弹性力学13-轴对称应力和相应的位移
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学13-轴对称应力和相应的位移
R2
r =
r
2 2
1 q1 , j =
R2
r
2 2
1 q1
R 1 2 r
R 1 2 r
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
R
2 2
r =
r2
2
1 q1 , j =
R
r2
R2 r2
R 1 2 r
显然，由应力公式可知，径向 1 正应力总为负值，即为压应力 q1；环向正应力总为正值，即为 1 拉应力。应力分布大致如图所 示。最大值发生在内壁处。
E
以上即是轴对称条件下的应力函数、应力、应变 及位移分量的通用表达式。式中：A、B、C、H、 I、K 由应力和位移边界条件确定。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
可以看出应力轴对称并不表示位移也是轴对称的， 只有当弹性体的位移边界条件也轴对称时，位移也是 对称的。此时物体内任一点不存在环向位移，不论 r 和j 取何值均有：uj=0。
σ ρ ,σφ ,u ρ ,uφ A, B, C
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
得到轴对称问题在极坐标（ r ，j ）下的：
应力分量的通用表达式（含待定系数）
位移分量的通用表达式（含待定系数）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡 通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对 应点的物理量必须满足如下两个条件： （1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线 上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径 向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无 关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少 一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不 对称的物理量不能存在：trj= tjr=0 。
第二章 轴对称回转薄壳的内力(及位移)分析1资料.
轴对称载荷的表达式是：
（体素内力平衡）
q x q x ()，q y 0，q z q z ()
注：一般平行圆半径增大的方向为x 方向。
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8
轴对称内力的表达式是：
N N ，N N ， 0
轴对称位移的表达式是：
u u，v 0，w w
(一)无力矩假定 假定整个薄壳的所有横截面上都没有弯矩和扭 矩，也就是
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7
认为截面上各点的法向位移可以近似地看成壳
体中面上对应点的法向位移w 相等。
2、 互不挤压假设
平行于中面的各层纤维之间互不挤压，即认
为与周向应力 、经向应力 相比，法向应力 z 为小量，可忽略不计。
二、轴对称载荷
如果回转壳所受的载荷和约束都是轴对称
的，则其内力及位移也都是轴对称的。
离的曲面，它是由一条平面曲线（母线）围绕同 一平面内的轴线旋转一周形成的。(一般旋转壳体的中面)
回转薄壳：壳体壁厚与内径之比小于1 的回
10
转壳体。 例：日常生活中的锅、碗、盆等，球、直管
道、油罐、弯头（类似于自行车内胎的 1 ）、油
4
罐车、锥形容器（漏斗）等。
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2
第一节 旋转薄壳的几何特征
一、 基本概念
1、 下图表示一般旋转壳体的中面。通过旋
转轴 OO1 作一纵向平面，它与旋转壳体中面的交线 OB 称为经线。(回转面的经线) (一般旋转壳体的中面）
经线上任一点 B 绕轴 OO1旋转一周的轨迹称为 纬线或平行圆。
B 点的法线必与旋转轴相交，其交角 。
2、 坐标的确定 （壳体中面的几何特征）
dh d
r
sin
平行圆线素长度：
弹性力学(徐芝纶)第四章习题答案
第四章 习题解答4-14-2、解：本题为轴对称应力问题，相应的径向位移为： ()()()()()θ+θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡υ-+υ-+-υ-+υ+-=sin cos ln K I Cr 12Br 311r Br 12r A 1E 1u r (1) 轴对称应力通式为()()02ln 232ln 2122=+++-=+++=θθτσσr r C r B rAC r B r A由应力边界条件()()()()0,00,===-=====b r r b r r a r r a r r q θθτστσ并结合位移单值条件可知B=0，求得：22222222ab qa C a b qb a A -=--= 因半径的改变与刚体位移I ，K 无关，且为平面应变问题，将A 、B 、C 代入（1）式，并将υυυυ-→-→1,12EE 得：内半径的改变：()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∆=υυυυυυυυ11*111112222222222222a b a b Eqa a a b qa a a b q b a E u ar r外半径的改变：()()()2222222222221*11111a b ab E qa b a b qa b a b q b a Eu br r --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∆=υυυυυυ 圆筒厚度的改变：()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=∆-∆=∆==υυυ112a b a b E qa u u R ar r b r r4-2另解：半径为r 的圆筒周长为r π2，受载后周长则为 ()θθεπεππ+=+1222r r r ， 于是半径为 ()θε+1r ，半径的改变量则为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛---=C r A C rA r E E r r r 212111*2222υυυσυυσυεθθ将对应的A 、C 及r=a,b 分别代入，可求出内外半径的改变及圆筒厚度的改变。
弹性力学空间轴对称问题有限元法
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
弹性力学主要内容
1、弹性力学的研究对象、内容及范围弹性力学是研究在外界因素（外力、温度变化）的影响下，处于弹性阶段的物体所产生的应力、应变及位移。
弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。
2、弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。
（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。
（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。
（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。
（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。
（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量）3、弹性力学的基本量表1 直角坐标表示的各种基本量情况4、两类平面问题的概念（1）平面应力问题（应力是平面的；变形是空间的）如图所示薄板，其z方向的尺寸比其他两个方向上的尺寸小得多；外力和体力都平行于板面，并且沿着板的厚度没有变化，这样的问题称为平面应力问题。
（2）平面应变问题若物体在z方向的尺寸比在其他两个方向上的尺寸大得多，如图所示很长的坝体，外力及体力沿着z方向没有变化，则这类问题称为平面应变问题。
（3）两类平面问题的一些特征空间问题的基本未知量共有8个，每个基本未知量仅仅是坐标(),x y的函数。
表2 两类平面问题的一些特征5、平面问题的基本方程平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程 平面问题的基本量有8个，分别是：3个应力分量：x σ、y σ、xy τ； 3个形变分量：x ε、y ε、xy γ； 2个位移分量：u 、v（1）平衡方程平衡方程描述的是体力分量与应力分量之间的关系0yxx x f x yτσ∂∂++=∂∂； 0xy y y f x y τσ∂∂++=∂∂ 上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用 （2）几何方程几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系x ux ε∂=∂；y v y ε∂=∂；xy v u x y γ∂∂=+∂∂ （3）物理方程物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系平面应力问题的物理方程为： 平面应变问题的物理方程为： 6、平面问题的边界条件弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外部作用。
弹性力学问题的有限元法轴对称问题
drdz
Ri e
πA
6 2ri
0 rj
rm
(i, j,m)
当
rc ri rj rm, 则有
Wi
Wj
Wm
1 3
2πArc
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13
面积力 沿单元的jm面
q L0j q
Re
2π
A
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
T
L0jqrdS
z
m
q j i
r
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πrc A3 2A
brbs
fr fs A1 br fs frbs A1cr bs fs A2brbs
A2cr cs
(r, s i, j,m)
A1cs br fr A2crbs
crcs A2brbs
其中
A1
1
A2
1 2 2(1 )
A3
E(1 ) (1 )(1 2)
ci z
(i, j, m)
1 ri zi
面积 A 1 rj z j
1 rm zm
常数
abii
rj zm zj
rm z j zm
c j rj rm
(i, j,m)
f
u w
N
e
Ni I 2
N jI2
Nm I2 e
备注:
平面三角形单元
x, y
轴对称三角形单元
r, z
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4
2. 确定应力-应变、应变-位移
(i, j, m)
应变 r , z , rz是常量, 是单元中r和z的函数;
Be Bi Bj Bm e
弹性力学复习提纲
1-
6、 表示变形与位移关系的方程是（ ）。
A．平衡方程 C．物理方程 B．几何方程 D．位移边界条件方程
7、 理想弹性体是指满足下列（ ）假定的弹性体。 A．连续性、完全弹性、均匀性和小变形
B．完全弹性、均匀性、各项同性和小变形
C．连续性、完全弹性、均匀性和各项同性 D．连续性、完全弹性、各项同性和小变形 8、下列关于圣维南原理的应用，正确的是（ ）。 A．小边界 B．大边界 C．应力边界 D．任意边界
9、只有平面应变分量εx、 εy、 γxy存在，且仅为x、y的函数的弹性 力学问题属于（ ）。
A．轴对称问题
C．平面应力问题
B．半平面问题
D．平面应变问题
2 x y） 0 ，理解 10、下列关于弹性力学中的Laplace方程：（
正确的是（
）。
A.是在常体力的特殊情况下的相容方程 B.是在不计体力的特殊情况下的相容方程
四、弹性力学基本假定
基本假定。理想弹性体。基本方程：平衡方程、几何方程、物理方
程（多为微分方程），需在边界条件下求解这些方程，以求得具体问
题的应力、变形和位移解答。
例 题
分别在下图中标出正的面力、体力和应力：
第二章 平面问题的基本理论
一、平面应力与平面应变问题 平面应力与平面应变的概念、区别、变形与受力特点。两类问题的
受的影响可以忽略不计。
A．静力上等效 B．几何上等效 C．平衡 D．任意
4、满足Laplace方程的函数称为（ ）。 A．应力函数 B．重调和函数 C．位移函数 D．调和函数 ）条
5、平面应力与平面应变的应力解相同，则需满足下列（
件。
A. μ=0 B. μ=0.5 C. E
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上式等号两边分别只是单独 r 和单独 j 的函数式 ，要使该式成立，两边须为同一常数，因此有： df1 ( r ) f1 ( r ) r =F (d) dr df (j ) f (j )dj = F (e) dj
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
得到轴对称问题在极坐标（ r ，j ）下的：
应力分量的通用表达式（含待定系数）
位移分量的通用表达式（含待定系数）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡 通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对 应点的物理量必须满足如下两个条件： （1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线 上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径 向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无 关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少 一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不 对称的物理量不能存在：trj= tjr=0 。
r =r r =R
在内外边界面上，分别有应力边界条
= q1 , t rj = q 2 , t rj
r
r =r r =R
=0 =0
由于轴对称，关于切应力的两个条件是 自然满足的。将应力分量表达式代入应 力边界条件，得到 2 个方程，显然不 能确定 3 个待定常数A、B、C。
A B 1 2 ln r 2C = q1 2 r A B 1 2 ln R 2C = q2 2 R
当外半径趋于无限大时，由上式可得到具
有圆孔的无限大薄板或具有圆孔的无限大弹 性体的应力解答： r2 r2
r =
可知在远离小孔处的应力可忽略不计，圆孔所受力为平 衡力系，进一步证实圣维南原理。
r
2
q1 , j =
r
2
q1
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
R2
r =
（ g）
（ h）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
将以上式（f） （h）代入式（b） （c），得轴对称位 移表达式。 1 A ur = [(1 ) 2(1 ) B r (ln r 1) (1 3 ) B r E r 2(1 )C r I sin j K cos j 4 Brj uj = H r I sin j K cos j
σ ρ ,σφ ,u ρ ,uφ A, B, C
R
r =
r
2 2
1
r
j =
R 1 2 r R2 1 2
q1
r2
2
r
R 1 2 r
2
q1
r 1 2 R r2 1 2
q2
r
1
r R2
2
q2
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
下面利用上述解答讨论两种特例：即内压力和外压力单 独作用时的情况。 （1）如果只有内压力 q1 作用，则外压力为0，代入应 力解答式，化简得
r2
2
r 1 2 R
q2
显然径向应力和环向应力都是总为负 值，即为压应力。应力分布大致如图 所示，最大环向应力发生在内壁处。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.7 压力隧洞
压力隧洞--圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内 压力，圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为 E， 及E’，’，例如水坝内输水管道。
1 d d 2 r = , j = , t rj = t jr = 0 2 r dr dr
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
（1）相容方程-应力函数相容方程的一般形式（4-6） 在轴对称下的简化： 2
2 2 2 2 1 1 d 1 d d 1 d 4 = 2 2 2 = 2 2 r r r r f d r r d r d r r d r 2 d 1 d 1 d d 2 = 2 = r d r r d r r d r d r
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
df1 ( r ) f1 ( r ) r =F (d) dr df (j ) f (j )dj = F (e) dj 式（d）的解答： f1 ( r ) = H r F 其中 H 为常数。
对式（e）两边求导，变为微分方程： d 2 f (j ) f (j ) = 0 其解为： f (j ) = I cos j K sin j 2 dj 另由（e）式： df (j ) f (j )dj = F dj = F I sin j K cosj
E
以上即是轴对称条件下的应力函数、应力、应变 及位移分量的通用表达式。式中：A、B、C、H、 I、K 由应力和位移边界条件确定。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
可以看出应力轴对称并不表示位移也是轴对称的， 只有当弹性体的位移边界条件也轴对称时，位移也是 对称的。此时物体内任一点不存在环向位移，不论 r 和j 取何值均有：uj=0。
R2
r =
r
2 2
1 q1 , j =
R2
r
2 2
1 q1
R 1 2 r
R 1 2 r
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
R
2 2
r =
r2
2
1 q1 , j =
R
r2
R2 r2
R 1 2 r
显然，由应力公式可知，径向 1 正应力总为负值，即为压应力 q1；环向正应力总为正值，即为 1 拉应力。应力分布大致如图所 示。最大值发生在内壁处。
对于这种情况 B=H=I=K=0，位移表达式变为：
1 A ur = (1 ) 2(1 )C r E r uj = 0
对于平面应变问题，只须将 E , 换为
E , 2 1 1
第四章 平面问题的极坐标解答
圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管筒、 炮筒、压力隧道等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面 应变问题）受到内外均布压力作用，它属于轴对称应力问 题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
由于圆环和圆筒是二连体，其位移分量必须满足位移单 值条件。由位移解答式中关于环向位移的解，对于同一 点 r,j 和 r,j2p ，将会得到不同的位移，这是不可 能的。 4 B rj
uj =
E
H r I sin j K cos j
f1 ( r ) 1 df (j ) df1 ( r ) 1 f (j )dj =0 r dj dr r r
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
f1 ( r ) 1 df (j ) df1 ( r ) 1 f (j )dj =0 r dj dr r r 将上式变量分离到等式两边的：
= A ln r Br ln r C r D
2 2
其中A、B、C和D为四个待定常数。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
（2）应力分量：将通解代入应力公式（4-9），得轴对 称应力的应力分量为：
1 d A r = = 2 B(1 2 ln r ) 2C r dr r d 2 A f = = 2 B(3 2 ln r ) 2C 2 dr r t rf = t fr = 0
方程为一个四阶常微分方程，上式积分4次，即得到轴对 称应力状态下应力函数的通解：
d 1 d 1 d d = 2 = r r dr r dr dr dr
2 4
2
1 d d r = 0 r d r d r
1. 压力隧洞问题特点： （1）接触问题：因为不符合均 匀性假定，所以不能用一个表达 式同时表述两个问题的未知量分 布。因此本题是两个圆筒的接触 问题，要考虑两个物体接触面上 的接触条件。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.7 压力隧洞
（2）两个问题均为轴对称问题，是平面应变问 题。 外围无限大弹性体可看成内半径为
1 ur uj uj = rj = 0 r r r
（4）位移分量 对第一式径向应变积分：
ur = 1 A (1 ) (1 3 ) B r 2(1 ) B r (ln r 1) 2(1 ) C r f (j ) E r
对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程，可求 得相应的应变分量。
将上面所求的应变分量代入几何方程，通过积分，可得到 轴对称应力状态下的位移分量公式。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
（3）应变分量：将应力分量式（4-11）带入物理方程式 （4-3）：ur 1 A
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
将上步径向位移表达式（b）带入到式（a）中第二式切 向应变可得： u 4Br j = f (j ) j E 积分可得： 4 B rj uj = f (j )dj f1 ( r ) E 将以上得到的关于 ur 和 uj 的表达式带入应变式（a） 适中的第三式可得：
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
应力是轴对称的，从方向的对称性可得 trj= tjr=0， 由数值的对称性可知应力函数只是径向坐标的函数：
= ( r )
代入极坐标系中的应力公式