特定条件下热传导方程的数值求解
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
热传导方程的求解及其应用
热传导方程的求解及其应用热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，是自然界中十分普遍的现象。
为了更好地理解和研究这一过程，我们需要借助数学模型来描述和求解热传导过程，其中最常用的数学模型就是热传导方程。
一、热传导方程的数学模型热传导方程是描述物质内部温度变化随时间和空间的变化而变化的偏微分方程。
它可以描述均质物质内部的热量传递，以及介质中的温度变化。
热传导方程的数学表示式如下：$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \nabla^2 u $$其中，$u$表示物质内部温度的分布，$t$表示时间，$\alpha$表示热扩散系数，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，表示温度分布的曲率。
二、热传导方程的求解方法热传导方程是一个偏微分方程，需要借助一定的数学方法才能求解。
下面简要介绍两种常见的求解方法：1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常见方法之一。
对于热传导方程，我们通常采用分离变量法将其转化为两个方程：$$ \frac{1}{\alpha}\frac{\partial u}{\partial t}= \nabla^2 u $$设$u(x,t)=f(x)g(t)$，代入上式得：$$ \frac{1}{\alpha}\frac{g'(t)}{g(t)}= \frac{f''(x)}{f(x)}=\lambda $$其中，$\lambda$为待定常数，$f(x)$和$g(t)$分别为$x$和$t$的函数。
将上述两个方程分别求解，可以得到形如下面的解：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_nexp(-\lambda_n\alphat)sin(\frac{n\pi x}{L}) $$其中，$\lambda_n$为常数，$L$为问题的区间长度。
2.有限差分法有限差分法是一种常见的数值求解方法，可以用来求解各种偏微分方程，包括热传导方程。
基于大数据的物理现象研究：热传导方程的数值求解
基于大数据的物理现象研究：热传导方程的数值求解CFD模拟仿真理论求解在科学研究和工程实践中，许多物理现象都可以用微分方程来描述。
其中，热传导方程是一个非常重要且基础的例子。
热传导方程是一个二阶线性偏微分方程，描述了热量在物体中的传递过程。
在现实世界中，许多问题都需要用到热传导方程，例如材料热性质分析、能源工程、生物医学等。
因此，研究热传导方程的数值解法具有重要意义。
近年来，随着计算机技术和大数据技术的发展，采用数值方法求解热传导方程已经成为一种常见手段。
数值方法可以将连续的物理过程离散化，将微分方程转化为差分方程，从而用计算机进行计算。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
在本篇文章中，我们将重点关注有限差分法在热传导方程中的应用。
有限差分法是一种将连续的空间离散化为有限个离散点的方法，通过在离散点上逼近微分方程，得到一组线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。
有限差分法具有简单、直观、易于编程等优点，因此在求解热传导方程时被广泛应用。
首先，我们考虑一维热传导方程的初边值问题：其中，u(x,t)表示在位置x和时间t时的温度，α表示热传导系数，g0(t)和g1(t)分别是边界上的温度函数，f(x)是初始温度分布。
针对上述问题，我们可以采用有限差分法进行数值求解。
具体步骤如下：1.将连续的空间离散化为有限个离散点，例如将区间[0,L]等分为N个小区间，小区间长度为Δx=L/N。
2.将微分方程转化为差分方程。
对于时间方向的导数，我们可以采用前向差分法；对于空间方向的导数，我们可以采用中心差分法。
因此，原微分方程可以转化为以下差分方程：其中，u表示在时间nΔt时在第i个小区间上的温度，Δt是时间步长。
1.初始条件和边界条件的离散化。
对于初始条件，我们可以将f(x)在每个小区间上进行线性插值；对于边界条件，我们可以直接将边界上的温度函数g0(t)和g1(t)赋值给边界上的节点。
2.通过求解线性方程组得到数值解。
热传导方程的建立、数值解法及应用
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的
Fourier定律：
热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两
u 侧的温度变化率 n 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所
以等式右边有个负号d.即q： k
2u y2 xix
ui, j1
2ui, j y2
ui, j1
O(y2 )
y jy
上式误差之所以为x2的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
u ui1, j =ui, j + x
xix
x
1 2!
2u x2
xix
x2 O(x2 )
y jy
y jy
同理：ui1, j =ui, j
uin, j,k (1 2rx
2ry
2rz ) rx (uin1, j,k
un i 1,
j,k
)
ry
(uin,
j 1,k
uin, j1,k ) rz (uin, j,k 1 uin, ) j,k 1
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。 • 第一种最简单，只要设定一个初始温度ui0, j ，之后的每一次迭代过程
热传导方程的数值 解法及应用
主讲人: 陈鹏
主要内容
1.热传导方程的建立 2.用有限差分法建立热差分模型 3.双层玻璃中的一维热传导 4.利用PDE工具箱设计面包烤盘 5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律
热传导方程热传导方程的导出及其定解条件
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
热传导问题解题
热传导问题解题热传导是物体间的热量传递过程。
无论是工业生产、能源利用还是日常生活中，都与热传导有关。
研究和解决热传导问题是一项具有重要意义的科学工作，对于提高能源利用效率、改善人们的生活质量具有重要作用。
本文将重点探讨热传导问题的解题方法和相关应用。
热传导问题是一个复杂的多物理场耦合问题，涉及到热传导、流体流动、辐射传热等多个方面的耦合作用。
为了解决这个问题，需要运用热传导方程和相应的边界条件来进行求解。
热传导方程是描述热传导过程的基本方程之一，它可以用来表达热量在物体内部传递的速率。
通常情况下，热传导方程可以写成以下形式：∂u/∂t = α∇²u其中，u表示温度场，t表示时间，α为热传导系数，∇²为拉普拉斯算子。
通过求解这个偏微分方程，我们可以得到物体内部的温度分布，从而了解热量如何在物体内部进行传递。
解决热传导问题的方法有多种，其中最常用的是数值求解方法。
数值求解方法可以将热传导方程离散化，然后通过数值计算的方式逼近实际解。
常用的数值求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将问题的区域划分为有限个小区域，然后在每个小区域内建立代表物体温度的方程，最终得到整个区域内温度的数值解。
在实际应用中，热传导问题的解题方法有很多。
例如，在工业生产中，可以利用热传导问题的解题方法优化生产线的布局，减少能源的消耗。
在建筑设计中，可以利用热传导问题的解题方法优化建筑的保温设计，提高建筑的能源利用效率。
在能源利用方面，可以利用热传导问题的解题方法，研究新型能源材料的热特性，从而提高能源材料的利用效率。
除了利用数值求解方法解决热传导问题外，还有一些其他的方法可以用来解决热传导问题。
例如，可以利用试验手段测量物体的温度分布，然后通过实验数据进行拟合，得到物体的热传导特性。
在实验室中，可以利用实验仪器来模拟热传导过程，从而研究热传导问题的相关性质。
总之，研究和解决热传导问题是一项非常重要的科学工作。
数值计算在热传导问题中的应用研究
数值计算在热传导问题中的应用研究随着科技的进步和计算机技术的发展，数值计算在各个领域的应用越来越广泛。
在热传导问题中，数值计算也扮演着重要的角色。
本文将对数值计算在热传导问题中的应用进行研究和探讨。
一、热传导问题简介热传导问题指的是在固体、液体或气体中，热量通过传导方式传输的过程。
在实际应用中，我们常常需要解决热传导问题，比如热传导材料的设计、热交换设备的优化等。
数值计算能够提供一种有效的方法来解决这些问题。
二、热传导方程热传导问题可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度随时间和空间的变化关系。
在数值计算中，我们需要将热传导方程离散化为差分方程，从而求解数值解。
三、数值计算方法在热传导问题中，常用的数值计算方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法中，有限差分法是最常用且易于实现的一种方法。
它将求解域离散化为有限个节点，并通过差分近似来计算节点上的温度值。
四、数值计算的步骤数值计算热传导问题的一般步骤包括：确定求解域、建立离散网格、设置边界条件、离散化热传导方程、迭代求解差分方程、分析结果等。
在每个步骤中，我们需要根据具体问题的特点来选择适当的数值计算方法和参数。
五、数值计算的优势相比传统的解析方法，数值计算在热传导问题中具有以下优势：首先，数值计算可以处理复杂的几何形状和边界条件，而解析方法常常只能求解简单情况；其次，数值计算可以快速获得数值结果，从而加快了热传导问题的求解过程；此外，数值计算还可以对不同参数进行敏感性分析和优化设计，从而帮助我们更好地理解热传导问题。
六、数值计算在热传导问题中的应用案例1. 热传导材料的设计：数值计算可以帮助我们设计高效的热传导材料。
通过数值模拟不同材料的热传导性能，我们可以评估其热导率、温度分布等参数，并选择合适的材料用于特定的应用场景。
2. 热交换设备的优化：在热交换设备的设计中，数值计算可以帮助我们优化其热传导性能。
通过数值模拟不同结构和材料的热传导过程，我们可以找到最优的设计方案，提高热交换设备的效率。
物理热传导公式
物理热传导公式是用来描述热量传递过程的数学模型，它可以
帮助我们理解和预测热量在不同物质之间的传递行为。
根据热
传导的基本定律，当两个物体的温度不同时，热量将从温度较
高的物体传递到温度较低的物体，直到两个物体的温度相等为止。
在数学上，热传导公式可以用以下的微分方程来表示：
k * ∂^2T/∂x^2 + ∂T/∂t = 0
其中，T表示物体的温度，x表示物体的空间坐标，t表示时间，k表示物体的热传导系数。
这个公式告诉我们，物体的温度变
化率与物体的热传导系数、温度梯度和时间有关。
通过求解这个微分方程，我们可以得到物体在特定条件下的温
度分布和热量传递行为。
在实际应用中，我们可以通过测量物
体的温度变化和相关参数，来验证热传导公式的正确性和适用性。
除了基本的热传导公式外，还有许多其他的热传导模型和理论，如热对流、热辐射等。
这些模型和理论可以帮助我们更好地理
解和预测热量传递过程，为工程和科学领域的研究和应用提供
重要的理论支持和实践指导。
总之，物理热传导公式是描述热量传递过程的重要数学模型，
它为我们提供了理解和预测热量传递行为的方法和工具。
通过
学习和掌握热传导公式，我们可以更好地理解热量传递的规律
和机制，为相关领域的研究和应用提供重要的理论支持和实践
指导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 基本方程和边界条件
四边形网格有更高的精确度，而三角形网格有较大的误差。这是因为对于求解域，四边形
是正交网格，它的二次扩散项为零，而三角形网格是非正交网格，需要计算二次扩散项，
并且这种计算存在误差。如果用式（2.1g）来计算平均误差，并把结果列入表 1，会证明上
面的观察结果。
∑ Error = E = 1 Nmax θ num − θ exact i ×100% N max i=1 θ max − θ min
特定条件下热传导方程的数值求解
范悦宏 1，张敏 1，黄庆宏 2，刘晶 1，许彬 1
1南京理工大学动力工程学院，江苏南京（210094） 2南京师范大学动力工程学院，江苏南京（210042） 摘 要：用基元有限容积方法，在非结构化网格中二阶迎风格式离散和求解稳态热传导方 程。在验证求解方法的算例中，结构化和非结构化网格同时采用，并且提供了三种非结构 化网格（三角形网格、四边形网格和混合网格）的计算结果。同时，用精确解同得到的数 值解相比较。虽然从两种网格形式都能得到满意的精确度结果，但对于非正交的非结构化 网格，二次扩散项对提高精度是十分重要的。 关键词: 结构网格 非结构网格 热传导
且 y > 0.5)，温度梯度较小。将 40╳40 正交网格的计算结果作为参考解[8]，使用 1600 个控
制元的非结构网格计算，网格及计算结果如图 8 所示。图 9 为不同热传导系数下的温度分
布。将区域(x > 0.5 且 y > 0.5)的热传导系数增加到 k = 1000 + T，以显示热传导系数对导
(a) 四边形网格
(b) 三角形网格 图 5 不同网格的温度分布
(c) 混合网格
(a) 正交结构化网格
(b) 算例 1
图 6 结构网格的温度分布
(c) 算例 2
2.3 不连续区域的热传导
单位边长的正方形区域中, 四边保持恒定温度 T1，控制方程如下，
其中，
−φP −φP
−φP −φP
⎟⎞ ⎟⎠ ⎟⎞ ⎟⎠
⎪
⎪
⎪
1
⎩
φi,P > φP φi,P < φP φi,P = φP
φim,Pax = max(φP ,φE ) ，φim,Pin = min(φP ,φE )
α P = min (allαi )
(1.11)
(1.12) (1.13)
•
•
•P
•E
•
i
热问题的影响，并可以得到导热系数大的区域，温度梯度小的结论。
Y Y
1
1
0.9
0.9
1.0
0.8
0.8
0.7
0.7
2.0
0.6
0.6
3.0
4.0
0.5
0.5
0.4
0.4
6.0 5.0
7.0
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X
nb
nb
∑ ∑ Bi (φi − φP ) + Ds,i + SP ∆VP = 0
(1.5)
i=1
i=1
最后简化式(1.5)得，
nb
∑ aPφP = aiφi + b i=1
(1.6a)
→→
ai
=
Bi
=
Γi dsi
Ai• Ai
→
Ai • eˆs,i
(1.6b)
nb
∑ b = Ds,i + S P ∆VP i=1
图 5 给出了 400 个控制元的温度分布图。误差分析同上算例，误差结果如表 1 所示。 我们可以得到与第一个问题相同的结论。图 6 为当控制元为 400 个的结构化网格温度分布 图。比较结构化网格和非结构化网格的温图分布，可以看出，在相同数量的控制元下，在
矩形域中，结构化网格得到的结果更为精确。
-5-
稳态的扩散方程或导热方程，对一个标量物理变量φ 可写成，
∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛
Γ
∂φ ∂xi
⎟⎟⎠⎞ + Sφ
=0
(1.1)
其中， Sφ 是单位体积中的净源项，Γ是对应于变量φ 的扩散系数。对在笛卡尔、圆柱和适
体坐标系中的结构化网格离散方程，我们不再赘述。有兴趣的读者请查阅参考文献[1-2]。 在此我们仅对非结构化网格的离散方程进行讨论。在一个控制容积 P 中，控制方程（1.1） 可以写成，
(2.1g)
-4-
(a) 四边形网格
(b) 三角形网格 图 3 三种不同的非结构化网格示意图
(c) 混合网格
(a) 四边形网格
算例 算例 1 算例 2
(b) 三角形网格 图 4 不同非结构化网格的温度分布图
表 1 算例的平均误差
四边形网格
三角形网格
0.09%
(1.6c)
nb
∑ aP = Bi i=1
(1.6d)
→
关于 Γi dsi 的计算，请看参考文献[5]，以下讨论 (∇ φ )ave,i 的计算方法。对于区域内部的
→
单元和边界上的单元，(∇ φ )ave,i 的计算方法是不同的，此处分两部分来阐述。如图 1 所示
→
的内部单元，界面 i 上 (∇ φ )ave,i 的计算式为，
∂ ∂x
⎜⎛ k ⎝
∂T ∂x
⎟⎞ ⎠
+
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛ k
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞
+
S
=
0
(2.3a)
k
=
⎧3.0 +
⎨ ⎩
1.0
T
x > 0.5, y > 0.5 otherwise
(2.3b)
S
=
⎪⎧200 ⎪⎩⎨
−
4.0 ×10−2 T 0
3
y < 0.5 otherwise
(2.3c)
图 7 为 40╳40 的正交网格及其温度分布。我们可以看出，热传导系数大的区域(x > 0.5
∑ →
(∇φ )P
=
1 ∆VP
3 φ~k
k =1
→
Ak
界面上的平均φ 值由下式计算，
(1.15)
φ~1
= φB ,φ~2
= φi,P
+ φi,N 2
, φ~3
= φi,P
+ φi,S 2
(1.16)
2. 算例
2.1 复合边界条件下的热传导
在一个正反方形中，顶边和左边界为绝热，底边温度 T1 已知，右边界为第三类边界条 件（对流传热）。常物性、无内热源的控制方程及边界条件如下式，
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X
图 7 40╳40 个控制元的正交结构化网格及其温度分布
-6-
Y
Y
Y
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
1.0
0.7
0.7
2.0
0.6
0.6
3.0
0.5
0.5
4.0
0.4
0.4
nb
∑ Di + S p∆V p = 0
(1.2)
i=1
其中， Di 是扩散项，可以表示为基本扩散项 Dp,i 和二次扩散项 Ds,i 之和，
Di = D p,i + Ds,i
它们的物理意义分别是某一交界面上的法向扩散项和切向扩散项，
(1.3)
→→
D p,i
→
= Γi (∇ φ )ave,i
• eˆs,i
→
→
由式φi,P = φP + (∇ φ )r,P • d r i 计算得出 P 单元三个界面上的φ 值，其应处于 P 点及三
个邻点中φ 值的极大值与极小值之间。对界面 i 有，
对单元 P 有，
αi
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧mmiinn⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎝⎛11,,
φim,Pax φi,P φim,Pin φi,P
图 1 P 和 E 之间的界面 i
B
1
×
P•
N•
2
•S
3
图 2 边界单元
-3-
图 2 给出了典型的边界单元，界面 1 与物理边界 B 重合。对于这种情况有，
→
→
(∇φ )ave,1 = (∇φ ) P
(1.14)
→
对于单元的温度梯度 (∇φ ) P 可用下式计算，
-2-
∑ →
(∇φ )r,P
=
α ∆VP
nf
φi
k =1
→
Ai
(1.10)
界面值φi 由该单元及相邻单元节点的φ 值取平均值而得，∆VP 为该单元的体积，α 为保证
重构不至于引起局部极值的一个系数（ 0 ≤ α ≤ 1）。以 P 单元为例，确定α 值的原则为：
Ai •
→
Ai
Ai • eˆs,i
(1.4a)
-1-
⎡
→ →⎤
Ds,i
=
Γi dsi
⎢⎢(∇→φ )ave,i ⎢⎣
→→
• Ai − (∇φ )ave,i
• eˆs,i