计数原理知识点、题型小结doc
计数原理知识点
计数原理知识点一、分类加法计数原理1. 原理内容- 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法。
- 推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m_1种不同的方法，在第2类方案中有m_2种不同的方法，……，在第n类方案中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m_1 + m_2+·s+m_n种不同的方法。
2. 特点- 各类办法之间相互独立，都能独立地完成这件事，且各类方法中的每种方法也相互独立。
3. 示例- 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班，汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3 + 2=5种不同的走法。
二、分步乘法计数原理1. 原理内容- 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m× n种不同的方法。
- 推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m_1种不同的方法，做第2步有m_2种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m_1× m_2×·s× m_n种不同的方法。
2. 特点- 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
3. 示例- 从甲地到丙地，要先从甲地到乙地，再从乙地到丙地。
从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，那么从甲地到丙地共有3×2 = 6种不同的走法。
三、排列与组合的基本概念1. 排列- 定义：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
- 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A_{n}^m。
- 排列数公式：A_{n}^m=(n!)/((n - m)!)=n(n - 1)(n - 2)·s(n - m+1)，其中n!=n×(n - 1)×(n - 2)×·s×2×1，规定0!=1。
概率论中的计数原理例题和知识点总结
概率论中的计数原理例题和知识点总结在概率论中，计数原理是非常基础且重要的一部分，它为我们解决各种概率问题提供了有力的工具。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解计数原理，并对相关知识点进行总结。
一、知识点梳理1、加法原理如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
3、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记作 Anm ，Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) 。
4、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作 Cnm ，Cnm ＝ n! ／ m!（n m)！。
二、例题解析例 1：从 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，有多少种取法？解：第一步，百位数字不能为 0，有 9 种选择；第二步，十位数字有 9 种选择（因为百位已经选了一个数字）；第三步，个位数字有 8种选择。
根据乘法原理，共有 9 × 9 × 8 ＝ 648 种取法。
例 2：有 5 本不同的语文书，4 本不同的数学书，3 本不同的英语书，从中任取 2 本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：分三种情况讨论：（1）取语文和数学书，有 5 × 4 ＝ 20 种取法；（2）取语文和英语书，有 5 × 3 ＝ 15 种取法；（3）取数学和英语书，有 4 × 3 ＝ 12 种取法。
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第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。
3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。
5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如n m m n 和的问题。
例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ）个元素的排列数 m n A5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为 n n A6.n 的阶乘定义： 用 表示。
高中数学《第六章 计数原理》复习小结与专题训练
(2)4名男生互不相邻；
(3)老师不站中间，女生甲不站左端．
解
(1)∵两个女生必须相邻而站，
∴把两个女生看作一个元素，
则共有 6 个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有 A66A22＝1 440(种)站法．
(2)∵4名男生互不相邻，
∴应用插空法，
对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有 A33A44＝144(种)站法．
片有 C24·
C112种取法，故所求的取法共有 C316－4C34－C24·
C112＝472(种)．
答案
B
【训练4】
若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有
__________种．
解析
把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A24种
是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这
是选用计数原理的关键．
2．排列与组合
排列数与组合数的计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘
的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两
边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．
的编排方案共有(
A．36种
)
B．42种
C．48种
D．54种
解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间 4 个节目无限制条件，
有 A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目
排在第一位有 C13种排法，其他 3 个节目有 A33种排法，故有 C13A33种排法．依分类加法计
计数原理
8. 1 计数原理一、知识要点1．分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法．2．分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．二、例题分析例1．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?变式：把问题中选出5个数组成子集改为选出4个数组成子集，结果如何?例2．关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？ （2）它的所有正因数的和是多少？例3．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个能被3整除的数字不允许重复的三位数？（数字问题）例4．（1）三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（ ）A 、6B 、8C 、10D 、16（2）1，2，3，4号足球运动员各有一件球衣在4人中互相赠送（每一个运动员不能拿自己的球衣），则不同的赠送方法有（ ）A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种评注：第（2）小题是著名的贝努利装错信封问题当4n =时的特例．原意是，若一个人写了n 封不同的信和n 只相应的不同的信封，问这个人把这n 封信都装错了信封的装法有多少种？问题可转化为：n 个不同元素12,,,n a a a 进行排列，其中()1,2,,i a i n = 不排第i 个位置的排法种数．由容斥原理，可得相应的排法种数为：()()()()()12!1!2!1!1knk n n n n n n C n C n C n k C -⋅-+⋅--+-⋅-++- ．例5．如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )D. 60变式：若变为图二,图三呢? 图四呢？（染色问题）例6．（1）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图（1））.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少？ （2）（2010天津理）如图（2），用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） （A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种三、规律总结1．弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.2．分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础，解题中要力争做到“步骤完整、不重不漏”．3．元素能重复的问题往往用两个计数原理解决.图一图二图三图四四、巩固练习1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）A ．35B ．53C ．35AD ． 35C2．（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A ．70种 B ． 80种 C ． 100种 D ．140种3．（08全国卷1）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 （ ）A ．96B ．84C ．60D ．48 4．从{一3,－2,－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程c bx ax y 2++= 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有 （ ） A. 7条 B. 8条 C. 9条 D. l0条5．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 （ ） A. l2 B. 11 C. 24 D. 236．甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中的一人，第二次由拿球 者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第四次仍传回到甲的方法共有（ ）A 、21种 B 、24种 C 、27种 D 、42种7．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 （ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种9．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )A.8种B.12种C.16种D.20种 10．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个11．乘积)c ...c c )(b ...b b )(a ...a a (k 21m 21n 21+++++++++展开后的项数为_______. 12．72的正约数共有__________个.13．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A ，B ， C ，D ，E ，F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有14．用1,2,3,,9 这九数字填写在如上图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 ．15．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张另人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有__________种．16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）①②③④⑤17．（2010浙江理）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.18．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?19．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.20．用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数.(1)有多少个四位偶数?(2)若按从小到大排列，3204是第几个数?8. 1 计数原理二、例题分析例1．解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.变式：802445=⋅C例2．解：解：（1）∵N =2160=24×33×5，∴2160的正因数为P =2α×3β×5γ，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1. ∴2160的正因数共有5×4×2=40个.（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数. ∴正因数之和为31×40×6=7440.例3．本题是一种典型的选数与组数的问题，与计数有关，故考虑利用两个计数原理解决，但需要注意的是，无论组成多少位数字，首位均不能为0.（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种不同的选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种不同的选法，由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有554100⨯⨯=个．（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数字，因此有5种不同的选法； ②十位数字有6种不同的选法；③个位数字有6种不同的选法．由分步乘法计原理可知所求的三位数共有5×6×6＝180个．（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种不同的选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法．由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有3×4×4＝48个.（4）被3整除的数它的各位数字之和被3整除．对0，1，2，3，4，5这六个数字按被3除后的余数进行分类：{}00,3A =，{}11,4A =，{}22,5A =，则这三个数字只能每个集合各取一个，12,A A 中各取一数有22⨯种选法．若0A 中取数字0，可组成22⨯个三位数；若0A 中取数字3，可组成321⨯⨯个三位数；所求的三位数共有41040⨯=个． 例4．解：（1）画树枝图，共有10种不同的方法，选C ． （2）方法1：画树枝图，略．方法2：记1，2，3，4号足球运动员对应的球衣为,,,a b c d ，先让1号运动员选择有3种方法，如选b ；然后，让与 球衣b 对应的2号运动员选择，也有3种方法，如选d ； 再让与d 对应的4号运动员选择，则只能选a ． 因此，不同的赠送方法有339⨯=种． 例5．解：图一，5433180⨯⨯⨯=种； 变式：图二，5434240⨯⨯⨯=；图三，5×4×4×4=320种．图四，()541433260⨯⨯+⨯=种．例6．（1）解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种； （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种； （3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种. 所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种. 解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.1 2 3 4a b c d456C CC CD DD D D BB根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120. （2）D 【解析】①B,D,E,F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法； ②B,D,E,F 用三种颜色，则有334422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法； ③B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
计数原理
计数原理、排列组合(提高考纲要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.知识网络考点梳理要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理2．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。
另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。
解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
计数原理题型
计数原理题型
一、分类加法计数原理
分类加法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个互不重叠的部分，分别计算各类事件的数量，然后将这些数量相加，得到总的事件数量。
这个原理主要应用于排列组合问题中，可以通过对问题的不同情况进行分类，然后分别计算每类情况下的事件数量，最后相加得到总数。
二、分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个连续的步骤，每个步骤有不同的可能性，分别计算每一步的可能性数量，然后将这些数量相乘，得到总的事件数量。
这个原理主要应用于组合计数问题中，可以通过对问题的不同步骤进行分解，然后计算每一步的可能性数量，最后相乘得到总数。
三、排列组合计数原理
排列组合计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个不同的元素，然后根据元素的性质对这些元素进行组
合和排列，最后得到总的事件数量。
这个原理主要应用于概率统计和组合优化问题中，可以通过对问题的不同元素进行组合和排列，得到总的事件数量。
四、容斥原理
容斥原理是指在进行计数时，需要考虑多个条件，而每个条件下的计数又相互影响，这时需要采用容斥原理进行计算。
这个原理主要应用于概率统计和离散数学中，可以通过对不同条件下的计数进行容斥处理，得到总的事件数量。
五、递推关系计数原理
递推关系计数原理是指在进行计数时，需要使用递推关系式来计算事件的数量。
这个原理主要应用于动态规划问题中，可以通过建立递推关系式来求解最优解。
六、概率与计数原理
概率与计数原理是指在进行计数时，需要考虑事件的概率。
这个原理主要应用于概率论和统计学中，可以通过对事件的概率进行计算，得到总的事件数量。
1.1.1,2,3计数原理
方法1：3*2[2*2+（2+1）]=42
变式一： 在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为 1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2 号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦, 4号地不 能种4号小麦，那么有多少种不同的试种方案? N=9
抽卡问题方法1：3*3=9 方法2：4*3*2*1-4*2（1种相同）-6（2种相同）-1（4种相同）=9
方法2: 3*2*2*2*2-3*2*1*1*1=42
变式二： 5人写贺卡后，重新抽卡，自己不能拿自 己写的卡，那么有多少种不同的抽卡方案?
N=44
抽卡问题方法：4*（2+3*3）=44
涂
色
问
题
作业1（03全国）：一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方 法有多少种?(以数字回答)
火车1 汽车1
甲
火车2 火车3
乙
汽车2
丙
解:
从甲地经乙地去丙地有2步, 第一步, 由甲地去乙地有3种方法, 第二步, 由乙地去丙地有2种方法, 所以 从甲地经 乙地去丙地共 3 ×2 = 6 种不同的方法。
字母
A
Байду номын сангаас
数字 得到的号码 A1 问题2.2： 用前6个 1 大写英文字母和 A2 2 1～9九个阿拉伯数 A3 字，以A1，A2，· · · ， 3 B1，B2，· · · 的方式 A 4 4 给教室里的座位编 A5 5 号，总共能编出多 少个不同的号码？ A 6 6
2010年夏季在南非举行的第十
九届世界杯足球赛共有32支队伍参 决出16强，这16强按确定的程序进 行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外
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第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。
3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。
5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如n m m n 和的问题。
例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A6.n 的阶乘定义： 用 表示。
=n nA 规定：0！= 注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！=例1计算：⑴410A ; ⑵ 218A ; ⑵ 66A7.解决排列问题的基本方法类型一：直接法和间接法例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作 ．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用 求解；间接法的步骤：类型二：排列问题(无限制条件的和有限制条件的)例2：有4名男生，3名女生排成一排（1） 有多少种排列方法？（2） 若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？（3） 若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？（4） 若甲只能在中间或者两端？（5） 甲乙必须在两端呢？（6） 甲不站排头，乙不站排尾呢？（7） 若3名女生必须排在一起（8） 若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？（10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？（11）若甲乙间恰有两人？小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑 ，然后在考虑 ；位置分析法——即优先考虑 ，再考虑小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列，此法称为“ ”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“ ”等.练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数1组合的定义：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.排列和组合的区别和联系？相同点： 不同点：3. 组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示 4.m n C 与m n A 的关系为：m n A = m n C =5：组合数公式：mn C ＝ ＝ 这里的m 、n 满足的条件是6：用阶乘表示m n C = 我们规定：=0n C 7.组合数的性质一：8.常见的题型：类型一：计算例1：2313;C C 计算： 14C ；24C ； 34C ；35C ；25C例2：解方程：已知3618n C +=4218n C -，求n=? 例3： 解不等式：4n C >6n C类型二：没有限制条件的组合问题例3：（1）. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：（1）这位教练从这17位学员中可以形成多少种学员上场的方案？（2）如果在选出的11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？类型三：有限制条件的组合问题例4：在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？（1） 任意选5人（2） 甲乙丙三人必须参加（3） 甲乙丙三人不能参加（4） 甲乙丙三人只能有1人参加（5） 甲乙丙三人至少有1人参加（6） 甲乙丙三人至多有1人参加小结：有限制条件的组合应用题:解决“含与不含”，问题时，将限制条件视为 ，优先满足。
解决至少与至多问题时，常用的方法有 ，注意不重不漏。
类型四.：与平面几何有关的问题在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少个三角形？四、二项式定理1：()n a b += （*∈N n ）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a )(+的展开式，其中r n C （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.即注意：（1）n b a )(+展开，共有 项？每一项的次数 ；（（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？字母a ，b 的指数和怎样？（3）各项的系数是什么？（4）r n C r r n b a -是n b a )(+的展开式的第几项？（5）n b a )(+的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？若不同，有什么区别？2.常见的题型题型一：求二项式展开式的特定项例1 ⑴ 求6)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；（2）求9)33(xx + 展开式中的常数项和中间项. 213.()15?n x n x-=（）在的展开式中，常数项为，求4324-(1x -（）：求（1x ）的展开式中的系数？3：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 .试试：① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 所以n b a )(+的各二项式系数的最大值是当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值. 试试：102⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21若a=1,b=-1又可以得到什么呢？试试：011111111111r C C C C ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= 0261011111111C C C C ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=4.常见的题型类型一：求二项式系数和、系数的和例1.求和：n n n n n n C C C C 2222210+⋅⋅⋅+++=例2.若()772210721x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=+⋅⋅⋅++721a a a ，=+++7531a a a a =+++6420a a a a . 127||||||a a a ++⋅⋅⋅+=小结：特殊值法:类型二：求系数最大（小）的项例3：求()1012x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．求二项式展开式中系数最大（小）的步骤为：类型三、求有理项：二项式的有理项的定义为346n例的展开式中，第项为常数项（1）求n 的值.（2）求展开式中所有的有理项。
类型四、多项式中的指定项例5在（x-1）(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含4x 项的系数是多少？例6. ()()()()6321111x x x x ++⋅⋅⋅++++++展开式中2x 的系数类型五、整除问题求余数问题例7. 求1008除以7的余数是 。
例8证明：10099-1能被1000整除。