(新课标)2019届高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件文
1 解：(1)由题意得 a1＝S1＝1＋λa1，故 λ≠1，a1＝ ，a ≠0. 1－λ 1 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan，即 an＋1(λ－1)＝λan.由 a1 an＋1 λ ≠0，λ≠0 得 an≠0.所以 ＝ . an λ－1 1 λ 1 λ n－1 因此{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 an＝ . 1－λ λ－1 1－λλ－1 λ (2)由(1)得 Sn＝1－ λ－1 ，
自 查 自 纠： 1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ± ab 3．(1)a1q
n－1
am q
n－m
n－m a n－m a n n ± am am
a1 a1 (2) y＝ q qx q 4．na1 a1（1－qn） a1－anq a1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1
1 q1 5．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3， 即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an － － － ＝a1qn 1＝3n 1.故填 3n 1.
类型一
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan， 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若 S5＝ ，求 λ. 32
4．等比数列的前 n 项和公式
，q＝1， 等比数列 {an}中， Sn＝
＝
求和公 ，q≠1.
式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求 和公式变形为 Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中 B＝ 且 q≠0，q≠1. 5．等比数列的性质 (1)在等比数列中，若 p＋q＝m＋n，则 ap·aq＝am·an； 2 若 2m＝p＋q，则 am ＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．
n
λ 5 31 λ 5 1 31 由 S5＝ 得 1－ λ－1 ＝ ，即 λ－1 ＝ ， 32 32 32 解得 λ＝－1.
点 拨： 等比数列的四种常用判定方法 定义 法 中项 公式 法 通项 公式 法 前n 项和 公式 法 an＋1 an 若 ＝q(q 为非零常数， n∈N*)或 ＝ an an－1 q(q 为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an} 是等比数列 若数列{an}中， an≠0 且 a2 an＋2(n∈N*)， n＋1＝an· 则{an}是等比数列 若 数 列 {an} 的 通 项 公 式 可 写 成 an ＝ － c· qn 1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)， 则{an}是等比数列 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k· qn－k(k 为常 数且 k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列
2 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a5 ， a2＝1，则 a1＝( )
1 A. 2
2 B. 2
C. 2
D．2
解： 因为 a3· a9＝2a2 则由等比数列的性质有： a3· a9 5，
2 2 a a 6 6 2 2 ＝a2 ＝ 2 a ， 所以 ＝ 2 ， 即 ＝ q ＝2.因为公比为正数， 2 6 5 a a5 5
1 (2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，则数列a ， n an {p · an}(p≠0) ， {an · bn} ， b 仍 为 等 比 数 列 且 公 比 分 别 n
为
，
，
，
.
(3)在等比数列中， 按序等距离取出若干项， 也构成一个等比数列， 即 an，an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为 ． (4)公比不为－1 的等比数列前 n 项和为 Sn(Sn≠0)， 则 Sn， S2n－Sn， S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为 ． － (5)对于一个确定的等比数列，在通项公式 an＝a1qn 1 中，an 是 n 的函数． ①当 a1＞0， 或 a1＜0， 时，等比数列{an} 是递增数列； ②当 a1＞0， 或 a1＜0， 时，等比数列{an} 是递减数列； ③当 时，它是一个常数列； ④当 时，它是一个摆动数列．
• 6.3 等比数列
1．等比数列的定义 一般地， 如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的 等 于同一 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的 ，通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a与b的 ，且 G2＝ 或 G＝ . 3．等比数列的通项公式 (1)若{an}是等比数列，则通项 an＝ 或 an ＝ . 当 n－ m 为大于 1 的奇数时， q 用 an， am 表示为 q ＝ ；当 n－m 为正偶数时，q＝ ． － (2)an＝a1qn 1 可变形为 an＝Aqn，其中 A＝ ；点(n， an)是曲线 上一群孤立的点．
2 设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 3 项和为 Sn，则 ( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
2 1－ an n－1 3 2 2 1 － an ＝3－2an.故选 D. 解：an＝ 3 ，Sn＝ ＝3 3 2 1－ 3
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋3S2＝0，则 公比 q＝________.
解：设数列{an}的公比为 q.由 S3＋3S2＝0，得 4a1＋4a2＋ a3＝0，则 4a1＋4a1q＋a1q2＝0.显然 a1≠0，所以 4＋4q＋q2＝0， 解得 q＝－2.故填－2.
(2015·湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和． 若 a1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an＝________．
a2 1 2 故 q＝ 2.又因为 a2＝1，所以 a1＝ ＝ ＝ .故选 B. q 2 2
已知等比数列{an}为递增数列．若 a1>0，且 2(an＋an＋ ) 2)＝5an＋1，则数列{an}的公比 q＝( A．2 1 B. 2 1 C．2 或 2 D．3
解：由题意得 2an＋2anq2＝5anq，化简得 2q2－5q＋ 1 2＝0，解得 q＝2 或 q＝ ，由题意知 q>1.所以 q＝2.故选 2 A.
合集下载
2019版高考数学一轮复习题组训练第6章 第3讲 等比数列及其前n项和(含最新模拟题) Word版含答案
第三讲等比数列及其前项和题组等比数列及其前项和.[新课标全国Ⅱ分][文]已知等比数列{}满足(),则() ...[新课标全国Ⅰ分][文]设首项为,公比为的等比数列{}的前项和为,则().[江苏分][文]等比数列{}的各项均为实数,其前项和为.已知,则..[新课标全国Ⅰ分][文]在数列{}中为{}的前项和.若,则..[广东分][文]设数列{}是首项为,公比为的等比数列,则..[全国卷Ⅲ分]已知数列{}的前项和λ,其中λ≠.(Ⅰ)证明{}是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若,求λ..[北京分][文]已知等差数列{}满足.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{}满足.问与数列{}的第几项相等?题组等比数列的性质及应用.[重庆分]对任意等比数列{},下列说法一定正确的是() 成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列.[全国卷Ⅰ分]设等比数列{}满足,则…的最大值为..[广东分][文]若三个正数成等比数列,其中,则..[广东分]若等比数列{}的各项均为正数,且,则… ..[天津分][文]已知{}是等比数列,前项和为(∈*),且.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)若对任意的∈*是和的等差中项,求数列{()}的前项和.组基础题.[河北衡水中学二调]设正项等比数列{}的前项和为,且<,若,则() 或.[益阳市、湘潭市高三调研]已知等比数列{}中,则的值为().[洛阳市尖子生高三第一次联考]在等比数列{}中是方程的根,则的值为() . 或.[吉林省部分学校高三仿真考试][数学文化题]《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走天,共走了里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为(). . . ..[广州市高三调研测试]在各项都为正数的等比数列{}中,若,则的最小值为..[惠州市一调]已知等比数列{}的公比为正数,且,则..[昆明市高三适应性检测]数列{}满足.()证明{}是等比数列,并求数列{}的通项公式;()已知符号函数()设·(),求数列{}的前项和.组提升题.[石家庄市重点高中摸底考试]已知等比数列{}的前项和为,若,则数列{}的前项和为() ()×()×()×()×。
人教a版高考数学(理)一轮课件：6.3等比数列
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( A.1 2 ������5 ������2 1 8
1 4
) D.
1 2
B.-2
1 2
C.2
【答案】D 【解析】∵ q3= = ,∴ q= .
2.若等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列 {an}的前 10 项之和是( A.90 ) B.100 C.145 D.190
1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个 非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个非零常数叫做等比数列的公比, 等比数列的通项公式为 an=a1qn-1.
等比数列的通项公式还可以改写成 an= 1· qn 的形式,显然 等比数列{an}的图象是函数 y= 1· qx 的图象上的一群孤立的点.
【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则(1+d)2=1×(1+4d),∵ d≠0,∴ d=2. 于是,S10=10+
10×9 ×2=100. 2
3.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则其公比 q 为( A.2 B.4 C.8 【答案】B 【解析】令 n=1,得 a1a2=16,① 令 n=2,得 a2a3=162.② ②÷ ①,得 3=16,即 q2=16,于是得 q=± 4. 又由①知 q>0,因此 q=4.
n-1 2
.
1-(-2) S5= =11. 1-(-2)
5
T 题型一等 比数列的定义及判定
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}
中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关 系,再构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列
返回至目录
3.设正项等比数列{ }满足4 − 3 = 36，2 = 6，则1 =(
C.2
√
1
2
A.3
B.
)
1
3
D.
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
2
2
则4 − 3 = 2 − 2 = 36，即6 − 6 = 36，解得 = 3.则1 =
2
6
3
否则可能漏解或增解.
返回至目录
变式1（1） （2023年全国甲卷）已知正项等比数列{ }中，1 = 1, 为{ }的前项
和，5 = 53 − 4，则4 =(
A.
15
8
65
8
2 + 3
B.
解：由题意,知1 + +
)
C.15
√
D.40
+ 4 = 5 1 + + 2 − 4,即 3 + 2 − 4 − 4 = 0,即
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
1 + 2 + 3 = 14 ⇒ 1 + 1 + 1 2 = 14①.
又5 = 33 + 41 ，所以1 4 = 31 2 + 41 ②.
由①②,解得 = 2，1 = 2.则 = 1 −1 = 2 .
返回至目录
2.重要关系
（1）若{ }是各项均为正数的等比数列，则{log }( > 0且 ≠ 1)必为等差数
列;若{ }为等差数列，则{ }( > 0且 ≠ 1)必为等比数列.
（2）若 = + ≠ 0, ≠ 0,1 ，则{ }是等比数列⇔ + = 0.
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念与表示课件新人教A版文
, ≥ 2.
-24考点1
考点2
考点3
1 , = 1,
解题心得已知数列的前n项和Sn,则通项公式 an=
--1 , ≥ 2.
当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;
当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
-25考点1
函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在
y=3x+5的图象上.
-8知识梳理
双基自测
5.数列的前n项和
在数列{an}中,Sn=
1
2
3
4
5
a1+a2+…+an
6
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则 an=
式.
思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?
解 ∵an+1=an+3n+2,
∴an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2
(3+1)
的大小关
系
分类
递增数列 an+1
>
an
递减数列 an+1
<
an
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第六章 数列-第三节 等比数列
（1）求数列{ }的通项公式；
解由 + = 1，得−1 + −1 = 1 ≥ 2 ，
1
2
1
0，所以 =
−1
2
两式相减得 − −1 + = 0 ≥ 2 ，即 = −1 ≥ 2 .
1
2
当 = 1时，21 = 1，得1 = ≠
1
1
所以{ }是首项为 ，公比为 的等比数列,故
{ }是等比数列
前项和公式 若数列{ }的前项和 = ⋅ − (为常数且 ≠ 0, ≠ 0,1),则{ }是等比
法
数列
角度2 等比数列的判断
典例3已知数列{ }满足1 = 1,+1 = 2 + 1 ,设 =
.
（1）求1 ,2 ,3 的值；
+1
由条件可得
+1
=
2
,即+1
= 2 ,
又1 = 1,所以{ }是首项为1,公比为2的等比数列.
（3）求{ }的通项公式.
+ = + = ,所以 > , = ,所以 + = ,解得 = ±.当
= 时,由 = = ,可得 = ；当 = −时,由 = = ,可得 = −,所
以ቊ
= −,
= ,
或ቊ
解由条件可得+1 =
2 +1
⋅ .
将 = 1代入,得2 = 41 ,而1 = 1,所以2 = 4.将 = 2代入,得3 = 32 ,所以3 = 12.
从而1 = 1,2 = 2,3 = 4.
（2）判断数列{ }是否为等比数列,并说明理由；
解由 + = 1，得−1 + −1 = 1 ≥ 2 ，
1
2
1
0，所以 =
−1
2
两式相减得 − −1 + = 0 ≥ 2 ，即 = −1 ≥ 2 .
1
2
当 = 1时，21 = 1，得1 = ≠
1
1
所以{ }是首项为 ，公比为 的等比数列,故
{ }是等比数列
前项和公式 若数列{ }的前项和 = ⋅ − (为常数且 ≠ 0, ≠ 0,1),则{ }是等比
法
数列
角度2 等比数列的判断
典例3已知数列{ }满足1 = 1,+1 = 2 + 1 ,设 =
.
（1）求1 ,2 ,3 的值；
+1
由条件可得
+1
=
2
,即+1
= 2 ,
又1 = 1,所以{ }是首项为1,公比为2的等比数列.
（3）求{ }的通项公式.
+ = + = ,所以 > , = ,所以 + = ,解得 = ±.当
= 时,由 = = ,可得 = ；当 = −时,由 = = ,可得 = −,所
以ቊ
= −,
= ,
或ቊ
解由条件可得+1 =
2 +1
⋅ .
将 = 1代入,得2 = 41 ,而1 = 1,所以2 = 4.将 = 2代入,得3 = 32 ,所以3 = 12.
从而1 = 1,2 = 2,3 = 4.
（2）判断数列{ }是否为等比数列,并说明理由；
高考数学一轮总复习课件：等比数列
等比数列的性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 am·an＝___a_p·__aq_____． (2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S 奇·__q___． (3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成_等__比__数列，新公比q′＝__q_k___．
常用技巧
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝A·qn＋B，则A，B满足的 关系式为__A__＋_B_＝__0___．
(2)三个数成等比数列可设三个数分别为
b q
，b，bq，四个数
成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为qb3，bq，bq，bq3.
1．(课本习题改编)(1)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四 项等于___－_2_4___．
则称数列{an}为等比数列． (2)通项公式an＝__a_1·__q_n－_1___＝am·__q_n_－m___ (q≠0)．
__n_a_1 _，q＝1， (3)前n项和公式Sn＝____a1_(1_1-_-qq_) _n ____，q≠1. (4)M，N同号时它们的等比中项为_±__M__N___．
满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( C )
A．4
5 B.2
C．2
1 D.2
解析
方法一：由题意，得
a1·a1q4＝16， a1q＝2，
解得
a1＝1， q＝2
或
aq1＝＝－－21，(舍去)．故选C.
方法二：a1a5＝a32＝16.
由an>0，得a3＝4，∴q＝aa23＝2.
3．(2020·课标全国Ⅰ，文)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3 ＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( D )
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列
= √2,
解得
1 = 5√2-5.
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①
a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
考点二
等比数列的判断与证明
典例突破
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,
所以q5=-32,
10 + 12
故
5 + 7
=
( 5 + 7 ) 5
=q5=-32.
5 + 7
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
)
D.2
答案 A
解析由已知 a3=S3-S2=2,公比
4
q=
3
=
4
=2,所以
2
3
a1= 2
=
2
22
=
1
.
2
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=(
15A. 8) Nhomakorabea65
B. 8
C.15
D.30
答案 C
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
得
可得 5
8
解得
1 = 5√2-5.
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①
a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
考点二
等比数列的判断与证明
典例突破
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,
所以q5=-32,
10 + 12
故
5 + 7
=
( 5 + 7 ) 5
=q5=-32.
5 + 7
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
)
D.2
答案 A
解析由已知 a3=S3-S2=2,公比
4
q=
3
=
4
=2,所以
2
3
a1= 2
=
2
22
=
1
.
2
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=(
15A. 8) Nhomakorabea65
B. 8
C.15
D.30
答案 C
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
得
可得 5
8
等比数列的概念(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
就叫做等差数列.
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
符
号
an an1 d (n N 且n 2)
等比数列
二 项起，
如果一个数列从第____
比
每一项与它的前一项的____都等
同
于___一个常数，那么这个数列
等比数列
就叫做__________.
公比
比
常数叫做等____数列的_____
例题讲解
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
80 80
, ,80,80 d ,80 2d .于是得
2
q
q
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
， ①的两边分别除以②的两边,得
m 1
am a1q ②
an
q n m ,即an am q n m .
am
等比数列{an}的通项公式： an a1q n 1或an am q n m .
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
2
4
1
1
4
把q 代入① , 得a1 384, 此时a5 a1q 384 24.
2
2
4
1
1
4
把q 代入① , 得a1 384, 此时a5 a1q 384 24.
2
2
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
符
号
an an1 d (n N 且n 2)
等比数列
二 项起，
如果一个数列从第____
比
每一项与它的前一项的____都等
同
于___一个常数，那么这个数列
等比数列
就叫做__________.
公比
比
常数叫做等____数列的_____
例题讲解
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
80 80
, ,80,80 d ,80 2d .于是得
2
q
q
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
， ①的两边分别除以②的两边,得
m 1
am a1q ②
an
q n m ,即an am q n m .
am
等比数列{an}的通项公式： an a1q n 1或an am q n m .
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
2
4
1
1
4
把q 代入① , 得a1 384, 此时a5 a1q 384 24.
2
2
4
1
1
4
把q 代入① , 得a1 384, 此时a5 a1q 384 24.
2
2