关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结
欧拉方程求解公式
欧拉方程求解公式欧拉方程是数学中的一个重要概念，在求解数学问题时有着广泛的应用。
欧拉方程的一般形式是：$x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = f(x)$ 。
要想求解欧拉方程，咱们得先掌握一些基本的方法和技巧。
我还记得我当初学习欧拉方程的时候，那可真是费了不少劲儿。
有一次，我正在教室里埋头钻研一道欧拉方程的习题，旁边的同学凑过来瞅了一眼，然后摇摇头说：“这也太难了，我看咱俩还是放弃吧。
”我心里可不服气，心想：“哪能这么轻易就放弃呢！” 于是我继续冥思苦想，把老师讲过的知识点在脑海里一遍又一遍地过。
咱们先说求解欧拉方程的第一步，那就是通过变量代换将其化为常系数线性方程。
设 $x = e^t$ ，然后对 $y$ 关于 $t$ 求导，经过一系列的推导和计算，就可以把原来的欧拉方程转化为我们熟悉的常系数线性方程。
这一步就像是给方程来了个“变身术”，虽然过程有点繁琐，但只要细心，就不会出错。
接下来就是求解这个常系数线性方程啦。
这就用到我们之前学过的那些求解常系数线性方程的方法，比如特征方程法、待定系数法等等。
比如说，如果特征方程有两个不同的实根，那对应的通解形式就是 $y= C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$ 。
在实际解题的过程中，可不能马虎。
有一次我在计算的时候，不小心把一个系数写错了，结果后面的步骤全错了，白白浪费了好多时间。
所以啊，一定要认真仔细，每一步都要保证计算准确。
还有啊，求解欧拉方程的时候，要多做练习题。
只有通过大量的练习，才能真正掌握其中的窍门。
就像我，做了一本又一本的习题集，才逐渐找到了感觉。
总之，求解欧拉方程虽然有点复杂，但只要我们掌握了正确的方法，多练习，多思考，就一定能够攻克这个难关。
就像我当初没有因为同学的一句“放弃吧”而退缩，最终还是成功地解决了那道难题。
傻子都能看懂的 —— 详解欧拉公式推导
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将三个基本数学常数e、i和π通联在了一起，以简洁而又优美的形式展现了数学之美。
欧拉公式的推导较为复杂，但我们可以通过分步骤的分析，逐步理解其推导过程，并最终领略其深刻的数学内涵。
一、欧拉公式的背景欧拉公式的形式为：e^(iπ) + 1 = 0这个公式被视为数学中最优美的公式之一，其中e为自然对数的底，i为虚数单位，π为圆周率。
欧拉公式的推导涉及到极限、泰勒级数、复数等多个数学概念，是一个极具挑战性的数学问题。
二、欧拉公式的推导1. 泰勒级数展开我们需要使用泰勒级数展开来推导欧拉公式。
泰勒级数是一个非常重要的数学工具，可以将一个函数用无穷个项相加的形式表示出来。
我们可以利用泰勒级数将复数函数e^(ix)展开成一个无穷级数，即：e^(ix) = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + ...这里的i是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 欧拉公式的产生接下来，我们将复数函数e^(ix)中的x替换为π，得到：e^(iπ) = 1 + iπ + (iπ)^2/2! + (iπ)^3/3! + ...根据虚数单位i的定义，我们有i^2 = -1，i^3 = -i，i^4 = 1，因此(iπ)^2 = -π^2，(iπ)^3 = -iπ^3，(iπ)^4 = π^4。
将这些结果代入上式，得到：e^(iπ) = 1 + iπ - π^2/2! - iπ^3/3! + π^4/4! + ...将实部和虚部分开，得到欧拉公式：e^(iπ) = cos(π) + i*sin(π)3. 欧拉公式的最终形式综合前面的推导结果，我们得到了欧拉公式的最终形式：e^(iπ) = cos(π) + i*sin(π)再通过欧拉恒等式e^(iπ) + 1 = 0，即可得到欧拉公式的标准形式：e^(iπ) + 1 = 0三、欧拉公式的意义与应用欧拉公式的推导过程虽然复杂，但其所呈现的数学内涵却是非常深刻的。
欧拉公式和齐次微分方程分离变量法
题目：欧拉公式和齐次微分方程分离变量法一、概述欧拉公式是数学中著名的公式之一，它建立了数学中三大常数e、π和i之间的通联，对数学、物理等领域都有着广泛的应用。
而齐次微分方程分离变量法是微分方程中的一种解法，通过将方程中的变量分离，可以求得微分方程的解。
二、欧拉公式1. 欧拉公式的定义欧拉公式是数学中的一个重要公式，它可以表示为：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将自然对数e、圆周率π和虚数单位i通联在了一起，展现出了数学上的美妙和神秘。
2. 欧拉公式的意义和应用欧拉公式不仅仅是一种数学上的奇特关系，它还在物理学、工程学、电子学等领域有着广泛的应用。
在量子力学中，欧拉公式是描述波函数的基本公式之一；在信号处理中，欧拉公式可用于分析和合成信号；在控制理论中，欧拉公式可以用于复频域控制系统分析等方面。
三、齐次微分方程分离变量法1. 齐次微分方程的定义齐次微分方程是指方程中只含有未知函数及其导数，不含有自变量的微分方程。
齐次微分方程通常具有以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0其中M(x, y)和N(x, y)是同次齐次函数。
2. 分离变量法的基本思想分离变量法是求解微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离开来，从而可以对两边进行分别积分，最终得到微分方程的解。
3. 分离变量法的具体步骤（1）对微分方程进行整理，将含有y的项移到一侧，含有x的项移到另一侧；（2）对两边同时进行积分，将变量分离；（3）对两边分别积分，得到微分方程的解。
四、欧拉公式和齐次微分方程分离变量法的关联1. 欧拉公式与常微分方程欧拉公式在常微分方程的解法中有着重要的意义，通过欧拉公式可以导出常微分方程的解，对于一些复杂的微分方程，欧拉公式可以提供一种简单的解法。
2. 分离变量法与欧拉公式的结合在一些特殊的微分方程中，可以应用欧拉公式来进行变换，从而使得微分方程能够更容易地求解。
通过结合欧拉公式和分离变量法，可以解决一些复杂的微分方程问题。
欧拉方程通解求法
欧拉方程通解求法1. 欧拉方程的定义和基本形式欧拉方程是一类特殊的微分方程，它具有以下形式：x n y(n)+a n−1x n−1y(n−1)+⋯+a1xy′+a0y=0其中，a0,a1,⋯,a n−1是常数，y(k)表示y的k阶导数。
2. 欧拉方程的特点和应用领域欧拉方程在物理、工程、数学等领域中具有广泛的应用。
它可以描述许多实际问题，如振动系统、电路、弹性体等。
欧拉方程通解的求法对于求解这些问题具有重要意义。
3. 欧拉变量代换为了简化欧拉方程的形式，我们可以进行变量代换。
假设x=e t，则可以得到：dy dx =dydt⋅dtdx=e−tdydt,d2y dx2=ddx(dydx)=ddt(e−tdydt)=e−2t(d2ydt2−dydt),d3y dx3=ddx(d2ydx2)=ddt(e−2t(d2ydt2−dydt))=e−3t(d3ydt3−3d2ydt2+3dydt),以此类推。
将变量代换后的导数代入欧拉方程，可以得到一个新的形式：e nt y(n)+a n−1e(n−1)t y(n−1)+⋯+a1e t y′+a0y=0.4. 求解欧拉方程对于欧拉方程的求解，我们可以根据特征方程的根的情况分为三种情况进行讨论。
4.1 当特征方程有n个不相等的实根时设特征方程为r n+a n−1r n−1+⋯+a1r+a0=0，则它有n个不相等的实根r1,r2,⋯,r n。
那么欧拉方程的通解可以表示为：y=C1x r1+C2x r2+⋯+C n x r n,其中C1,C2,⋯,C n是常数。
4.2 当特征方程有n个相等的实根时设特征方程为(r−λ)n=0，则它有n个相等的实根λ。
那么欧拉方程的通解可以表示为：y=(C1+C2lnx)xλ+(C3+C4lnx)xλlnx+⋯+(C2n−1+C2n lnx)xλln n−1x,其中C i是常数。
4.3 当特征方程有一对共轭复根时设特征方程为(r−α)2+β2=0，则它有一对共轭复根α±iβ。
09 第九节 欧拉方程
第九节 欧拉方程变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解，欧拉方程就是其中的一种.分布图示★ 欧拉方程★ 例1★例2 ★ 例3 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—9 ★ 返回内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ (9.1)的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21Λ为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解.如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd 则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''， 一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--=Λ. (9.2)例题选讲例1（E01）求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解. 解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dt y d --= 两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=例2（E02）求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dy dt y d dt y d =-- (1) 方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C x C C ++= 设特解*y t be 2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为 y .2123321x x C x C C -++=例3 设有方程,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dy dty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为 ,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++= 由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C 故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=课堂练习求下列欧拉方程的通解:1.x y y x y x 342='-''+''';2.x x y x y y 22=+'-''; 3.x y y x y x 342='-''+''';4.x y y x y x ln cos 22=+'+''.欧拉（Euler ，1707~1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家。
欧拉倒易关系公式
欧拉倒易关系公式欧拉倒易关系公式，也被称为欧拉公式，是数学中一条重要的公式，它以自然对数的底数e、虚数单位i和三角函数的关系而闻名。
这个公式可以用以下方式表示：e^ix = cos(x) + i*sin(x)。
让我们来了解一下欧拉公式中的各个元素。
自然对数的底数e是一个无理数，其近似值约为2.71828。
虚数单位i被定义为一个数学上的虚数，满足i^2 = -1。
而三角函数中的cos(x)和sin(x)则分别表示角度x的余弦和正弦值。
欧拉公式的形式看起来可能有些复杂，但它实际上是非常有用的。
它将三角函数与指数函数联系在了一起，为我们解决一些复杂的数学问题提供了便利。
利用欧拉公式，我们可以将复杂的指数函数转化为简单的三角函数表达式，从而更容易进行计算和分析。
欧拉公式在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
在数学中，它被用于解决微分方程、级数和复分析等问题。
在物理学中，欧拉公式被用于描述波动现象、量子力学和电路分析等领域。
在工程学中，欧拉公式则被用于信号处理、通信系统和控制系统等方面。
除了以上应用，欧拉公式还有一些有趣的特性。
例如，当x取π时，欧拉公式变为e^iπ = -1，这被称为欧拉恒等式。
这个等式将五个最重要的数学常数连接在了一起：e、i、π、1和0。
欧拉恒等式被认为是数学中最美丽的等式之一，因为它将数学中的不同分支联系在了一起。
欧拉公式的证明可以通过泰勒级数展开来完成。
泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在某个点处的导数展开为无穷级数，可以得到函数的近似表达式。
欧拉公式的证明利用了指数函数和三角函数的泰勒级数展开式，将它们进行合并后得到了欧拉公式。
在实际应用中，欧拉公式可以用来简化复杂的计算过程。
例如，当我们需要计算e的某个复数次方时，可以利用欧拉公式将其转化为三角函数的形式，从而更容易进行计算。
此外，欧拉公式还在信号处理领域有着重要的应用，可以将信号从时域转换为频域，从而更好地分析和处理信号。
欧拉方程推导过程
欧拉方程推导过程欧拉方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数的一些基本性质。
欧拉方程是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍欧拉方程的推导过程。
一、函数的定义在推导欧拉方程之前，我们首先需要了解函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
具体来说，如果有两个集合X和Y，那么一个函数f可以表示为：f:X→Y其中X是自变量集合，Y是因变量集合。
对于任意一个x∈X，f(x)表示x在函数f下的取值。
二、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某一点附近可以用多项式逼近的性质。
具体来说，如果有一个n+1次可导函数f(x)，那么对于任意实数x0和正整数n，有：f(x)=f(x0)+\frac{f'(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f''(x0)}{2!}(x-x0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x0)}{n!}(x-x0)^n+R_n(x)其中Rn(x)是余项，它表示了函数f(x)在x0处的误差。
当x趋近于x0时，余项Rn(x)的大小趋近于0，因此可以用泰勒公式来近似表示函数f(x)。
三、欧拉方程的定义欧拉方程是描述函数性质的一个重要方程，它具有如下形式：a_0y(x)+a_1y'(x)+a_2y''(x)+...+a_ny^{(n)}(x)=f(x)其中a0,a1,...,an和f(x)都是已知函数或常数。
这个方程中的n称为方程的阶数。
四、欧拉方程推导过程现在我们来推导欧拉方程。
假设有一个二阶线性微分方程：ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)其中a,b,c和f(x)都是已知函数或常数。
我们需要将这个微分方程转化为欧拉方程。
首先，我们令y=e^(mx)，其中m是一个常数。
对于这个函数，有：y'=me^(mx)y''=m^2e^(mx)将上述结果代入原微分方程中，得到：am^2e^(mx)+bme^(mx)+ce^(mx)=f(x)将e^(mx)提取出来，并除以a，得到：m^2+\frac{b}{a}m+\frac{c}{a}=\frac{f(x)}{a}e^{-mx}现在我们令z=e^(mx)，则有：m=\frac{\ln z}{x}将上述结果代入欧拉方程中，得到：\frac{d^2}{dx^2}(z)=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d}{dz}\right)^2(z)-\frac{1}{x}\left(\frac{d}{dz}\right)(z)这就是欧拉方程的一般形式。
第十节欧拉方程
作变量变换 x et 或 t ln x,
将自变量换为 t,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx 2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y
dt 3
3
d2 dt
y
2
2 dy , dt
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d , dt
练习题
求下列欧拉方程的通解： 1．x2 y xy y 0; 2．x2 y 2xy 2 y ln2 x 2 ln x; 3．x2 y 3xy 4 y x x2 ln x.
练习题答案
1．y
C1
C2 x
.
2．y
C1 x
C2 x2
1 2
(ln2
x
ln
x)
1 4
.
3．y
C1
x2
C2
x2
或
d 3 y 2 d 2 y 3 dy 3e2t . dt 3 dt 2 dt
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
d3 dt
y
3
d2 2
dt
y
2
3 dy dt
0,
其特征方程 r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
Y
C1
C2etC3e3t
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 t 换为 ln x，即得到原方程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
欧拉方程微分方程详解
欧拉方程微分方程详解欧拉方程（Euler's equation）是一类具有特殊形式的二阶常系数线性微分方程。
它的一般形式为：ax^2 y'' + bxy' + cy = 0其中，a、b、c都是常数，且a不等于0。
欧拉方程是一种特殊的微分方程，它的解具有一定的特殊性。
下面我们将对欧拉方程的求解方法进行详细介绍。
首先，我们考虑求解形如x^m的解。
将x^m代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m + bm*x^m + cx^m = 0化简后得到：am(m-1)x^m + bmx^m + cx^m = 0整理得：am(m-1) + bm + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求根公式来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m的解。
接下来，我们考虑求解形如x^m * ln(x)的解。
将x^m * ln(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln(x) + bmx^m * ln(x) + cx^m * ln(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c = 0这是一个关于m的一次方程，可以用求解一次方程的方法来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m * ln(x)的解。
最后，我们考虑求解形如x^m * ln^2(x)的解。
将x^m * ln^2(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln^2(x) + bmx^m * ln^2(x) + cx^m * ln^2(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求解二次方程的方法来求解m的值。
欧拉方程
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关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结
光信1104 李号
)
(0'
1)
1(1
1)
(x f y a xy a y
x
a y
x a n n n n n
n =++++--- 程我们知道，对于欧拉方
不全为0
,,,(32n a a a 可以通过变量代换x t e x t ln ==或化简。
本文主要介绍如何用
低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。
先用一个例子来说明我们要探讨的问题。
已知：'
''''2'3
3
22
,,,,,,xy y x xy dt
y d dt y d dt dy e x t
求=（此处均为对x 的导数）。
显然，由x dx
dt x t e x t 1,ln =
==则可知
dt
dy xy dt
dy x
dx
dt dt
dy dx
dy y =
⇒⋅
=
⋅
=
=
'
'
1 dt dy dt y d y x dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dt dy x dx d
dx dy dx d dx y d y -=⇒-=⋅⋅+⋅-=⋅===
2
2
'
'22222222
2
'
')(111)1()()1
1(1
)(
2)](
1
[
)(2
2
3322
2
3
2
2
2
22
'
''x dt y d x dt y d x dt dy dt
y d x
dt
dy dt y d x dx d
dx
y d dx d y
⋅-⋅+--
=-
=
= dt
dy dt
y d dt
y d y
x dt
dy dt
y d dt
y d x
2
3)23(
122
3
3
'
''322
3
33+-=
⇒+-=
同理可求出dt
dy dt
y d dt
y d dt
y d y
x 6
11
6
2
2
3
3
4
4
)
4(4
-+-=
我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1 -1
n=3 1 -3 2
n=4 1 -6 11 -6
为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i)
用“m
n B ”表示第n 排第m 列的数（显然m n ≥）；
ii) !n -!n 1-)!1()!1()
1(n
1
）（）即（=-=---n n n
由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律：
i) 11
=n B ；
ii) 1
1)1(---=n n n n B n B ;
iii) ()1)1(1
11+≥-+=---m n B n B B m n m n m n
该规律可用数学归纳法归纳得出，限于篇幅，此处省去不证。
显然，只要找出了m n B 的通式，就可以表达出)(n n y x 。
dt
dy B dt
y
d
B
dt
y d B
y x n
n
n n n
n
n
n
n n
+++=-- 1
1
21)
(。
为求m n B ，我们有两条路出发。
一是由“11=n B ”着手，另一个是由n
n B 着手。
注意到m n B 既与m n B 1-有关，也与11
--m n B 有关，我们选择从n n B 着手。
后面我们会看到，带入数字“1”计算会因为讨论n 的取值而使得表达式无法统一。
由11
)1(---=n n n n B n B 可知： )!1()1()2)(1()2)(1()1(1
11111n B n n B n n B n B n n n n n n -=---==--=-=----
)!1(n B n n -=∴
显然我们可以把平行于主对角线的数看成一组数列。
取m=n-1，则：
2
1
111
)1(------+=n n n n n n
B n B B 12
2
2332
211)2)(3()2)(1()3()2)(1()2)(1()1(B
n n B n n B n n B n B n n n n n n ----+---++--+-+=------
1
)!1(2
)!1(3)!1(2)!1(1)!1(--+
--+
+--+
--+
--=n n n
n n
n n
n
∑
=--=n
i i
n 2
)11()!1(
取m=n-2，则
3
1212
)1(------+=n n n n n n
B n B B
1
3
2
34
33
22
1)3()2)(1()4()2)(1()2)(1()1(B n n B n n B n n B n B n n n n n n ---+---++--+-+=------ ∑∑∑∑==-=-=---+
---+
+---+
---=
2
2
3
2
1
2
22
11
2
)!1(113
)!1(112)!1(11
1)!1(i i n i n i i n i n i n
n i n
n
∑∑-==---=1
2
3
)]11
11(
[)!1(j i n
j i j
n
故由数学归纳法可求出∑∑∑
--=---=+-=---=1
1
1
2
1
112231)]}(11
[
11
{
)!
1(a m n a a m n a n
m n a m n
a a n B
现在我们再从“11
=n B ”入手，看看会有什么情况。
11
=n B
n B B n B B n n n n -+=-+=---1)1(2
11
12
12
2
212)2()2()1(B B n n +-++-+-== 2
)
1()1321(n n n -=-+++-=
2
13
13
)1(---+=n n n B n B B
3
3232221)3()2()1(B B B n B n n n +-++-+-=--
3
32
2
2
2
)
41(42
)
2)(1(2
)
1(B n n n n +-+
+--+
-=
可以看出求2n B 是需要22B 的值，求3n B 时需要33B 的值而且还要用立方和与平方和公式。
当m 较大时，需要m
m B 的值以及m 次方和与m-1次方和的公式。
更重要的是，具体化m 后，表达式无法统一！ 因此可以看出，成列分布并不是该数组的真正特性，而平行于主对角线的分布才能使该数组统一。
原式可化为D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1) D^n=d^ny/dx^n。