数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第一单元
不定积分求解方法
不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。
为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。
研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。
求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。
求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。
关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。
前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。
我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。
提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。
所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。
标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。
要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。
下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。
数学分析上册第四版教材精选题汇总(含答案解析)
p2.例1 设x ,y 为实数，x y <.证明:存在有理数r 满足 x r y <<.证 由于x y <,故存在非负整数n ,使得n n x y <.令 ()12n n r x y =+ , 则r 为有理数，且有n n x x r y y ≤<<≤ ,即得x r y <<. p3.1.实数具有阿基米德性，即对任何,a b R ∈, 若0b a >>，则存在正整数n ，使得na b >. 证明:+,a b R ∀∈，n N +∃∈, 使得nb a >, 设012.n a a a a a = ,0a k N =∈ ,则1+110k a k +≤<，设012n b b b b b =，p b 为第一个不为0的正整数，令+110p k n +=，则+110k nb a >>，即nb a >.2.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。
证 若a b <，则存在n N +∈，使)(112b a n <- ，)(2b a n<- ， 设k 是满足k a n ≤ 的最大正整数，即+1k a n >，0ka n -≤ , 于是122k k k k ab a b n n n n n ++<<=+<+-≤ ，则1k n + ，2k n+ 是a 与b 之间的有理数，14k n nπ++ 是a 与b 之间的无理数。
.4P1.设a 为有理数，x 为无理数，证明：(1)a x +是无理数；(2)当a 0≠时，ax 是无理数.分析：根据有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性，用反证法证. 证明：(1)假设a x +是有理数，则()a x a x +-=是有理数，这与题设x 是无理数相矛盾，故a x +是无理数.(2)假设ax 是有理数，则当0a ≠时，axx a=是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故ax 是无理数.8.设p 为正整数.证明：若p .分析：本题采用反证法，联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点，可得结论.证明：用反证法.为有理数，则存在正整数m 、n mn=，且m 与n 互质.于是2m 22,(),pn m n pn ==⋅可见n 能整除2m ，由于m 与n 互质，从而它们的最大公约数为1，由辗转相除法知：存在整数u 、v 使1mu mv +=，则2m u mnv m +=.因n 既能整除2m u 又能整除mnv ，故能整除其和，于是n 能整除m ，这样1n =，所以2p m =.这与p 不是完全平方数相矛盾.小结：本题证明过程比较独特，先假设有理数为互质的两个数的商，利用这两个数与p 之间的关系，运用辗转相除法得出结论，注意知识点之间的内在联系.P7定理1.1（确界原理） 设s 为非空数集.若s 有上界,则s 必有上确界;若s 有下界,则s 必有下确界.证 我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见,不妨设s 含有非负数.由于s 有上界,故可找到非负整数n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1x n <+； 2） 存在0a S ∈,使0a n ≥.再对半开区间[),1n n +作10等分,分点为.1,.2,.9n n n ,则存在0,1,2,…,9中的一个数1n ,使得1） 对于任何x S ∈有1110.n x n <+； 2） 存在1a S ∈,使11.a n n ≥. 再对半开区间111.10,.n n n n ⎡⎫⎪⎢⎣⎭+作10 等分,则存在0,1,2,…,9中的一个数2n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1221.10n n n x +<； 2） 存在2a S ∈,使212.a n n n ≥.继续不断地10等分在前一步骤所得到的半开区间,可知对任何1,2,k =,存在0,1,2,…,9中的一个数k n ,使得1） 对于任何x S ∈有121.10k kx n n n n <+； （1） 2） 存在k a S ∈,使12.k k a n n n n ≥.将上述步骤无限地进行下去,得到实数12.kn n n n η=.以下证明sup S η=.为此只需证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<,存在a S '∈使a α<'.倘若结论（i ）不成立,即存在x S ∈使x η>,则可找到x 的k 位不足近似k x ,使121.10k k k kx n n n n η>=+,从而得121.10k kx n n n n >+, 但这与不等式（1）相矛盾.于是（i ）得证.现设αη<,则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>,即12.k k n n n n α>.根据数η的构造,存在a S '∈使k a η'≥，从而有k k >a ηαα≥≥'即得到<a α'. 这说明（ii ）成立 P.130例3 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α,存在整数k α，使得k ααλα=为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即存在'αS ∈,使得'(1).k ααα>-分别取1,1,2,,n nα==则对每一个正整数n ，存在相应的,n λ使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在',S α∈使得 1'n nαλ>- （6）又对正整数,m m λ是S 的上界，故有'm λα≥.结合（6）式得1n m nλλ-<；同理有1m n mλλ-<.从而得 11||max{,}.m n m nλλ-<于是，对任给的0,ε>存在0N >，使得当,m n N >时有||m n λλε-<由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=. （7）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何S α∈和正整数n 有n αλ≤，由（7）式得,αλ≤即λ是S 的一个上界.其次，对任何0,δ>由1n→∞()n →∞及（7）式，对充分大的n 的同时有 1,.22n n δδλλ<>- 又因1n n λ-不是S 的上界。
(完整版)数学分析第四版上册(20200809210036)
第一章实数集于函数
§1 实数
数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数。
为此，我们先简要叙述实数的有关概念。
一实数及其性质
在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两部分组成。
有理数可用分数形式??
(p,q为整数，q≠0)表示，也可用有限十进制
??
小数或无限十进制循环小数来表示；而无限十进制不循环小数则称为
无理数。
有理数和无理数统称为实数。
为了一下讨论的需要，我们把有限小数（包括整数）也表示为无
限小数。
对此我们做了如下规定：对于正有限小数（包括正整数）x,当x=??0·??1??2…????时，其中0≤????≤9,i=1,2,…,n,????≠0,??0为非负整数，记
x=??0·??1??2···
(????-1)999 9…,
为正整数时，则记
而当x=??
x=(??0-1).999 9…,
例如 2.001记为 2.000999 9…；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将-y表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.999 9…；又规定数0表示为0.000 0….于是，任何实数都可用一个确定的无限小数表示。
数学分析第四版答案 (3)
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
7.2
( 1. (1) x cos xdx. x cos xdx = (3) ln(1 − x)dx. xd sin x = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C. : 295 )
ln(1 − x)dx = x ln(1 − x) − =x ln(1 − x) + x dx 1−x 1−x−1 =x ln(1 − x) − dx 1−x 1 1− =x ln(1 − x) − dx 1−x =x ln(1 − x) − x − ln(1 − x) + C =(x − 1) ln(1 − x) − x + C. (5) xn ln xdx.
√
(25)
(27)
esin x cos xdx. esin x cos xdx = esin x desin x = esin x + C.
(29)
. 1 − 3x2 1 dx √ =√ 3 1 − 3x2 dx. 1 − x4 x 1 √ dx = 2 1 − x4 cos xdx a2 + sin2 x cos xdx 1 = 2 a2 + sin x a √ 1 + lnx dx = x √ x
(7)
(9)
dx. x3 + 1 x2 1 2 1 √ dx = (x3 + 1)− 2 d(x3 + 1) = x3 + 1 + C. 3 3 3 x +1 sin x (11) dx. cos3 x sin x d cos x 1 dx = − = + C. 3 3 cos x cos x 2 cos2 x dx √ (13) . tgx − 1 cos2 x dx d(tgx − 1) √ √ = = 2 tgx − 1 + C. 2 tgx − 1 cos x tgx − 1 5
数学分析刘玉琏10-1
(1,1) y x y x
2
y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1).
O
dA
x x+dx 1 x
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dA ( x x 2 )dx,
1
2 x 1 则 A ( x x )dx x . 0 3 0 3 3
解
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
椭圆的参变量函数为
x a cos t , t [0, 2 ]. y b sin t ,
由对称性知总面积等于4倍第 一象限部分面积．
2 A 4 ydx 4 b sin t ( a sin t )dt 4ab 0 sin tdt
( 2)具有可加性， 即 A Ai ;
i 1
n
(3)部分量Ai可“以不变代变”求得近似值 Ai f (i ) xi .
y
y f ( x)
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
a
x
d A f ( x )dx
A( x ) A
当x=x(t)严格单调时，则由该参变量函数及直线x=a，x=b和x轴 所围成曲边梯形的面积
A y dx y[ x ( x )] dx y( t ) x( t )dt .
1 a a
b
b
注：教材(P240)上的公式.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例2( P 240) 求由摆线x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形的面积.
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
cos xdex ex d cos x = ex cos x − ex sin xdx sin xdex ex d sin x
=ex cos x − =ex cos x +
=ex cos x + ex sin x − =ex (cos x + sin x) − I 2I = ex (cos x + sin x), I = 2. (1) e dx. e5x dx = (3) 1 5 1 e5x d(5x) = e5x + C. 5
xd arcsin x
1 − x2 + C.
ln(x + =x ln(x + =x ln(x +
1 + x2 )dx = x ln(x + 1 + x2 ) −
1 + x2 ) −
xd ln(x +
1 + x2 )
x x √ 1+ √ dx x + 1 + x2 1 + x2 √ 1 d( 1 + x2 ) √ 1 + x2 ) − 2 1 + x2 1 + x2 + C.
5x
=ex (cos x + sin x) − ex cos xdx
1 ex cos xdx = ex (cos x + sin x) + C 2
:
(5)
dx . 4 − 3x 1 d(4 − 3x) 1 dx =− = − ln |4 − 3x| + C. 4 − 3x 3 4 − 3x 3 dx . cos2 7x dx 1 d7x 1 = = tg7x + C. 2 2 cos 7x 7 cos 7x 7 cos3 x sin xdx. cos3 x sin xdx = − 1 cos3 d cos x = − cos4 x + C. 4
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。