浙江高考历年真题之三角函数大题(理科)
高考十(理科)分项版 专题04 三角函数与解三角形(浙江专版)(解析版)
一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.理4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位答案：Ｄ解析：sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．考点：三角函数化简,图像平移.2. 【2013年.浙江卷.理4】已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 【2013年.浙江卷.理6】已知α∈R ，sin α＋2cos α10tan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】：C【解析】：由sin α＋2cos α＝102得，sin α＝102－2cos α.① 把①式代入sin 2α＋cos 2α＝1中可解出cos α＝1010或31010，当cos α＝1010时，sin α＝31010； 当cos α＝310时，sin α＝10-. ∴tan α＝3或tan α＝13-，∴tan 2α＝34-. 4. 【2012年.浙江卷.理4】把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )5. 【2011年.浙江卷.理6】若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69-02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935. 6. 【2010年.浙江卷.理9】设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4 【答案】A【解析】：根据函数零点的概念知，()x f 在某个区间上无零点，即方程转()4sin(21)f x x x =+-=0在这个区间上无解，设()g x =()4sin 21x +，()h x =x ，即这两个函数图像在这个区间上无交点，作出()g x =()4sin 21x +，()h x =x 图像，由图像知，选A.7. 【2010年.浙江卷.理11】函数2()sin(2)22sin 4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .8. 【2009年.浙江卷.理8】已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )答案：D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．9. 【2008年.浙江卷.理5】在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）410. 【2008年.浙江卷.理13】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos3【解析】：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。
高考真题——理科数学(浙江卷)解析版(1) Word版含答案
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的使用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法；6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解水平；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•。
高考第二轮复习数学浙江理科专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．(2012·天津高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．(2012·湖北高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·课标全国高考，理17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .6．(2012·浙江高考，理18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】(2012·山东淄博一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba . 变式训练1 (2012·山东济宁模拟，17)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f ⎝⎛⎭⎫3π2的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会 【例2】(2012·山东烟台适用性测试，理17)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域． 规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·湖北武汉4月调研，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积． 热点三 正、余弦定理的实际应用 【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等． 【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝( )． A ．35 B ．－35 C ．65 D ．－652．在△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·浙江台州中学二模，理2)若sin 2α＝2425，0＜α＜π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )． A ．15 B ．－15C ．75D ．±154．(2012·江西南昌二模，5)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )． A ．－233 B ．±233 C ．－1 D ．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2236．已知sin x ＝5－12，则sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝______. 7．(2012·浙江部分重点中学联考，理18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量p ＝⎝⎛⎭⎫1－sin A ，127，q ＝(cos 2A,2sin A )，且p ∥q . (1)求sin A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.2．D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C，∴sin C sin B ＝c b ， ∴sin 2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.4．2π3 解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 5．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.6．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53，又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ， 则S ＝12ac sin B ＝52.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， ∴函数f (x )的值域为[－1,3]． (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫32π＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3. (2)f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎤13(3β＋2π)－π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B .在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋32sin 2B －12cos 2B＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，2. 【变式训练2】解：(1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314，∴cos C ＝cos [(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)由(1)，得sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得 55314＝c 437，∴c ＝8.故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°. 又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α. 因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin(45°－α)＝100sin α⎝⎛⎭⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立． 所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)． 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1) km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2) km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1) km.【变式训练3】m cos αcos β＞n sin(α－β)解析：∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ， 所以∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β).要使船没有触礁危险，需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n ，所以α与β满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由3cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ， 可得sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－35. 2．C 解析：由题意0＜A ＜π，0＜B ＜π，tan A tan B ＞0，则A ，B 两角为锐角， 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＞0，则A ＋B 为锐角，则角C 为钝角，故选C.3．C 解析：因为0＜α＜π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝75. 4．C 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 5．A 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，即cos B ＝13.6．2－5 解析：sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5－122－1＝3－5－1＝2－ 5. 7．解：(1)∵p ∥q ，∴127cos 2A ＝(1－sin A )·2sin A ， ∴6(1－2sin 2A )＝7sin A (1－sin A ),5sin 2A ＋7sin A －6＝0.∴sin A ＝35(sin A ＝－2舍)．(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝2，得c ＝5，又cos A ＝±1－sin 2A ＝±45，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A ，当cos A ＝45时，a 2＝13，a ＝13；当cos A ＝－45时，a 2＝45，a ＝3 5.8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
(完整版)近五年浙江三角函数高考真题
近五年浙江三角函数高考真题一、（2013理）4．已知函数()cos()(0,0,R)f x A x A ωφωφ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πφ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知R,sin 2cos ααα∈+=tan2α= A ．43B ．34 C ．34-D ．43-16．在△ABC 中，90C ∠=，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠= ．（2013文）3．（与理4姐妹题）若R α∈，则“0α=”是“sin cos αα<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin cos f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，218.在锐角△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a B =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若6,8a b c =+=，求△ABC 的面积.二、（2012理）4.把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是18.（14分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知C B A cos 5sin ,32cos ==． （1）求tan C 的值；（2）若2a =ABC 的面积．（2012文） 6．（同理4）18．（ 14分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值．三、（2011理） 6．若0,022ππαβ<<-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-=，则cos()2βα+= A 3B ．3C 53D ．618.（14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin sin (R)A C pB p +=∈，且214ac b =.（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.（2011文）5．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若B b A a sin cos =，则=+B A A 2cos cos sin（A ）21-（B ）21 （C ）1- （D ）118.（14分）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值.三、（2010理） 4．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件9．设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4 11.函数2()sin(2)224f x x x π=--的最小正周期是__________________ .18. (l4分)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos24C =-.(I)求sin C 的值；(Ⅱ)当2,2sin sin a A C ==时，求b 及c 的长． （2010文） 6．（同理4）12.（与理11姐妹题）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是18.（本题满分）在△ABC ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+-. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.三、（2009理）8．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．18．（14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3=⋅AC AB ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． （2009文） 10．（同理8） 18．（同理18）。
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之三角函数大题(学生版)
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之三角函数大题（学生版）1、（2005年）已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ)求f (256π)的值；(Ⅱ)设α∈(0，π)，f (2α)＝41－32，求sin α的值．2、（2006年）如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）。
(Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。
3、（2007年）已知ABC △21+，且sin sin 2A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．4、（2009年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．5、（2010年）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.412cos -=C （I ）求C sin 的值；（II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.6、（2011年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7、（2012年）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
已知cosA=23，sin 5B C =。
（Ⅰ）求tan C 的值；(Ⅱ)若2a =，求△ABC 的面积。
8、（2014年）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小；（II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.9、（2015年）在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知A =4π,b 2-a 2=21c 2（I ）求tan C 的值；（II ）若△ABC 的面积为3,求b 的值10、（2016年）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知2cos .b c a B +=（1）证明：2;A B =（2）若ABC △的面积2,4a S =求出角A 的大小.11、(2017年)已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23sin x cos x （x ∈R ）．（1）求f （2π3）的值．（2）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．12、(2018年)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值13、(2019年)设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．。
最新-2018年高考数学试题分项版解析专题2018 三角函数
2018年高考试题分项版解析数学（理科）专题18 三角函数（教师版）一、选择题:1．(2018年高考浙江卷理科4)把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是2. (2018年高考山东卷理科7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35（B ）45（C （D ）34 【答案】D【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D.另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ， 而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D.3.(2018年高考辽宁卷理科7)已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 14.(2018年高考天津卷理科2)设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=c os(+)f x xϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件5.(2018年高考天津卷理科6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725（Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）24256．(2018年高考上海卷理科16)在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【考点定位】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.7.(2018年高考新课标全国卷理科9)已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理
1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
《三角函数》高考真题理科大题总结和答案解析
《三角函数》大题总结1.【2015高考新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.7.【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.9.【2015高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.10.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.11．【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．12.【2015高考北京，理15】已知函数2()cos 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．13.【2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2m ⎛= ，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．14.【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.《三角函数》大题答案1.【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．2.【答案】（1（23.【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+=)x j +（其中sinj j ==） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(-.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos()sin()sin()[1] 1.5mb j a j b j=-++++=--+=-4.【答案】（1）2；（2）3b=.又∵4Aπ=，1sin32bc A=，∴bc=，故3b=.5.【答案】（I）单调递增区间是(),44k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II）ABC∆【解析】（I）由题意知()1cos2sin2222xxf xπ⎛⎫++⎪⎝⎭=-sin21sin21sin2222x xx-=-=-由222,22k x k k Zππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Zππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Zππππ+≤≤+∈所以函数()f x的单调递增区间是(),44k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -，最小值为12-. 7.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos 626cos1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=，所以a =又由正弦定理得sin sinb BAC B a ∠===.由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-8.【答案】（1）最小正周期为p ，（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.9.【答案】（1）详见解析；（2.【解析】（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin A ===. 连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin B ===所以tan tan tan tan 2222A B C D+++ 22sin sin A B=+=10.【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.11.【答案】（I ）3π；（II【解析】（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，从而sin B ，又由a b >，知A B >，所以cos B故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ⎛⎫=+=B +=+= ⎪⎝⎭所以C ∆AB 的面积为1bcsinA 212.【答案】（1）2π，（2）1-- 【解析】 ：211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x取得最小值为：1--13.【答案】（1）1；（2）512x π=． 【解析】（1）∵2m ⎛=，()sin ,cos n x x =且m n⊥， ∴()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=⋅==-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14x π==； （2）由（1）依题知 sin 4cos sin 34x m n x m nπππ⎛⎫-⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭⋅⎛，∴ 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴ 46x ππ-=即512x π=． 14.【答案】（1）详见解析；（2）9]8.(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin A <<，因此21992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8.。
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浙江历年理科高考题之三角函数大题
（教师版）
1、（2005年）已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (
256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α
)＝413，求sin α的值．
解：(Ⅰ)
251253
sin
,cos 6262
ππ==，2252525253sin cos 6
666f π
πππ⎛⎫∴=-+= ⎪
⎝⎭
(Ⅱ) ()331
2sin 22
f x x x =
-， 31313sin 22
2242f ααα⎛⎫
∴=+-=-
⎪⎝⎭ 216sin 4sin 110αα--=，解得15
sin 8
α±=
()0,,sin 0απα∈∴>，故135
sin α+=
2、（2006年）如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2
π
)的图象与y 轴交于点（0，1）。
(Ⅰ)求ϕ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。
解：（I ）因为函数图像过点（0，1），所以1sin 2=ϕ，即2
1
sin =
ϕ
因为2
0π
ϕ≤
≤，所以6
π
ϕ=。
（II ）由函数)6π+π=x 2sin(y
及其图象，得)0,61(-M ，)2,31(P ，)0,6
5
(N
所以)2,21(--=PM
，)2,2
1
(-=PN ，从而
PN PM PN PM >=
<,cos =
17
15
，故1715arccos ,>=<PN PM 。
3、（2007年）已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=
．
（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数． 解：（I
）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=
，
BC AC +=，两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积
11sin sin 26BC AC C C =，得13
BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=
22()21
22
AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =． 4、（2009年）在ABC
∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25
A =，3A
B A
C ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积；
（II ）若6b c +=，求a 的值． 解：（Ⅰ）因为cos
22A =，所以23cos 2cos 125A A =-=，4sin 5
A =．
又由3AB
AC =·，得cos 3bc A =，所以5bc =． 因此1
sin 22
ABC S bc A =
=△． （Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc =．又6b c +=， 所以51b c ==，或15b c ==，．
由余弦定理，得2
22
2cos 20a b c bc A =+-=，所以a =
5、（2010年）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.4
1
2cos -=C （I ）求C sin 的值； （II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长. 解：（Ⅰ）因为2
1
cos 212sin 4
C C =-=-
，及0C π<<，所以sin C = （Ⅱ）当2,2sin sin a A C ==时，由正弦定理
sin sin a c
A C
=，得 4.c =
由2
1cos 22cos 1,
4
C C =-=-及0C π<<得cos C =
由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，得2
6120b b ±
-=
解得626b =
或，所以6,26
4 4.
b b
c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或
6、（2011年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈ 且2
14
ac b =
. （Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； (Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7、（2012年）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
已知cosA=2
3
，sin 5cos B C =。
（1）求tan C 的值； （2）若2a =
，求△ABC 的面积。
浙江历年理科高考题之三角函数大题
1、（2005年）已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (
256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2
α
)＝413，求sin α的值．
2、（2006年）如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2
π
)的图象与y 轴交于点（0，1）。
(Ⅰ)求ϕ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。
3、（2007年）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．
（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数．
4、（2009年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25
A =，3A
B A
C ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
5、（2010年）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.4
1
2cos -=C （I ）求C sin 的值； （II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.
6、（2011年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈ 且214
ac b =
. （Ⅰ）当5
,14
p b ==时，求,a c 的值； (Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7、（2012年）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
已知cosA=2
3
，sin B C =。
（Ⅰ）求tan C 的值；
(Ⅱ)若a =ABC 的面积。