机械能和动量综合题

能量与动量综合练习1．如图所示，在光滑的水平轨道上，质量为2m 的球A 以v A 的速度与质量为m 的静止球B 发生碰撞。

设在两球相碰过程中没有能量损失，并且B 球能通过与水平轨道相连接的、在同一竖直平面内半径为R 的半圆轨道的最高点P ，半圆轨道也是光滑的。

试求：（1）碰撞前A 球的速度v A 至少要多大？（2）在最小的v A 条件下，碰撞后B 球从开始运动到运动到P 点时动量的变化量是多少？并说明这一变化量是由哪些力作用的结果。

解：（1）设碰后A 球的速度为'A v ，B 球的速度为B v碰撞过程，对A 、B 系统用动量守恒定律B A A mv mv mv +'=22 （2分） 由能量守恒得 22221221221B A A mv mv mv +'⋅=⋅… （2分）B 上升的过程由动能定理2221212B mv mv R mg -=⋅-….③ （2分） 为使B 球运动到P 点，需要gR v ≥……….④ （2分）联立上述方程得 453Rgv A ≥……… （2分） （2）在最小的v A 条件下，由③④式得gR v B 5= （2分） )51(+-=-=∆gR m mv mv P B B （选择向右为正方向）， （2分） 是重力和轨道弹力作用的结果。

2．如图所示，用长为L 的细绳悬挂着质量为M 的小球，今有一质量为m 的子弹以水平速度v 击中小球并留在其中，为保证小球能在竖直平面内运动而悬线不会松驰，v 必须满足什么条件？A Bv≤gL 2m m M +，v≥gL 5m m M +3．A 物体自空中某处自由下落，同时B 物体从地面以s m /200=υ的初速度正对着A 竖直上抛，经过1秒钟，A 、B 相碰并粘在一起，已知质量3B A m m =.空气阻力不计，取210/g m s =.求：（1）AB 刚粘在一起时的速度。

（2）AB 落到地面时的速度是多少？经1秒种，A 的速度为./10110s m gt A =⨯==υ方向向下B 的速度为,/10110200s m gt t B =⨯-=-=υ方向向上碰撞时由动量守恒，取向上为正：1)(υυυB A B B A A m m m m +=+得：s m /51=υ 碰撞时的高度为：.1510210202222120m g h =⨯-=-=υυ 碰撞后满足机械能守恒：2221)(21)()(21υυB A B A B A m m gh m m m m +=+++ 得：./1353252s m ==υ4．水平桌上放一质量为1.0kg 条形金属盒，盒宽为1m,与水平桌面的动摩擦因数是0.25，在盒的A 端有一个与盒质量相等的小球B ，与盒间无摩擦。

现在盒的A 端迅速打击一下金属盒，给盒以2N ·S 的向右冲量，设球与盒的碰撞没有能量损失且碰撞时间极短。

求（1）小球B 在金属盒内运动的时间？（2）球与盒组成的系统从开始运动到完全停止的时间？（小球大小不计）23．16 （1）0.5s (2) 0.9s5．A 、B 两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k ，木块A的质量为m ，木块B 的质量为2m 。

将它们竖直叠放在水平地面上，如图所示。

(1)用力将木块A 缓慢地竖直向上提起，木块A 向上提起多大高度时，木块B 将离开水平地面？(2)如果使另一块质量为m 的物块C 从距木块A 高H 处自由落下，C 与A 相碰后，立即与A 粘在一起，不再分开，再将弹簧压缩，此后，A 、C 向上弹起，最终能使木块B 刚好离开地面。

如果木块C 的质量减为m/2，要使木块B 不离开水平地面，那么木块C 自由落下的高度H 距A 不能超过多少？解：(1)压缩平衡时，1kx mg =得kmg x =1 提离地面时，对B 为22kx mg = 得kmg x 22= 故A 提升高度为k mg x x 321=+ (2)C 与A 碰前速度gH V 2=，C 与A 碰后一起向下运动的初速度设为1V 由动量守恒：1)(V m m mv +=P E x x mg mgH ++=)(22121 同理：若C 的质量变为m 21，设下落高度为h ， P E x x mg mgh ++=)(236121 解得)33(K mg H h -=故)33(K mg H h -≤6．如图所示，紧挨着放在光滑水平桌面上的A ，B 两个木块质量分别为m 1=2kg 和m 2=3kg;一颗质量m=0.1kg 的子弹，以水平速度v 0射如A ，经Δt=0.01s射穿A ，最后停在B 中。

经测量，最终A ，B 在水平桌面上滑行的速度分别为v 1 =8m/s 和v 2=20m/s.求（1）、子弹射入A 之前速度 v 0多大？（2）、子弹在A 中受到的平均作用力多大？（3）、子弹穿透A 的过程中，A ，B 之间相互作用力的平均值多大？解：（1）以子弹、A 、B 为一系统，相互作用动量守恒由mv 0=m 1v 1+(m+m 2)v 2 （4分）得v 0=780m/s （2分）（2）设子弹在A 中所受的平均作用力为f以A 、B 为研究对象由动量定理有：fΔt=(m 1+m 2)v 1 （4分）得：f=4000N （2分）（3）设子弹在射穿A 的过程中，A 、B 之间的平均作用力为F以B 为研究对象由动量定理有：FΔt=m 2v 1 （4分）得：F=2400N7．如图所示，A 、B 质量分别为m 1 = 1 kg ，m 2 = 2 kg ， 置于小车C 上。

小车质量m 3 = 1kg ，AB 间粘有少量炸药，AB 与小车间的动摩擦因数均为0.5，小车静止在光滑水平面上，若炸药爆炸释放的能量有12 J 转化为A 、B 的机械能，其余的转化为内能。

A 、B 始终在小车上表面水平运动，求：(1). A 、B 开始运动的初速度各是多少?(2). A 、B 在小车上滑行时间各是多少?(1). 爆炸过程，动量守恒， (3分)能量守恒 (3分)∴vA = 4 m/s vB = 2 m/s (2分)(2). 爆炸后，AB 在车上左、右滑行，小车向右滑动，经tB 时间B 与车相对静止，A 继续在车上滑行，最终三者速度都为零，此时A 停在车上，设时间为tA (2分)C 车加速度大小为 m/s2 (3分)A 、B 加速度大小： 5m/s2 (2分)B 与车相对静止时 s (2分)A 停止滑行 s8．如图所示，一个质量为m=5kg 的物体，用一根不可伸长的长为L=50cm 的细线悬挂于O 点，在O 点的正下方某处有一根钉子，当细线摆到竖直位置时，细线将被钉子挡住．现将细线拉直至水平位置后由静止开始释放，求：(1)要使小球上的细线最终全部绕在钉子上，钉子应在O 点下方至少多远处？(2)在上述（1）的临界状态下，细线第一次碰撞钉子前后的拉力之比为多少？解：(1)小球碰上钉子O /后以钉子O /为圆心做圆周运动刚好能通过最高点，则在最高点Q 有： rv m mg 22 …………（2分） 研究小球由静止运动到Q 点的过程中，由机械能守恒得： mg(L-2r)=2221mv …………（2分） 满足条件的钉子在O 点下方的最小值为X=L-r=L 53 …………（2分） (2)小球在由静止开始摆至最低点P 的过程中，由机械能守恒得： mgL=2121mv …………（2分） 在最低点碰钉子前，小球做半径为L 的圆周运动，细线的拉力为F 1有：F 1-mg=Lv m 21 得F 1=3mg …………（2分） 在最低点碰钉子前，小球做半径为r 的圆周运动，细线的拉力为F 2有：F 2-mg=rv m 21 得F 2=6mg …………（2分） 则细线碰钉子前后的拉力之比为：F 1∶F 2=1∶2 …………（2分）9．如图所示，质量为3m 、长度为L 的木块置于光滑的水平面上，质量为m 的子弹以初速度v 0水平向右射入木块，穿出木块时速度为2 v 0/5，设木块对子弹的阻力始终保持不变.求：⑴子弹穿透木块后,木块的速度的大小；⑵子弹穿透木块的过程中，木块滑行的距离s解:（1）mv 0=m×2v 0/5＋3mv,则v= v 0/5（2）f(s ＋L) = m[v 02－(v 0)2], fL = ×3mv 2,解得s = L10．如图，在光滑的水平桌面上，静放着一质量为980g 的长方形匀质木块，现有一颗质量为20g 的子弹以300m/s 的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。

已知木块长度为10cm ，子弹打进木块的深度为6cm 。

设木块对子弹的阻力保持不变。

（1）求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所增加的内能。

（2）若子弹是以400m/s 的水平速度从同一方向向水平射向该木块的，则它能否射穿该木块？解:(1)动量守恒:mv 0=(M+m)v 1 v 1= =6m/s.ΔE=(2)假设恰能射穿mv 0’=(M+m)v’ v’=20×10–3×4×102=8m/sf.S’= f.S=S’= 则能射穿木块.11．空间探测器从行星旁绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应？。

在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。

如图所示是“弹弓效应”示意图：质量为m 的空间探测器以速度v 0飞向质量为M 的行星，此时行星的速率是u 0，绕过行星后探测器的速度为v ，此时行星的速度为u ，题中v 0、u 0、v 、u 都是相对于太阳的速度。

（1）空间探测器及行星的速度v 0、u 0、v 、u 的方向均可视为平行，试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能守恒”的方程；（2）在m<<M 的条件下，求出空间探测器绕过行星后相对太阳的速度v （用v 0、u 0来表示）；（3）若上述行星为M=5.67×1026kg 的土星，其轨道速率为u 0=9,6km/s,空间探测器的质量m=150kg,迎向土星地速率v 0 =10.4km/s ，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过土星后的速率将增为多少？（1）根据动量守恒定律 mv Mu mv Mu +=-00①（2分）由于始末状态总动能相等。

故22202021212121mv Mu mv mu +=+②（2分） （2）由①式得M(u 0－u)=m(v 0+v)③（1分） 由②式得M(u 02－u 2)= m(v 2+v 02)④（1分）∵u 0≠u，v 0≠v ∴联立③④式，解得：M mv M m v u m M mv v u M v +-+=+-+=12)2(000000 ⑤（3分）∵m<<M 即0→Mm ∴v=2u 0+v 0 ⑥（2分） （3）由于m=150kg ，M=5.67×1026kg, 0→Mm 故将v 0、u 0的已知数据代入⑥式，得v=29.6 km/s ⑦（3分）12．如图所示，光滑水平面上有两辆相同的小车，质量都是M.B 车静止，其顶板上用细线悬挂一个质量为m 的小球（M ＝4m ），小球也处于静止.A 车以速度v 0向右匀速运动，和B 车发生正碰，碰撞时间极短，碰后两车不再分开，这时可以观察到B 车中悬挂的小球开始摆动.若小球第一次向左摆动的最大摆角为60°，求悬挂小球的细线的长度L.解:两车相碰的极短时间内小球保持静止，两车组成的系统动量守恒Mv 0＝（M ＋M ）v 1小球上摆到最大摆角的过程中，水平方向动量守恒（M ＋M ）v 1＝（M ＋M ＋02）v 2 两车相碰后到小球第一次摆动到最高点过程系统机械能守恒mgL （1－cos60°）＝21（M ＋m ）v21－21（M ＋M ＋m ）v 22 已知M ＝4m由以上各式解得L ＝g v 9220 13．一个质量m ＝0.20kg 的小球系于轻质弹簧的一端，且套在半径R ＝0.5 m 的光滑圆环上，圆环固定在竖直平面内，弹簧的另一端固定在环的最高点A 处，环的半径R ＝0.5m ，弹簧的原长l 0＝0.50 m ，劲度系数k ＝4.8N ／m ，如图所示.已知弹簧处于原长时的弹性势能为零.伸长长度为x 时弹簧的弹性势能为221kx E P =.若小球从图中B 点（∠AOB＝60°）由静止开始释放，它将沿圆环滑动并通过最低点C.求：（1）小球经过C 点时的速度vc 的大小；（2）小球经过C 点时对环的作用力.（1）设小球经过C 点时的速度大小为v c ，这时弹簧伸长的长度x＝R ＝0.5 m ，根据机械能守恒定律，mg （R ＋Rcos60°）＝222121c mv kx +， 则s m mkx mgR v c /3)60cos 1(22=-︒+=. （2）小球经过C 点时共受到三个力的作用，即向下的重力mg 、向上的弹簧弹力F 及环的作用力N ，这三个力的合力提供它做圆周运动所需的向心力.设环对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律可列出：N ＋F —mg ＝mv 2c ／R ，解出 N ＝mg ＋mv 2c ／R —kx ＝8.8N ，方向向上.根据牛顿第三定律，小球对环的作用力大小为8.8N ，方向竖直向下.14．如图所示,质量为1kg 物块m 1以5m/s 速度在水平桌面上向右运动,桌面AB 部分粗糙,其长2.25m,与物块间动摩擦因数为0.2,其他部分均光滑,在桌右端有一静止的质量为2.5kg 的物块m 2,m 1与m 2正碰后,m 2离开桌面,当它下落竖直距离0.6m 时,速度大小为4m/s,试求：物块m 1停在桌面上的位置.(g 取10m/s 2)56．m 1与m 2碰撞前的速度为v 1，由动能定理 2211110111224/AB m gS m v m v v m s μ-=-=得 ①②m 2碰后速度为v 2，下落0.6m 速度为v 2′由22222221122m gh m v m v '=- ③ 得22/v m s = ④m 1与m 2碰撞过程动量守恒,m 1碰后速度为v 1′111122m v m v m v '=+ ⑤ 得11/v m s '=- ⑥ 设m 1停在距Bl 远处由动能定理 2111102m gl m v μ-=- ⑦ 0.25l m = ⑧15．在倾角θ=30°的粗糙斜面上放一长L=0.2m 的盒子（如图12），盒子与斜面间的动摩擦因数μ=0.8，在盒子的上方放一质量等于盒子质量的小物块且与盒内表面无摩擦，放开物块后即从盒内滑下，当盒从开始位置移动多大距离时，物块才不再与盒子发生碰撞？（设碰撞时间极短，且碰撞中没有机械能损失，物体与盒在碰撞时交换速度）。