【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件

第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。

重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。

直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。

二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。

2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。

如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。

又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。

3、独立性即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。

4、对称性（只作简单介绍）无源区（自由场）：0,0==ρJ,麦克斯韦方程可以写为：000(1)(2)0(3)(4)BE E t E B B tμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=⎪∂⎩如对方程中的场量作如下代换： '',E B c B c E -→→（001εμ=c ） 则上述麦克斯韦方程变为：'''00'''0(1)(2)0(3)(4)E B B t B E E tμε⎧∂∇⋅=∇⨯=⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎩上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），即如果()B E ,存在，则()c E B B c E =-='',也必存在，并称()'',B E 为()B E ,的对偶场。

有源区：0,0≠≠ρJ，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的不对称，即不存在磁荷。

但若引入m ρ（磁荷）和m J（磁流），使方程变为：000000(1)(2)(3)(4)m m BE E J t EB B J tρεμμρμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=--⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：场：'',E B c B c E -→→ 源：e m m e c c ρρρρ-→→,'；e m m e J c J c J J -→→,' 例如：对（2）式进行变换，有：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---=⨯∇c E t J c B c e ''0'μ 注意到001εμ=c ，化简得：tE J B e ∂∂+=⨯∇'00'0' εμμ与（4）式一致，这表明对应()B E ,场，一定存在对偶场()'',B E 。

5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出 唯一正确的解。

证明：用反证法如果有两个不同的解()11,B E 、()22,B E同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、边界条件。

设21E E E -=、21B B B-=,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方程。

即：0=⋅∇E ,tB E ∂∂-=⨯∇ ，0=⋅∇B ,t EB ∂∂=⨯∇ 00εμ及齐次边界条件：0SSE B ==和齐次初始条件：0SSE B ==。

因此，,E B 对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。

对于 这样一个电磁场，我们来计算如下积分：001V d I E E B B dV d t εμ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭⎰由于体系的边界不随时间改变，所以上述积分可以化为：()00000011122V V E B I E B dV E B B EdV t t εεμμεμ⎛⎫⎛⎫∂∂=⋅+⋅=⋅∇⨯+⋅-∇⨯ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()0222VVSI E B B E dV E B dV E B dS μμμ=⋅∇⨯-⋅∇⨯=-∇⋅⨯=-⨯⋅⎰⎰⎰由于边界上0SSE B ==，所以0I =。

因此22000011V V E E B B dV E B dV Const εεμμ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 又因初始时0SSE B ==，所以这个常数为零。

但等式左边的被积函数恒大于或等于零，因此得到：0,0E B ==即12E E =,12B B =6、预见性即预言了电磁波的存在。

事实上，由无源区的麦克斯韦方程，有：BE t∂∇⨯=-∂对上式两边取旋度，有：()()2E B E E t∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=∇∇⋅-∇∂ 将0E ∇⋅=及00EBtμε∂∇⨯=∂代入上式，有： 222210EE c t∂∇-=∂（c =同理可得：222210BB c t∂∇-=∂与经典的波动方程比较：一维：2222210x t ξξυ∂∂-=∂∂三维：222210tξξυ∂∇-=∂可以看出E 和B 满足波动方程，c 为电磁波的速度。

三、媒质的本构关系当有媒质存在时，麦克斯韦方程组还不够完备（12个未知数，8个标量方程）， 需要补充描述媒质特性的方程。

对于各项同性的线性介质，有：,,D E B H J E εμσ===此时，麦克斯韦方程组写为：1(1)(2)0(3)(4)HE E tE H H E tρμεσε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩称为麦克斯韦方程组的限定形式。

例题2.6.1讲解要点1）分析电路，针对电路说明位移电流和传导电流产生的原因、存在的区域及引 起的效应；2）根据已知条件，计算位移电流和传导电流；3）求电流激发的磁场（导线附近，导线可以视为无限长） 例题2.6.2讲解要点1）讲明题目的意思：E 是电场强度矢量，一定要满足麦克斯韦方程组； 2）在无源区，变化的电场和磁场相互激发，已知E 矢量，就可以根据麦克斯韦 方程组求出磁矢量（,B H ）。

2.7电磁场的边值关系在介质分界面上，若存在自由面电荷、面电流分布或由于极化、磁化而出现面电 荷和面电流分布，则场量在面上变得不连续，微分形式的麦克斯韦方程不在适用，需 要根据积分形式的麦克斯韦方程来讨论边界上的场关系。

0D B E t B DH J t ρ⎧∇⋅=⎪∂⎪∇⨯=-⎪∂⎨∇⋅=⎪⎪∂⎪∇⨯=+∂⎩0S CSS CS D dS qE dl B dS D H dl I dS t ⎧⋅=⎪⎪⋅=-⎪⎪∂⎨⋅=⎪⎪∂⎪⋅=+⋅⎪∂⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰一、边值关系的一般形式1、磁场强度H的边值关系设分界面的法向单位矢为ˆn e （指向媒质1），ˆt e是沿分界面的切向单位矢，平行 边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正交且其长边与界面平行，如图由CS DH dl I dS t∂⋅=+⋅∂⎰⎰，有： 1122120ˆ()t Ch H dl H l H l H dlH H el ∆→⋅=⋅∆+⋅∆+⋅⇒-⋅∆⎰⎰侧0ˆˆˆDtS p p S p S h D DI dS J e l elh J e l t t∂∂∆→∂∂+⋅=⋅∆+⋅∆⇒⋅∆∂∂⎰有限 所以：()12ˆˆt S p eH H J e ⋅-=⋅ 上式表明，当分界面上有自由电流分布时，磁场强度的切向分量是不连续的。

上式中ˆˆ,t p ee 都与回路的选取有关，利用ˆˆˆt p n e e e =⨯可得： ()()12ˆˆˆpn S p ee H H J e ⨯⋅-=⋅或()12ˆˆˆn pS p e H H e J e ⎡⎤⨯-⋅=⋅⎣⎦ 上式对任意回路都成立，因而有：()12ˆn S eH H J ⨯-= 2、电场强度E 的边值关系将上图中的磁场强度改为电场强度，由于CS BE dl dS t∂⋅=-⋅∂⎰⎰考虑到B t ∂∂是有限量，同理可以得到：()12ˆ0n eE E ⨯-= 即电场强度的切向分量是连续的。

问题：电位移矢量的切线分量连续吗？1H2Hˆn eˆn e ˆp eˆt eˆt e1θ2θacdb11t t E E =⇔1122t t D D ε=3、电位移矢量D 的边值关系选右图所示的扁圆柱形封闭合面，由SD dS Q ⋅=⎰有：2211S D S D S D dS S ρ⋅∆+⋅∆+⋅=∆⎰侧式中12ˆn S S Se∆=-∆=∆，且D dS h S ⋅∆∆⎰侧是比S ∆更高阶的无穷小，因而有：12ˆˆn n S D eS D e S S ρ⋅∆-⋅∆=∆ 即：()12ˆn S eD D ρ⋅-= 特例：当0S ρ=时，电位移的法向分量连续。

问题：D的法向分量连续时，E 的法向分量连续吗？为什么？12n n D D =⇔1122n n E E εε=4、磁感应强度B的边值关系对于磁场B ，把0SB dS ⋅=⎰应用到边界区域上，同理得到：()12ˆ0n eB B ⋅-= 即磁感应强度B 的法向分量连续、无跃变。

问题：H 的法向分量连续吗？1122n n H H μμ=5、其它边值关系1）P Sq P dS =-⋅⎰⇒()12ˆPS n e P P ρ=-⋅-特例：10P =，2ˆˆˆPS n n n e Pe P P e ρ=⋅=⋅=⋅ 2）M CI M dl =⋅⎰⇒()12ˆPS n J eM M =⨯- 特例：10M =，22ˆˆˆPS n n n J eM M e M e =-⨯=⨯=⨯ 二、两种特殊情况下的边值关系 1、理想导体表面上的边值关系2D 22理想导体（σ→∞，如银、铜、铝等金属710S m σ可视为理想导体）内部不存在电场（0E J σ=→），其边值关系简化为：ˆˆ,0ˆˆ0,n S n n n S eH J e E eB eD ρ⎧⨯=⨯=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩对于理想导体，其表面上的电荷、电流都不能预先给定，由导体表面附近的电场、 磁场决定。