2015届上海市奉贤区高三一模数学试卷
2014年奉贤区调研测试高三数学试卷
时间120分钟，分值150 分 2015、1、8
命题者：王晓芸，唐仁兴，张海君
一、填空题（每空正确3分，满分36分）
1．已知全集，集合，则 .
2．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中种型号产品有件，那么此样本的容量 .
3．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
4．若双曲线的一个焦点是
，则实数
.
5．已知圆与直线相切，则圆的半径 .
6．若是实系数一元二次方程的一个根，则 .
7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字、、、的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为”的概率是 .
8．函数的反函数为 .
9．在中，已知，且的面积，则的值为 .
10．已知为单位矩阵，且，则 .
11．如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一
周，则所形成的几何体的体积为 .
12．定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .
二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）
13．正方体中两条面对角线的位置关系是（）A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交、异面都有可能
14．下列命题中正确的是（）A．任意两复数均不能比较大小 B．复数是实数的充要条件是
C．复数是纯虚数的充要条件是 D．的共轭复数是
15．与函数有相同图像的一个函数是（）A． B．
C． D．
16．下列函数是在上为减函数的是（）A． B． C． D．
17．在空间中，设、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则下列命题正确的是（）
A．若，则 B．若、异面，则、平行
C．若、相交，则、相交 D．若，则
18．设是函数图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是（）
A． B． C． D．
19．设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则该椭圆的方程为（）
A． B． C． D．
20．在二项式的展开式中，系数最大项的系数是（）A． B． C． D．
21．已知数列的首项，，则下列结论正确的是（）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
22．在中，，则角的取值范围是（）
A． B． C． D．
23．对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若、且，则的上确界为（）
A． B． C． D．
24．定义两个实数间的一种新运算“”：，、。
对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（）
A．个 B．个 C．个 D．个
三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)
25．判断函数的奇偶性．
26．如图，四棱锥的侧棱都相等，底面是正方形，为对角线、的交
点，，求直线与面所成的角的大小．
27．已知函数，求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值．28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年
时间更换一万辆燃油型公交车。
每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。
今年初投入了电力型公交车辆，
混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。
（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；
（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．
29．曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程．
（1）求曲线的方程；
（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆．判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．
30．对于正项数列，若对一切恒成立，则对也恒成立是真命题．
（1）若，，且，求证：数列前项和；
（2）若，，求证：．
31．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．
（1）证明函数是定义域上的函数；
（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；
（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．。
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
上海市奉贤区高三数学二模考试试卷 文(含解析)
上海市奉贤区2015届高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．已知=3，，则=__________．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=__________．3．函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为__________．4．若log x y=﹣2，则x2+y的值域为__________．5．在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是__________．6．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．7．若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是__________．8．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共__________人．9．如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧面积为__________．10．从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是__________．11．若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为__________．12．已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=（x＞0），则g（x）=__________．13．设F1，F2是曲线=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F1，F2构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2，则n=__________．14．已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=__________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的( )A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既不充分也不必要条件17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是( )A．3πB．2πC．πD．18．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么( )A．S圆＞S圆环B．S圆＜S圆环C．S圆=S圆环D．不确定三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α，β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）求αf（β）+βf（α）的值；（3）判断函数y=f（x），x∈的单调性，并证明．上海市奉贤区2015届高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．已知=3，，则=．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：∵=3，，则===．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．解答：解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．3．函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，从而得到定义域．解答：解：由题意得，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，故函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）；故答案为：（﹣∞，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．4．若log x y=﹣2，则x2+y的值域为（2，+∞）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数与对数的互化，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．解答：解：log x y=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域为：（2，+∞）；故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查函数的值域，基本不等式的应用，对数与指数的互化，考查计算能力．5．在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是﹣10．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：分别在（1+x）5﹣的展开式的通项T r+1=C5r x r（1+x）6展开式的通项T k+1=C6k x k，令r=3，k=3可求解答：解：（1+x）5﹣的展开式的通项T r+1=C5r x r令r=3可得，T4=C53x3的展开式的通项T k+1=C6k x k，令k=3可得T4=C63x3∴含x3的项的系数是C53﹣C63=10﹣20=﹣10故答案为：﹣10点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定的项，属于基础试题6．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．解答：解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．解答：解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．8．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共195人．考点：等差数列的通项公式．专题：应用题；方程思想；等差数列与等比数列．分析：由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．解答：解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．9．如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧面积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：8；解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2，高为的正四棱锥．所以：正四棱锥的侧面的高为：，则正四棱锥的侧面积为：S=．故答案为：8点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．10．从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意知，2之前2个数中取1个，2之后2个数中取1个共4种5个数中取3个数的情况为10种，根据概率公式计算即可解答：解：2之前2个数中取1个，2之后2个数中取1个，情况为（0，2，3），（0，2，4），（1，2，3），（1，2，4）共4种，5个数中取3个数的情况为（0，1，2），（0，1，3），（0，1，4），（0，2，3），（0，2，4），（0，3，4），（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）共10种，故2恰好是中位数的概率是=，故答案为：点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题11．若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为a≤3．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件表示的可行域，如图求出交点A的坐标，然后结合题意，列出关于a的不等关系即可．解答：解：画出约束条件表示的可行域，如图中大阴影部分，由题意A（1，2），当直线x+y=a过点A时，a=3，当a＞3时，不等式组所确定的平面区域是图中的小三角形，它的面积不为0；当a≤3时，不等式组所确定的平面区域是空集，它的面积为0；故答案为：a≤3．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．12．已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=（x＞0），则g（x）=log（x2+2）﹣1（x＞0）．考点：反函数；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），利用反函数的概念图象的对称性得出f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，即可得出g（x）的解析式．解答：解：y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），∵函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数∴函数y=f（x）与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∵y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，∵f（x）=（x＞0），∴g（x）=﹣1（x＞0），故答案为：g（x）=log（x2+2）﹣1（x＞0）；点评：本题考查了函数图象的对称性，平移问题，利用反函数的概念，图象的对称性的知识求解，知识综合较多，属于中档题．13．设F1，F2是曲线=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F1，F2构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2，则n=4或5．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的方程分类求出椭圆的半长轴长，短半轴长及半焦距，再由三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2列关于m，n的方程组求得n的值．解答：解：由曲线=1（m＞0，n＞0），当m＞n时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，此时a=m，2a=2m，b=n，c2=a2﹣b2=m2﹣n2，∴．由题意可得，，解得：m=5，n=4；当m＜n时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，此时a=n，2a=2n，b=m，c2=a2﹣b2=n2﹣m2，∴．由题意可得，，解得：m=4，n=5．∴n的值为4或5．故答案为：4或5．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，关键是注意分类讨论，是中档题．14．已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=8或9．考点：数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出•的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．解答：解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则•=•=2+（n﹣1）•=4（n﹣1）=，由•=≥0，解得n≤9，即当n=9时，•=0，则当n=8或9时，S n最大，故答案为：8或9．点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：象限角、轴线角；三角函数值的符号．分析：sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．解答：解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．故选D．点评：本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．16．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的( )A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：等差关系的确定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）﹣（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．解答：解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）﹣（a4+a5）=a1=a1当0＜q＜1，时（q3﹣1）＜0，（q4﹣1）＜0∴a1＞0当q＞1，时（q3﹣1）＞0，（q4﹣1）＞0∴a1＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B点评：本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是( )A．3πB．2πC．πD．考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得•=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答：解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且•=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．18．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么( )A．S圆＞S圆环B．S圆＜S圆环C．S圆=S圆环D．不确定考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：C．点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．解答：解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，即，128t2﹣60t﹣27=0，（4t﹣3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）∴AC=28×=，BC=20×=15根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，甲船沿南偏东﹣arcsin的方向，用小时可以追上乙船．点评：本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解．20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．解答：解：（1）依题意，B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，由，则，由D为BC的中点，BC==5，即有，由，即，∴，即侧棱BB1与底面ABC所成角为；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，B1D⊥面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1∴CE⊥面A1B1C1，∴CE⊥A1E，，所求异面直线B1D与CA1所成角为．点评：本题考查空间角的求法，主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法，考查直线和平面的位置关系，属于中档题．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．解答：解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由双曲线C2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围∈（2，2]．点评：本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{a n}的通项公式；（2）确定a n=a n﹣1a n+1，依此类推a8=a2=b；（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．解答：解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，从而由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1，故解得d=3或d=﹣4（舍去）因此d=3，又S3=3a1+3d=15，解得a1=2从而当n≤1008时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2015时，由a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列得（1009≤n≤2015），因此（2）由题意，∴a n=a n﹣1a n+1，得，a7=a1=a依此类推a8=a2=b（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，得又，④故有．⑤若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而此推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数．（16分）点评：本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α，β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）求αf（β）+βf（α）的值；（3）判断函数y=f（x），x∈的单调性，并证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）讨论m=0，和m≠0，并且显然能得到m=0时f（x）为奇函数，而m≠0时f（x）非奇非偶，对于这种情况举反例说明即可；（2）先得到f（x）的特征方程为：x2﹣mx﹣1=0，而根据韦达定理即可得到α+β=m，αβ=﹣1，并且，从而便可求出=﹣m2﹣2；（3）利用单调性的定义来判断f（x）的单调性：设α＜x1＜x2＜β，作差判断f（x1）﹣f（x2）的符号即可得出f（x）在上的单调性．解答：解：（1）①m=0时，是奇函数；②m≠0时，f（﹣1）=，f（1）=；∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）；∴是非奇非偶函数；（2）∵；∴△=m2+4＞0恒成立；∴α+β=m，αβ=﹣1；∵；∴=；∴αf（β）+βf（α）=﹣m2﹣2；（3）设α＜x1＜x2＜β，则：；；∴，；；∴；∴2x1x2﹣m（x1+x2）﹣2＜0；∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x）在内单调递增．点评：考查奇函数的定义，举反例来说明一个函数非奇非偶的方法，韦达定理，一元二次方程取得实根的情况和判别式△的关系，以及利用单调性的定义判断函数单调性的方法和过程，基本不等式的应用，熟悉二次函数的图象．。
上海市五校联考2015届高三数学上学期质检试卷理(含解析)
上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。
2015届高三“一模”数学模拟试卷(1)(含答案)
2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。
上海市奉贤区2015届高三上学期期末考试(一模)英语试题及答案
2015学年奉贤区调研测试高三英语试卷（2015.1.16）（考试时间120分钟，满分150分。
请将答案填写在答题纸上。
）第I卷（共 103分）I. ListeningSection A Short conversations (10分)Directions: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. In a restaurant. B. At the theatre.C. In a meeting room.D. At the office.2. A. Teacher and student. B. Doctor and patient.C. Manager and office worker.D. Travel agent and customer.3. A. One. B. Two. C. Three. D. Four4. A. Reading newspapers. B. Writing up local news.C. Talking about sports.D. Putting up advertisement.5. A. He rescued a baby from a fire. B. He behaved bravely in a fire.C. He ran the fastest in a race.D. He jumped from a carriage which was on fire.6. A. Take a break. B. Go to work.C. Do the other problem.D. Keep trying.7. A. He doesn’t enjoy business trips as much as he used to.B. He doesn’t think he is capable of doing the job.C. He thinks the pay is too low to support his family.D. He wants to spend more time with his family.8. A. Thirty yuan. B. Thirty-five yuan.C. Forty yuan.D. Forty-five yuan.9. A. He wants to get a new position. B. He is asking the woman for help.C. He has left the woman a good impression.D. He enjoys letter writing.10. A. He probably won’t listen to the man’s advice.B. He has made a good decision.C. He has done the thing.D. He will follow the man’s advice.Section B Passages (12分)Directions: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you haveheard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11.A. Photos as clues to the past. B. Fashionable families in recent history.C. Photographers of the past.D. Details of photography from the past.12. A. Their shoes. B. Some money. C. Their relatives’ hands. D. Theirplaythings.13. A. The location of the house.B. The social and economic position of the family.C. The types of games children played.D. The profession of the owner of the house.14. A. Its meat as a source of food. B. The wide classification of penguins.C. The penguin’s successful career.D. Penguin’s life in groups.15. A. The king penguin. B. The emperor penguin.C. The bare-footed penguin.D. The black-footed penguin.16. A. The penguin may become extinct soon.B. The poisonous chemicals influence the penguins’ life.C. The chemicals have poisoned many penguins to death.D. The penguin population will drop greatly.Section C Longer conversations (8分)Directions:In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.II. Grammar and Vocabulary.Section A (16分)Directions: Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.(A)Are you a bookworm?Do you love to read? Your teachers probably tell you how important reading is all the time. And guess what? They’re right! Reading helps you in many ways beyond just (25)_________(be) able to read and get good grades in tests. Being an eager reader helps you become a good speller and writer. In fact, the more you read, the better you’ll do in all your subjects.Do you have friends who always have books in their hands? We bet they are caught (26)_________ (read) almost all the time. Sometimes those people who love reading and even collecting books are called bookworms. Is it really (27)__________ they look like earthworms? No! So where did that nickname come from?The term “bookworm” (28)_____________ (use) since the 1500s. Way back then, libraries did not have the modern air conditioning systems (29)____________(control) the environment (30) ____________ (surround) the books. As a result, some old libraries became musty and attracted various pests, some of which then took the form of insects and worms loving to eat paper and stay inside of books, (31)_________________ they would spend their entire lives. It was just natural to transfer the “bookworm”idea to humans who loved to consume books as much as these pests did.So if you see a trip to the library (32)_____________ an adventure and can’t wait to read a new book, you’re probably a bookworm. And that’s OK! You are not alone and there are millions and even billions of us in the world.Keys: 25. being 26.reading 27.because 28.has been used 29.to control 30.surrounding 31.where 32.asAnalyses:本篇文章讲述了“书虫”本身的含义以及之后指代书籍爱好者的由来。
2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )
上海市奉贤区2015届高三上学期期末考试(一模)数学试题
...5．26．01 8．y arcsin x, x1,17．39．210．12 21 11．12．32二、单项选择题〔每题 3 分〕13． D 14． B 15． D 16．A 17． C 18．B 19． A20． C21．B22．C23． A24． D三、解答题〔 7+7+8+13+13+14+16=78 分〕1 x0 ，1 分25．x1所以函数 f ( x) 的定义域是 ( 1,1)，2 分定义域关于原点对称，3 分f ( x)lg1( x) 4 分1 (x)1 x 1 11 xx 5 分lgxlglgf (x) ，1 1 x1 x而 f (1)lg 1， f ( 1)lg 3 ，f ( 1 ) f ( 1) ，6 分2 3 222所以 f ( x) 是奇函数不是偶函数。
7 分26ABCD为正方形，O为 AC、 BD 的中点，．又 PA PC,PB PD , PO AC,POBD ，2 分因为 AC 与BD 交于一点 O ，PO 平面 ABCD ，4 分PAO 为直线PA 与平面 ABCD 所成的角，5 分在 Rt PAO 中， PAPOPAO 45 ，6 分所以直线 PA 与平面ABCD 所成的角为 45 ．7 分27．解：f x3 cos 2 x sin x cos x323(cos 2x1) 1sin 2x32 分22239．210．12 21 11．12．32二、单项选择题〔每题 3 分〕13． D 14． B 15． D 16．A 17． C 18．B 19． A20． C21．B22．C23． A24． D三、解答题〔 7+7+8+13+13+14+16=78 分〕1 x0 ，1 分25．x1所以函数 f ( x) 的定义域是 ( 1,1)，2 分定义域关于原点对称，3 分f ( x)lg1( x) 4 分1 (x)1 x 1 11 xx 5 分lgxlglgf (x) ，1 1 x1 x而 f (1)lg 1， f ( 1)lg 3 ，f ( 1 ) f ( 1) ，6 分2 3 222所以 f ( x) 是奇函数不是偶函数。
奉贤区2015学年高三数学一模调研测试卷
奉贤区2015学年高三数学一模调研测试卷适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题(本大题满分56分）本大题共有14题。
1.数是虚数单位）的虚部是____ （4.0分）2.已知点和向量，若，则点B的坐标为____ （4.0分）3.方程的实数解为____ （4.0分）4.已知集合，则____（4.0分）5.若展开式中含的项的系数是____ （4.0分）6.若圆被直线平分，则的值为____ （4.0分）7.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则____（4.0分）8.数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为____ （4.0分）9.函数的值域是____ （4.0分）10.已知是常数，，若函数的最大值为10，则的最小值为____ （4.0分）11.函数在上单调递减，则正实数的取值范围是____ （4.0分）12.设都是锐角，，请问是否可以求解,若能求解,求出答案,若不能求解简述理由____ （4.0分）13.不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则____ （4.0分）14.线段AB的长度为2，点A、B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形(顺时针排序)，，设为坐标原点，则的取值范围是____ （4.0分）二、选择题（本大题满分20分）1.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）. （5.0分）(单选)A.B.C.D.2.已知数列，则（）. （5.0分）(单选)A. -48B. -50C. -52D. -493.已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）. （5.0分）(单选)A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，其中表示中的最小者．若，则实数的取值范围为（）. （5.0分）(单选)A.B.C.D.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题1.如图，已知四边形是矩形，平面，且， PB的中点E，求异面直线AE与PC所成角的大小．(用反三角表示) （12.0分）2.设的内角所对的边分别为，且满足（1）求的面积；（2）求的最小值．（14.0分）3.设三个数成等差数列，其中对应点的曲线方程是C．(1)、求C的标准方程；(2)、直线与曲线C相交于不同两点，且满足为钝角，其中为直角坐标原点，求出m的取值范围．（14.0分）4.已知函数是单调递增函数，其反函数是．（1）、若，求并写出定义域M；(2)、对于（1）的和M，设任意，求证：；（3）、若和有交点，那么交点一定在上．（16.0分）5.数列的前n项和记为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．(1)若数列的通项公式，判断是否为“H数列”；（1）等差数列，公差，求证：是“H数列”；（3）设点在直线上，其中．若是“H数列”，求满足的条件．（18.0分）。
2016年上海市奉贤区高考一模数学试卷【解析版】
2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是．2．（4分）已知点A（﹣1，5）和向量＝（2，3），若＝3，则点B的坐标为．3．（4分）方程9x+3x﹣6＝0的实数解为x＝．4．（4分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lgx}，则M∩N＝．5．（4分）若展开式中含x2的项的系数为．6．（4分）若圆x2+y2+2x﹣4y＝0被直线3x+y+a＝0平分，则a的值为．7．（4分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2＝1的一个焦点，则p＝．8．（4分）数列{a n}是等差数列，a2和a2014是方程5x2﹣6x+1＝0的两根，则数列{a n}的前2015项的和为．9．（4分）函数，的值域是．10．（4分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）＝ax3+b arcsin x+3的最大值为10，则f（x）的最小值为．11．（4分）函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是．12．（4分）设α、β都是锐角，，请问cosβ是否可以求解，若能求解，求出答案，若不能求解简述理由．13．（4分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1＝x+1和y2＝x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b＝．14．（4分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC＝1，O为坐标原点，则的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a+1＞b B．2a＞2b C．a2＞b2D．lga＞lgb 16．（5分）已知数列，则a1+a2+a3+…+a100＝（）A．﹣48B．﹣50C．﹣52D．﹣49 17．（5分）已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）A．0B．1C．2D．318．（5分）设函数f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．[﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）D．[﹣2，+∞）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，PD⊥平面ABCD，且PD＝3，PB的中点E，求异面直线AE与PC所成角的大小．（用反三角表示）20．（14分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足，（1）求△ABC的面积；（2）求a的最小值．21．（14分）设三个数，2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m＝0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．22．（16分）已知函数y＝f（x）是单调递增函数，其反函数是y＝f﹣1（x）．（1）若y＝x2﹣1（x＞），求y＝f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y＝f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y＝f（x）和y＝f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y＝x上．23．（18分）数列{a n}的前n项和记为S n若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的通项公式，判断{a n}是否为“H数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1＝2d，求证：{a n}是“H数列”；（3）设点（S n，a n+1）在直线（1﹣q）x+y＝r上，其中a1＝2t＞0，q≠0．若{a n}是“H数列”，求q，r满足的条件．2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i，所以复数的虚部为：1．故答案为：1．2．（4分）已知点A（﹣1，5）和向量＝（2，3），若＝3，则点B的坐标为（5，14）．【解答】解：设B（x，y），点A（﹣1，5）和向量＝（2，3），若＝3，可得：（x+1，y﹣5）＝（6，9），解得x＝5，y＝14．故答案为：（5，14）；3．（4分）方程9x+3x﹣6＝0的实数解为x＝log32．【解答】解：∵9x+3x﹣6＝0，∴（3x+3）（3x﹣2）＝0，∴3x＝2，∴x＝log32，故答案为：log32．4．（4分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lgx}，则M∩N＝（0，3]．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即M＝[﹣1，3]，由N中y＝lgx，得到x＞0，即N＝（0，+∞），则M∩N＝（0，3]，故答案为：（0，3]．5．（4分）若展开式中含x2的项的系数为56．【解答】解：由，令8﹣2r＝2，得r＝3，∴含x2的项的系数为．故答案为：56．6．（4分）若圆x2+y2+2x﹣4y＝0被直线3x+y+a＝0平分，则a的值为1．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心（﹣1，2）．圆x2+y2+2x﹣4y＝0被直线3x+y+a＝0平分，可知直线经过圆的圆心，可得﹣3+2+a＝0解得a＝1；故答案为：1．7．（4分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2＝1的一个焦点，则p＝2．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2＝2px的准线为x＝﹣，∴＝，∴p＝2，故答案为：2．8．（4分）数列{a n}是等差数列，a2和a2014是方程5x2﹣6x+1＝0的两根，则数列{a n}的前2015项的和为1209．【解答】解：∵a2和a2014是方程5x2﹣6x+1＝0的两根，∴a2+a2014＝，又∵数列{a n}是等差数列，∴数列{a n}的前2015项的和为＝•＝1209，故答案为：1209．9．（4分）函数，的值域是．【解答】解：函数＝2sin（x+），，可得，当，即x＝π时，函数取得最小值：﹣，当，即x＝时，函数取得最大值：2．函数的值域：故答案为：；10．（4分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）＝ax3+b arcsin x+3的最大值为10，则f（x）的最小值为﹣4．【解答】解：记函数g（x）＝ax3+b arcsin x，∵g（﹣x）＝﹣ax3﹣b arcsin x＝﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数，设当x＝x0时，函数f（x）＝ax3+b arcsin x+3的最大值为10，则f（x0）＝ax03+b arcsin x0+3＝10，此时g（x）取最大值g（x0）＝7，由奇函数的性质可得当x＝﹣x0时，函数g（x）取最小值g（﹣x0）＝﹣7，∴当x＝﹣x0时，函数f（x）取最小值﹣7+3＝﹣4，故答案为：﹣4．11．（4分）函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是[，]．【解答】解：由函数在上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于，即≥，∴0＜ω≤2．由ω•+≥2kπ+，且ω•π+≤2kπ+，求得4k+≤ω≤2k+，k∈Z，则正实数ω的取值范围是[，]，故答案为：[，]．12．（4分）设α、β都是锐角，，请问cosβ是否可以求解，若能求解，求出答案，若不能求解简述理由不满足余弦函数的单调性．【解答】解：∵α为锐角，α+β∈（0，π），α＜α+β，∵y＝cos x在（0，π）上递减，∴cos（α+β）＜cosα，而已知cos（α+β）＝＞cosα＝，所以条件错误，故cosβ不可解，故答案为：不满足余弦函数的单调性．13．（4分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1＝x+1和y2＝x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b＝﹣1．【解答】解：类比图象法解不等式的方法，在同一坐标系中，画出y1＝ax+2和y2＝x2+2b的图象，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则两个函数图象应如下图所示：则，由a，b∈Z得：，∴a+b＝﹣1，故答案为：﹣114．（4分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC＝1，O为坐标原点，则的取值范围是[1，3]．【解答】解：如图令∠OAB＝θ，θ∈，由于AB＝2故0A＝2cosθ，OB ＝2sinθ，如图∠DAX＝﹣θ，BC＝1，故x D＝2cosθ+cos（﹣θ）＝2cosθ+sinθ，y D＝sin（﹣θ）＝cosθ故＝（2cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即＝（sinθ，cosθ+2sinθ），∴＝（2cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+2sinθ）＝1+2sin2θ，∵θ∈，∴2θ∈[0，π]∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是1，故答案是：[1，3]．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a+1＞b B．2a＞2b C．a2＞b2D．lga＞lgb【解答】解：“a＞b”能推出“a+1＞b”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a+1＞b”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”即a2＞b2，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“lga＞lgb”，但是“lga＞lgb”能推出“a＞b”，故是充分不必要条件，不满足题意；故选：A．16．（5分）已知数列，则a1+a2+a3+…+a100＝（）A．﹣48B．﹣50C．﹣52D．﹣49【解答】解：∵，∴a1＝1，a2＝0，a3＝﹣3，a4＝0，a5＝5，a6＝0，a7＝﹣7，a8＝0，…∴a4n+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n＝﹣2，﹣3∴a1+a2+a3+…+a100＝﹣2×25＝﹣50，故选：B．17．（5分）已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设两条直角边为a，b，斜边为c，则面积S＝ab，周长l＝a+b+c，a2+b2＝c2；又∵2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a+b）2﹣c2＝（a+b+c）（a+b﹣c）∴ab＝（a+b+c）（a+b﹣c），∵ab＝a+b+c，∴（a+b+c）（a+b﹣c）/4＝a+b+c∴（a+b﹣c）＝1，∴a+b﹣c＝4，∴a2+b2＝c2＝（a+b﹣4）2＝a2+b2+16﹣8a﹣8b+2ab∴16﹣8a﹣8b+2ab＝0，即ab﹣4a﹣4b+8＝0，即（a﹣4）（b﹣4）＝8，又∵边长为整数，∴a﹣4＝1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，﹣8∴a＝5，6，8，12，0，2，0，﹣4又∵a＞0，∴a＝5，6，8，12，2，∴b＝12，8，6，5，0，又∵a，b，c都是整数，∴有两种直角三角形，分别是6，8，10和5，12，13；故选：C．18．（5分）设函数f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．[﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）D．[﹣2，+∞）【解答】解：f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}＝，作出f（x）的图象，可得f（a+2）＞f（a）变为a＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②①变为a2+3a+2＞0，解得a＜﹣2；②变为a2+a＜0，解得﹣1＜a＜0．则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选：C．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，PD⊥平面ABCD，且PD＝3，PB的中点E，求异面直线AE与PC所成角的大小．（用反三角表示）【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF、AE，∵E、F是中点，∴EF是△PBD的中位线，∴EF∥PB，∴∠AEF（或者其补角）为异面直线AE与PC所成角，（3分）∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，PD⊥平面ABCD，∴三垂线定理得P A⊥AB，在Rt△P AB中，（5分）（6分），，（7分）由余弦定理，知＝，（10分）∴（11分）∴异面直线AE与PC所成角的大小．（12分）20．（14分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足，（1）求△ABC的面积；（2）求a的最小值．【解答】解：（1）因为：，所以：，（2分）可得：，（3分）又因为：，得bc cos A＝3，（4分）可得：bc cos A＝3⇒bc＝5，（5分）．（7分）（2）∵bc＝5，∴，（10分）∴a2＝b2+c2﹣6，（11分）（12分）当且仅当b＝c＝时a最小值是2．（14分）21．（14分）设三个数，2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m＝0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．【解答】解：（1）、依题意：（1分）所以点P（x，y）对应的曲线方程C是椭圆（2分）2a＝4，∴a＝2．（3分）c＝1 14分）∴（5分）C的标准方程（6分）（2）、联立方程组，且m≠0消去y，得7x2+8mx+4m2﹣12＝0（7分），△＝64m2﹣28（4m2﹣12）＝336﹣48m2＞0（8分）∴m2＜7，且m≠0（9分）设M（x1，y1），N（x2，y2）得（10分）可计算（11分）由∠MON为钝角，则，x 1x2+y1y2＜0，（12分）所以（13分）∴m的取值范围且m≠0（14分）22．（16分）已知函数y＝f（x）是单调递增函数，其反函数是y＝f﹣1（x）．（1）若y＝x2﹣1（x＞），求y＝f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y＝f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y＝f（x）和y＝f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y＝x上．【解答】（1）解：由，解得x＝，把x与y互换，可得y＝f ﹣1（x）＝，x，M＝．（2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3）证明：设（a，b）是y＝f（x）和y＝f﹣1（x）的交点，即，∴a＝f（b），b＝f（a），当a＝b，显然在y＝x上；当a＞b，函数y＝f（x）是单调递增函数，∴f（a）＞f（b），∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y＝f（x）是单调递增函数，∴f（a）＜f（b），∴b＜a矛盾；因此，若y＝f（x）和y＝f﹣1（x）的交点一定在y＝x上．23．（18分）数列{a n}的前n项和记为S n若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的通项公式，判断{a n}是否为“H数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1＝2d，求证：{a n}是“H数列”；（3）设点（S n，a n+1）在直线（1﹣q）x+y＝r上，其中a1＝2t＞0，q≠0．若{a n}是“H数列”，求q，r满足的条件．【解答】解：（1）n＝1，a1＝S1＝2，∴＝2n+1﹣2（1分）∴2n﹣1是奇数，2m﹣1是偶数；（2分）∴2n+1﹣2≠2m（3分）∴{a n}不是“H数列”（4分）（2）（6分）对任意n∈N*，存在m∈N*使S n＝a m，即（8分）n，n﹣1是一奇一偶，∴m一定是自然数；（10分）（3）n≥2时（1﹣q）S n+a n+1＝r，（1﹣q）S n﹣1+a n＝r（1﹣q）a n+a n+1﹣a n＝0，∴a n+1＝qa n（12分）（1﹣q）×2t+a2＝ra2＝r+2qt﹣2t＝p，（13分）∴．（14分）q＝1时，，S n＝2t+（n﹣1）r＝r不恒成立显然{a n}不是“H数列”，（15分）q≠1时，（16分）n＝1，S1＝a1{a n}是“H数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N*成立，∴，可得，即q n﹣1＝（q﹣1）q m﹣2，解得q＝2，∴q＝2，由，得p＝2t，由r+2qt﹣2t＝p，∴r+4t﹣2t＝2t，r＝0，∴q＝2，r＝0，t＞0的正实数（18分）。
上海市2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答
2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答一、填空题（每题3分）1．(][)+∞∞-,31, 2．80 3．4m ≥ 4．85．2 6．0 7．318．[]1,1,arcsin -∈=x x y 9．2± 10．1 11．32π 12．221二、单项选择题（每题3分）13．D 14．B 15．D 16．A 17．C 18．B 19．A 20．C 21．B 22．C 23．A 24．D三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）25．011>+-xx， 1分 所以函数()f x 的定义域是(1,1)-， 2分定义域关于原点对称， 3分1()()lg1()x f x x ---=+- 4分1111l g l g l g ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭， 5分 而11()lg 23f =，1()lg32f -=，11()()22f f ∴≠-， 6分所以()f x 是奇函数不是偶函数。
7分26．ABCD 为正方形，O ∴为AC 、BD 的中点， 又,,,PA PC PB PD PO AC PO BD ==∴⊥⊥， 2分因为AC 与BD 交于一点O ，PO ∴⊥平面ABCD ， 4分 PAO ∠∴为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 5分 在Rt PAO PA PO ∆=中， 45PAO ∴∠=︒， 6分所以直线PA 与平面ABCD 所成的角为45︒． 7分27．解：()23cos sin cos 32+⋅+=x x x x f21)1sin 2222x x +=++ 2分sin(2)3x π=+， 4分 ππ==∴22T 5分 因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x ， 6分 当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f的最大值为1+ 7分 当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f． 8分28．（1）设n a 、n b 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列{}n a 是首项为128、公比为3150%2+=的等比数列； 1分 数列{}n b 是首项为400、公差为a 的等差数列， 2分所以数列{}n a 的前n 和3128[1()]32256[()1]3212n n n S -==--， 4分 数列{}n b 的前n 项和(1)4002n n n T n a -=+， 6分所以经过n 年，该市更换的公交车总数3(1)256[()1]40022n n n n n n F S T n a -=+=-++； 7分（2）因为3256[()1]2n-、(1)400(0)2n n n a a -+>是关于n 的单调递增函数， 9分 因此n F 是关于n 的单调递增函数， 10分所以满足a 的最小值应该是710000F ≥， 11分 即7376256[()1]40071000022a ⨯-+⨯+≥，解得308221a ≥， 12分 又*a N ∈，所以a 的最小值为147． 13分29．（1）设动点为(,)x y ，则由条件可知轨迹方程是211x y k +⋅-=； 3分 （2）设P 为曲线C 上任意一点，可以证明则点P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点仍在曲线C 上 6分 根据曲线C 的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，则该收敛圆的方程是222(1)(1)(0)x y r r ++-=> 7分讨论：1,1x y >->时2222(1)(1) (1)(1)(1)(2)x y k x y r ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩最多一个有一个交点r 满足条件 8分（1）代入（2）得42222(1)2(1)k r x k x =++≥+ 10分 曲线(,)0f x y =存在收敛圆 11分收敛圆的方程是222(1)(1)(0)x y r r ++-=<≤13分30．（1）()1113,3-+⋅≥∴≥n n nn c a a c a a， 2分 ()12233,9,3n n a c a c a c -∴≥≥≥， 4分()12121393n n n S a a a c c c -=+++≥+++， 6分()1313nn c S c-∴≥-； 7分 (2)()()332323323323323323111111++-=++++-+=-+=-------n n n n n n n x x x x x x x ， 10分12333n n x x -∴-≤-， 11分 113233-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-≤-∴n n x x ， 12分1323-⎪⎭⎫⎝⎛≤-∴n n x 13分11323323--⎪⎭⎫⎝⎛+≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴n n n x 。