第3章量纲分析
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。
通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。
量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。
常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。
在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。
例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。
无量纲量是指除去量纲后的物理量。
通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。
这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。
量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。
这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。
量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。
量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。
在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。
第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。
对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。
第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。
这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。
第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。
通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。
第五步是进行数值模拟和实验验证。
通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。
总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。
通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。
第三章量纲分析和相似理论-精品
之间不能组成无量纲组合。 ➢ 一个完整的物理方程式中，各项的量纲必须相同,因此
方程才能用加、减并用等号联系起来。——量纲和谐 ➢ 当度量单位改变时，方程的结构形式不变，即方程可
以转换为无量纲综合数群间的关系。 ——量纲齐次
2020/2/10
单位有两个含义： 一是表示被测物理量的类型， 二是表示测量的“尺度”。
在实验中，各种物理量测量时需要选用适当的单位。如测量物体的 长度，可选用米、厘米、毫米等单位，测量某段时间间隔可选用小时、 分、秒等单位。尽管力学实验存在各种各样的物理量，但一般只需对其 中三种基本物理量定出单位，其他物理量的单位可以由基本物理量的单 位导出。基本物理量的单位称为基本单位，其物理量的单位称为导出单 位。
P C P P ,l C l l , C ,W C W W ,A C A A （c）
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
2020/2/10
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l P WlCC C pAPA 将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
模型试验的理论基础——结构相似理论
2020/2/10
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
2020/2/10
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
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2.量纲：
第3章量纲分析.
中文符号
毫米 毫米
兆帕 兆帕
英文名称
Velocity Acceleration Length Width Area Volume Compliance Stiffness Stress Stress rate Modulus
SI 单位
mm/s mm/s2
mm mm mm2 mm3 mm2/N N/mm MPa MPa/s MPa
SI 单位
Nmm Nmm/s m mm/mm/s J W V F
KN-s/mm Cycle % ‰
关系式
1m=10-6mm/mm
1J=1kNmm(=1kgm2/s2) 1W=1J/s=1kNmm/s 1V=1W/A s4A2/(m2kg) 1V/A
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
K1T=1/VT —— 物理量相似放大倍数
3 量纲分析与相似试验模型
2)单物理量的相似模拟 (1)无量纲相似
物理量无量纲化——物理问题数学抽象模型 用途：简化问题，数学求解 称谓：无量纲相似或归一化处理
方法：设定特征物理量VT[E1]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
2 物理量单位换算与力学量标定
2) 力学CAT的力学量标定
在CAT系统中常用物理量电压的单位E2为伏特[v]，那
么力学量单位E1与电压量单位E2之间存在换算因子K12。
力学CAT系统测量电压与测量力或位移间须具线性关
系，因此K12为一个满足特定条件的定常物理量，该常量
由标定装置来测量。 CAT灵敏度K？ K＝1/K12
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
21
原型流场的运动方程
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2
w2 t2
2 u2
w2 x2
v2
w2 y2
C Cv Ct
CCv2 Cl
CCg
Cp Cl
CCv Cl 2
22
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
c cv cl 2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
23
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
特征Re数定义：
Re UL/ =特征惯性力/特征粘性力
42
以垂直运动方程为例:
w u w v w w w 1 p 2w g t x y z z
惯性力项： V •
w
U2
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
第3章量纲分析..
P
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2： 原型和模型应力计算公式为 =Pl/(4W) m=Pmlm/(4Wm) 已知m= 、Pm=P/VP、lm=l/10、bm=b/10 Wm=bmhm2/6=W/1000 代入上式得： =(P/VP)(l/10)/[4(W/1000)]=(100/VP)Pl/(4W) 则相似系数k=100/VP=1, 故VP＝100。 w:抗弯截面模数
关系式
微应变 焦耳 瓦特 伏特 欧姆 周/次
1m=10 mm/mm
-6
1J=1kNmm(=1kgm /s ) 1W=1J/s=1kNmm/s 1V=1W/A 4 2 2 s A /(m kg) 1V/A
2
2
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
1) 单位的换算
一个测量数值为V1、单位为E1的测量结果: X＝V1[E1] ——可忽略[]写法 以单位E2来表示: X=V1E1=V2E2 则： V2＝K12V1 K12 = 1E1/E2 如果E1和E2为同类物理量单位，则K12为单位E2的倍数。
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI的导出单位 (1)基本单位的词头
词头 Exa-艾可萨 Peta-拍它 Tera-太拉 Giga-吉咖 Mega-兆 Kilo-千 Hecto-百 Deca-十 记号 E P T G M k h da 数值 1018 1015 1012 109 106 103 102 10
③ 电压表接通电压放大器的输出端口，调 试电压放大器的电压输出为零；
④ 旋转位移标定器刻度盘，使电压表读数 为电压放大器电压量程的百分数。
量纲分析
量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。
例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。
我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。
离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。
单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。
然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。
我们把这种统一性称为量纲。
单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。
例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。
通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。
一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT1，加速度的量纲为LT2。
量纲分析法
第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
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3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
相对复杂的力学原型，描述现象相似的相似判椐不止一个
例3：有一等截面直杆两端受有一对偏心的轴向力，其偏心 矩为L，则此杆件外侧面的应力可表为= PL/W+P/A，其 中W为抗弯截面模数，A为杆件截面积。请给出应力相似 的相似判据。
P P
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2： 原型和模型应力计算公式为 =Pl/(4W)
w:抗弯截面模数
m=Pmlm/(4Wm) 已知m= 、Pm=P/VP、lm=l/10、bm=b/10 Wm=bmhm2/6=W/1000 代入上式得：
=(P/VP)(l/10)/[4(W/1000)]=(100/VP)Pl/(4W) 则相似系数k=100/VP=1, 故VP＝100。
③ 电压表接通电压放大器的输出端口，调 试电压放大器的电压输出为零；
④ 旋转位移标定器刻度盘，使电压表读数 为电压放大器电压量程的百分数。
传感器测值的误差
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
2) CAT的力学量标定
输入指令的量程百分数 /%
图 3-2 标定系数 K12 的误差分布
多物理量相似 ——如何设计物理量的特征物理量使得结构模型可以在 现象上相似地描述结构原型的力学行为确定特征物理 量之间的关系
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
——模型与原型现象相似的条件
例1：设有两个截面不同的拉伸试样，受到不同的拉伸轴力 两个试样拉伸应力：
SI 导出 单位 ℃
rad deg deg/s Hz N kN mm cm
关系式
1rad=1m/m 1deg=/180rad
1Hz=1/s 1N=1kgm/s2(1kgf=9.81N) 1kN=103N 1mm=10-3m 1cm=10-2m
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续1)
1千克是国际千克原型的质量(1889，巴黎铂铱柱，精度10－9) 1秒是同位素铯cs133原子基本状态的两个超精细结构能级
之间的跃迁相对应的放射周期的9192631770倍（1967,13th） 1 安 培 电 流 是 指 在 两 根 无 限 长 的 、 在 真 空 中 平 行 间 隔 为 一
米的、截面可忽略不计的圆形导线中所流过的直流电流 强度，该电流强度能使每米长的两根导线之间产生 0.2×l0－6N的电动洛伦兹力（1948，9th） 1 开 尔 文 绝 对 温 度 单 位 是 水 的 三 态 点 的 热 动 态 温 度 的
1) 单位的换算
一个测量数值为V1、单位为E1的测量结果:
X＝V1[E1]
——可忽略[]写法
以单位E2来表示: X=V1E1=V2E2
则： V2＝K12V1 K12 = 1E1/E2
如果E1和E2为同类物理量单位，则K12为单位E2的倍数。 如果E1和E2不同类，则K12是一个定常单位转换量。
第三章 测量单位与相似模拟
例：材料单轴本构方程
=/E+a(/E)n
n
——特征应变为屈服应变0[mm/mm] ——特征应力取为屈服应力0[MPa]
——无量纲数据 =/0[1], =/0[1]
物理量还原： = 0，= 0
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
放大倍数 类似设备的灵敏度
K1T=1/VT —— 物理量相似放大倍数
3 量纲分析与相似试验模型
2)单物理量的相似模拟 (1)无量纲相似
物理量无量纲化——物理问题数学抽象模型 用途：简化问题，数学求解 称谓：无量纲相似或归一化处理
方法：设定特征物理量VT[E1]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2：简支梁原型中心受到一个集中力P，梁截面的高 宽为h和b，梁的跨度为l，若模型长度特征值为10（即 原型在几何上缩小10倍）以及应力特征值为1（模型 与原型的应力相等），模型的载荷特征值应取为多少 才能保证弹性变形现象的相似呢？
(VN/VVA)1=N1/A1
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
力学现象相似的条件： 相似系数k=VN/VVA=1
或：
相似判据=2A2/N2=1A1/N1
相似第一定理：如果模型在现象上与原型相似，则特征物 理量构成的相似系数等于1，或相似判据 是一个不变量。
1=N1/A1，2=N2/A2
——A：横截面面积，N：横截面上的轴力
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例1： 设特征应力、特征轴力、特征面积分别为
V[MPa]、VN[N]、VA[mm2] 它们满足：
2=1/V
N2N1/VN
A2=A1/VA
整理得：
中文符号
微应变 焦耳 瓦特 伏特 欧姆 周/次
英文名称
Torque Torque rate Micro strain Strain rate Energy Power Volt Capacitance Resistance Damping Cycle number Percent Permillage
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (2) 等量纲相似
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3)不等量纲相似
CAT物理测试通道的模拟量测试 方法： （1）设定特征物理量[PT]=VT[E1]
比如100kN/10v测试系统，可设[PT]=VT[kN]=10[kN] （2）对物理量无量纲化PV (=VP/VTA/D采集到的数值结果） （3）构建不等量纲量P＝PV[E2] ([E2]=[v],PV采集电压值） （4） 转换系数K12=P/ P =VP[kN]/(PV[v])=VT[kN/v] （5） 还原 P=K12P =VTPV[kN]
k
Hecto-百
h
Deca-十
da数值 1018 101 1012 109 106 103 102
10
词头
Deci-分 Centi-厘 Milli-豪 Micro-微 Nano-纳 Pico-皮 Femto-飞 Atto-阿
记号 d c m m n p f a
数值 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18
中文物理量
位移速率 加速度 长度 L 宽度 w 面积 S 体积 柔度 C 刚度 应力， 应力率 弹性模量
中文符号
毫米 毫米
兆帕 兆帕
英文名称
Velocity Acceleration Length Width Area Volume Compliance Stiffness Stress Stress rate Modulus
第三章 测量单位与相似模拟
2) CAT的力学量标定
第三章 测量单位与相似模拟
3 量纲分析与相似试验模型
1) 特征单位
令
则物理量可表为
[ET]=VT[E1] 于是折算系数
K1T= [E1]/[ET]=1/VT
X=V1[E1] =K1TV1[ET] =(V1/VT)[ET]
ET —— 广义导出单位或特征单位 VT —— 特征值 K1T —— 特征系数
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3) 不等量纲相似
还原：P=VT P [E1]
单物理量相似： 被测量＝特征值×模拟量
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）
单物理量相似 设计特征物理量 长度无量纲化几何相似 应力无量纲化力学相似
工程结构同时涉及长度、力、时间，因此结构模型应考 虑多个物理量的综合相似。
SI 单位
mm/s mm/s2
mm mm mm2 mm3 mm2/N N/mm MPa MPa/s MPa
关系式
1MPa=106N/m2=1N/mm2
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续2)
中文物理量
扭矩 M 扭矩率 应变 应变率 能量 E 功率 P 电压 U 电容 C 电阻 R 阻尼 循环数* 百分数* 千分数*
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位
(2)根据基本单位和物理规律的导出单位
中文物理量 中文符号
英文名称
温度 平面角度
角速度 频率 f 力F
位移 d
摄氏度 弧度 度
赫兹 牛顿 千牛 毫米 厘米
Temperature Angle Angle angle rate Frequency Force Force Displacement
SI 单位
Nmm Nmm/s m mm/mm/s J W V F
KN-s/mm Cycle % ‰
关系式
1m=10-6mm/mm
1J=1kNmm(=1kgm2/s2) 1W=1J/s=1kNmm/s 1V=1W/A s4A2/(m2kg) 1V/A
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
1 SI制单位
2) 七个SI基本单位
表3-1 SI基本单位
基本量 长度 质量 时间 电流强度 温度 物质的量 光强
量纲 L M T I N J