向量法求空间距离
用向量法求空间距离
G
x
F
A
D
C
E
果断地用坐标法处理.
y
B
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
D N C B
M
A
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
距离
用向量法求空间距离
教学目标：
借助空间向量来解决立体几何中的两种距离 1、两点间的距离 2、点到平面间距离
一、如何用向量法求解两点间的距离呢？
B(x2，y2，z2) A(x1，y1，z1)
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
例1、已知A(-1,2，-6), B(5,-2，3)，求A,B两点之间的距离。
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、 求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、 求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、 求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。
用向量法求空间距离
ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。
再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。
一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。
[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。
图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。
空间向量各种距离求法
空间向量各种距离求法在空间中，有多种方法可以计算向量之间的距离，其中一些常用的方法包括：1. 欧几里德距离（Euclidean Distance）：欧几里德距离是最常见的距离度量方式，它是两个向量之间的直线距离。
对于两个n维向量X和Y，欧几里德距离的计算公式如下：d(X, Y) = sqrt((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是两个向量在每个维度上差值的绝对值之和。
对于两个n维向量X和Y，曼哈顿距离的计算公式如下：d(X, Y) = |x1-y1| + |x2-y2| + ... + |xn-yn|3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是两个向量在所有维度上差距的最大值。
对于两个n维向量X和Y，切比雪夫距离的计算公式如下：d(X, Y) = max(|x1-y1|, |x2-y2|, ..., |xn-yn|)4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：闵可夫斯基距离是欧几里德距离和曼哈顿距离的一般化，参数p控制了距离的形状。
对于两个n维向量X和Y，闵可夫斯基距离的计算公式如下：d(X, Y) = (|x1-y1|^p + |x2-y2|^p + ... + |xn-yn|^p)^(1/p)5. 向量余弦相似度（Cosine Similarity）：向量余弦相似度用于衡量两个向量之间的夹角。
对于两个n维向量X和Y，向量余弦相似度的计算公式如下：similarity(X, Y) = (X·Y) / (||X|| * ||Y||)其中，X·Y表示向量的点积，||X||和||Y||表示向量的模长。
以上是几种常见的空间向量距离度量方法，根据不同的应用场景和需求，选择合适的距离度量方法进行计算即可。
向量法求空间距离---说课市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
第一部分: 内容分析
❖ 教学重点难点
❖
重点: 掌握由向量数量积推
导距离公式。
❖
难点: 空间向量射影了解，
数形结合思想灵活利用，空间
直角坐标系建立，求法向量，
向量选取。
7/29
第一部分: 内容分析
❖ 教学方法: 采取启发诱导式教 学，并结合实践探索，互动 教学。
❖ 教学伎俩: 因为要充分表达数 形结合，有大量图形对比引 导，以多媒体展示作为黑板 板书补充。
复习引入 新课讲解
公式推导 形成思绪
距离=射影长度
d
|
aos
a,
n
|
|
a
•
n
|
|n|
当n为单位向量时，d
|
a
•
n
|
怎么用？
— —必须求数量积，除了定 义之外，可以通过坐标表示
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第三部分: 教学过程
复习引入 新课讲解
公式推导 形成思绪
建系 求坐标
求数量积，法向量模
求解
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第三部分: 教学过程
复习引入 新课讲解
利用 例题讲解
例: 已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，
求:(1)点D1到平面AB1C距离；
(2)体对角线BD1与面对角线
B1C距离。
z
D1
C1
A1
B1
D
y
C
A
B
x
回到一开始问题2, 尝试用向量数
量积求解, 起到前呼后应作用
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第三部分: 教学过程
理念 华罗庚: “把一个比较复杂问题
“退”成最简单最原始问题，把 这最简单最原始问题想通了，想 透了，然后再……来一个飞跃上 升”。 牢切记住学校教材和实际经验二者 相互联络必要性，使学生养成一 个态度，习惯于寻找这两方面接 触点和相互关系。
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
向量法求空间点到平面的距离(经典实用)
向量法求空间点到平面的距离（经典实用）
空间点到平面的距离是衡量两个物体之间距离的重要方式。
本文介绍基于向量法求空间点到平面的距离的方法。
关于向量法求空间点（P）到平面（S）的距离，首先，我们要了解的是，平面的方程可以描述为：
Ax+By+Cz+D=0
其中A、B、C、D是常数，x、y和z分别是空间中的点的坐标值。
接下来，利用向量法求解空间点到平面的距离，我们需要得到两个向量，一个是向量NP（由空间点到原点，即（0，0，0）的向量），另一个是平面的法向量N（由平面上任意一点至原点之间的单位向量），由此可知，距离d=|NP*N|/|N|
此外，可以注意到，有时正距离和负距离可以表示一个点到平面的关系。
正距离表示这个点在平面的一边，而负距离表示这个点在平面的另一边。
也就是说，若d>0时，表示点P在平面S的正侧；若d<0时，表示点P在平面S的反侧；当d=0时，代表点P在平面S上。
因此，基于向量法求解空间点到平面的距离需要考虑到空间点和平面法向量，并利用向量积运算计算出距离d，其中，若距离d>0,表示空间点在平面的正侧，若距离d<0，表示空间点在平面的反侧；当d=0时，表示空间点在平面上。
用向量法求空间距离课件
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
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向量法求空间距离（教师用）
淄博五中 孙爱梅
一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.
二．难点：异面直线及点面距离求法.
三．知识点及例题
【知识点一】 两点的距离公式应用
空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），
则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.
〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.
解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）
∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23
） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.
【知识点二】通过向量求空间线段的长.
｜a →｜＝a →2
〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.
解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）
＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →
∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，
∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12
＝68，∴｜CD →｜＝217.
注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD
→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.
【知识点三】求点到平面距离
｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜
＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一
→.
〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E
的距离.
解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，
0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），
D 1A →＝（2，0，0），D 1
E →＝（2，2，1）.
设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0
，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.
【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.
d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜
＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22
＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355
. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.
l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线
l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜
＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.
解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，AC
A 1（0，0，1），C 1（0，1，1），
A 1C 1→＝（0，1，0），
B 1（1，0，1），
C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），
且A 1B 1→＝（1，0，0），
设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，
则n →·A 1C 1→＝0
，n →·B
1C →
＝0
⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离
d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜
＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.
课堂测试
1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14
CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418
，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．144
3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.
4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.
1、如图，建立空间直角坐标系
D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点
P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.
①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.
②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.
2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，
⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。