《自动控制原理》第三章 3-1 一阶系统的时域分析
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自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
河南理工大学自动控制原理第3章 第1讲 一阶系统时域分析2012
自动控制原理控制系统的时域分析杨金显yangjinxian@河南理工大学电气工程与自动化学院本章主要内容与重点响应性能指标控制系统的时域分析一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算2对于线性系统，常用的分析方法有三种： 时域分析方法 根轨迹法 频率特性法 分析性能指标——动态性能、稳态性能 改善系统性能 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有 直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。
3时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系 统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。
输 入 信 号控制 拉普拉 传 系统 斯变换 递 函 微分 数 方程稳定性 输 出 信 号 准确性 响应过程稳定 稳态误差 动态指标4时域分析对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶 常系数线性微分方程来描述。
dc(t) d c(t) d c(t) + anc(t) a0 n + a1 n−1 + + an−1 dt dt dt d mr(t) d m−1r(t) dr(t) = b0 m + b1 m−1 + + bm−1 + bmr(t) dt dt dt系统在输入信号r(t )作用下，输出c(t )随时间变化的规律，即上式 微分方程的解，就是系统的时域响应。
nn−1动态过程—从初始态到接近稳态的响应。
稳态过程—t趋于无穷大时的输出状态。
5假定初始条件为0时2 s Y ( s ) + 5sY ( s ) + 6Y ( s ) = 1 2 s y (t ) = ∗1 − 1 ∗ e −2t − ∗ e −3t , (无初始值) 3 3 2 2 Y (s) = = 2 s ( s + 5s + 6) s ( s + 2)( s + 3) 1 1 1 1 2 y (t ) = ∗1 − ∗ e −2t + ∗ e −3t , 输入为1，无初始值 6 2 3 3− 1 − 3 = s s+2 s+3 1 10 −3t −2 t y (t ) = ∗1 + 4 ∗ e − ∗ e , t ≥ 0 (有初始值时) 3 32系统响应=稳态分量+暂态分量影响输出的有：系统本身结构与参数、输入信号、初始状态统一条件：静止状态和典型输入信号63.1 典型输入信号f (t )（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数F (s )1δ (t )1( t )1s1s 1s2 3tt 22e − at sin ω t1 (s + a)ω (s2 + ω 2 )s (s + ω )2 27cos ω t典型输入信号之间关系83.2 时域性能指标1）稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当 时间t 趋于无穷时，系统输出响应的期 望值与实际值之差。
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
自动控制原理的时域分析法ppt课件
精选课件PPT
13
系统的时域性能指标
• 稳定性 • 动态性能指标 • 稳态（静态）性能指标
精选课件PPT
14
单位阶跃响应性能指标：
H(t) 阶跃响应输出
1
0.9
误差带
0.5 Td
超调 稳态误差Ess
0.1 0
Tr Tp
Ts
上升时间
峰值时间 精选课调件PP整T 时间
t
15
1 延迟时间Td：指h(t)上升到稳态的50%所 需的时间。
稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与 系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响 应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则 系统稳定。反之，系统不稳定。
精选课件PPT
22
设系统传递函数有 K 个实根 i(i 1K)
r 对共轭复根 (iji)(i1K)
则脉冲响应为：
K
r
y (t)C ie ite it(A ic o s it B isin it)
s 3 2 13 s 2 10 4
将s=z-1代入原方程得：
2 z 3 4 z 2 z 1 0
NEW ROUTH’S TABLE：
s3 2 1
s 1 12 . 2
s2 4 1
s0 4
s1 0 .5
故S右半平面无闭环
s0 1
极点。系统是稳定 的
精选课件PPT故有一个根在s=-1的右边33 。
精选课件PPT
27
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三章时域分析
工程上典型测试信号（输入函数）
时域函数：r(t) t 0 单位脉冲 单位阶跃 (t) 复域：F（s） r(t) 图形
o
1
1 S
1 S2
t t t t t
1
o
1(t )
单位速度 单位加速度
单位正弦
t
1 2 t 2
sin t
o o
1 S3
s2 2
o
3.2 一阶系统的瞬态响应
[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
14
2.2.3 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R( s)
K
C ( s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: 传递函数： c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
G(s) C(s) K R(s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。 实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
1
4S 2 c1 (t ) L C1 ( s ) ＝L S ( S 1 )( S 2 )
j
1 -1.33 -2 -1 -0.5 0
c(t) c1(t) 1 2et 3e2t
1.0
c2 (t) 1 0.5et 0.5e2t
-1 极点和零点分布图
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输 入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数 为典型输入信号。
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t /T
结论： r1 r2 c1 c 2
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习题：3-3
第三章 线性系统的时域分析法
15
(t 0 )
0
T
T
2T
3T
4T
t
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
13
5. 单位加速度响应
r (t ) R (s) 1 2 1 s
3
t
2
1 1 c (t ) L Ts 1 s 3
1
1 2
t Tt (1 e
2
t /T
), ( t 0 )
0
T
h (T) =63.2% h(2T)=86.5% h(3T)=95% h(4T)=98.2%
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动态性能指标：
t d 0.69T t r 2.2T t s 3T
第三章 线性系统的时域分析法
11
dh ( t ) dt
t0
1 T
3. 单位脉冲响应
r (t ) (t ) R (s) 1 k (t ) L dc ( t ) dt 1 T |t 0 1 T
重点回顾
梅森增益公式
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第三章 线性系统的时域分析法
1
重点练习
1．某负反馈系统闭环传递函数
(s)
6 s 4s 6
2
1.
2.
若反馈通路传递函数H(s)=1,试求其开环传递函数； 若反馈通路传递函数H(s)=2,试求其开环传递函数.
G (s) 6 s 4s
2
解：１. 2.
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第三章 线性系统的时域分析法
14
一阶典型系统输入的响应
输入信号 1(t)
(t )
输出响应
1 e
1 T e
t /T
, (t 0)
t / T
，( t 0 )
t /T
t
1 2 t
2
t T Te
1 2
2
, (t 0)
), ( t 0 )
t Tt (1 e
sin t
cos t
s s
2 2
s
2
2
(t )
e
at
1
(s a)
2 2
sin t
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第三章 线性系统的时域分析法
8
回顾
时域函数
e
at
拉普拉斯变换
sa (s a)
2 2
cos t
2
2 s
3
t
1 T
e
t /T
1 Ts 1
数学模型->系统分析->系统设计
分析系统的方法: 时域分析法 复域分析法（根轨迹法） 频域分析法
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
本章内容：
系统时间响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
r (t ) t R (s) 1 s
2
3T
2.050/ T
2T
r(t) t
1.135/T
1 1 c (t ) L Ts 1 s 2
1
c(t)
T
0.386/T
c(t) (t T ) Tet /T
( t T ) Te 稳态误差 :T
t /T
稳态性能指标： 稳态误差
6
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第三章 线性系统的时域分析法
3-2 一阶系统的时域分析
本节内容：
数学模型 单位阶跃响应 单位脉冲响应 单位斜坡响应 单位加速度响应
第三章 线性系统的时域分析法 1(t)
e
at
拉普拉斯变换 1/s
1 s a
第三章 线性系统的时域分析法
5
3-1 时间响应的性能指标…
3、动态性能与稳态性能
动态性能指标： （1）延迟时间 t d （2）上升时间 t r （3）峰值时间 t p （4）调节时间 t s ( 5 %, 2 %)
h (t p ) h ( ) h( )
（5）超调量
%
100 %
10
2. 单位阶跃响应
r ( t ) 1( t ) R (s) 1 s 1 1 h (t ) L Ts 1 s
1
2
h(t )
1 初始斜率 T
1
0.632
r (t )
0.865
c(t) 1 et /T
2T t
3T
css 1
4T
1 e
t /T
(t 0 )
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第三章 线性系统的时域分析法
4
3-1 时间响应的性能指标
1、典型输入信号
（1）为什么要选用典型输入信号？ （2）哪些常用典型输入信号？ （3）采用哪种典型输入信号？
2、动态过程与稳态过程 单调收敛
动态过程/过渡过程/瞬态过程 稳态过程
振荡收敛 等幅振荡 发散
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(s)
G (s)
G (s) 1 G (s)H (s)
( s ) 1 G ( s ) H ( s ) G ( s )
6 s 4s 6
2
(s)
1 (s)H (s)
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第三章 线性系统的时域分析法
2
第三章线性系统的时域分析法
本章在课程中的地位：
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第三章 线性系统的时域分析法
9
1. 数学模型
i(s)
(s) T RC
C (s) R (s)
1 Ts 1
,
r(t) R C c(t)
时间常数
1 T
闭环极点为：
开环极点：0
R(s) -
1 R
I(s)
1 Cs
C(s)
无零点的一阶系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
2 1
3 2T
Ts 1 1
t /T
1 T
k (t )
1 2T
初始斜率 0.368/T
1 c(t ) et / T T
e
(t 0 )
0.135/T
0.05/T
0
T
2T t
3T
0.018/T 4T
冲击实验法
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第三章 线性系统的时域分析法
12
4. 单位斜坡响应