电磁场边界条件
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
时变电磁场边界条件
n
1
2 D2n
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说明： s为分界面上自由电荷面密度。 特殊地：若媒质为理想媒质，则s 0,此时有
D1n D2n 0 结论：当分界面上存在自由电荷时，D 切向不连续，其
不连续量等于分界面上面电荷密度。
当且仅当分界面上不存在自由电荷时，D 切向连
续。
二、理想媒质分界面上的边界条件( 0)
l bn
将麦克斯韦方程
l H
dl
S dl H1 ll H2 (ll) l (H1 H2 )l
b n (H1 H2 )l b n (H1 H2 )l
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因为 D / t 有限而h→0，所以
D dS lim D bhl 0
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磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
n (B1 B2 ) 0
或者如下的标量形式的边界条件：
B1n B2n
由于B=μH，所以
1H1n 2H2n
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切向分量边界条件将麦克斯韦方程
第10页/共17页
设n(由媒质2指向媒质1)、l分别是Δl中点处分界面的法向单位矢 量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系 的单位矢量，三者的关系为
在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t 0
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
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B1 n B2 n 0 B2n B1n (D1 D2 ) n 0 D1n D2n 0
结论：在理想介质分界面上，E, H 矢量切向连续 在理想介质分界面上，B, D 矢量法向连续
切于分界面，称为切向分量。
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电磁场边界条件
电磁场边界条件
电磁场边界条件是指电磁场的变化情况在物体的表面上的变化情况，它决定了电磁场的变化特性。
它是电磁场的基本规律，在物理学中有着重要的地位。
它的主要内容有：无磁性介质的电磁场边界条件，有磁性介质的电磁场边界条件和电磁辐射的边界条件。
无磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量构成；有磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量以及介质的磁导率构成；电磁辐射的边界条件由电磁辐射的波功率流密度和波向分量构成。
电磁场边界条件的求解是物理学中最重要的问题之一。
电磁场的边界条件一知识讲解
Adl AdS
L
S
直角坐标系中
xˆ yˆ zˆ x y z
xˆ yˆ zˆ
A
x y z
Ax Ay Az
2. 微分形式
积分形式
DdS0dV
S
V
LEdlS B tdS
BdS 0
S
LH dlSJ0dSSD tdS
微分形式
D0
E
B
t
B0
HJ0
D
t
在界面处，场不连续，微分关系不能用了，
13
3）用全电流定理就可以解决前面的
充电电路中的矛盾
S2
•若取以L为边界的曲面S1
L S1
i
只有传导电流，所以
i
LHdl i
•若取以L为边界的曲面S2
只有位移电流，所以
Hdl L
Id
14
若取以L为边界的曲面S1 若取以L为边界的曲面S2
可以证明 i Id
设平行板电容器板面积为S DDS
S
q
LHdl i
Id
•全电流
I I0 Id
•全电流定理 Hdl I全
L
i
11
•全电流
I I0 Id
•全电流定理 Hdl I全
L
i
I0J0dS
S
IdSD tdS
通常 形式
LH dlSJ0D tdS
12
讨论： 1）电流概念的推广 位移电流仅仅从产生磁场的能力上定义 仅此而已
2）其它方面均表现出与传导电流不同 如在真空中 位移电流不伴有电荷的任何运动 所以谈不上产生焦耳热
E t
更具重要性
17
在空间没有传导电流的情况下
3.5 电磁场的边界条件(一)
E1t E1 E1n
( 7 aˆ 124 aˆ 95 aˆ ) 50 x 50 y 50 z
根据边界条件： E1t E2t
D1n D2n 0
30E1n 0 E2n
E2 n
( 279 50
aˆ x
372 50
aˆ y
465 50
aˆz )
得： E2 E2t E2n 5.72aˆx 4.96aˆy 11.2aˆz
A B
故： 1 S 2 S
该式表明：在两种媒质分界面处， 标量电位是连续的。
因为：E
D1n D2n S
2
2
n
S
1
1
n
S
S
在理想导体表面上：
S
C
（常数）
例1: 试求两个平行板电容器的电场强度。
解：忽略边缘效应 图(a) 电场方向与分界面垂直
3.5 电磁场的边界条件（一）
1. 电场法向分量的边界条件 2. 电场切向分量的边界条件 3. 标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
1. 电场法向分量的边界条件
如图所示，在柱形闭合面上应 用电场的高斯定律
S D dS nˆ1D1S nˆ2D2S S S
小结：
1. 电场法向分量的边界条件 D1n D2n S
2. 电场切向分量的边界条件 E1t E2t
3. 标量电位的边界条件
1 S 2 S
合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁
感应定律
l
E
dl
S
B t
dS
因为： l E dl E1t l E2tl
B dS B lh 0
S t
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
电磁波的边界条件
电磁波的边界条件
电磁波的边界条件是指，在电磁场中，当遇到介质边界时，场量在两个介质之间需要满足一些特定的关系式，这些关系式被称为电磁波的边界条件。
具体来说，电磁波的边界条件包括以下三个方面： 1. 法向分量的连续性：在介质表面，电场和磁场的法向分量必须连续，即两侧介质中电场和磁场的法向分量相等。
2. 切向分量的连续性：在介质表面，电场和磁场的切向分量也必须连续，即两侧介质中电场和磁场的切向分量相等。
3. 边界上的电荷和电流密度关系：在介质表面，电场和磁场的边界上的电荷和电流密度必须满足一定的关系，这个关系式通常被称为麦克斯韦方程组的边界条件。
这些边界条件是描述电磁波传播过程中的基本规律，对于电磁学的研究和应用都非常重要。
电磁场理论课件-5.6磁介质分界面上的边界条件
I
b
O 321 a
Jm
M
1
(M 2 )ez
( 0
1)
I (b2
a
2
)
e
z
在ρ=a和ρ=b处的磁化面电流为
在垂直于Jzm轴s |J平bms面|M内a2的Me磁2化[((电e0)流1为0) 2I b]ez
I 2m0:54:44 S J m d S
2 b
J ms
dl
(
0
1)I
(
0
1)I
0
2
2
三、导体边界条件
B2 H2
在理想导体内部，磁场为0。
若媒质2为导体，则由边界条件一般形式推得：
B1 n B2 n n (H1 H2 )
0
J
S
H
2
,
B2
0
B1 n 0
n
H1
JS
说明20：:48:0可3 以应用边界条件计算导体边界上电流分布。6
5.6 磁介质分界面上的边界条件
四、矢量磁位的边界条件
B1
n
B2 B
n 0 A
(
A1
A2
)
n
0
A1 A2
n (H1
B H
H2)
Js A
n( 1
1
A1
1
1
A2 )
Js
1
1
(
A1 )t
1
2
(
A2 )t
Js
20:49:58
7
5.6 磁介质分界面上的边界条件
例1：铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内、外半
B2 n
2
或： n (B1 B2 ) 0
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E dl
l
E1 etl E2 etl
0
上式变为
(E1 E2) et 0
故有
en (E1 E2 ) 0
E1t E2t
图 2 - 10 切向边界条件
电场强度的切向分量 在边界面上是连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
3、磁感应强度B边界条件
图 3-17 B的边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设底面和顶面的面积均等于ΔS。将积分形式的磁通连续性
原理(即∮S B·dS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋
于零， 得
B1 enS B2 enS 0
en (B1 B2 ) 0 B1n B2n
q limhs limss ss
h0
h0
D
s
ds en
(D1
D2
)S
ss
得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为
en
(D1
D2
)
s
D1n D2n s
电位移矢量的法向分量 在边界面上是不连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时 变 电 磁 场
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
第五章 时 变 电 磁 场
tan 1 1 tan 2 2
折射定理表明，磁感应线在分界面上通常要改变方向。 若介质2为铁磁材料，介质1为空气，此时μ1 «μ2, 有 θ1 « θ2，及 B1 « B2 假如μ2=1000μ0, μ1=μ0，在这种情况下，当θ2=87°时，
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应 强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁 磁材料表面垂直。
0
折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。
第五章 时 变 电 磁 场
（2）若两种介质分界面不存在面电流，则在分界面
处的边界条件为
en
(H1
H
2
)
0
en (B1 B2 ) 0
相应的标量形式为 H1t H2t B1n B2n
分界面处的折射定理 tan 1 1 tan 2 2
en
(H1
H
2
)
J
s
en (B1 B2 ) 0
en
(
E1
en (D1
E2
)
D2 )
0
s
（1）如果分界面处不存在自由电荷，即ρS = 0时，由电
位移法向分量和场强的切向分量的边界条件有：
分界面处的折射定理
tan1 1 tan2 2
rr
rr
J ds
s
rr
J
r h0
e hl
rr
Js
r
e l
e en (H1 H2 ) Js e
第五章 时 变 电 磁 场
en (H1 H2 ) Js
H1t H 2t J s
磁场强度在穿过存在面电流的分界面 时，其切向分量是不连续的。
如果分界面的薄层内没有自由面电荷时：
en (D1 D2 ) 0
D1n D2n 0
电位移矢量的法向分量 在边界面上才是连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
电磁场的边界条件
en
(H1
H
2
)
Js
en (B1 B2 ) 0
en
(
第五章 时 变 电 磁 场
2.7 电磁场的边界条件
2.7.1边界条件的一般形式
1、 磁场强度H的边界条件
r
Ñl H
r dl
S
r J
r D t
r dS
Ñl
r H r
r第五r章 dl H1
rr
时ert变l 电Hr r
磁场
2
r et
l
(e en ) (H1 H2 )l
sin(t
kx)
s
en
D |z0
ez
D |z0
ez
0E |z0
0
z d
r JS
erz
r H
er y
0d
E0
sin(t
kx)
s
en
D |zd
ez
D |zd
ez
0E |zd
E、H、D、B为理想导体外部附近的电磁场，那么理想导
体表面的边界条件为
en en
H1 B1 0
Js
en en
E1 D1
0
s
第五章 时 变 电 磁 场
2、两种理想介质分界面。理想介质是指σ = 0，所以在理想
介质分界面无自由电荷分布，不存在面电流，则在分界面处的边
如果分界面处没有自由面电流，则
en (H1 H2) 0
H1t H 2t
磁场强度在穿过不存在面电流的分界面 时，其切向分量是连续的。
B1t B2t
1 2
注意：磁感应强度在分界面处，其切向 分量是不连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
2、 电场强度的边界条件
界条件为
en en
(H1
H
2
)
(B1 B2 )
0
0
en en
(
(E1 E2 ) 0 D1 D2 ) 0
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
第五章 时 变 电 磁 场
3、漏电媒质：
E1
en (D1
E2
)
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
第五章 时 变 电 磁 场
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场。
此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存在 电磁场，即所有场量为零。设 是e理n 想导体的外法向矢量，
磁感应强度的法向分量在边界面上是连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
4、 电位移矢量的边界条件
rr
ÑS D dS q
Dds s
D1
ens
D2
ens
en
(D1
D2 )s
第五章 时 变 电 磁 场
如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总 电荷为
r (H1
r H
2
)
(er
ern
)l
h
r e
[ern
r (H1
r H
2
)]l
因为 D / t 有限而r h →0，所以 r
s
D t
dsr
limΒιβλιοθήκη 0D t er hl
0
如果分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上，
lim r r
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
kx)
r ez
k
0
E0
sin( d
z) cos(t
kx)
第五章 时 变 电 磁 场
z0
r JS
erz
r H
er y
0d
E0
E y z
ez
Ey x
0
H t
第五章 时 变 电 磁 场
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez