粗糙集考试资料整理
材基复习题全-复制
材基复习题全-复制1固溶体和金属化合物的特点？(1) 固溶体：指溶质组元溶于溶剂晶格中，并保持溶剂组元晶格类型而形成的均匀固体，分为置换固溶体间隙固溶体（2）合金中各组元之间发生相互作用而形成的一种新相2影响固溶体固溶度的因素？a组元的晶体结构类型，b原子尺寸因素，c电负性因素，d电子浓度因素3什么是晶体缺陷，按几何特点分，各自特点，举例说明。
晶体缺陷：造成晶体点阵结构周期势场畸变的一切因素。
按几何特点分为三类：点、线、面、体缺陷。
点缺陷：指空间三维尺寸都很小的缺陷。
（空位，间隙原子，置换原子）线缺陷：指二维尺寸小，第三维尺寸大的缺陷。
（位错，）面缺陷：指二维尺寸大，第三维尺寸小的缺陷。
（外表面，晶界）体缺陷：在三维尺寸较大，如镶嵌。
4试比较弗伦克尔和肖特基缺陷的特点？弗伦克尔缺陷：具有足够大能量的原子挤入晶格间隙中，形成间隙原子，留下空位。
（无体积变化空位和间隙原子成对出现）肖特基缺陷：原子离开原来格点位，跑到晶体表面或晶界，原来位置空位，形成肖特基缺陷（有体积变化）5刃型位错和螺型位错的特点是什么？刃型位错:a有半原子面b已滑移区与未滑移区的边界线与滑移方向和滑移矢量垂直c滑移面是唯一的d位错周围点阵发生弹性畸变e 位错畸变区只有几个原子间距螺型位错:a无半原子面b一定是直线，与滑移矢量平行c滑移面不是唯一的d不引起体积的膨胀和收缩e位错畸变区也是几个原子间距宽度7分析均匀形核时ΔG－r曲线，求出其临界晶核半径的大小。
（1）r < r* 的晶胚：自由能升高，瞬时出现，又瞬时消失，不能长大。
（2）r > r* 的晶胚：一旦出现，不在消失，能长大成为晶核。
当r>r0时为稳定晶核，当r*-r0时为亚稳定晶核。
（3）r = r* 的晶胚：长大与消失的趋势相等，为临界晶核。
r* 为临界晶核半径。
只有达到临界半径的晶胚才可能成为晶核。
∵ r* →ΔG* ∴有ΔG =πr3ΔGV + 4πr2σ求导8何为临界形核功？求出均匀形核时其大小，并说明其意义。
文献检索考试题库
81 表示检索词的某一部分允许有一定的词形变化。此说
1
法正确吗？
82
主要的布尔逻辑关系符有三种：逻辑与、逻辑或、逻 辑非。此说法正确吗？
1
参考工具书是指根据人们的需要，把某一范围的知识
83
或资料加以分析、综合或浓缩，并按一定的排检方法 编排，以备查阅、参考，用以解决有关事实和数据方
1
面的疑难问题的图书。此说法正确吗？
析和评论而形成的一种不同于一般论文的文体。此说
88
图书一般分为阅读型图书和工具型图书，此说法正确 吗？
1
89 手稿、私人笔记等属于（ ）文献
1
90 辞典、手册等属于（ ）文献
1
91 下列属于一次文献的是（ ）
1
“沈征.注册会计师审计[M].上海:格致出版
92 社,2008:35-37.”该题录反映的是什么类型的文献？
Hale Waihona Puke 下列哪项是按规定程序制定、经公认的权威机构批准
34 的一整套在特定范围内执行的规格、规则、技术要求
1
等规范性文献？
35 PQDD是检索下列哪种文献类型的数据库？
1
什么方法就是用截断的词的一个局部进行的检索，并
36 认为凡满足这个词局部中的所有字符（串）的文献，
1
都为命中的文献。
什么是人们利用信息系统获取所需信息的内在动因，
1
24
进行数据库检索时，一旦发现检索结果命中记录过 多，此时就应该考虑缩检。缩检的方法其中有
1
题录“陈桐生．中国史官文化与《史记》[D]．西安:
25
陕西师范大学文学研究所,1992．”反映的是什么类型 的文献？
1
26 下列哪个数据库可检索国外学位论文？
专升本土木工程材料复习
第一章绪论本章主要介绍了建筑材料的常用分类方式，及材料的基本物理、力学、化学性质和有关参数。
一、重点知识提要1.建筑材料的分类；建筑材料的标准化；2.材料的基本状态参数：密度、表观密度、堆积密度、孔隙率和空隙率的定义；3.材料的力学性质：强度、弹性、塑性、脆性和韧性的定义；4.材料与水有关的性质：亲水性与憎水性材料如何区别？吸湿性、吸水性、耐水性、抗渗性与抗冻性的定义；5.材料的热性质：导热性、热容量、热变形性的定义；6.材料的耐久性的定义及其所包涵的内容。
二、典型例题1.材料的密度、表观密度、堆积密度有何区别？如何测定？材料含水后对三者有何影响？解：三者都是表示材料单位体积的质量，但随着存在状态的不同，计算时应取用不同的体积。
对于含孔材料，三者的测试方法要点如下：测定密度时，需先将材料磨细，之后采用排出液体或水的方法来测定体积。
测定表观密度时，直接将材料放入水中，即直接采用排开水的方法来测体积，测定堆积密度时，将材料装入已知体积的容量筒中，直接测试其自然堆积状态下的体积。
含水与否对密度无影响，因密度需在绝对干燥状态下测试，含水对表观密度、堆积密度的影响则较为复杂，一般来说会使表观密度、堆积密度增大。
2.影响材料强度测试结果的试验条件有哪些？答：材料强度测试结果的试验条件主要有：试件的大小、试件的形状、试件的表面状态、加荷速度的大小等3.何谓材料的强度？影响材料强度的因素有哪些？答：材料的强度是指材料在外力作用下不破坏时所能承受的最大应力。
影响材料强度的主要因素有：材料的组成、孔隙率、含水率、试件尺寸大小、加荷速度快慢等。
4.某一块状材料的全干质量为100g，自然状态体积为40cm3，绝对密实状态下的体积为33cm3，试计算其密度、表观密度、密实度和孔隙率。
解：密度3/03.333100cm g ==ρ表观密度30/5.240100cm g ==ρ孔隙率()%5.17%100/10=⨯-=ρρP密实度%5.821=-=P D5.某岩石的密度为2.75g/cm 3，孔隙率为1.5%，今将该岩石破碎为碎石，测得碎石的堆积密度为1560kg/m 3，试求此岩石的表观密度和碎石的空隙率。
粗糙集
例
对于上表来说，U中有四个对象（概念），而现 在条件集合中只有一个属性，对于U1和U2来说， 它们的p不同所以可以通过p来区分，即u1,u2在p 下可区分；而U2和U3虽然是不同的对象但是在P 下却是相同的，即在p下不可区分，就成为不可 区分
粗糙集：
一个集合若恰好等于基本集的任意并集称为一个清晰 （crisp）集（精确集），否则称为粗糙（rough）集（不 精确集）。 解释：都可区分的是清晰集，有不可区分的对象为粗糙 集 主要特点:以不完全信息或知识去处理一些不分明现象的 能力,或依据观察、度量到的某些不精确的结果而进行分 类数据的能力. 粗糙集体现了集合中元素间的不可区分性. 主要优势:它不需要提供问题所需处理的数据集合之外的 任何先验知识,而且与处理其它不确定性问题的理论有很 强的互补性.
粗糙集理论所处理的问题
•不确定或不精确知识的表达; •经验学习并从经验中获取知识; •不一致信息的分析; •根据不确定,不完整的知识进行推理; •在保留信息的前提下进行数据化简; •近似模式分类; •识别并评估数据之间的依赖关系
三、粗糙集的应用
粗糙集理论在许多领域得到了应用： ①临床医疗诊断；
②电力系统和其他工业过程故障诊断；
3. 如果P中的任何一条属性都是不 可简约的，那么就称P是独立的 解释：P是独立的说明P中的任何一个属性都是必 不可少的，它独立的表达一个系统分类的特征。
属性约简的算法分析：
初始状态：所有数据已存入数据库(以下为模拟数据)
u 1 2 3 4 5 6
a 1 1 0 1 1 2
b 0 0 0 1 1 1
集合O 的下逼近(即正区) 为 I 3 (O ) = PO S (O ) = {刘保,赵 凯} 集合O 的负区为 N EG (O ) = {李得} 集合O 的边界区为 BND (O ) = {王治, 马丽} 集合O 的上逼近为 I 3 (O ) = PO S (O ) + BND (O ) = {刘保,赵凯,王治,马 丽} 根据表1, 可以归纳出下面几条规则, 揭示了教育程度与 是否能找到好工作之间的关 RUL E 1: IF (教育程度= 大学) OR (教育程度= 博士) THEN (可以找到好工作) RUL E 2: IF (教育程度= 小学) THEN (找不到好工作) RUL E 3: IF (教育程度= 高中) THEN (可能找到好工作)
材科综合复习题
材科综合复习题综合复习题一名词解释1空间点阵2合金3再婚共晶4奥氏体5反华偏析6位移系7柏氏矢量8柯氏气团9动态再结晶10交位移11晶胞12不均衡共晶31二者14成分四氟肼15异质形核16转让固溶体17不全系列势能18势能反应19反应蔓延20热加工21晶体结构22伪共晶23相律24间隙固溶体25枝晶偏析26晶胞27全势能28铃木气团29冷加工30为丛藓科扭口藓位移二问答题1说明各种原子结合键(五种键)的形成和本质，画出其示意图。
比较金属材料、陶瓷材料、高分子材料和复合材料在结合键上的差别。
画图说明固溶体中溶质原子的偏聚、有序、无序等分布状态，并说明其形成过程。
2根据答复与再结晶的有关原理，画图表明一块纯锡板被子弹打穿后，弹孔周围晶粒尺寸的原产情况。
3画图表示位错与第二相粒子的作用机制？4画图表明金属熔液四氟肼度和形核率之间的关系，并表述其原因。
5从能量角度表明上坡蔓延的可行性以及形变引发上坡蔓延的原因。
6，问：?如下图（见附件）所示，已知位错环abcd的柏氏矢量为b,切应力为（1）位错环的各边分别是什么位错？（2）设想在晶体中怎样才能得到这个位错？（3）在图中切应力的作用下，位错环将如何运动？7试述固态化学反应的特点。
表明过饱和al-cu合金各退溶划出相的形态和结构特征，图画出来各划出相的划出动力学曲线。
画图表明调幅水解出现的能量条件。
8试述晶粒大小对金属室温强度和塑性、韧性的影响。
9共晶系中二元合金在不平衡结晶条件下将产生什么组织，分析其形成条件、形成过程和组织特征。
10对钨板在1100℃、锡板在室温展开加工变形，它们的非政府、性能变化有何优劣？11在一个直观立方晶胞内画出来一个（110）晶面和一个[112]晶向。
12如何根据一根位错线的柏氏矢量来判断其所导致的晶体滑移的方向和大小？13在什么条件下可在三元相图的垂直截面中判断四相反应类型？如何判断？14根据右图（见到附件），用非政府共同组成物核对各区，表明合金1在不能均衡加热条件下可能将获得什么非政府？gb2,?15位错的线张力可表示为t＝求一曲率半径为r、柏氏矢量为b的位错保持弯曲平衡所需的切应力。
土工试验检测试题收集资料
土工试验检测试题(含答案)收集资料(总46页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《土工试验检测》试题（第01卷）一、填空题1．一般情况下，土是由 所组成的三相松散性。
2．天然密度的定义是 。
3．含水量的定义是 。
4．孔隙比的定义是 。
5．影响土的工程性质的三个主要因素是 、 和 。
6．粗粒土的工程性质在很大程度上取决于 可按 再细分成若干亚类。
7．细粒土的工程性质取决于 ，多用 作为分类指标。
8．界限含水量包括 ，前者指 ，后者指 。
9．击实试验目的是求 ，而测试的是 。
10．直剪试验中剪切方法有 。
11．压缩试验中常用的压缩试验指标包括 、 、 。
二、单项选择1．土粒比重G s 的定义式为： A.w s s V m ρ⋅ B.w V m ρ C.ρ⋅V m s D.w s V mρ2．干密度d ρ的定义式为： A.s V mB.V m sC.ss V m D.V m3．相对密度D r 的定义式为：A.min max max e e e e -- B.min max mine e e e -- C.ee e e --max min max D. min min max e e e e --4．砾的成分代号为：5．含石膏的含水量测试时，烘干温度为： ℃～80℃ ℃～70℃ ℃～110℃ ℃～120℃ 6．含石膏的含水量测试时，烘干时间为：小时 小时 小时 小时以上 7．水泥稳定土的含水量测试时，烘箱温度开时为： A.室温 ℃～70℃ ℃～80℃ ℃～110℃ 8．含水量低于缩限时，水分蒸发时土的体积为： A.不再缩小 B.缩小 C.增大 D.不详 9．液塑限联合测定义测试数据表示在 图形上。
～ω ～ω ～lg ω ω 10．直剪试验的目的是测定：A.στ,B.ϕ，c ，N D.γτ, 11．击实试验的目的是测定：ω max d ρ B.ρω C.d ρω D.ρωp 12．直剪试验得到的库仑公式是： =fN +C =fN C.φστtg c f += D.γτG = 13.压缩试验中在什么曲线上确定先期固结压力Pc 。
粗糙集考试题及答案
1设(,)U R 为Pawlak 近似空间，U Y X ⊆,。
证明 （1）)()()(Y R X R Y X R =， （2）)()()(Y R X R Y X R =. 并举例说明下列两条一般不成立：()()()R X Y R X R Y =，()()().R X Y R X R Y =解：（1）设()x R X ∈，则[]R x X ⋂≠∅，从而[]()R x X Y ⋂⋃≠∅，()x R X Y ∈⋃，()()R X Y R X ⋃⊇。
()()R X Y R Y ⋃⊇同理可证。
从而()()().R X Y R X R Y ⋃⊇⋃另一方面，若()x R X Y ∈⋃，则([])([])[]()R R R x X x Y x X Y ⋂⋃⋂=⋂⋃≠∅，从而有[]R x X ⋂≠∅，或[]R x Y ⋂≠∅，即()x R X ∈，或()x R Y ∈，故()()x R X R Y ∈⋃，即()()().R X Y R X R Y ⋃⊆⋃（2） 设()x R X Y ∈⋂，则[]R x X Y ⊆⋂，从而[]R x X ⊆，[]R x Y ⊆，于是()x R X ∈，()x R Y ∈，()()x R X R Y ∈⋂，故()()().R XY R X R Y ⋂⊆⋂另一方面，若()()x R X R Y ∈⋂，则[]R x X ⊆，[]R x Y ⊆，从而[]R x X Y ⊆⋂，故()x R X Y ∈⋂，即()()().R X Y R X R Y ⋂⊇⋂2 设),(R U 是一个广义近似空间，证明下列三条件等价： （1）R 是传递二元关系；（2）对于任意U X ⊆，))(()(X R R X R ⊆； （3）对于任意U X ⊆，)())((X R X R R ⊆。
证明：)2()1(⇒：对于任意UX ⊆及)(X R x ∈，有Xx R s ⊆)(。
若)(x R y s ∈，则由R 之传递性，)()(x R y R s s ⊆，即)(X R y ∈，于是)()(X R x R s ⊆，(()).x R R X ∈)3()2(⇒：对于任意U X ⊆，(())~(~())~((~))~(~)().R R X R R X R R X R X R X ==⊆=)1()3(⇒：设U z y x ∈,,，使R z y R y x ∈∈),(,),(，则由{}()s R y z ≠∅可得{})(z R y ∈。
aai09粗糙集高级人工智能史忠植
2019/11/12
高级人工智能 史忠植
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研究现状分析
史忠植. 知识发现. 北京: 清华大学出版社, 2002 刘清. Rough Set及Rough推理. 北京: 科学出版社,
2001 张文修等. Rough Set理论与方法. 北京: 科学出版社,
2001 王国胤, Rough Set理论与知识获取. 西安: 西安交通大
学出版社, 2001 曾黄麟. 粗集理论及其应用(修订版). 重庆: 重庆大学
出版社, 1998
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研究现状分析
2001年5月在重庆召开了“第1届中国Rough集与软计 算学术研讨会”，邀请了创始人Z. Pawlak教授做大 会报告；
2002年10月在苏州 第2届
IND IS (B) {( x, x') U 2 | a B, a(x) a(x')}
where INDIS (B) is called the B-indiscernibility relation.
• If (x, x') INDIS (B), then objects x and x’ are indiscernible from each other by attributes from B.
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二、 知识分类
设PR，且P ，P中所有等价关系的交集称为P上 的一种难区分关系(indiscernbility relation)
（或称难区分关系），记作IND(P)，即
[x]IND(p)= I [x]R
RP
注意，IND(P)也是等价关系且是唯一的。
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粗糙集：等价关系和分类；精确集和粗糙集；属性间的依赖程度。
（一张表，互信息和依赖程度都计算）1、粗糙集基本概念：粗糙集（Rough Set）理论是波兰数学家Z.Pawlak于1982年提出的，是一种新的处理含糊性和不确定性问题的数学工具。
相对于概率统计、模糊集等处理含糊性和不确定性的数学工具而言，粗糙集理论有这些理论不具备的优越性。
统计学需要概率分布，模糊集理论需要隶属函数，而粗糙集理论的主要优势就在于它不需要关于数据的任何预备的或额外的信息。
1982 年, 波兰学者Z. Paw lak 提出了粗糙集理论, 它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具, 能有效地分析不精确,不一致( incon sisten t),不完整( incomp lete) 等各种不完备的信息, 还可以对数据进行分析和推理, 从中发现隐含的知识, 揭示潜在的规律. 粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的, 它将分类理解为在特定空间上的等价关系, 而等价关系构成了对该空间的划分.粗糙集理论将知识理解为对数据的划分, 每一被划分的集合称为概念.粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库, 将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知识来(近似) 刻画.该理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息, 所以对问题的不确定性的描述或处理可以说是比较客观的, 由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制, 所以这个理论与概率论, 模糊数学和证据理论等其他处理不确定或不精确问题的理论有很强的互补性.在粗糙集理论中,"知识"被认为是一种分类能力.人们的行为是基于分辨现实的或抽象的对象的能力, 根据事物的特征差别将其分门别类的能力均可以看作是某种"知识".2、关系、等价关系和分类关系R：设U是一个非空集合，R是U上的一个关系，如果R是U×U的一个子集。
例如，实数集中的“>”关系就是2维平面中的子集{（x, y）：x >y}；整数集中的“整除”关系就是Z×Z中的子集{（a, b）：存在q∈Z，使得b = ra}；等等。
等价关系：满足反身性，对称性和传递性的关系。
例如，相等关系，三角形的相似关系。
等价关系与集合分类：一个等价关系可以给集合一个分类（等价类）；集合的一个分类也对应一个等价关系。
等价类。
最细的分类和最粗的分类。
由等价关系R产生的关于集合U的分类（等价类）就是这个集合包含的知识。
分类过程中, 相差不大的个体被归于同一类, 它们的关系就是不可分辨关系( indiscernability relation). 假定只用两种黑白颜色把空间中的物体分割两类, {黑色物体},{白色物体},那么同为黑色的两个物体就是不可分辨的, 因为描述它们特征属性的信息相同, 都是黑色. 如果再引入方,圆的属性, 又可以将物体进一步分割为四类: {黑色方物体},{黑色圆物体},{白色方物体},{白色圆物体}. 这时, 如果两个同为黑色方物体, 则它们还是不可分辨的. 不可分辨关系也称为一个等效关系(equivalence relationship ), 两个白色圆物体间的不可分辨关系可以理解为它们在白,圆两种属性下存在等效关系.3、精确集与粗糙集定义：设U 为所讨论对象的非空有限集合，称为论域；R 为建立在U 上的一个等价关系，称二元有序组()R U apr ,=为近似空间（Approximate Space ）。
近似空间构成论域U 的一个划分；若R 是U 上的一个等价关系，以[]R x 表示x 的R 等价类，R U /表示R 的所有等价类构成的集合，即商集；R 的所有等价类构成U 的一个划分，划分块与等价类相对应。
等价关系组成的集合为等价关系族。
如果U 中的两个元素x 和y 属于相同的等价类，则称x 和y 是不可分辨的。
任意一个给定的集合X ⊆U ，如果无法用R 等价类精确地描述，则称X 为R 的粗糙集；反之X 是R 的精确集（X 是等价类的并）。
4、属性间的依赖程度知识的依赖性可形式化地定义如下：令K=（U ，R ）是一个知识库，P 、Q ⊆R 。
1) 知识Q 依赖于知识P （记作P ⇒Q ）当且仅当IND(P )⊆IND(Q )。
2) 知识Q 与知识P 等价（记作P ≡Q ）当且仅当P ⇒Q 且Q ⇒P 。
3) 知识Q 与知识P 独立（记作P ≠Q ）当且仅当P ⇒Q 与Q ⇒P 均不成立。
当知识Q 依赖于知识P 时，也可以说知识Q 是由知识P 导出的。
有时候知识的依赖性可能是部分的，这意味着知识Q 仅有部分是由知识P 导出的，这可以由知识的正域来定义：令K=（U ，R ）是一个知识库，P 、Q ⊆R 。
当k =)Q (P γ=U)Q (POS P 时，我们称知识Q 是k 度依赖于知识P 的，记作P k ⇒Q 。
当k =1时，我们称Q 完全依赖于P ；当0<k <1时，称Q 粗糙依赖于P ；当k =0时，称Q 完全独立于P 。
系数)Q (P γ可以看作Q 和P 之间的依赖度。
关于计算会涉及的内容：上近似和下近似：}][:{][)(][X x x x X apr R R Xx R ⊆==⊆}][:{][)(][Φ≠==Φ≠⋂X x x x X apr R R X x R正域、负域、边界域和粗糙集)()()()()()()(X apr X apr X BND X apr U X NEG X apr X POS -=-==图中椭圆围成的区域为X ，每个小矩形表示一个等价类。
由图可见，任何属于POS （X ）的元素x 也一定属于X ；任何属于NEG 的元素x 一定不属于X ；当x 属于BND 时，它可能属于X ，也可能不属于X 。
如果BND 等于空集，则X 是关于R 的精确集；反之，X 为关于R 的粗糙集。
信息系统是一种知识表达方式，形式上，用四元组),,,(f V A U S =表示一个信息系统，其中：U ：对象的非空有限集合，即论域. U = {x 1, x 2, …, x n }；A ：属性的非空有限集合；通常将属性集分为两类，D C A =，D C =Φ，C 称为条件属性集合，D 称为决策属性集。
V =a Aa V ∈ ，a V 是属性的值域；f ：V A U →⨯是一个信息函数，它为每个对象的每个属性赋予一个信息值，即A a ∈∀，U x ∈，()a V a x f ∈,。
显然，信息系统可以用关系数据表格来表示，表格的行对应论域中的对象，列对应对象的属性。
一个对象的全部信息由表中一行属性的值来反映。
负区域正区域 边界区域 集合X 的正区域、负区域和边界区域信息系统有一个自然的等价关系。
设Φ≠⊆P A P 且，定义由属性子集P 导出的二元关系如下：IND(P)=(){}),(),(,),(|,a y f a x f P a U U y x y x =∈∀⨯∈有且，可以证明IND(P)是等价关系，称其为由属性集P 导出的不可分辨关系。
若),(y x ∈IND(P), 则称x 和y 是P 不可分辨的, 这是因为依据P 中所含的各属性是无法区分x 和y 的。
特别地，当P = {a }，仅含一个属性时，由属性A a ∈导出的等价关系为：(){}),(),(),(|,)(a y f a x f U U y x y x a IND =⨯∈=且则Φ≠⊆P A P 且导出的不可分辨关系亦可定义为：IND(P) =)(a IND Pa ∈ 。
以下只涉及属性归约问题，即用尽可能少的描述属性对决策属性进行推理。
（例子讲解）上表是一个信息系统，其中U = {1，2，3，4，5，6，7，8}；A = {A1，A2，A3，A4，A5}；V = V A1∪V A2∪V A3∪V A4∪V A5 = {0，1，2}；映射函数f 将对象属性映射到它的值域。
（1）不可分辨关系和近似集根据不可分辨关系的定义，计算 U/IND(A5) = {{1, 3, 6}, {2, 4, 5, 7, 8}}U/IND(A1) = {{1,4,8},{2,3,5,6,7}} U/IND(A2) = {{1, 2, 6,8},{3}, {4, 5, 7}} U / IND(A2, A3) = {{1,6},{2,8},{3},{4,5},{7}} U / IND(A1,A2) = {{1,8},{2,6},{3},{4},{5,7}} 取X = {2,4,5,7,8}, P = {A1,A2}，则}7,5,4{}:)(/{)(=⊆∈=X Y P IND U Y X apr P}8,7,6,5,4,2,1{}:)(/{)(=Φ≠⋂∈=X Y P IND U Y X apr P（2）属性的依赖度在数据归约中，利用两个属性集合P ，R 之间的相互依赖程度，可以确定一个属性a 的重要性（P 对U 有一个分类，R 对U 也有一个分类，如果分类完全相同，则P ，R 对于分类来说是一样的）。
属性集P 对R 的依赖程度用)(P R γ表示。
定义如下：)())(()(U card P POS card P R R =γ, )(/)()(P IND U X R R X apr P POS ∈= 其中card(.)表示集合的基数，POS R (P)是属性集R 在U/IND(P)中的正区域。
例如，在上表中，令P = {A5}，R = {A1，A2}，则U/IND(P) = {{1,3,6}, {2,4,5,7,8}}，U / IND(R) = {{1,8},{2,6},{3},{4},{5,7}}，}7,5,4{})8,7,5,4,2({},3{})6,3,1({==R R apr apr 从而，POS R (P) = {3,4,5,7},5.0)(=P R γ.题目为例：下面再给出一个粗糙集在知识发现中的例子。
下表给出一个关于八个病人的决策表，其中U ={}87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，属性集D C A =，条件属性集{}发烧咳嗽流鼻涕,,=C ，决策属性集{}流感=D 。
根据决策表可以得出：令a =流鼻涕，b =咳嗽，c =发烧，d =流感。
}/{a U ={}},,,,{},,,{87654321x x x x x x x x}/{b U ={}},{},,,,,,{75864321x x x x x x x x }/{c U ={}},,{},,,{},,{86375241x x x x x x x x },/{b a U ={}},{},,,{},,,{75864321x x x x x x x x },/{c a U ={}},{},,{},{},{},{},{86754321x x x x x x x x},/{c b U ={}},,{},,{},{},,{86375241x x x x x x x x{}{}{}{}{}{}{}86754321,,,,,,,/x x x x x x x x C U =；{}{}{}85417623,,,,,,,/x x x x x x x x D U =； 根据依赖度的定义，我们可以得到：)(POS C D ={}4321,,,x x x x ；=k UD )(POS C =0.5。