第4讲 度量空间的列紧性与紧性

定理 2.2 全有界的充要条件
设 X 是度量空间， A ⊂ X ，则 A 是全有界集当且仅当 A 中的任何点列必有基本子列．
证明 (1)充分性 ⇐ ：反证法．若 A 不是全有界集，则存在 ε0 > 0 ， A 没有有限的 ε0 网， 取 x1 ∈ A ，再取 x2 ∈ A ，使 d (x1, x2 ) ≥ ε0 ，(这样的 x2 存在，否则{x1} 为 A 的 ε0 网)．再取 x3 ∈ A ， 使 d (x1, x3 ) ≥ ε0 ， d (x2 , x3 ) ≥ ε0 (这样的 x3 存在，否则 {x1, x2} 为 A 的 ε0 网)．以此类推，可得 {xn} ⊂ A ，而{xn} 没有基本子列，产生矛盾，故 A 是全有界集．
y2 ,
, yn} ⊂ Y 以及
∪ ∪ A ⊂
n
ε
i=1 O(xi , 2 )
⊂
n
O( yi ,ε )
i =1
．□
注 6：在 Rn 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论
成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．
定理 2.1 全有界集的特性
设 X 是度量空间， A ⊂ X ，若 A 是全有界集，则(1) A 是有界集；(2) A 是可分集．
(2) 由(1)易得．□
注 4：由于 R 中的非空紧集 A 就是有界闭集，定义 A 上的连续函数具有最大与最小值，这
一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．
引理 1.1 设 f 是从度量空间 ( X ,d ) 到 (Y , ρ) 上的连续映射(称为算子)， A 是 X 中的紧集，
−2
−1
0
1
2R
−2
−1
0
1
2R
图 4.2 整数集 Z 是全体有理数 Q 的 0.6 网示意图
定义 2.2 全有界集
设 X 是度量空间，A ⊂ X ，如果对于任给的 ε > 0 ，A 总存在有限的 ε 网,则称 A 是 X 中的
全有界集．
注 5 ： 根 据 定 义 可 知 A 是 X 中 的 全 有 界 集 等 价 于 ∀ε > 0 ， ∃{x1, x2 , , xn} ⊂ X , 使 得
1 n0
网，故 ∃xn0
∈ Bn0
⊂
∞
Bn
i =1
，
∪ ∪ 使 d (x, xn0 ) <
1 n0
<δ
，从而，
xn0
∈ O(x,δ ) ，即
∞
Bn
i =1
在
A 中稠密，显然
∞
Bn
i =1
是可列集，故
A可
分．□
注 7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集．
例如全体实数对应的离散度量空间 (R, d0 ) 中的子集 N = {1,2，3， } 是有界集，却不是全有 界集．
lim
k →∞
ynk
= lim k →∞
f (xnk ) =
f (x0 ) ∈ E ．
即{yn} 有收敛于 E 的子列{ynk } ，因此 E 为 Y 中的列紧集．
再证 E 是闭集．设{yn} ⊂ E ， yn → y0 (n → ∞) ，根据 A 的紧性和连续映射 f 可得，对应的
点列 {xn} ( yn = f (xn ) )存在收敛的子列{xnk } ， xnk → x0 ∈ A ．从而
关于 n 维殴氏空间 Rn 中的列紧集、紧集的特性有如下定理．
定理 1.2 设 A ⊂ Rn ， Rn 是 n 维殴氏空间，那么
(1) A 是列紧集当且仅当 A 是有界集； (2) A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集． 证明 (1) 必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果 A 是有界的无限集，则 A 具 有极限点，从而可证充分性．
f (xn )
>
M
−
1 n
，即可得 M
−
1 n
<
f (xn ) ≤
M
<
M
+−1 n
．
再由 A 为紧集知存在{xnk } ⊂ {xn} ，使得 xnk → x* ∈ A ( k → ∞ ), 于是
M
−1 nk
<
f (xnk ) ≤ M
<M
+− 1 nk
令 k → ∞ ，有 f (x*) = M ，因此 M 是 f 在 A 上取得的最大值．□
x0 ∈ A ？． 定理 1.1 设 ( X , d ) 是度量空间，下列各命题成立：
(1) X 的任何有限集必是紧集； (2) 列紧集的子集是列紧集； (3) 列紧集必是有界集，反之不真． 证明 (1)、(2)易证．下面仅证(3)． 假设 A ⊂ X 是列紧集，但 A 无界．取 x1 ∈ A 固定，则存在 x2 ∈ A ，使得 d (x1, x2 ) ≥ 1 ．对于 x1, x2 ，必存在 x3 ∈ A ，使得 d (x1, x3 ) ≥ 1 、d (x2 , x3 ) ≥ 1 ．由于 A 是无界集，可依此类推得到 X 的 点列{X n} 满足：只要 i ≠ j ，就有 d (xi , xj ) ≥ 1 ．显然点列{X n} 无收敛子列，从而 A 不是列紧集 导致矛盾，故 A 是有界集．
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西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
反过来， A 是有界集， A 未必列紧．反例：空间 X = L2[−π ,π ] 上的闭球 B = O(0, π ) 有界，
而不是列紧集(见例 1.1)．□
注 2： R 中的开区间 (0,1) 是列紧集，却不是紧集．(由于 R 中的有界数列必有收敛子列，
那么 f ( A) 是 Y 中的紧集．
证明 设 E = f ( A) ，首先证明 E 是 Y 中的列紧集．
∀{yn} ⊂ E ， ∃{xn} ⊂ A ，使得 yn = f (xn ) ， n = 1, 2, ．由于 A 是紧集，所以点列 {xn} 存在
收敛的子列 {xnk } ，且 xnk → x0 ∈ A ，又知 f 是 X 上的连续映射，于是
(2)必要性 ⇒
：设{xn} 是
A
的任一点列，取 εk
=
1 k
，k
= 1, 2,
，因为 A 是全有界集，故 A 存
在有限 εk 网，记为 Bk ． 以有限集 B1 的各点为中心，以 ε1 为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了 A ，从而覆盖
了 {xn} ，于是至少有一个开球(记为 S1 )中含有{xn} 的一个子列{xk(1)} ⊂ S1 ．
证明 由于
∫ ∫ d ( fn , 0)
=(
π
|
−π
1
fn (x) − 0 |2dx)2
=
(
π
1
(sin nx)2dx)2
−π
1
1
∫ ∫ ∫ =
⎛ ⎜
⎝
π −π
⎛ ⎜⎝
1
−
cos 2
2nx
⎞⎟⎠dx
⎞ ⎟ ⎠
2
=
⎛ ⎜ ⎝
π −π
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞⎟⎠dx
+
π −π
⎛ ⎜⎝
cos 2nx 2
⎞⎟⎠dx
∪n
A ⊂ O(xi ,ε ) ，其中 O(xi ,ε ) 表示以 xi 中心，以 ε 为半径的开邻域．
i =1
引 理 2.1 A 是 度 量 空 间 X 的 全 有 界 集 当 且 仅 当 ∀ε > 0 ， ∃{x1, x2, , xn} ⊂ A , 使 得
∪n
A ⊂ O(xi ,ε ) ．
i =1
证明 (1) 设 A 是全有界集，取 ε = 1 ，由定义知， ∃n ∈ N 及{x1, x2 , , xn} ⊂ X ,使得
∪n
A ⊂ O(xi ,1) ．
i =1
现令 M
=
1
+
max{d
2≤i≤n
(
x1
,
xi
)}
，则易知
A ⊂ O(x1, M ) ，可见
A 是有界集．
(2) 设 A 是全有界集，下证 A 有可列的稠密子集．
∫ 例 1.4.1 设 X = L2[−π ,π ] = { f | (L) π | f (x) |2dx < ∞} ，对于 f , g ∈ X ，定义 −π
∫ d ( f , g) = (
π
|
1
f (x) − g(x) |2dx)2 ，
−π
令{ fn (x)} = {sin nx} ，那么{ fn (x)} 是有界的发散点列．
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
第四节 度量空间的列紧性与紧性
4.1 度量空间的紧性 Compactness 在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基
于一个重要的事实： R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必 成立．
∪ 由引理知对于 εn
=
1 n
(
n
= 1, 2,
)，存在 Bn = {x1(n) , x2(n) ,
,
x(n kn
)
}
⊂
A ，使得
A
⊂
kn i =1
O(
xi(
n
)
,
1 n
)
，x
下面证明
∪∞
Bn
是
A
的稠密子集．
n=1
∪ ∀x ∈ A ，∀δ
> 0 ，存在 n0
∈N
，使得