2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷(六)数学(理)试题 扫描版
贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（六）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．{(01)(00)(01)(11)(10)(11)}A B =--，，，，，，，，，，，，故选C ．
2．(2i)(i)3i y y y y ++=+，所以1
313
y x y ===，，故选D ．
3．由已知4=a b ，222|2|4416-=-+=a b a a b b ，所以|2|4-=a b ，故选B ．
4．64224(1)(1)(12)(1)x x x x x +-=++-，展开式中2x 的系数为10
44(1)C C 3-+=-，故选B ．
5．未服药组的指标y 的取值相对集中，方差较小，所以B 说法不对，故选B ．
6．由诱导公式2ππsin cos 36αα????+=+
? ?????，所以ππ2π()63k k αα??
+=++∈ ???
Z （舍去）或πππ2π()22π()sin 21632k k k k αααα????
+++=∈?=-+∈?=- ? ?????
Z Z ，故选A ．
7．OAB △是等腰直角三角形23OAB S m ?==△，在椭圆上，代入得2b =，故选B ． 8．方法一：由图可知，π()sin 23f x x ??=+ ???，ππππ()sin 2sin 2612312g x x x f x ???
????
?=+=-+=
- ? ? ??????
??
???，
所以把()f x 的图象向右平移
π
12
个单位得到()g x 的图象，故选D ． 方法二：两个函数的振幅和周期相同，由图，点π112A ??
???，
是()f x 图象的一个最高点，而由π203x -=，得π16B ??
???，是()g x 图象的一个最高点，所以把()f x 的图象向右平移π12个单位得到()g x 的图象，故选D ．
9．当BE CF =时，截面是矩形；当2BE CF =时，截面是菱形；当BE CF >时，截面是梯形，故选A ． 10．取1n =，已经有111S a a ===，
即，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+，故选A ．
11．两条渐近线关于x 轴对称，OA 是OBC △的内角BOC 的平分线， Rt OBC △中，斜边2OC OB =，所
以60BOC ∠=?，一条渐近线的斜率为
b c a a ，故选C ． 12．2()223f x x ax b '=++-，(1)01f a b '=?+=且21(()(1))a f x x '≠-≠-，2
2222
a b a a +=+
(01)a a <≠-且，令1120122a t ????
=∈ ? ?????
，，
，2(02)t t +在，上单调递减，所以2992223222a b a a ????
+=+∈+∞ ? ?????，，，故选D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13
14
15
16
答案
3 5π 3 2
【解析】
13．2()0(2)x f x x =?=，分别作(2)x y =与2y x =的图象，并注意到指数函数的增长速度最终会远远超
零点． 过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即()f x 有3个底
面
14．如图1，由已知，在底面ABCD 中，AB BC AD CD ⊥⊥，，由PA ⊥
ABCD ，易得PAC PBC PCD △，
△，△都是Rt △，所以球心是 PC 的中点，5
R =
，5πS =． 15．如图2，设BD x =，则243
cos x A -=2279BC x ==
22(43)2343cos x x
x A +---，解得1x =，3AB =∴．
16．由已知()f x 是以4为周期的奇函数，21511log (2)2222f f f a ??
????
=
-=-=-+=- ? ? ???????
，得2a =，又(2)(2)4(2)(2)0f f f f =-+-=（周期为）且（奇函数），所以(2)(2)0f f -==，所以()2a f a +=．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为
300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6?+?+?+?+?+?=，
完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为
52.6
0.18300
≈． ………………………………………………………………………（6分）
（2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过45分钟的概率为0.28， 所以~(1000.28)X B ，，得()1000.2828E X =?=． ………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）
解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，取12n =，，
图1
图2
得1111114()14(2)()(2)1a a a d a d a d a d =++??+=+++?，，解得112a d =??=?，或11414
a d ?=????=-??，
，
当112a d ==，时，212121n n n a n a n S n +=-=+=，
，满足条件； 当111
44a d ==-，时，34311042
a a S =-=-=，，不满足条件，舍去，
综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. ………………………………………（6分） （2）
121892n n a n a n ++=--，记2110
()19292x f x x x
+==-+
--， ()f x 在( 4.5)-∞，与(4.5)+∞，上都是增函数（图象如
图3），
对数列18n n a a +????-??，当4n ≤时，18n n a a +??
??-??
递增且都大
于1-，
当5n ≥时，18n n a a +??
??-??
递增且都小于1-，
数列18n n a a +??
??-??
的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. …………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：设点11()A x y ，，22()B x y ，，(2)P b -，，
过点A ，P 的直线方程为111()2y y x x +=，同理过点B ，P 的直线方程为221
()2y y x x +=，
因为点P 是两切线的交点，
所以1
(2)2y bx -=，即22y bx =+恒过(02)，. ………………………………………（6分）
（2）解：设直线AB 为2(2)y kx k b =+=，与抛物线方程联立得220x kx --=，其中0?>， 122x x =-，12x x k +=，
因为(21)M ，在AB 为直径的圆上，所以0AM BM =，
即11221212(21)(21)0(2)(2)(1)(1)0x y x y x x y y ----=?--+--=，， 1212(2)(2)(1)(1)0x x kx kx ?--+++=，
整理得21212(1)(2)()50k x x k x x ++-++=，
图3
即2230k k +-=，解得1k =或3k =-，
当1k =时，122P ??- ???，，圆心为1522??
???，，半径292r =，
圆的标准方程为2
2
159222x y ?
???-+-= ? ??
???；
当3k =-时，322P ??-- ???，，圆心为31322??
- ???
，，半径2852r =
， 圆的标准方程为2
2
31385222x y ?
???++-= ? ??
???. …………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）证明：如图4，设M 是AC 的中点，因为3DA DC ==， 所以DM AC ⊥，且22DM =
因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ?平面ACD ，
所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ， 所以DM EF ∥，且22DM EF ==
四边形DEFM 是平行四边形，从而DE MF ∥，
在ABC △中，M F ，是AC BC ，
的中点，所以MF AB ∥， 所以DE AB ∥，从而A B E D ，，，四点共面. ………………………………（6分） （2）解：建系如图5，因为BC ⊥平面xCz ， 所以DCz ∠就是二面角D BC E --的平面角， 3
cos sin 3DCA DCz CD ∠=∠=
?= 所以(102)CD =，，，(142)BD =-，
，，(0222)BE =-，，， (201)m =-，，是平面BCD 的一个法向量， (3221)n =，，是平面BDE 的一个法向量，
57
cos 3
21
m n =
=
<，> 因为二面角E BD C --是钝角， 所以二面角E BD C --的余弦值为57
． ………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）
图4
图5
解：（1）2()(1)1(1)(1)f x ax a x ax x '=-++=--， 当0a =时，()1f x x '=-，
则在(1)-∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(1)+∞，上，()0f x '<， ()f x 单调递减； 当1a =时，2()(1)0f x x '=-≥，()f x 单调递增； 当0a <，即
11a <时，则在11a ?? ???，上，()0f x '>，()f x 单调递增；在1a ?
?-∞ ???
，和(1)+∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减；
当01a <<，即
11a >时，
则在11a ?? ???，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在(1)-∞，和1a ??+∞ ???
，上，()0f x '>，()f x 单调递增；
当1a >，即
11a <时，则在11a ?? ???，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在1a ?
?-∞ ???
，和(1)+∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；
综上，当0a =时，()f x 在(1)-∞，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减； 当1a =时，()f x 单调递增；
当0a <时，()f x 在11a ?? ???，上单调递增，在1a ?
?-∞ ??
?，和(1)+∞，上单调递减；
当01a <<时，()f x 在(1)-∞，和1a ??+∞ ???，上单调递增，在11a ??
???，上单调递减； 当1a >时，()f x 在1a ??-∞ ???，和(1)+∞，上单调递增，在11a ??
???
，
上单调递减. ………………………………………………………………………（6分）
（2）当01a ≠，时，函数有两个极值2
21631
6a b a f a a +-??=
???
和236(1)6a a ab f a -+=， 若函数()f x 有三个不同的零点1(1)0f f a ??
?< ???
，即223
(631)(36)036a b a a a ab a +--+<， 因为ab c =，所以32(631)(36)0a ac a a a c +--+<恒成立， 又因为a 的取值范围恰好是1(1)0(4)7??
-∞-+∞ ???
，
，，， 所以令32()(631)(36)g a a ac a a a c =+--+，
恰有三个零点1
147
-，，，
若1a =-时，(1)(23)(23)0g c c -=-+-=，即2
3c =±；
当2
3
c =
时，32()(71)(34)0g a a a a a =--+<32(71)(34)a a a a ?---=
3(71)(4)(1)0a a a a --+>， a 的取值范围是1(1)
0(4)7??
-∞-+∞ ???
，，，
符合题意； 当2
3
c =-时，32()(1)(34)0g a a a a a =----<，
即32(1)(34)0a a a a +-+<，a 的取值范围是(10)-，矛盾， 所以2
3
c =
. ……………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：（1）因为2
1sin ρ
θ
=
-，
所以sin 2ρρθ-=2y =， 两边平方整理得244x y =+.
P 点直角坐标cos 0x ρθ==，sin 1y ρθ==，
所以(01)P ，
. ……………………………………………………………（5分） （2
）设直线l 的参数方程为121x t y ?
=??
??=??，，（t 为参数）与曲线C 的
方程244x y =+联立，
得
2320t --=，其中12t t +=1232t t =-，
11||||PA PB +=1211
||||
t t +12121212||||||||||t
t t t t
t t t +-==，
12||t t
-=，
所以
1212||11||||||t t PA PB t t -+== …………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
解：（1）22
2242()24022240x x x f x x x x x x ?--?
=-+<
，，，≤，
当0x ≤时，2224x x -++<0?1x <-； 当02x <<时，2402x x -+矛盾； 当2x ≥时，2224012x x x --
综上，1x <-. ……………………………………………………………（5分） （2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()0()f x f m >=，
所以x m
>，则1
m≤，
当1
->，
x m
x>时，0
m≤，1
则()()(2)()0
=-++->恒成立，
f x x m x x x m
所以m的取值范围是1
m≤. …………………………………………………（10分）