉原理的应用
上述例子均是在一维空间上讨论问题，这些例子 还可以推广到更一般的情形，如多维空间。下面 的问题四来探讨抽屉原理在多维空间上的应用。
抽屉原理的应用
证明：该问题是【问题一】的扩展。按照常规思路， 当n=7时结论成立。
下面构造抽屉来进行证明。
记这七个数为a1，a2 ，…， a7 （7个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，7）。
将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为7个物
品放入3个抽屉的问题，利用 推论5.1.2知，至少有
【问题四（多维空间）】在t维空间上有n个整点
Pi (xi(1), xi(2),, xi(t) ),i 1,2,, n
若希望其中一定存在k个整点Pi1，Pi2，∙∙∙，Pik，其几何中心
P 1
k
k
Pi j
j 1
(1 k
k x(1) , 1 k i j
j 1
k x(2) , , 1
ij
j 1
若n=4的时候呢? 结论不一定成立。例如，选
a1=3，a2=6，a3 =8，a4=20 就找不到3个数满足要求。所以
最小的n值为5.
抽屉原理的应用
【问题三（一般提法）】任给n个整数，其中必存在k个
整数，其和能被k整除。问n最小应为多少？
例如：
k=2 时，n=3；
k=3 时，n=5（而非7）； k=4 时，n=7（而非13）.
使用反证法证明。
5.1 抽屉原理
例5.1.3 参加会议的n人中，至少有2人， 认识的其他参加者的人数相等。
证 设某参会者认识的人数为k个，则k的 取值可以是{1，2，…，n-1}中的一个，视 为n-1个抽屉。
会议上有n个参会者，可以视为n个物品。 那么有基本定理可知，这n个参会者至少 有2人，认识的人数相同。
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
5.1 抽屉原理
6只鸽子飞回5个鸽子巢，至少有一个鸽子巢要飞进
2只鸽子。为什么？
???
假如一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进5 只鸽子，还剩下只鸽子。所以，无论怎么飞，至少 有2只鸽子要飞进同一个笼子里。
（1，2）
（2，0）
（2，1）
（2，2）
下面来构造“抽屉”和“物品”。将上述9个余数对作 为“抽屉”（上述表格每个代表一个抽屉）， 平面点作为“物品”。
抽屉原理的应用
问题转换为：9个抽屉，每个物品即每个点Pi依 据其相应的（ ri ，si ）被放入某个抽屉。
可以证明，当同一行或者同一列的3个抽屉不空 的时候，从每个抽屉中各选一个点，选出来的三点 即满足要求。
7 3
3个ai对应的余数ri相同，这三个数之和能被3整除。
抽屉原理的应用
n=7是最小的吗？
其实，只要n=5就可以了。记这5个数为a1，a2 ，…， a5 （5个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，5）。 将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为5个物品放 入3个抽屉的问题。分情况讨论： （1）若有某3个ai对应的余数ri相同，则这三个数满足 条件；
k
k
x(t) ) ij
j 1
也是t维空间的一个整点。问n最小应为多少。
抽屉原理的应用
解：（1）t=1即为前面一维空间上讨论的问题， k=2时，n=3； k=3时，n=5.
（2）当t=2时，可以证明 k=2时，n=5； (k=3时，n=9).
抽屉原理的应用
（2）当t=k=2时，证明n=5 :
设5个平面整点为Pi=（xi，yi）（i=1,2,3,4,5），令
5.1 抽屉原理
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问 题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为 “鸽巢原理”。 “抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它 可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到 一些令人惊异的结果。“抽屉原理”在数论、 集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
抽屉原理的应用
（2）否则，5个ri中最多有2个ri相同（即在每个抽屉 必不空的情况下，每个抽屉中最多放2个物品）。
三个抽屉的物品放置情况为： [00 11 2 ] [00 1 22 ] [0 11 22]
那么，从每个抽屉中选一个整数，余数之和为3，则所 选的这三个数的和能被3整除。
抽屉原理的应用
5.1 抽屉原理
例5.1.5 边长为2的正方形内有5个点，其中至 少有两点，距离不超过 2 。
证 首先制造抽屉：将原正方形各对边中点 相连，构成4个边长为1的小正方形，视为抽屉。
*
* 其次，由基本原理，至少有一个
*
小正方形里点数不少于2。最后，
从几何角度可以看出，同一小正
方形内的两点的距离不超过小正
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．
抽屉原理的应用
【问题一】任给3个整数，其中必存在两个整数，其和能 被2整除。 等价问题例5.2.1
证明：记这3数为a1，a2 ， a3 ,令 ri = ai mod 2， 则 ri =0，1（i =1，2，3）。
5.1 抽屉原理
例5.1.4 任意一群人中，必有两人有相同数 目的朋友。
证 设有n个人,n至少为2，分3种情况讨论：
(1)有两人或两人以上的人无朋友，则朋友数 为零的人已经有两个了，结论成立.
(2)每人都有朋友，由上例可知结论成立。
(3)只有一人无朋友，余下的n-1人都有 朋友，由（2）知结论成立
5.1 抽屉原理
抽屉原理 “将n+1个物品放入n个抽屉，则至少有 一个抽屉中的物品数不少于两个。”
例１ 367人中至少有２人的生日同。 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有 两只是完整配对的。
5.1 抽屉原理
抽屉原理推广形式 设q1 , q2 , … , qn都是正整数，并有
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．
抽屉原理的应用
第一节中已经介绍了抽屉原理的基本形式及推广形式。 这一节主要来介绍其应用。
抽屉原理本身非常简单，其应用却非常广泛，它可以 解决很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。 主要用于证明某些存在性问题及必然性问题，比如整除问 题、染色问题、面积问题、几何问题等。
抽屉原理的应用
使用抽屉原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即 如何找出合乎问题条件的分类原则，首先找出哪些是 “物品”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成 存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一 些巧妙的方法去构造。
*
* 方形的对角线之长度 2 。证毕。
5.1 抽屉原理
注意，如果抽屉选择不当，可能于事无益。
如图，将正方形分为4个直角边长为 等腰直角三角形是达不到目的的。来自2的**
* 抽屉的构造很重要！
**
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
总结以上情况： 当k=2，t=1时，n=3; 当k=2，t=2时，n=5; 不难证明k=2，t=3时，n=9 …
以此类推，对任意的t， 当k=2时，有
n 2t 1
抽屉原理的应用
问题四的一种理解： k=2只是讨论线段中心是整点的问题。 对于二维空间（t=2）,当k=3时，就是讨论三角形的几
何中心是整点的问题。
抽屉原理的应用
那么，2必能同时整除整数xi + xj和yi + yj，即Pi和Pj的几何
中心 P 1 (Pi Pj) ( xi xj yi yj )
也为整点。 2
2
2
而当n=4时，选4个平面整点(0，6)，(8，9)，(1，8)，(5， 7).那么其中任意两个点（k=2）都不满足要求。
构造抽屉，将可能出现的余数值0，1视为两个抽 屉，3个数ai为物品，以 ri值决定将 ai放入哪个抽屉。
由抽屉原理（定理5.1.1），某个抽屉中至少有 两个ai ，其除以2的余数相同。那么，这两个数即满 足要求。
这个问题也就是例5.2.1的另一 种提法，偶数=能被2整除
抽屉原理的应用
【问题二（扩展）】任给n个数，其中必存在3个 整数，其和能被3整除。问n最小应为多少。
下面来看t=2，k=3，最小n取值情况。
抽屉原理的应用
（3）当t=2，k=3时，则n=9. 即在平面上有n个整点，任何3个点都不共线，则
当n≥9时，其中必有3个点(即k=3) Pi=(xi,yi)，Pj=(xj,yj)，Pk=(xk,yk)
由此三点构成的三角形的几何中心
P 1 3
Pi Pj Pk
抽屉原理的应用
下面通过一些例子来看抽屉原理的具体应用。
【例5.2.1】任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差 也为偶数）。 等价问题一
分析：该问题即利用抽屉原理解决“必然”性的问 题。问题的关键在于构造“抽屉”及“物品”，这样， 利用抽屉原理便可轻易解答该题。
抽屉原理的应用
证：首先构造两个抽屉：“奇数”和“偶数”。 3个 数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，由整数 求和的奇、偶性质即知此二数之和必为偶数。 同理可知，二者之差也为偶数。
（2）当点数增加到5个时，一维数轴上有5个整数点，则
其中必存在3个点xi、xj和xk，其几何中心 (xi + xj + xk)/3 也是一个整点。
抽屉原理的应用
上述例子均是在一维空间上讨论问题，这些例子 还可以推广到更一般的情形，如多维空间。下面 的问题四来探讨抽屉原理在多维空间上的应用。
抽屉原理的应用
证明：该问题是【问题一】的扩展。按照常规思路， 当n=7时结论成立。
下面构造抽屉来进行证明。
记这七个数为a1，a2 ，…， a7 （7个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，7）。
将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为7个物
品放入3个抽屉的问题，利用 推论5.1.2知，至少有
【问题四（多维空间）】在t维空间上有n个整点
Pi (xi(1), xi(2),, xi(t) ),i 1,2,, n
若希望其中一定存在k个整点Pi1，Pi2，∙∙∙，Pik，其几何中心
P 1
k
k
Pi j
j 1
(1 k
k x(1) , 1 k i j
j 1
k x(2) , , 1
ij
j 1
若n=4的时候呢? 结论不一定成立。例如，选
a1=3，a2=6，a3 =8，a4=20 就找不到3个数满足要求。所以
最小的n值为5.
抽屉原理的应用
【问题三（一般提法）】任给n个整数，其中必存在k个
整数，其和能被k整除。问n最小应为多少？
例如：
k=2 时，n=3；
k=3 时，n=5（而非7）； k=4 时，n=7（而非13）.
使用反证法证明。
5.1 抽屉原理
例5.1.3 参加会议的n人中，至少有2人， 认识的其他参加者的人数相等。
证 设某参会者认识的人数为k个，则k的 取值可以是{1，2，…，n-1}中的一个，视 为n-1个抽屉。
会议上有n个参会者，可以视为n个物品。 那么有基本定理可知，这n个参会者至少 有2人，认识的人数相同。
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
5.1 抽屉原理
6只鸽子飞回5个鸽子巢，至少有一个鸽子巢要飞进
2只鸽子。为什么？
???
假如一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进5 只鸽子，还剩下只鸽子。所以，无论怎么飞，至少 有2只鸽子要飞进同一个笼子里。
（1，2）
（2，0）
（2，1）
（2，2）
下面来构造“抽屉”和“物品”。将上述9个余数对作 为“抽屉”（上述表格每个代表一个抽屉）， 平面点作为“物品”。
抽屉原理的应用
问题转换为：9个抽屉，每个物品即每个点Pi依 据其相应的（ ri ，si ）被放入某个抽屉。
可以证明，当同一行或者同一列的3个抽屉不空 的时候，从每个抽屉中各选一个点，选出来的三点 即满足要求。
7 3
3个ai对应的余数ri相同，这三个数之和能被3整除。
抽屉原理的应用
n=7是最小的吗？
其实，只要n=5就可以了。记这5个数为a1，a2 ，…， a5 （5个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，5）。 将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为5个物品放 入3个抽屉的问题。分情况讨论： （1）若有某3个ai对应的余数ri相同，则这三个数满足 条件；
k
k
x(t) ) ij
j 1
也是t维空间的一个整点。问n最小应为多少。
抽屉原理的应用
解：（1）t=1即为前面一维空间上讨论的问题， k=2时，n=3； k=3时，n=5.
（2）当t=2时，可以证明 k=2时，n=5； (k=3时，n=9).
抽屉原理的应用
（2）当t=k=2时，证明n=5 :
设5个平面整点为Pi=（xi，yi）（i=1,2,3,4,5），令
5.1 抽屉原理
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问 题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为 “鸽巢原理”。 “抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它 可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到 一些令人惊异的结果。“抽屉原理”在数论、 集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
抽屉原理的应用
（2）否则，5个ri中最多有2个ri相同（即在每个抽屉 必不空的情况下，每个抽屉中最多放2个物品）。
三个抽屉的物品放置情况为： [00 11 2 ] [00 1 22 ] [0 11 22]
那么，从每个抽屉中选一个整数，余数之和为3，则所 选的这三个数的和能被3整除。
抽屉原理的应用
5.1 抽屉原理
例5.1.5 边长为2的正方形内有5个点，其中至 少有两点，距离不超过 2 。
证 首先制造抽屉：将原正方形各对边中点 相连，构成4个边长为1的小正方形，视为抽屉。
*
* 其次，由基本原理，至少有一个
*
小正方形里点数不少于2。最后，
从几何角度可以看出，同一小正
方形内的两点的距离不超过小正
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．