考点30空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的表面积与体积

合集下载

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
（2）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥面；③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
第七章立体几何
球 2．三视图与直观图
半圆
Go the distance
直径所在的直线
第 1 讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（1）三视图： ①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括
一．知识梳理
1．空间几何体的结构特征
几何体
底面
棱柱
互相平行
多面体棱锥
是多边形
侧面都是四边形，且相邻两个侧面的公
④棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等．其中正确的命题的个数是
Go the distance
（）
A.0
B.1
C .2
D.3
【变式 1】
（1）下列说法中正确的是（）
A. 棱柱的侧面中，至少有两个面互相平行 B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C. 棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D. 棱柱的侧面是平行四边形，它的底面一定不是平行四边形
球二．要点整合
S表 S侧 S底 S表 S侧 S上 S下
S 4 R2
V 1 Sh 3
V
1 3
(
S上
S下
S上S下 )h
V 4 R3 3
1．辨明三个易误点
（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．

空间几何体的表面积与体积

V柱 = pR2·2R
面积, 再减去渗水孔的面积.
组合体的体积怎样计算?
柱体、锥体、台体京沪铁路全长1462 km,
球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?
京沪高铁全长1318 km. 0230568 (kg),
的表面积与体积
∴ h(a+c)>bh,
≈1197 (cm2).
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
p = 2 [ 6 3 ( 2 + 1 4 )+ 6 2 ] 1 5 + 2 6 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
种零件需要用锌, 已知每平方米用锌 0.
某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.
在△SBC中, 边长为 a,
五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.
≈2956 (mm3)
圆柱、圆锥、圆台的表面积
当半球切得的片数无限多,
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积底面积加侧面积.
底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积
柱体体积: V柱 = Sh.
锥体体积:
V锥
=

高二数学考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

高二数学考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7)相同一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )【解析】选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A 中的图.2. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.B.83C.81),3D. 8,8【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=侧S . 3.（2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A ．16B ．13C ．23D ．1 【解题指南】本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状.【解析】选D. 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⨯⨯⨯⨯.4. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．6 【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，1114142333V S S h =+=++=下棱台上（（. 5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（）13....2A B C D【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。

课件6：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

点石成金用斜二测画法画直观图的技巧 (1)在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′轴或 y′轴平行； (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线； (3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．
第 3 步跟踪训练如图所示，△A′B′C′是△ABC 的直观图，且△A′B′C′是边长为 a 的正三角形，求△ABC 的面积．
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图
考纲展示 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图． 3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
考点 3 空间几何体的直观图
第 1 步回顾基础一、自读自填空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴、y′轴所在平面垂直．
考点 1 空间几何体的结构特征
第 1 步回顾基础一、自读自填空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都__平__行__且__相__等____，上、下底面是 _全 ___等__且平行的多边形．

几何体的表面积、体积和三视图与直观图精讲精析(含解析)

几何体的表面积、体积和三视图与直观图点点突破热门考点01 空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．【典例1】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．51- B ．51- C ．51+ D ．51+ 【答案】C 【解析】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）. 故选：C.【典例2】（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱【答案】CD 【解析】题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是三棱锥；题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.故选:CD.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧1．关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．4【典例3】（多选题）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法正确的是（）A．原来相交的直线仍相交B．原来垂直的直线仍垂直C．原来平行的直线仍平行D．原来共点的直线仍共点【答案】ACD【解析】根据斜二测画法知，原来垂直的直线未必垂直，原来相等的线段其直观图未必相等，因此B 错误，ACD 正确，故选：ACD.【典例4】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2 B. 12C. 22 D ．1【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为11, 1+2的直角梯形．所以面积S ＝12(1+1)×2＝2故选A.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A 【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E . 故选：A【典例6】（2018年理新课标I 卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B.C. D. 2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B. 【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C共三个，故选C.【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2= 圆柱的表面积 )(2l r r S +=π 圆锥的侧面积 rl S π= 圆锥的表面积 )(l r r S +=π 圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π 球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A 【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,42l l =因此圆锥的侧面积为2π.rl l == 【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π= 圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π球体的体积 334R V π=正方体的体积 3a V = 正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π 【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线SA ，高SO ，底面圆半径AO 的长，代入公式计算即可. 详解：如下图所示，30,90SAO ASB ∠=∠=又211822SAB S SA SB SA ∆=⋅==，解得4SA =，所以2212,232SO SA AO SA SO ===-=所以该圆锥的体积为2183V OA SO ππ=⋅⋅⋅=.【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值. 热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【典例13】（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A ．63+B ．623+C ．123+D ．1223+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2020·全国高考真题（理））已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A ．3B ．32C ．1D ．32 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 93 2133224a ∴⨯=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=， ∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=.故选：C.【典例15】（2020·山东海南省高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】22π. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥， 513D E =，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 2，因为||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2222FG π==..【典例16】(2019年高考天津卷理)．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】π42=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2019·浙江拱墅杭州四中高二期中）已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】正方体的棱长为1∴该正方体的体积311V==故选：A2．（2019·浙江拱墅杭州四中高二期中）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】设两个球半径分别为r,R,则由条件知：333482 3(),42733r r rR RRππ==∴=，于是两球对应的表面积之比为22244().49r rR Rππ==故选C3．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意．故选：A．4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC中，PC PA⊥，PC PB⊥，22AP BP AB PC====，则四面体PABC外接球的表面积是（）A.193πB.1912πC.1712πD.173π【答案】A【解析】∵PC PA⊥，PC PB⊥，,PA PB⊂平面PAB，PA PB P=∴PC⊥平面PAB.如图，设O是外接球球心，H是ABP∆的中心，则OH ⊥平面PAB ， 1122OH PC ==，32232233PH =⨯⨯=，则22221912R OP OH PH ==+=，故四面体外接球的表面积是21943S R ππ==. 故选：A.5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（）A.4B.6C.43D.42【答案】D【解析】如图，结合题中的三视图可知，几何体的形状如图所示：224442，故选D. 6．（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.7.（2020·浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．73B．143C．3 D．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A8．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______. 【答案】8π【解析】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则圆柱底面圆半径为2，高为2，所以该圆柱的体积是2228ππ⋅⋅=.故答案为：8π 9．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12π+【解析】由三视图可知，三棱锥的体积：1223132V ⎛=⨯⨯= ⎝⎭；半圆锥体积：()11113232V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以总体积为：12π+. 故答案为：12π+.10．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .【答案】24π【解析】由题意得,此几何体是以底面半径r AC =，高h BC =,母线l AB =的圆锥,由圆锥的侧面积公式可得,=3515S rl πππ=⨯⨯=侧()2cm ,由圆锥的底面积公式可得, ()222=39S r cm πππ=⨯=底,所以()2==15+9=24S S S cmπππ+全侧底.故答案为:24π11．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________【答案】642+【解析】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,腰长为2 所以上下底面的面积为()212222⨯⨯= 侧面积为222222442⨯+⨯+⨯=+所以该三棱柱的表面积为2442642++=+故答案为: 642+12．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．【答案】1【解析】如图所示：取BC 中点D ，连接,AD PD ，则,BC PD BC AD ⊥⊥易知：3PD AD ==13313P ABC ABC V S h -∆=⨯=≤= 当PD ⊥平面ABC 时，等号成立，此时6x =故答案为：113．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，则其中判断正确的个数是_________.【答案】4【解析】∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图；过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图；正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故②③④⑤均可．故答案为：4．14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________. 【答案】94π 【解析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，13O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，11132O D O C ==． Rt ∴△1OO D 中，7OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径22732()22r =-=，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π． 15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】6π【解析】由题意，知A EF '∆是等腰直角三角形，且A D '⊥平面A EF '，三棱锥的底面A EF '扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线长就是外接球的直径，所以球的半径222112622R ++==，所以该球的表面积为22644()6S R πππ==⨯=．故答案为：6π．16．（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .由6AB =，得223,33AO BO CO CF OF ===== PAB △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24π348π⨯=，故答案为48π.。

三视图课件

B
A. 32 B. 16 16 2 C. 48 D. 16 32 2
5.2010湖南高考
4

6. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ B）
24
柱体
夯实基础 1．棱柱 (1)定义：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．稳固根基
(如图)
1° 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆． 2° 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．
(3)球面距离： 1° 定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离． 2° 地球上的经纬线当把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其中赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆．
5．球的概念与性质 (1)定义：半圆绕它的直径所在直线旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球．球面也可以看作空间中到定点的距离等于定长的点的集合． (2)球的截面性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面．
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系：
r＝ R2－d2
空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积
椎体
2
2．棱锥及其分类 (1)定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．这些等腰三角形的高叫做棱锥的斜高． ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．

空间几何体的三视图直观图体积与表面积ppt

圆锥的表面积
圆锥表面积圆锥的表面积等于其侧面面积加上底面面积之和。
圆锥表面积圆锥有一个侧面和一个底面，这两个面的面积分别为侧面积和底面积。因此，计算表面积时只需将这两个面的面积相加即可。
06
三视图与体积表面积的关系及应用
三视图与体积表面积的关系
投影原理
三视图是空间几何体在三个不同方向的投影，它能够反映几何体的形状、大小以及相对位置。
构成要素
空间几何体由面、棱、顶点等构成，这些要素的不同组合方式形成了各种不同的空间几何体。
空间几何体的分类
多面体
多面体是指由多个平面组成的几何体，其中每个面都是一个平面多边形。
旋转体
旋转体是指由一Байду номын сангаас平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转而成的几何体。
棱柱与棱锥
棱柱与棱锥是指由面和棱构成的几何体，其中棱柱是指两个平行的底面之间的距离相等的几何体，而棱锥是指有一个顶点，且底面是多边形或有多个共顶点的多边形的几何体。
空间几何体的性质
1 2
空间几何体的体积与表面积
对于一些规则的空间几何体，可以通过计算其体积和表面积来了解其性质。
空间几何体的对称性
一些空间几何体具有对称性，可以通过对其对称性进行分析来了解其性质。
3
空间几何体的稳定性
一些空间几何体具有稳定性，即在其受到外部力的作用下不易发生变形或损坏。
02
长方体的表面积
长方体表面积长方体的表面积等于其六个面的面积之和。
长方体表面积长方体有6个面，其中每两个对面的面积相等。因此，计算表面积时只需将每对相对面的面积相加再求和即可。
圆柱的表面积
圆柱表面积圆柱的表面积等于其侧面面积加上两个底面面积之和。

空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（）（A）3(B)3(C) 3(D)3【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥．∴)(31OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯．BCA4.（2011·广东高考文科·Ｔ7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）（A ）20 （B ）15 （C ）12 （D ）10【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念，由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选D.上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线，可构成正五棱柱的对角线，所以共10条，故选D.5.（2011·广东高考文科·Ｔ9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）（A ）34 （B ）4 （C ）32 （D ）2【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥，然后由图中数据求出底面面积及高，再由锥体体积公式求解.【精讲精析】选C.由三视图可得原几何体是一四棱锥，底面是边长为2的菱形，其一条对角线长为2，则另一条对角线长为32，从而底面面积3232221=⨯⨯=底S .该棱锥其中两条侧棱长为32，另外两条侧棱长相等，从而得棱锥的高3)3()32(22=-=h ，所以该几何体的体积3233231=⨯⨯=V ，故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ7）如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）（A ）36 （B ）39 （C ）312 （D ）318 【思路点拨】先由三视图还原直观图，然后再求体积.【精讲精析】选B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高3122=-=h .所以几何体的体积V 33=⨯=故选B.7.（2011·山东高考理科·Ｔ11）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体，三棱柱，正四棱柱，圆柱.【精讲精析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使三个命题为真.8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30BSC ASC ，求得3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH S ∆==ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-31ABC S V 43334=⨯．9.（2011·北京高考理科·T7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）（A ）8 （B）（C ）10 （D）【思路点拨】先画出直观图，标出尺寸后，再分别求出四个面的面积，逐个比较. 【精讲精析】选C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，ABC PA ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.10.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）（A ）32 （B）16+（C ）48 （D）16+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.=214(44162⨯⨯⨯+=+11.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）1229+π（B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π正（主）视图侧（左）视图俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图正视图侧视图ABCP【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π12.（2011·湖南高考文科T4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23的球，下面是一个底面边长是3高为2的正四棱柱. 故体积为3439()+33218.322π⨯⨯⨯=π+ 13.（2011·江西高考文科·Ｔ9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得.【精讲精析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得答案.14．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.15.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合. 16.（2011·浙江高考文科·Ｔ7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选B.二、填空题17.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为__ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的体积.【精讲精析】如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, O B '=OO '＝2,116233O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=【答案】18.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π19.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即cos 2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1320.（2011·辽宁高考理科·Ｔ15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_________.【思路点拨】先求底面边长，再求矩形的面积．【精讲精析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ，所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯．【答案】3221.（2011·天津高考文科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：12+=211+112=4=⨯⨯⨯⨯V V V【答案】422. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积.【精讲精析】由题意得：2112333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯=三、解答题23.（2011·江西高考文科·Ｔ18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将,'∆∆PDA PD PDA 沿翻折至.'⊥PDA PBCD 使平面平面（1）当棱锥'A -PBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A【思路点拨】(1)首先根据面面垂直，证出A P PBCD '⊥平面，再将四棱锥的体积表示出来，借助导数求体积最大时PA 的长.（2）根据平行线的性质，两条平行线中有一条与一条直线垂直，另一条也与该直线垂直，故易证.【精讲精析】（1）设x PA = (0<x<2), 则A ′P=PD=x, BP=2-x,因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故 A ′P ⊥平面PBCD则2A -PBCD PDCB11x V PA Sx(2)332'=⋅=-底面. 令231x 2x x f (x)x(2)(x 0),3236=-=->则232)(2x x f -='.由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（2）作B A '的中点F ，连接EF 、FP, 由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ 又'A P PB ⊥，∴PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.24.（2011·福建卷文科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (I)求证：CE⊥平面PAD ；（II ）若PA=AB=1，AD=3，P-ABCD 的体积. 【精讲精析】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为,//,AB AD CE AB ⊥所以CE AD ⊥. 又PAAD A =，所以CE ⊥平面PAD.(2)由（1）可知CE AD ⊥.在Rt ECD ∆中，cos 451DE CD =⋅︒=，sin 451CE CD =⋅︒=.AE=AD-DE=3-1=2，又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形. 所以1++2ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆⋅⋅矩形四边形＝＝＝1512+11.22⨯⨯⨯＝又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以-11551.3326P ABCD V S PA =⋅⨯⨯四棱锥四边形ABCD ＝＝。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3 cm 3 C.3323cm D.3403cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm 3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3cm 3 C. cm 3D. cm 3【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积3322231223=⨯⨯+=V (cm 3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选C 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得PB=2，所以31=22+22=2+32S ⨯⨯⨯⨯C 。

4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A 、13+、23+ C 、122+、22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选B。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：其中侧面PAC⊥底面ABC，且PAC ABC≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC中点O连接PO,BO，则在Rt POB中，PO=BO=1，可得PB=2，所以31=22+22=2+32S⨯⨯⨯⨯B.5. (2015·北京高考理科·T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A. 25+ B. 45+C. 225+【解题指南】还原几何体,分别计算各面的面积,然后求和.【解析】选C.还原几何体如图所示,S△BCD=BC·DE=×2×2=2,S△ACD=S△ABD=×5152=ABCDE211 1正（主）视图侧（左）视图俯视图S △ABC =12BC ·AE=×2×5=5,所以表面积为2+2.6. (2015·北京高考文科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱棱长为 ( )B.C.【解题指南】作出直观图,计算出各棱长比较大小.【解析】选C.由三视图可知AD=BC=CD=DE=EB=1,AE=AC=,AB=.所以最长棱棱长为.7.(2015·天津高考理科·T10) (2015·天津高考文科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.ABDE111正（主）视图侧（左）视图俯视图【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 答案:π8.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )斛斛斛斛【解题指南】利用锥体底面的弧长,确定圆锥底面半径,求出米堆的体积,然后合成斛.【解析】选B.设圆锥底面半径为r,则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷≈22 9.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r= ( )【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr 2+πr ×2r+πr 2+2r ×2r=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.10.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )斛斛斛斛【解题指南】利用锥体底面的弧长,确定圆锥底面半径,求出米堆的体积,然后合成斛. 【解析】选B.设圆锥底面半径为r,则×2×3r=8,所以r=,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209,故堆放的米约为3209÷≈22. 11.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr 2+πr ×2r+πr 2+2r ×2r=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )A.B.C.D.【解析】选D.由三视图得,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A-A 1B 1D 1, 如图所示,设正方体棱长为a,则11133111326A AB D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为a 3-a 3=a 3,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.13.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) ππππ【解题指南】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,利用V O-ABC =V C-AOB 列出关于半径R 的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.【解析】选C.如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,设球O 的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =×R 2×R=R 3=36,故R=6,则球O 的表面积为 S=4πR 2=144π.14.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )A.B.C.D.【解析】选D.由三视图得,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A-A 1B 1D 1, 如图所示,设正方体棱长为a,则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5115.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T10)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( )ππππ【解题指南】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,利用V O-ABC =V C-AOB 列出关于半径R 的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积. 【解析】选C.如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,设球O 的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =×R 2×R=R 3=36,故R=6,则球O 的表面积为S=4πR 2=144π. 16.(2015·山东高考理科·T7)在梯形ABCD 中,∠ABC=,AD ∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )A. 23πB. 43πC. 53πD. 2π【解题指南】因为直角梯形ABCD 的两底边分别为1,2,高AB=1,则以AD 为轴旋转一周所得几何体是圆柱挖去同底的圆锥(高是一半).【解析】选C.如图,所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥,其体积5233V πππ=-=17.(2015·山东高考文科·T9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A.223π B. 423πC. 22πD. 42π 【解题指南】所求几何体是同底等高的两个圆锥.【解析】选B.旋转体是两个圆锥,其底面半径为直角三角形斜边的高2,高半径2,故所得几何体的体积2142(2)2233V ππ==18. （2015·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.13π+B. 23π+C. 123π+D. 223π+ 【解题指南】解答本题的关键是利用三视图还原几何体，然后再进行计算，该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.【解析】选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知，三棱锥的体积为1111121323V =⨯⨯⨯⨯=，半个圆柱的体积为221122V ππ=⨯⨯⨯=，所以几何体的体积为13π+.19. （2015·重庆高考文科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.123π+B. 136πC. 73πD. 52π 【解题指南】解答本题的关键是利用三视图还原几何体，然后再进行计算，该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体.【解析】选B.由三视图可知，该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体..由图中数据可知，半个圆锥的体积为211111236V ππ=⨯⨯⨯⨯=，圆柱的体积为22122V ππ=⨯⨯=，所以几何体的体积为136π.20.(2015·福建高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 ( )+2+2+2【解题指南】根据三视图确定每个面的面积.【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.21. (2015·陕西高考理科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )πππ+4 π+4【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.22. (2015·陕西高考文科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )πππ+4 π+4【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S 1=πr 2=π,侧面积S 2=2×2+·2πr ·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S 1+S 2=π+2π+4=3π+4.二、填空题23.（2015·四川高考文科·T14)在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P 分别是AB , BC , 11B C 的中点，则三棱锥1P-A MN 的体积是_______【解题指南】利用三视图与直观图量度关系求解。