浙江省宁波市效实中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

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浙江省效实中学高三数学上学期期中试卷理新人教A版

高三数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}05U x Z x =∈≤≤，集合{}3,1A =，{},B y y x x A ==∈，则()U C AB =A .{}0,4,5,2B .{}0,4,5C .{}4,5,2D .{}4,52、已知sin(3)2sin()2ππαα-=-+，则sin cos αα=A .25-B .25C .25或25-D .15-3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则"()[1,2]"f x 为上的增函数是"()[4,5]"f x 为上的减函数的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要4、()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A .关于点(,0)12π对称B .关于点5(,0)12π对称C .关于直线512x π=对称D .关于直线12x π=对称 5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM的距离为A B C D .12a 6、已知函数()f x 满足()()f x f x ππ+=-，且当(0,)x π∈时，()cos f x x x =+，则(2),(3),(4)f f f 的大小关系是A .(2)(3)(4)f f f <<B .(2)(4)(3)f f f <<C .(4)(3)(2)f f f <<D .(3)(4)(2)f f f << 7、已知,m n 为异面直线，,m n αβ⊥⊥平面平面，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则A . //αβ且//l αB .αβ⊥且l β⊥C . α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l8、2()21,()1x f x g x x =-=-，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩，则下列判断正确的是A .()F x 为偶函数B .()F x 有最小值1-，无最大值C .()F x 有最大值1，无最小值D .()F x 无最大值，也无最小值9、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12345a a a =，且133551315513S S S S S S ++=，则2a = ks5uA .3B .5C .9D .1010、已知函数()32()20f x ax bx a =+-≠有且仅有两个不同的零点12,x x ，则A .当0a <时，12120,0x x x x +<>B .当0a <时，12120,0x x x x +><C .当0a >时，12120,0x x x x +<>D .当0a >时，12120,0x x x x +><第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11、若212iz i-=+，则复数z 的实部与虚部的和为________. 12、若2,1,,602a b a b a b ︒==<>=+=，则_________. 13、数列{}n a 满足12a =，2112(1)n n a a n+=+⋅，则n a =_________ 14、已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15、半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________.16、在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c h a b++的取值范围是 .17、若,,()(22)x y R x y t x xy +∈+≥+恒成立，则t 的范围是____________.三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18、在数列{}n a 中，1122,210,1n n n n n a a a a b a +=-+==-. （1）求证：{}n b 为等差数列，并求n b ；（2）若数列{}n c 满足23121 (333)n n n c c c c b -++++=，求数列{}n nc 的前n 项和n T .19、已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3ba=， sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求()f B 的值.20、在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AB DAB ︒=∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 中点,M 为线段PC 上的一点. （1）若M 为PC 中点，求证：//ME PAB 平面；（2）若二面角M EB C --的平面角为60︒，求直线AB 与平面MEB 所成角的余弦值.21、已知()xf x xe =，2()2g x ax ax =+，a R ∈（1）若()f x 与()g x 在(0,0)处的切线互相垂直，求a 的值；（2）设()()()F x f x g x =-，当12a ≤≤(||)y F x =在[,]a a -的最大值.22、对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号{}x 表示．例如{}811.20.2,{1.2}0.8,{}77=-==.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1{}a a =，11,00,0n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎪⎨⎬=⎨⎩⎭⎪=⎩,, 其中123n =,,,.（1）若2=a ，求23,a a 并猜想数列{}n a 的通项公式（不需要证明）；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．2013学年第一学期期中高三数学（理）答案1-10： DACCA BDBBB11、-1 12、、22n n 14、43π15、132-16、1423a a e=->+或、1316t ≤18、（1）112222222111111n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==-----，所以，{}n b 为等差数列，且11221b a ==-，所以，2n b n =ks5u （2）当1n =时，112c b ==；ks5u当2n ≥时，联立23121231122...2333 (22)333n n n n c c c c n c c c c n ---⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=-⎪⎩，得123n n c -=，所以123(2)n n c n -=⋅≥ 所以，123(1)n n c n -=⋅≥，123n n nc n -=⋅，12123212323...233232323...23n n nn T n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅１，所以2122(133...3)23n nn T n --=++++-⋅23123(12)31n n n n T n n ∴-=--⋅=-⋅-，11()322n n T n ∴=-⋅+19、22()2(3sin cos 23cos )f x x x x x =-+-22cos sin 23sin cos cos23sin 22sin(2)6x x x x x x x π=-+==+ks5u7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈-（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++化简得 sin 2sin C A = 2,3,c a b a ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒===()(60)2sin1501f B f ︒︒∴===20、（1）取BC 中点M ，连MN,NE,MN//PB,所以MN//平面PAB EN//AB,所以NE//平面PAB 所以平面MNE//平面PAB 所以 MN//平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0)(E A B D P C --算得平面MEB的法向量1(3,0,2)n λ=-，平面EBC 的法向量2(0,0,1)n =121cos ,2n n <>==，解得11()3λ=-或者舍去此时，122(3,0,)33n =，13cos ,4n AB <>=，所以，所求角的余弦值为421、（1）'()(1),'()22,xf x x eg x ax a =+=+又'(0)'(0)1f g =-，所以21a =-，12a =- （2）2()(2)xF x xe ax ax =-+，只要求()[0,]F x a 在上的最大值，'()(1)(22)(1)(2)x x F x x e ax a x e a=+-+=+-，ks5u令 ()2(1xh x e x x =-≤≤,'()20x h x e =->，min ()(1)20h x h e ∴==->，()0h x >恒成立，2x e x ∴>，2a e a ∴>，()(0,ln 2)(ln 2,)F x a a a ∴↓↑在又322(0)0,()(2)(2)a a F F a ae a a a ea a ==-+=--，令2()2(1x m x e x x x =--≤≤,'()22x m x e x =--,''()20x m x e =->，所以'()m x 在递增，'()20m x m ∴≤=--<，所以()m x 单调递减，()(1)40m x m e ≤=-<，所以max ()(0)0F x F ==22、（1）2221211111(2)2()t x x x a x x ax x a a ==-=-+=--+，且102,x a <<2(0,]t a ∴∈（2）212121212121212122112121111()2()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+-+=+-222121212121212142141422a x x a a x x x x t x x x x x x t---+-=++=++, 当12a ≥时，2140a -≤，214a t t t -∴+为的增函数，且当2t a =时，有最大值21()a a- 即12x x a ==时，21212111()()()x x a x x a --≤-（3）212121114()()2a x x t x x t---=++，令2214()2,(0,]a f t t t a t -=++∈ 当12a ≥时，2()(0,)f t a 在递增，所以221()()()f t f a a a≤=-，故舍去当102a <<时，2222214(14)'()1a t a f t t t ---=-=，所以，())f t ↓+∞↑在，要使得2()()f t f a ≥恒成立，则有2a ≥，2414a a -≥，且102a <<解得0a <<。

2021届宁波高三期中考试数学试题(文)

2021届宁波高三期中考试数学试题(文)
摘要：有些地区的期中考试已经结束，大家考的怎么样呢?相信大家一定在认真的复习高三所有课程的同时做了很多习题，下面是精品的请点击下载试题完整版：xxxx届宁波高三期中考试数学试题及答案（文）.doc 总结：希望上面的xxxx届宁波高三期中考试数学试题及答案（文）对高中数学成绩的提升有所帮助，通过做习题巩固学过的知识，祝愿大家在期末考试中取得理想的成绩，加油！
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2020-2021学年浙江省宁波市效实中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市效实中学高一（上）期中数学试卷试题数：23，总分：01.（单选题，3分）命题“∀x∈N，x2≥x”的否定为（）A.∀x∈N，x2＜xB.∀x∉N，x2≥xC.∃x∈N，x2≥xD.∃x∈N，x2＜x2.（单选题，3分）下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（）A.y=x+1B.y=-x3C.y=- 1xD.y=x|x|3.（单选题，3分）已知集合A={x|x＜3}，B={x|(13)x−9＞0}，则A∩（∁R B）等于（）A.[-2，3）B.（-2，3）C.RD.[2，3）4.（单选题，3分）已知a＞0，b＞1，且a（b-1）=4，则a+b的最小值为（）A.3B.4C.5D.65.（单选题，3分）函数f(x)=x2−12x+2−x（x≠0）的图象大致为（）A.B.C.D.6.（单选题，3分）关于x的不等式（x+b）（ax+5）＞0的解集为{x|x＜-1或x＞3}，则关于x的不等式x2+bx-2a＜0的解集为（）A. {x|−12＜x＜15}B.{x|-2＜x＜5}C.{x|-2＜x＜1}D.{x|-5＜x＜2}7.（单选题，3分）函数f（x）=x2-2tx+t-2，x∈[-1，1]，若f（x）的最大值为f（1），则f （-1）（）A.一定是正数B.一定是负数C.等于零D.正数，负数，零均有可能8.（单选题，3分）已知a＞0，b＞0，那么“b+4a≤ab”是“a+b≥9”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.（多选题，4分）已知函数f(x)={x2+2x+1，x≤0−x2， x＞0，满足f（f（a））=-1的a的值有（）A.0B.1C.-1D.-210.（多选题，4分）已知函数f （x ）定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D （a ＜b ），使f （x ）在[a ，b]内单调，且f （x ）在[a ，b]上的值域为[2a ，2b]，则称区间[a ，b]为f （x ）的和谐区间，下列结论正确的有（）A.f （x ）= 12x 2 +x 在[0，+∞）上存在和谐区间B.f （x ）=2x 在R 上存在和谐区间C.f （x ）= 4x x 2+1 在[0，+∞）上存在和谐区间D.f （x ）= 1x -x 在（0，+∞）上存在和谐区间11.（填空题，6分）（1） √2−1+(3−2√2)0−(8116)14+√(√2−π)44 =___ ．（2）a ＞0，b ＞0，化简 √56√b 34√ab 23 的结果是___ .（用分数指数幂表示）12.（填空题，3分）已知集合A={x|（a-1）x 2+3x-2=0}，若A 的子集个数为2个，则实数a=___ ．13.（填空题，3分）已知p ：-1≤x -a≤1，q ：2＜x ＜3，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___ ．14.（填空题，5分）函数y= 2x 2+4x+2x 2+1 的值域为___ ．15.（填空题，3分）给出下列四个条件：① b ＞0＞a ；② 0＞a ＞b ；③ a ＞0＞b ；④ a ＞b ＞0．其中能推出 1a ＜1b 成立的是___ ．16.（填空题，6分）函数 f (x )=12x+1 的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，得到g （x ）的图象，则g （x ）=___ ；若y=|g （x ）|的图象与直线y=m 有两个交点，则m 的取值范围为___ ．17.（填空题，3分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1-x ），且f （x ）在[1，+∞）上单调递增．若当x∈[0，1]时，f （ax ）＜f （x-1）恒成立，则实数a 的取值范围为___ ．18.（问答题，0分）函数 f (x )=√2−|2x +1| 的定义域为A ，g （x ）=-x 2+4x-1，x∈[0，3]值域为B ．（1）记M=（A∩B ）∩Z ，其中Z 为整数集，写出M 的所有子集；（2） P ={x |{x ＞a −1x ＜2a +1} 且P∩B=∅，求实数a 的取值范围．19.（问答题，0分）已知函数f（x）满足f（1+ 1x ）= 1x2-1．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）= ax 2+xf(x)在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．20.（问答题，0分）已知函数f（x）=ax2-2ax+2，g（x）=x．（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值为5，求a的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞g（x）．21.（问答题，0分）定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f(x)=2x+3x6x．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f（x）的值域；（3）若实数a满足f(a−1a)+f(a)＜0，求实数a的取值范围．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c．（1）若b=0，c＞0，求ℎ(x)=g(x)f(x)，x∈[2，+∞)的最小值；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，① 求证：c≥b；② 若g（b）-g（c）≥M（b2-c2）恒成立，求M的取值范围．23.（问答题，0分）已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n（x）（n=1，2，…）是定义在M上的一)(i∈N+)．系列函数，满足：f1（x）=x，f i+1（x）= f i(x−1x（1）求f3（x），f4（x）的解析式；)=1+x．（2）若g（x）为定义在M上的函数，且g(x)+g(x−1x① 求g（x）的解析式；② 若方程（x-1）•g（x）=mx有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市效实中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：01.（单选题，3分）命题“∀x∈N，x2≥x”的否定为（）A.∀x∈N，x2＜xB.∀x∉N，x2≥xC.∃x∈N，x2≥xD.∃x∈N，x2＜x【正确答案】：D【解析】：根据含有量词的命题的否定，即可得到结论【解答】：解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈N，x2＜x，故选：D．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.（单选题，3分）下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（）A.y=x+1B.y=-x3C.y=- 1xD.y=x|x|【正确答案】：D【解析】：根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找到正确选项．【解答】：解：A．根据y=x+1的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．x增大时，-x3减小，即y减小，∴y=-x3为减函数，∴该选项错误；C. y=−1x在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=x|x|为奇函数，y=x|x|={x2x≥0−x2x＜0；y=x2在[0，+∞）上单调递增，y=-x2在（-∞，0）上单调递增，且y=x2与y=-x2在x=0处都为0；∴y=x|x|在定义域R上是增函数，即该选项正确．故选：D．【点评】：考查奇函数图象的对称性，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及二次函数的单调性，分段函数单调性的判断．3.（单选题，3分）已知集合A={x|x＜3}，B={x|(13)x−9＞0}，则A∩（∁R B）等于（）A.[-2，3）B.（-2，3）C.RD.[2，3）【正确答案】：A【解析】：可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＜3}，B={x|-x＞2}={x|x＜-2}，∴∁R B={x|x≥-2}，A∩（∁R B）=[-2，3）．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数的单调性，描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.（单选题，3分）已知a＞0，b＞1，且a（b-1）=4，则a+b的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：C【解析】：先由题设⇒a= 4b−1＞0，再利用基本不等式求得a+b的最小值．【解答】：解：∵a＞0，b＞1，且a（b-1）=4，∴a= 4b−1＞0，∴a+b= 4b−1 +（b-1）+1≥2 √4 +1=5，当且仅当{b=3a=2时取“=“，故选：C．【点评】：本题主要考查式子的变形及基本不等式在处理最值问题中的应用，属于中档题．5.（单选题，3分）函数f(x)=x2−12x+2−x（x≠0）的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先判断函数为偶函数，再求得f（1）=0，f（2）＞0，即可判断．【解答】：解：∵f（-x）= (−x)2−12−x+2x=f（x），∴f（x）为偶函数，当x=1时，f（1）=0，当x=2时，f（2）= 34+14＞0，故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性以以及函数值的变化趋势，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．6.（单选题，3分）关于x的不等式（x+b）（ax+5）＞0的解集为{x|x＜-1或x＞3}，则关于x的不等式x2+bx-2a＜0的解集为（）A. {x|−12＜x＜15}B.{x|-2＜x＜5}C.{x|-2＜x＜1}D.{x|-5＜x ＜2}【正确答案】：B【解析】：根据不等式（x+b ）（ax+5）＞0的解集求出a 、b 的值，代入不等式x 2+bx-2a ＜0中求解集即可．【解答】：解：不等式（x+b ）（ax+5）＞0的解集为{x|x ＜-1或x ＞3}，所以 {a ＞0−5a=−1−b =3，解得a=5，b=-3；所以不等式x 2+bx-2a ＜0化为x 2-3x-10＜0，解得-2＜x ＜5；所求不等式的解集为{x|-2＜x ＜5}．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．7.（单选题，3分）函数f （x ）=x 2-2tx+t-2，x∈[-1，1]，若f （x ）的最大值为f （1），则f （-1）（）A.一定是正数B.一定是负数C.等于零D.正数，负数，零均有可能【正确答案】：B【解析】：求出函数的对称轴，得到t≤0，求出f （-1），判断即可．【解答】：解：若f （x ）的最大值是f （1），则函数的对称轴x=t≤ −1+12 =0，故f （-1）=3t-1≤-1，故f （-1）一定是负数，故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8.（单选题，3分）已知a ＞0，b ＞0，那么“b+4a≤ab”是“a+b≥9”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：a ＞0，b ＞0，由b+4a≤ab ，则 1a + 4b ≤1，根据基本不等式和充分条件必要条件的定义即可判断．【解答】：解：a ＞0，b ＞0，由b+4a≤ab ，则 1a + 4b ≤1，∴a+b≥（a+b ）（ 1a + 4b ）=5+ b a + 4a b ≥5+2 √b a •4a b =9，当且仅当b=2a 时取等号，若a+b≥91a + 4b ≤ 19 （a+b ）（ 1a + 4b ）= 19 （5+ b a + 4a b ），∵5+ b a + 4a b ≥5+2 √b a •4a b =9， ∴不能由“a+b≥9”得到“b+4a≤ab”，故“b+4a≤ab”是“a+b≥9”充分不必要条件，故选：A ．【点评】：本题考查基本不等式的运用，充分条件，必要条件，考查运算能力，属于中档题．9.（多选题，4分）已知函数 f (x )={x 2+2x +1，x ≤0−x 2， x ＞0 ，满足f （f （a ））=-1的a 的值有（）A.0B.1C.-1D.-2【正确答案】：AD【解析】：根据题意，分析可得当x≤0时与当x ＞0时，f （x ）的取值范围，对于f （f （a ））=-1，分析f （a ）的范围，可得f （f （a ））=-[f （a ）]2=-1，解可得f （a ）的值，进而可得f （a ）=（a+1）2=1，解可得a 的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )={x 2+2x +1，x ≤0−x 2， x ＞0，当x≤0时，f （x ）=x 2+2x+1=（x+1）2≥0，当x ＞0时，f （x ）=-x 2＜0，若f （f （a ））=-1，必有f （a ）＞0，则f （f （a ））=-[f （a ）]2=-1，解可得f （a ）=1，若f （a ）=1，必有a≤0，则f （a ）=（a+1）2=1，解可得a=-2或a=0，故a=-2或0，故选：AD ．【点评】：本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．10.（多选题，4分）已知函数f （x ）定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D （a ＜b ），使f （x ）在[a ，b]内单调，且f （x ）在[a ，b]上的值域为[2a ，2b]，则称区间[a ，b]为f （x ）的和谐区间，下列结论正确的有（）A.f （x ）= 12x 2 +x 在[0，+∞）上存在和谐区间 B.f （x ）=2x 在R 上存在和谐区间C.f （x ）= 4xx 2+1 在[0，+∞）上存在和谐区间 D.f （x ）= 1x -x 在（0，+∞）上存在和谐区间【正确答案】：ABC【解析】：根据新定义知函数在[a ，b]上单调递增且 {f (a )=2af (b )=2b a ＜b ，表示存在和谐区间，结合函数的解析式，即可知选项的正误．【解答】：解：由题意知，函数存在闭区间[a ，b]上单调递增且 {f (a )=2af (b )=2b a ＜b ，则[a ，b]为f （x ）的和谐区间，对于A ，f （x ）= 12 x 2+x= 12 （x+1）2- 12 在（-1，+∞）上递增，其中[0，2]为一个和谐区间；对于B ，f （x ）=2x 在R 上递增，其中[1，2]为一个和谐区间；对于C ，在（0，+∞）上f （x ）= 4xx 2+1 =4x+1x≤2（当且仅当x= 1x ，即x=1时，取等号），由对勾函数以及复合函数的性质在[0，1]上单调，且时和谐区间；对于D ，f （x ）= 1x -x 在（0，+∞）上减函数，假设存在[a ，b]使得f （x ）∈[2a ，2b]，则f （a ）= 1a -a=2b ，则1-a 2=2ab ， f （b ）= 1b -b=2a ，则1-b 2=2ab ，所以a=b 或a=-b ，不存在“和谐区间”，故选：ABC ．【点评】：本题考查函数的新定义，和谐区间，解题关键是正确理解和谐区间的定义，属于中档题． 11.（填空题，6分）（1） √2−1+(3−2√2)0−(8116)14+√(√2−π)44=___ ．（2）a ＞0，b ＞0，化简 √56√b 34√ab 23的结果是___ .（用分数指数幂表示）【正确答案】：[1] π+12; [2] a 12b 112 【解析】：（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】：解：（1）原式= √2+1 +1- (32)4×14+（ π−√2 ）= √2+1+1−32 + π−√2= 12+π ．（2）∵a ＞0，b ＞0， ∴√56√b 34√ab 23=a 56•b 34a 13•b 23= a 12b 112 ，故答案为： 12+π ； a 12b 112．【点评】：本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．12.（填空题，3分）已知集合A={x|（a-1）x 2+3x-2=0}，若A 的子集个数为2个，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]1或- 18【解析】：推导出（a-1）x 2+3x-2=0只有一个实数解，当a-1=0时，a=1，（a-1）x 2+3x-2=0即3x-2=0，当a-1≠0时，（a-1）x 2+3x-2=0只有一个实数根，△=9+8（a-1）=0，由此能求出实数a 的值．【解答】：解：∵集合A={x|（a-1）x 2+3x-2=0}，且A 的子集个数为2个， ∴（a-1）x 2+3x-2=0只有一个实数解，当a-1=0时，a=1，（a-1）x 2+3x-2=0即3x-2=0，解得x= 23 ，当a-1≠0时，（a-1）x 2+3x-2=0只有一个实数根， △=9+8（a-1）=0，解得a=- 18 ． ∴实数a 的值为1或- 18 ．故答案为：1或- 18 ．【点评】：本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.（填空题，3分）已知p ：-1≤x -a≤1，q ：2＜x ＜3，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2，3]【解析】：根据题意可得 {a −1≤2a +1≥3 ，解得2≤a≤3，即可求出a 的范围．【解答】：解：由-1≤x -a≤1，可得a-1≤x≤a+1， ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴ {a −1≤2a +1≥3 ，解得2≤a≤3，故实数a 的取值范围为[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】：本题考查了必要不充分条件，考查了运算求解能力，属于基础题． 14.（填空题，5分）函数y= 2x 2+4x+2x 2+1的值域为___ ．【正确答案】：[1][0，4]【解析】：结合x 的范围分类讨论，然后利用分离法后结合反比例函数的性质可求．【解答】：解：x=0时，y=2，当x ＞0时，x+ 1x ≥2，y= 2x 2+4x+2x 2+1 =2 +4x x 2+1 =2+ 4x+1x∈（2，4]，当x ＜0时，x+ 1x ≤-2，y= 2x 2+4x+2x 2+1 =2 +4x x 2+1 =2+ 4x+1x∈[0，2），综上，函数的值域[0，4]．故答案为：[0，4]．【点评】：本题主要考查了函数值域的求解，反比例函数的性质的应用及分离法的应用是求解问题的关键．15.（填空题，3分）给出下列四个条件：① b＞0＞a；② 0＞a＞b；③ a＞0＞b；④ a＞b＞0．其中能推出1a ＜1b成立的是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：① ③ 由不等式的基本性质可直接判断出；② ④ 的两边都乘以ab 即可判断出答案．【解答】：解：① 若b＞0＞a，则1a ＜0＜1b，故① 正确；② 若0＞a＞b，则ab＞0，∴ aab ＞bab，即1b＞1a．故② 正确；③ 若a＞0＞b，则1a ＞0＞1b，故不能推出1a＜1b，因此③ 不正确；④ 若a＞b＞0，则aab ＞bab，即1b＞1a，故④ 正确．因此其中能推出1a ＜1b成立的是① ② ④ ．故答案为① ② ④ ．【点评】：熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．16.（填空题，6分）函数f(x)=12x+1的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，得到g（x）的图象，则g（x）=___ ；若y=|g（x）|的图象与直线y=m有两个交点，则m的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] 12x−1-1; [2]（0，1）∪（1，+∞）【解析】：先根据图象的平移可得函数g（x）的表达式，画出函数|g（x）|的图象，由图象可得m的取值范围．【解答】：解：函数f(x)=12x+1的图象向右平移一个单位，可得y= 12(x−1)+1= 12x−1，再向下平移一个单位，可得g（x）= 12x−1-1，函数g （x ）= {1−12x−1，x ≥1或x ≤012x−1−1，0＜x ＜1，且x ≠12 ，其图象如图所示，若y=|g （x ）|的图象与直线y=m 有两个交点，则m ＞0且m≠1，即m 的取值范围为（0，1）∪（1，+∞），故答案为： 12x−1 -1，（0，1）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查了函数图象的平移，以及函数图象的画法，函数图象的应用，属于基础题． 17.（填空题，3分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1-x ），且f （x ）在[1，+∞）上单调递增．若当x∈[0，1]时，f （ax ）＜f （x-1）恒成立，则实数a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：根据函数单调性和对称性得出自变量与对称轴的远近，从而得出a 的不等式，根据函数最值得出a 的范围．【解答】：解：∵f （1+x ）=f （1-x ），∴f （x ）的函数图象关于直线x=1对称， ∵f （x ）在[1，+∞）上为增函数， ∴f （x ）在（-∞，1）上为减函数， ∵当x∈[0，1]时，f （ax ）＜f （x-1）成立， ∴|ax -1|＜|1-（x-1）|在[0，1]上恒成立，即x-2＜ax-1＜2-x 在[0，1]上恒成立， ∴1- 1x ＜a ＜ 3x -1在[0，1]上恒成立．设m （x ）=1- 1x ，n （x ）= 3x -1，x∈[0，1]，m （x ）的最大值为m （1）=0，n （x ）的最小值为n （1）=2． ∴0＜a ＜2．故答案为：（0，2）．【点评】：本题考查了函数单调性与对称性的应用，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题．18.（问答题，0分）函数f(x)=√2−|2x+1|的定义域为A，g（x）=-x2+4x-1，x∈[0，3]值域为B．（1）记M=（A∩B）∩Z，其中Z为整数集，写出M的所有子集；（2）P={x|{x＞a−1x＜2a+1}且P∩B=∅，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义域和值域的求法可得出A={x|−32≤x≤12}，B=[−1，3]，然后进行交集的运算即可求出集合M，再写出M的所有子集即可；（2）根据P∩B=∅，可讨论P是否为空集，然后解出a的范围即可．【解答】：解：（1）A={x||2x+1|≤2}={x|−32≤x≤12}，g（x）=-（x-2）2+3，x=0时，g（x）取最小值-1；x=2时，g（x）取最大值3，∴B=[-1，3]，∴ A∩B={x|−1≤x≤12}，M=（A∩B）∩Z={-1，0}，∴M的所有子集为：∅，{-1}，{0}，{-1，0}；（2）∵P∩B=∅，∴ ① P=∅时，a-1≥2a+1，解得a≤-2；② P≠∅时，{a＞−2a−1≥3或2a+1≤−1，解得a≥4或-2＜a≤-1，∴实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥4}．【点评】：本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，配方求二次函数值域的方法，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．19.（问答题，0分）已知函数f（x）满足f（1+ 1x ）= 1x2-1．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）= ax 2+xf(x)在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据换元法求出f（x）的解析式即可；（2）求出g（x）的解析式，得到g （x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】：解：（1）∵f（1+ 1x ）= 1x2-1，令1+ 1x =t，则1x=t-1，则f（t）=（t-1）2-1=t2-2t（t≠1），故f（x）=x2-2x，（x≠1）；（2）g（x）= ax 2+xf(x) = ax+1x−2，（x＞2），g′（x）= −2a−1(x−2)2，若g（x）在（2，+∞）递增，则−2a−1(x−2)2＞0在（2，+∞）恒成立，故-2a-1＞0，即a＜- 12．法二：g（x）= ax+1x−2 =a+ 2a+1x−2，若g（x）在（2，+∞）递增，则2a+1＜0，解得：a＜- 12．【点评】：本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．20.（问答题，0分）已知函数f（x）=ax2-2ax+2，g（x）=x．（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值为5，求a的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞g（x）．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的递增区间，求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可；（2）问题转化为（ax-1）（x-2）＞0，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．【解答】：解：（1）f（x）的对称轴是x=1，a＞0时，图象开口向上，故f（x）在[-1，1]递减，f（x）max=f（-1）=a+2a+2=5，解得：a=1，符合题意，a＜0时，图象开口向下，故f（x）在[-1，1]递增，f（x）max=f（1）=a-2a+2=5，解得：a=-3，符合题意；综上：a=1或a=-3；（2）∵f（x）＞g（x），∴ax2-2ax+2＞x，即ax2-（2a+1）x+2＞0，即（ax-1）（x-2）＞0，a＞12时，解得：x＞2或x＜1a，故不等式的解集是{x|x＞2或x＜1a}，a= 12时，解得：x≠2，故不等式的解集是{x|x≠2}，0＜a＜12时，解得：x＞1a或x＜2，故不等式的解集是{x|x＞1a或x＜2}，a=0时，解得：x＜2，故不等式的解集是{x|x＜2}，a＜0时，解得：1a＜x＜2，故不等式的解集是{x| 1a＜x＜2}．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，考查解不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道基础题．21.（问答题，0分）定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f(x)=2x+3x6x．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f （x ）的值域；（3）若实数a 满足 f (a−1a)+f (a )＜0 ，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的定义和性质，可得f （0），和0＜x≤1时f （x ）的解析式，可得所求；（2）由指数函数的单调性，计算可得所求值域；（3）由题意可得f （x ）在[-1，1]为减函数，原不等式化为 a−1a ＞-a ，且-1≤-a≤1，-1≤ a−1a≤1，解不等式可得所求范围．【解答】：解：（1）定义在[-1，1]上的奇函数f （x ），可得f （0）=0，当0＜x≤1时，可得-1≤-x ＜0，f （-x ）= 2−x +3−x6−x =3x +2x ，则f （x ）=-f （-x ）=-（3x +2x ），则f （x ）= {3−x +2−x ，−1≤x ＜00，x =0−(3x +2x )，0＜x ≤1；（2）当0＜x≤1时，f （x ）=-（3x +2x ）递减，可得f （x ）∈[-5，-2）；由奇函数的图象关于原点对称，可得-1≤x ＜0时，f （x ）∈（2，5]．则f （x ）在[-1，1]的值域为[-5，-2）∪{0}∪（2，5]；（3）若实数a 满足 f (a−1a)+f (a )＜0 ，即为f （a−1a）＜-f （a ）=f （-a ），由f （x ）在[-1，1]为减函数，可得 {−1≤a−1a ≤1−1≤−a ≤1a−1a＞−a，即为 {a ≥12−1≤a ≤1，a ≠0a ＞−1+√52或a ＜−1−√52 ，则a 的范围是 (√5−12，1] ．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=2x+b ，g （x ）=x 2+bx+c ．（1）若b=0，c ＞0，求 ℎ(x )=g (x )f (x )，x ∈[2，+∞) 的最小值；（2）若f （x ）≤g （x ）恒成立， ① 求证：c≥b ；② 若g （b ）-g （c ）≥M （b 2-c 2）恒成立，求M 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先写出h （x ）的解析式，得h （x ）= x 2 + c2x ，由基本不等式得h （x ）≥ √c ，（当且仅当 x 2 = c2x ，即x= √c 时，取等号），分两种情况1°当0＜c ＜4时，2°当c≥4时，求出h （x ）min ．（2） ① 问题转化为x 2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，令F （x ）=x 2+（b-2）x+c-b ，对F （x ）求导，分析单调性，只需F （x ）的最小值大于等于0，进而得出结论． ② 根据题意可得M≥ 2−(c b )2−1(c b )2−1，令t= c b，只需M≥（2−(c b )2−1(c b)2−1）min 即可，得出答案．【解答】：解：（1）若b=0，c ＞0，则h （x ）= g (x )f (x ) = x 2+c 2x = x 2 + c 2x ≥2 √x2•c2x = √c ，（当且仅当 x2 = c2x ，即x= √c 时，取等号）， 1°当0＜c ＜4时，h （x ）min =h （2）=1+ c4 ， 2°当c≥4时，h （x ）min =h （ √c ）= √c ．（2）因为f （x ）≤g （x ）恒成立，即x 2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，令F （x ）=x 2+（b-2）x+c-b ，所以F′（x ）=2x+b-2，令F′（x ）=0，得x=2−b2，所以F （x ）在（-∞， 2−b 2 ）上单调递减，在（ 2−b2，+∞）内单调递增，所以F （x ）min =F （2−b 2 ）=（ 2−b 2 ）2+（b-2）• 2−b 2+c-b≥0，化简得c≥b ．② g （b ）-g （c ）=2b 2-c 2-bc ，又b≤c ，所以M≥ 2b 2−c 2−bc c 2−b 2 = 2−(c b )2−c b (c b )2−1 ，令t= c b ，则M≥-1- t−1t 2−1 =-1- 1t+1， 1°当c ＞|b|时，t∈（-1，0）∪（1，+∞），所以t+1∈（0，1）∪（2，+∞），所以 1t+1 ∈（1，+∞）∪（0， 12 ），所以-1- 1t+1 ∈（-∞，-2）∪（- 32 ，-1），所以M≥-1，2°当c=|b|时，t=1，-1- 1t+1 =- 32 ，所以M 的取值范围为{- 32 }∪[-1，+∞）．【点评】：本题考查函数的最值，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．23.（问答题，0分）已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n （x ）（n=1，2，…）是定义在M 上的一系列函数，满足：f 1（x ）=x ，f i+1（x ）= f i (x−1x )(i ∈N +) ．（1）求f 3（x ），f 4（x ）的解析式；（2）若g （x ）为定义在M 上的函数，且 g (x )+g (x−1x )=1+x ．① 求g （x ）的解析式；② 若方程（x-1）•g （x ）=mx 有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过函数的递推关系式，逐步求解即可．（2） ① 利用（1）中的结论，用 x−1x 替换x 两次，分别得到 { g (x−1x )+g (11−x )=1+x 1−x ①g (11−x )+g (x )=1+11−x ②g (x )+g (x−1x)=1+x③ 然后求解函数f （x ）的解析式．② 即方程 x 3−x 2−12x 2=m 在M 上有唯一个实根，构造函数 ℎ(x )=12(x −1x 2−1) ，通过当x ＞0且x≠1时，h （x ）单调递增，当x ＜0求出函数的最大值，然后求解m 的范围．【解答】：解：（1）M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n （x ）（n=1，2，…）是定义在M 上的一系列函数，满足：f 1（x ）=x ，f i+1（x ）= f i (x−1x )(i ∈N +) ． f 2（x ）=f 1（ x−1x ）= x−1x． f 3（x ）=f 2（ x−1x ）= x−1x −1x−1x= 11−x ， f 4（x ）=f 3（x−1x ）= 11−x−1x =x ， ∴ f 3(x )=11−x ，f 4(x )=x ．（2） ① 利用（1）中的结论，用x−1x 替换x 两次，分别得到 { g (x−1x )+g (11−x )=1+x 1−x ①g (11−x )+g (x )=1+11−x ②g (x )+g (x−1x)=1+x③ 消去 g (x−1x )，g (11−x ) ，可得 g (x )=x 3−x 2−12x (x−1)， ② 即方程 x 3−x 2−12x 2=m 在M 上有唯一个实根，设函数 ℎ(x )=12(x −1x 2−1) ，当x ＞0且x≠1时，h （x ）单调递增，当x ＜0时， y =x −1x 2=−(−x +1x 2)=−(−12x −12x +1x 2)≤−3√143 ，所以 ℎ(x )≤−32√143−12 ，结合图象可知m∈(−32√143−12，−1)∪(−1，+∞)．【点评】：本题考查函数与方程的应用，考查分类讨论思想的应用，数形结合，是难题．。

浙江省宁波效实中学高三数学上学期期中试卷(文)

宁波效实中学二○○八学年度第一学期高三数学（文科）期中试卷注意事项：1、本试卷共三大题，23小题，满分为100分．2、将选择题、填空题的答案写在答卷上．写在试卷上无效．3、不能使用计算器．一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1、设集合}31|{},23|{≤≤-∈=<<-∈=n Z n N m Z m M ，则=N M A ．}1,0{ B ．}1,0,1{- C ．}2,0,1{- D ． }2,1,0,1{-2、一个路口的信号灯，红灯亮的时间间隔为30秒，绿灯亮的时间间隔为40秒，如果一个人到达路口时，遇到红灯的概率为52，那么黄灯亮的时间间隔为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3、在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -的值为 A ．42 B ．45 C ．48 D ．51 4、若01b a <<<，则A ．222ba<< B ．1122log log 0b a << C ．21ab b << D ．21a ab <<5、已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则A ．a b c << B.b a c << C.c b a << D.c a b <<6、若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 7、若函数2()f x x x =+，则数列1{}()()n N f n *∈的前n 项和是 A ．1n n + B ．21n n ++ C ．1n n - D ．1n n +8、今年“3．15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收．．的问卷数依次成等差数列，共回收．．1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取．．容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取．．的问卷份数是 A ．45份 B ．50份 C ．60份 D ．65份9、已知命题:p 若62>-<m m ，或，则32+++=m mx x y 有两个不同的零点；命题:q 若()()1=-x f x f ，则函数()x f y =是偶函数，则下列命题中为真命题的是A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝10、已知二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，则2211a ca c +++的最大值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（本题共7小题,每小题4分，共28分）11、()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-= ▲ . 12、复数=-+ii 1)1(2▲ . 13、将函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21，则所得图象的函数解析式是 ▲ . 14、在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2co s ▲ . 15、不等式252(1)x x +≥-的解集是 ▲ .16、 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……根据以上规律，数阵中第(3)n n ≥行的从左至右的第3个数是 ▲ .17、已知函数()(1)1f x a a =≠-. （1）若0>a ,则()f x 的定义域是 ▲ ；(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .宁波效实中学二○○八学年度第一学期高三数学（文科）期中答卷班级姓名学号一、二、填空题：（本题共7小题,每小题4分，共28分）11、 12、 13、 14、15、 16、 17、三、解答题：（本大题共6小题，共42分。

2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)

2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．167．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（） A ．1B ．3C ．6D ．99．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km10．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【高三】浙江省效实中学届高三上学期期中考试数学文

【高三】浙江省效实中学届高三上学期期中考试数学文【高三】浙江省效实中学届高三上学期期中考试数学文试卷说明：高三数学（文科）表明：本试卷分第ⅰ卷(选择题)和第ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分后．恳请在答题卷内按建议答题第ⅰ卷（选择题共30分后）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分后，共30分后．在每小题得出的四个选项中只有一项就是合乎题目建议的．1.未知,函数的定义域为子集,则（）a．b．c．d．2.未知那么等同于( )ab．c.d.3．未知就是两条相同的直线，就是两个相同的平面．在以下条件中，可以得出结论的就是()a．b．c．d．4．，那么“”就是“”的（）a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充份也不必要条件5．的前项和为.若就是的等比中项,,则等同于（）a．b．c．d．6．未知底面为正方形的四棱锥，其一条两端棱旋转轴底面，那么该四棱锥的三视图可能将就是以下各图中的（）a．b.c.d.7.△abc的内角a，b，c面元的边分别为a，b，c.若b＝2a，a＝1，b＝，则c＝( )a．b．c．d．8．未知a，b就是单位向量，a?b＝0.若向量c满足用户c－a－b＝1，则c的最值为( )a．b．c．d．9.三棱柱的底面就是边长为1的正三角形，低，在上投一点，设立与底面阿芒塔的二面角为，与底面阿芒塔的二面角为，则的最小值就是()a．b．c．d．10．，则函数（）的零点个数不可能将（）a．b．c．d．第ⅱ卷（非选择题共70分后）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分后，共21分后．11.测量地震的里氏级别就是地震强度（即为地震释放出来的能量）的常用对数.2021年汶川大地震的级别就是里氏8级，1960年智利大地震的强度就是汶川大地震的强度的8倍，则智利大地震的里氏级别就是▲级.（挑）12.复数满足用户（为虚数单位），则▲.13.正项等比数列=就是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则▲．和的图象的对称轴完全相同，则的值就是▲．在直角中，，未知，两条直角边分别为，斜边和斜边上的高分别为，则的值就是．与函数的图像切线于点，且，为座标原点，为图像的极值点，与轴处设点，过切点作轴的垂线，像距为，则等同于▲．三、答疑题：本大题共5小题，共49分后．求解应允写下文字说明，证明过程或编程语言步骤．18.的内角的对边分别为，未知.（ⅰ）谋；（ⅱ）若，谋19.未知就是正整数，抛物线过点，并且与轴存有两个相同的交点.（ⅰ）谋的最小值；（ⅱ）澄清：此抛物线的最低点的纵坐标不少于20.未知数列，，，．（ⅰ）澄清：为等比数列，ZR19出通项公式；（ⅱ）记数列的前项和为，且，谋．21.如图所示，在直角梯形中，就是的中点，，，，．梯形（及其内部）拖所在的直线转动一周，构成一个几何体．（ⅰ）求该几何体的体积；（ⅱ）设立直角梯形拖底边所在的直线转动角（）至.①当时，谋二面角的正弦值大小；②与否存有，使若存有，求角的值，若不存有，恳请表明理由．22.未知函数（ⅰ）若，求函数的单调区间；（ⅱ）若，且对任一，恒设立，谋实数的值域范围.学年第一学期高三数学（文）期中答案一、选择题bcdbccbaca二、填空题11.8.912.13.914.15.16.17.三、答疑题18.（1）；（2），即为Champsaur：（舍弃-3），19.（1）由（2）顶点的纵坐标在上单调递增，所以时，20.（1）而令，可以得；再而令，得就是等比数列.（2）由，得时，，也适宜，故21.（1）；（2）①挑bc，de的中点分别为f，g，转动后存有，，就是所求二面角的平面角，求出②连，可以证，中，若，则，从而Champsaur，矛盾，故不存有.22.(1)当时，，由得，由得的单调递减区间为，单调递增区间为(2)似乎就是偶函数，于是对任一恒设立等价于对任一恒设立由得当时，此时在上以增函数，故，合乎题意当时，，列表分析：单调递增极小值单调递减由此可以得，，，综合可以得俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图浙江省效实中学届高三上学期期中考先行数学文。

2020-2021学年宁波市十校高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年宁波市十校高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集为实数集R，M={x|x≤1+√2,x∈R}，N={1,2，3，4}，则C R M∩N=()A. {4}B. {3,4}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4}2.复数z=11+i=()A. −12+12i B. −12−12i C. 12+12i D. 12−12i3.设x，y满足约束条件{3x−y−2≤0x−y≥0x≥0,y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4，则a+b的值为()A. 4B. 2C. 14D. 04.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为…()A. π+12B. π+18C. 9π+42D. 36π+185.mn<0是方程x2m +y2n=1表示实轴在x轴上的双曲线的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)的大致图象是()A. B. C. D.7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，则直线CD1与平面A1C1FE所成的角的正弦值大小是()A. √155B. √1515C. √33D. √105 8. 如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F 1，F 2，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=60°，设它们的离心率分别为e 1，e 2，则(e 1⋅e 2)min =( )A. 1B. √32C. 2D. √64 9. f(x)是定义在R 上的竒函数，且满足f(l −x)=f(l +x)，又当x ∈〔0，1)时，f(x)=2x −1，则f(log 126)的值等于( ) A. 12 B. 56 C. −12 D. −56 10. 如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，AB 是其中一个小正方形的一条边，P i (i =1,2，3，4，5，6，7)是小正方形其余的顶点，则集合{x|x =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i =1,2，3，4，5，6，7}中元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知函数f(x)={log a x,(x ≥1)(2−a)x−a 2,(x<1)是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是______ ． 12. 已知当x =3时，代数式4x +a x (x >0,a >0)取得最小值，则a = ______ ．13. 已知直线C 1：{x =−1+t y =−1+at(t 为参数)与圆C 2：ρ=2交于A 、B 两点，当|AB|最小时a = ______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其相邻对称轴之间的距离为2，则φ= (1) ；ω= (2) ．15. 若(x −a x 2)6展开式中x 3项的系数为−12，则a = (1) ；常数项是 (2) ．16. 已知等比数列{a n }，等差数列{b n }，T n 是数列{b n }的前n 项和．若a 3⋅a 11=4a 7，且b 7=a 7，则a 7= (1) ，T 13= (2) ．17.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小相同的红球、白球若干个，A盒子有m个红球与10−m个白球，B盒中有10−m个红球与m个白球(0<m<10)，若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D(ξ)最大值，此时m=．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，已知A=30°，C=45°，a=20，求B及b、c的值．19.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=1AD=1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．2(1)求证：GF⊥PA；(2)若PA=PD=√2，是否存在点G，使得直线PE与平面BEGF所成角的正弦值为√10，若存在，5求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a(S n−a n+1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21.一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．(1)若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；(2)若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．22.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且PA=r(0<r<√3).记点P的轨迹的长度为f(r).求关于r的方程f(r)=k的解的个数的所有可能的值．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：先根据全集R 和集合M 求出集合M 的补集，然后根据集合M 的补集和集合N 求出两集合的交集即可．由集合M ={x|x ≤1+√2,x ∈R}，全集为实数R ，得到C R M ={x|x >1+√2}，又集合N ={1,2，3，4}，则C R M ∩N ={3,4}．故选B2.答案：D解析：解：z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=1−i 2=12−12i ．故选：D ．利用复数的除法运算法则求解即可．本题考查了复数的除法运算，属于基础题． 3.答案：A解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z =ax +by(a >0,b >0)得y =−a b x +z b ，则目标函数对应直线的斜率−a b <0，平移直线y =−a b x +z b ，由图象可知当直线y =−a b x +z b ，经过点B 时，直线y =−a b x +z b 的截距最大，此时z 最大．由{3x −y −2=0x −y =0，解得{x =1y =1，即B(1,1)，此时z 的最大值为z =a +b =4，故选：A ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可确定z 取最大值的条件，然后利用基本不等式进行求解．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．。

宁波效实中学数学高三上期中知识点(含答案解析)

一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．下列函数中，y 的最小值为4的是（）A ．4y xx=+B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或54．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（） A ．10B ．120C ．130D ．1407．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（） A ．134 B ．135C ．136D ．13712．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（）A ．()8,10B．(C．()D．)13．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 415．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（）A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 18．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______．19．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．20．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________21．设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．22．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 24．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．25．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题26．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 27．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .28．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 29．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值30．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发17．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可18．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的19．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+20．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属21．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用22．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a24．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-625．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．C解析：C 【解析】【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =，但由三角函数的值域可知sin 1x ≤；选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =，即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4，故选C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-，由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >，所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．4．C解析：C 【解析】【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．A解析：A 【解析】【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.6．B解析：B 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =21n S =+-1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.7．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=；考点：累加法求数列通项公式8．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.9．D解析：D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)22234S b a c =+-，得13sin 2cos 24ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．B解析：B 【解析】【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.12．B解析：B 【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围．【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.13．C 解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.14．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，本题选择D 选项.15．B解析：B 【解析】【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=，故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发解析：20462047-【解析】【分析】对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律，利用()()112121n n nn a b ++=--，求出10S .【详解】由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律，利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，，，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.17．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解．详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==．点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．18．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的解析：200201【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭，所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=，故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．20．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC 中，2a b c +=，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号，由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.21．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．22．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】 1112222n n nn b b b H n-++++==,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅,故2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35．【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.23．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在()33+∞，上是单调递增，在()033，上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．24．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 25．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将解析：2或1-. 【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.三、解答题 26．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合（2）()11111n b n n n n ==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.27．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 28．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.29．a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值【解析】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值．考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．30．（1）72（2）3a >- 【解析】【分析】（1）由题得()122f x x x =++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-.【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020-2021学年浙江省宁波市十校高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．13．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．114．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．19．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．210．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是|||，振幅是|||．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是|||，所有项的系数和为|||．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织|||尺，八日共织|||尺．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是||||||||．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则|．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是||||||||||||．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为|||||||||||||||；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝|||||||||||||||．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}【分析】求出A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜7，2，3，3}则（∁R A）∩B＝{x|x≤2}∩{1，3，3，4}＝{5，故选：C．【点评】本题考查了集合的交集，补集的运算，是一道基础题．2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．1【分析】化简代数式，求出实部和虚部，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1+ai）（3﹣i）＝7﹣i+3ai+a＝（a+3）+（2a﹣1）i，由题意得：a+3+8a﹣1＝0，解得：a＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．11【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，z有最大值为7．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是一个圆锥，去掉；几何体的体积为：+＝．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据∥，求出m的值，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若∥，则m（2m+1）＝6或m＝8，由m＝﹣或m＝7推不出m＝1，故“m＝1”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及向量的平行问题，是一道基础题．6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，由奇函数的性质排除CD，由函数的解析式分析在区间（0，1）上，f（x）＜0，排除A，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，解可得x≠±1，f（﹣x）＝＝﹣，函数f（x）为奇函数，在区间（0，5）上，e x﹣e﹣x＞0，ln|x|＜0，排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β【分析】在图中作出α、β、γ，分别求得其正切值即可求解．【解答】解：如图，设正方体棱长为2，过A作AM⊥直线GF于M，连接EM，tan＝．过H作HN⊥CD于N，连接NG，tanβ＝，连接HD，在△HDG中，HG＝，则tan，∴α＝β＜γ故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的比较，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、转化思想，是中档题．8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．1【分析】根据圆的性质可得PF1⊥PF2，设|QF2|＝m，利用椭圆的定义表示出|PF2|＝2a﹣4m，|QF1|＝2a﹣m，|PQ|＝2a﹣3m，根据勾股定理可得a＝3m，求出tan∠PF2F1，即可求出直线PF2的斜率．【解答】解：连接PF1、QF1，∵点P是以F3F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴PF1⊥PF3，设|QF2|＝m，∵|PF1|＝6|QF2|，∴|PF1|＝3m，∴|PF2|＝2a﹣|PF4|＝2a﹣4m，|QF6|＝2a﹣|QF2|＝7a﹣m，∴|PQ|＝2a﹣4m+m＝2a﹣3m，在Rt△F1PF4中，∵|QF2|2＝|PF6|2+|PQ|2，∴（7a﹣m）2＝（4m）4+（2a﹣3m）8，解得a＝3m，∴|PF2|＝8m在Rt△F1PQ中，∴tan∠PF2F8＝＝＝2，∴直线PF5的斜率为﹣2，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义和圆的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】可令x＝0，得到ab≥0，分别讨论a≥0和a＜0，得到a，b的关系式，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值．【解答】解：当x＝0时，不等式即为ab（a2+4）≥0，可得ab≥0，当a≥6时，b≥02﹣7）≥0恒成立，显然b＝a2+6；当a＜0时，b≤05﹣1）≥0恒成立，显然﹣a＝a7+1，该方程无实数解．综上可得a≥0，b＝a6+1，则a+2b＝6a2+a+2≥4，a＝0时取得等号，所以a+2b的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．10．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】求出cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r sinβ），r＞0，求出cosβ≤cos（α﹣β），得到2β＝α+2kπ（k∈Z），求出≤3cos（α﹣β）＝3cosβ≤，求出其最大值即可．【解答】解：由题意，可设，0），，sinα），则＝（3+2cosα，由|+3，可得（1+6cosα）2+4sin8α≤4，整理得cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r＞0，由•≤•，可得（r cosβ，0）≤（r cosβ，sinα），即r cosβ≤r cosβcosα+r sinβsinα，故cosβ≤cos（α﹣β），当cosβ＝cos（α﹣β）时，β＝α﹣β+2kπ（k∈Z）或β＝﹣α+β+8kπ（k∈Z），即2β＝α+2kπ（k∈Z）或α＝5kπ（k∈Z），∵cosα≤﹣，∴α＝6kπ（k∈Z）不合题意，故cosβ＝cos（α﹣β）时，2β＝α+2kπ（k∈Z），而＝＝2cosβ+cos（α﹣β），∵cosβ≤cos（α﹣β），∴≤3cos（α﹣β），当4β＝α+2kπ（k∈Z）时，“＝”成立，此时3cos（α﹣β）＝5cos（β﹣2kπ）＝3cosβ，∵cosα＝cos（5β﹣2kπ）＝cos2β＝6cos2β﹣1≤﹣，故cos2β≤，即﹣，故≤5cos（α﹣β）＝3cosβ≤，故选：D．【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题以及不等式的性质，考查转化思想，是一道综合题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是4π，振幅是3．【分析】根据周期定义以及振幅的定义即可求解．【解答】解：由周期定义可得函数的周期为T＝＝4π，再由振幅的定义可得函数的振幅为3，故答案为：7π，3．【点评】本题考查了三角函数的周期性以及振幅的定义，属于基础题．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是60，所有项的系数和为1．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可得到常数项，通过x＝1求解二项式所有项的系数和．【解答】解：由二项式展开式的通项公式T r+1＝＝（﹣4）r ，可得r＝4，即展开式的中第5项是常数项，常数项为：32＝60．当x＝1时，所有项的系数和为：（2﹣7）6＝1．故答案为：60；5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织15尺，八日共织80尺．【分析】该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝2，由此能求出结果．【解答】解：古有女子善织布，初日织三尺，第四日织九尺，∴该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝7，∴第七日织a7＝3+6×2＝15尺，八日共织S8＝5×3+＝80尺．故答案为：15，80．【点评】本题考查等差数列的第7项和前8项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，e3]．【分析】问题转化为a≤在（2，5]恒成立，令g（x）＝，x∈（2，5]，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：若不等式f（x）≥ax（x+1）对任意x∈[2，3]恒成立，则a（x﹣2）≤e x在x∈[2，4]恒成立，x＝2时，不等式恒成立，x∈（2，4]时在（2，令g（x）＝，x∈（2，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＞7，解得：x＜3，故g（x）在（2，7）递减，+5]递增，故g（x）min＝g（3）＝e3，故a≤e4，故答案为：（﹣∞，e3]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则4．【分析】原式转化为+，再利用乘“1”法即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞﹣2，∴a+b+8＝4，∴＝+，＝a++（b+7）+，＝+，＝（+）（a+b+3），＝1+1++，≥2+7＝5，当且仅当＝时，即a＝8，故最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了不等式的基本应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是．【分析】设圆的切线为P A、PB，得∠APB≥90°，再求得PC的取值范围，利用点M、N到点C的距离，求得MN的最大值．【解答】解：由题意，圆心到直线l：y＝﹣2x+1的距离为d＝＝＞2（半径），故直线l和圆相离；从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，如图，B，使得P A⊥PB sin45°，∴∴在直线l上，当MN最大时、N到点C的距离等于2；∴MN的长度的最大值为2＝2．故答案为：6．【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系应用问题，考查了转化思想，属于中档题．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝．【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．【解答】解：红球首先被全部取出分两种情况，第一种情况：3球结束即红红红的概率P1＝××＝，第二种情况：4球结束即红红黄红的概率P2＝×××C35＝，则红球首先被全部取完的概率为P＝P1+P6＝；ξ的可以取值为0，8，2，其分布列为P（ξ＝0）＝+＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝7）﹣P（ξ＝1）＝1﹣＝，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 3 P   Eξ＝0×＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求cos B 的值，结合∠B为三角形内角，可求B的值．（2）法一：记AC边上的高为h b．由三角形的面积公式可求得，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求h b＝2sin（2A﹣）+，由已知可求A的范围，利用正弦函数的性质即可求解其最大值；法二：记AC边上的高为h b，由三角形的面积公式可得，由余弦定理，基本不等式即可求解其最大值．【解答】解：（1）根据正弦定理可将已知条件化简为，化简整理，得．由余弦定理，得，因为∠B为三角形内角，故．（2）法一：记AC边上的高为h b．由，可得，又因为，所以，在三角形ABC中，，故．当时，．法二：记AC边上的高为h b．由，可得，由余弦定理b2＝a2+c2﹣4ac cos B，可得，从而有，即．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．【分析】（1）记AE的中点为F，连接MF、DF，证明AE⊥DF，推出AB⊥面ADE，然后证明MF⊥AE，得到AE⊥面DFM，即可证明AE⊥DM．（2）通过建系，求出面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线DM与平面BCE所成角的正弦值即可．【解答】（1）证明：记AE的中点为F，连接MF．∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．∵∠BAD＝∠BAE＝90°，∴AB⊥AD，AB∩AE＝A，∴AB⊥面ADE．∵M为EB的中点，∴MF∥AB，∴MF⊥面ADE，AE⊂平面ABE，又AE⊥DF，FM∩DM＝M，∴AE⊥面DFM，DM⊂平面DFM，∴AE⊥DM．（2）解：∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，∴DC⊥面AED，故可如右图形式以建系．不妨设DC＝4，则有，，，设面BCE的一个法向量＝（x，y，则，即，令x＝2，z＝，可得面BCE的一个法向量，则＝，所以直线DM与平面BCE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．【分析】（1）直接根据通项公式和前n项和之间的关系即可求解，（2）对其通项公式进行放缩，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可知，当n＝1时，a1＝3a1﹣1⇒a4＝1．当n≥2时，由可得a n＝3a n﹣2a n﹣1⇒a n＝8•a n﹣1．所以．（2）由（1）可得，法一：，所以＝．法二：，所以＝．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系求解出通项公式，是解决本题的关键．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．【分析】（1）利用抛物线方程求出p，然后写出焦点坐标．（2）法一：设点P（0，a），则切线PQ的方程可设为y＝kx+a，联立方程可得k2x2+（2ak﹣4）x+a2＝0，由△＝0可得ak＝1，求出切点Q坐标，设点M（x1，y1），N （x2，y2），求出切线QM：（x﹣4）（x1﹣4）+2yy1＝4，切线QN：（x﹣4）（x2﹣4）+2yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN得到直线的斜率，通过k MN＝k PQ，求解a，然后求解三角形的面积．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy0＝2（x+x0），求出Q坐标，记线段C2Q和线段MN的焦点为E，然后转化求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意可得p＝2，故抛物线C1的方程为y8＝4x，焦点坐标为（1．（2）法一：设点P（2，a），联立方程可得k3x2+（2ak﹣5）x+a2＝0，由△＝3可得ak＝1，且切点Q坐标为，设点M（x1，y5），N（x2，y2），则切线QM：（x﹣8）（x1﹣4）+8yy1＝4，切线QN：（x﹣6）（x2﹣4）+8yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN：（x﹣4）（a2﹣4）+4ay＝4，故，由k MN＝k PQ，可得，因为两种情况中的P点关于x轴对称，所以求出的面积相同情况，联立方程，可得，故，Q（2，2）y+2＝6，∴d＝＝，从而有|MN|＝＝，所以．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy2＝2（x+x0），显然x4＝4不满足要求；因为C2Q⊥MN，MN∥PQ3Q⊥PQ，当x0≠4时，，所以Q坐标为，记线段C5Q和线段MN的交点为E，从而有|C2Q|＝，|ME|＝，S△PMN＝＝．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；（ii）令t＝2a＞e+1，令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（1），x＞0当x＞1时，f'（x）＞2；当0＜x＜1时，f（x）单调递减．所以f（x）的单调递增区间为（3，+∞），1）（2）（|i）由（1）f（x）min＝f（1）＝e+1﹣6a，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，则f（1）＝e+3﹣2a＜0，解得：a＞（|ii）不妨设x1＜x2，因为．令，．令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，则h'（t）＝e t•t﹣5，h''（t）＝e t•（t+1）＞0，所以h'（t）单调递增，又因为h'（e+8）＞0，所以h（t）单调递增．因为h（e+1）＝e e+2﹣e﹣1＞0，所以g'（t）＞5．又因为g（e+1）＞g（e）＝e e﹣1﹣5＞0，所以f（2a）＞6，x2＜2a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由lnx≤x﹣5可知令，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的怎么，考查转化思想，是一道难题．。

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．
故选：．
【点睛】
本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算，.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
2．D
【分析】
利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义得解.
【详解】
解：，
由复数的几何意义知在复平面内的对应点为，该点位于第四象限.
故选：．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的几何意义.
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
4．D
【解析】
根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.
5．C
【分析】
化简得，利用是上的奇函数得函数是周期函数可解.
【详解】
又是上的奇函数
【详解】
函数和点
因为
所以点没有在函数的图像上
设切点坐标为 ,则
则
由导数的几何意义可知,过切点的斜率为
过于切点的斜率表示为
所以 ,化简可得
所以解得或
则切点有两个,因而有两条切线方程
故选:B
【点睛】
本题考查了利用导数求过一点的切线方程,注意需先判断点是否在曲线上,属于基础题.
8．B
【分析】
根据余弦的二倍角公式先利用求得 .再由诱导公式求出 ,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得 .根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可.
A．4个B．6个C．8个D．12个
10．已知，，， (m， ).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设，，则 ______.
12．设函数的零点在区间 ( )上，则 ______.
13．在中，已知，，，点P满足，其中，的最小值为______.
5．已知定义在上的奇函数满足，且，则（）
A． B．0C．2D．2018
6．已知中，， .若，相交于点P，则（）
A． B． C． D．
7．已知函数和点，则过点与该函数图像相切的直线条数为（）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，，则（）
A． B． C． D．
9．设，则函数的零点个数最多有（）
【详解】
作 , , 是中点, 是中点
又，是中点, 是中点
.
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算.
平面向量的线性运算利用图形将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
7．B
【分析】
先判断出点没有在函数上.因而设出切点坐标,根据切点在函数上,及过切点的斜率为该点的导数,即可求得切点个数,即为切线的数量.
浙江省宁波市效实中学【最新】高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【详解】
因为
由余弦二倍角公式可得
而
所以
由同角三角函数关系式可得
因为
则 ,而
所以
则
所以
,即
又因为 ,所以
故
所以
故选:B
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.
9．A
【分析】
函数的零点等价于方程的根，即，画出与图象可得.
∴函数的周期
又 , ，
故选：．
【点睛】
本题考查奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
6．B
【分析】
画图，作 ,利用平面几何知识得是中点，再用向量三角形法则转换得解.
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
14．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．
三、双空题
15．已知平面向量， .若，则 ______；若，则 ______.
16．函数图像如图所示，其中，，， ______， ______.
17．如图，在中，，，点D在边上，，，则 ______， ______.
（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；
(2)对分子、分母分别进行乘法运算；
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．
3．D
【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个不同的极值点，，求的取值范围.
22．设，函数有两个极值点， (e为自然对数的底数).
（1）求a的取值范围；
（2）证明： .
参考答案
1．B
【分析】
集合是一元二次不等式解的集合，求出解集，与整数集合的交集运算求出公共部分.
【详解】
解：集合，是整数集合，
【详解】
数形结合法：函数的零点等价于方程的根，即，画出与图象可得.
由图可得：则函数零点最多有Βιβλιοθήκη 个.故选：A【点睛】
本题考查函数零点个数.
判断函数零点个数及分布区间的方法：
（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；
（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域.
19．在中，角A，B，C所对的边分比为a，b，c，满足 .
（1）求角C的大小；
（2）若，求的最大值.
20．已知函数 ( ).
（1）若，求的最小值；
（2）若不等式对上恒成立，求实数a的取值范围.
21．已知函数 (其中 ).