电磁场的边界条件
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电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
§08 电磁场的边界条件
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7 电磁场的边界条件
• 什么是电磁场的边界条件?
ern
媒质1
• 实为际什电么磁要场研问究题边都界是条在件一? 定的物理空
间物内理发：生由的于，在该分空界间面中两可侧能介是质由的多特种性不参同 媒质2
ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t )
2 3
107
cos(15 108 t )]
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
H2
(0, t )
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面
上（z = 0）不存在面电流。
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为1 50、1 0、1 0,
2区的媒质参数为2 0、2 0、 2 0。若已知自由空间的电
媒• 质组如数数成何学发的讨：生。论麦突边克变界斯，条韦场件件方在就?程界是组面不是两同微侧媒分也质方发的程分组，其
界同面媒上质生形的分突式电界变在磁面解作。分场上是用麦界麦矢电不。克面克量磁确斯两斯满场定韦侧韦足的的方失方的基，程去程关本边组意组系属界的义的，性条微，积是。件分必分在起形不定式解在的不同媒 须采用质边的界分条界件面。上仍然适用，由此可导出电磁
场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7.1 边界条件一般表达式
C
C
H dl S (
E dl S
J
B t
D ) t
dS
dS
S
B dS
0
S D dS V ρdV
eeerrrnnn ern
rr r
(Hr 1
H r
2
)
J
(rE1 rE2 ) 0
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2. 理想导体表面上的边界条件
D
• 理想导体：电导率为无限大的导电媒质
• 特征：电磁场不可能进入理想导体内
H
JS
• 理想导体表面上的边界条件
理想导体
设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、 B2均为零，故
errn en
r
en ern
r
D r
S
媒质 2
界面上，通常没有电
r en
媒质 1 媒质 2
荷和电流分布，即JS D、B的法向分量连续
E、H的切向分量连续
＝0、ρS＝0，故
eerrrnn en ern
rr (Dr 1 Dr 2 ) 0 (B1r B2r) 0 (Er1 Er2 ) 0 (H1 H2 ) 0
D的法向分量连续 B的法向分量连续 E的切向分量连续 H的切向分量连续
[en (H1 H2 )] Nl
故得
en (H1 H2 ) JS
或
H1t H2t JS
同理得 en (E1 E2 ) 0
或
E1t E2t
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7.2 两种常见的情况
r
1. 两种理想介质分界
en
面上的边界条件
媒质 1
在两种理想介质分
区域的媒质参数为 2 50、2 200、 2 0 。若媒质1中的电场 强度为 E1(z,t) ex[60 cos(15108t 5z) 20 cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
E2
(z,
t)
ex
A
cos(15
108
t
50
z)
V/m
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证H1(z和, t) H满2 (足z,边t) 界条件。
ΔS
en
D1
媒质
1
S P Δh
媒质 2
D2
S D dS V ρdV
(D1 D2 ) enS S S
即 en (D1 D2 ) S
同理 ，由 B dS 0 S
或 D1n D2n S en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
B 0
r
E 0
rr
H JS
理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量 理想导体表面上 B的法向分量为0 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0, z > 0
H1 ( z, t ) 和
H2(z,t) ；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)] ex80 cos(15108t) V/m
E2 (0,t) ex A cos(15108t) V/m
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
（2）电磁场量的切向边界条件
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由
C
H
dl
S
(J
D ) t
dS
(H1 H2 ) l JS Nl
l N enl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l
媒质1
r ern Δl
H1
N
Δh
媒质2
H2
§8
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1(0, t) E2 (0, t)
得到
A 80 V/m
（2）由
E1
1
H1 t
，有
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
0
[300 sin(15 108 t
5z)
100sin(15 108t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )
(Br1 Br2 ) 0
(D1 D2 ) S
S
en
分界面上的电荷面密度
媒质1
媒质2
分界面上的电流面密度
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
边界条件的推证
（1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一 点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。
令Δh →0，则由
ey
1 0
[2 107
cos(15 108 t
5z)
2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
同样，由
E2
2
H 2 t
，得
H 2 ( z, t)
ey
4
30
107
cos(15 108 t
5z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A/m
（3）z = 0 时
H1 (0, t )
§8
§08 电磁场的边界条件
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7 电磁场的边界条件
• 什么是电磁场的边界条件?
ern
媒质1
• 实为际什电么磁要场研问究题边都界是条在件一? 定的物理空
间物内理发：生由的于，在该分空界间面中两可侧能介是质由的多特种性不参同 媒质2
ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t )
2 3
107
cos(15 108 t )]
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
H2
(0, t )
ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面
上（z = 0）不存在面电流。
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为1 50、1 0、1 0,
2区的媒质参数为2 0、2 0、 2 0。若已知自由空间的电
媒• 质组如数数成何学发的讨：生。论麦突边克变界斯，条韦场件件方在就?程界是组面不是两同微侧媒分也质方发的程分组，其
界同面媒上质生形的分突式电界变在磁面解作。分场上是用麦界麦矢电不。克面克量磁确斯两斯满场定韦侧韦足的的方失方的基，程去程关本边组意组系属界的义的，性条微，积是。件分必分在起形不定式解在的不同媒 须采用质边的界分条界件面。上仍然适用，由此可导出电磁
场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7.1 边界条件一般表达式
C
C
H dl S (
E dl S
J
B t
D ) t
dS
dS
S
B dS
0
S D dS V ρdV
eeerrrnnn ern
rr r
(Hr 1
H r
2
)
J
(rE1 rE2 ) 0
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§8
2. 理想导体表面上的边界条件
D
• 理想导体：电导率为无限大的导电媒质
• 特征：电磁场不可能进入理想导体内
H
JS
• 理想导体表面上的边界条件
理想导体
设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、 B2均为零，故
errn en
r
en ern
r
D r
S
媒质 2
界面上，通常没有电
r en
媒质 1 媒质 2
荷和电流分布，即JS D、B的法向分量连续
E、H的切向分量连续
＝0、ρS＝0，故
eerrrnn en ern
rr (Dr 1 Dr 2 ) 0 (B1r B2r) 0 (Er1 Er2 ) 0 (H1 H2 ) 0
D的法向分量连续 B的法向分量连续 E的切向分量连续 H的切向分量连续
[en (H1 H2 )] Nl
故得
en (H1 H2 ) JS
或
H1t H2t JS
同理得 en (E1 E2 ) 0
或
E1t E2t
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
2.7.2 两种常见的情况
r
1. 两种理想介质分界
en
面上的边界条件
媒质 1
在两种理想介质分
区域的媒质参数为 2 50、2 200、 2 0 。若媒质1中的电场 强度为 E1(z,t) ex[60 cos(15108t 5z) 20 cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
E2
(z,
t)
ex
A
cos(15
108
t
50
z)
V/m
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证H1(z和, t) H满2 (足z,边t) 界条件。
ΔS
en
D1
媒质
1
S P Δh
媒质 2
D2
S D dS V ρdV
(D1 D2 ) enS S S
即 en (D1 D2 ) S
同理 ，由 B dS 0 S
或 D1n D2n S en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
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B 0
r
E 0
rr
H JS
理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量 理想导体表面上 B的法向分量为0 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0, z > 0
H1 ( z, t ) 和
H2(z,t) ；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)] ex80 cos(15108t) V/m
E2 (0,t) ex A cos(15108t) V/m
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
（2）电磁场量的切向边界条件
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由
C
H
dl
S
(J
D ) t
dS
(H1 H2 ) l JS Nl
l N enl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l
媒质1
r ern Δl
H1
N
Δh
媒质2
H2
§8
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1(0, t) E2 (0, t)
得到
A 80 V/m
（2）由
E1
1
H1 t
，有
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
0
[300 sin(15 108 t
5z)
100sin(15 108t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )
(Br1 Br2 ) 0
(D1 D2 ) S
S
en
分界面上的电荷面密度
媒质1
媒质2
分界面上的电流面密度
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
边界条件的推证
（1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一 点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。
令Δh →0，则由
ey
1 0
[2 107
cos(15 108 t
5z)
2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
电磁场与电磁波 第 2 章 电磁场的基本规律
§8
同样，由
E2
2
H 2 t
，得
H 2 ( z, t)
ey
4
30
107
cos(15 108 t
5z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A/m
（3）z = 0 时
H1 (0, t )