指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法
注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>.
一、知识要点：
１、指数方程的解法：
（1）同底去底法:()()()()f x g x a
a f x g x =⇔=; （２)化成对数式:log ()
()()log a b f x f x a a b a a f x b =⇔=⇔=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =⇔=⇔=.
2、对数方程的解法：
(１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =⇔=;
(2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =⇔=⇔=;
（３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a
a f x a =⇔=⇔=.
3、指数不等式的解法：
(1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x <⇔<;
01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x <⇔>；
（2）化成对数式：
1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b <⇔<⇔<;
01a <<时，log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b <⇔<⇔>；
（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b <⇔<⇔<. ４、对数不等式的解法:
（１)同底去底法:
1a >时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x <⇔<<；
01a <<时,log ()log ()()()0a a f x g x f x g x <⇔>>；
（2）化成指数式:
1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a <⇔<⇔<<;
01a <<时，log ()log ()log ()0b b a a a f x b f x a f x a <⇔<⇔>>.
二、巩固提高：
1、解下列方程或不等式:
（1)139
x = (2）38x = （3）139x <
（4)1()83x
≤
（5)3log 2x = （6)31log 2x =
（7)3log (1)2x -<
（８)12log (21)2x -≥
2、解下列方程或不等式：
(1）012242=--+x x
(2) x x x 4269⋅=+
(３）()13lg lg =++x x
(4))1(332)21(22---<x x x ;
（５）)102(log )43(log 31231+>--x x x ; (6）293183
1>⋅+-+x x
(7)222
2232≤+-x x (８）34324x x +->
（9)39log (1)log (5)x x -=+; (１0)224(01)x
x x a a a a -+>>≠且
3、填空题：
（1)不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 . (２)若21log 1,3
a a -<<则的取值范围是 . (3）已知log 7log 70m n <<，则,,0,1m n 之间的大小关系是 .
（4）函数()log ()x a f x a a =-的定义域是 .
（5)
函数()f x =的定义域是 . (6）若3log (lg )1x =,则x = .
(7
）若log (32x +=-，则x = .
(８）已知20.5log (0)()log ()(0)x
x f x x x >⎧=⎨-<⎩,若()()f x f x >-，则x 的取值范围是 .
(９）已知3()|log |f x x =,当02a <<时，有()(2)f a f >,则a 的取值范围是 .
(１0)已知函数3log (0)
()3(0)
x x x f x x >⎧=⎨≥⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是 . （11）关于x 的不等式()2lg lg 20x x -->的解集是 ；
（1２）关于x 的不等式2log (24)2x -<的解集是 ;
（13)设0a >且1a ≠,若2log 2log a a <，则a 的取值范围是 ．
(14）对于22322)2
1(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立,则a 的取值范围 . (15)不等式0log 2<-x x a 在1
(0,)2
x ∈内恒成立,则x 的取值范围是 . 4、已知R 为全集,}125|
{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ，求R C A B .
５、已知关于x 的方程0492122=+---x x a a 有一根是2.
(１)求实数a 的值； （2)若10<<a ，求不等式0492122<+---x x a a
的解集.。