动量、动能定理、机械能守恒、能量守恒综合运用

图5-3-1(P1--7) 动能、动量、机械能守恒 综合运用动能定理的理解1.动能定理的公式是标量式，v 为物体相对于同一参照系的瞬时速度.2.动能定理的研究对象是单一物体，或可看成单一物体的物体系.3.动能定理适用于物体做直线运动，也适用于物体做曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用.只要求出在作用的过程中各力所做功的总和即可.这些正是动能定理的优越性所在.4.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时可以分段考虑，也可以将全过程视为一个整体来考虑.【例1】一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．【解析】 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：mgh mgl W G ==αsinαμcos 1mgl W f -=物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则22mgS W f μ-= 对物体在全过程中应用动能定理：ΣW =ΔE k ． 所以 mgl sin α－μmgl cos α－μmgS 2=0 得 h －μS 1－μS 2=0．式中S 1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故ShS S h =+=21μ动能定理的应用技巧1.一个物体的动能变化ΔE k 与合外力对物体所做的总功具有等量代换关系.若ΔE k ＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔE k ＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔE k =0，表示合外力对物体所做的功为0,反之亦然.这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法.2.动能定理中涉及的物理量有F 、s 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理.由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始、末两状态的动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便.3.动能定理解题的基本思路(1)选择研究对象，明确它的运动过程.(2)分析研究的受力情况和各个力的做功情况，然后求出合外力的总功. (3)选择初、末状态及参照系.(4)求出初、末状态的动能E k1、E k2.(5)由动能定理列方程及其它必要的方程，进行求解.【例2】如图5-3-2所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止.求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功. 【解析】物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR ，f BC =umg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求.根据动能定理可知：W 外=0，所以mgR -umgS -W AB =0即W AB =mgR -umgS =1×10×0.8-1×10×3/15=6J【例3】质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m.质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速度水平射向木块，并以v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ.解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段.所以本题必须分三个阶段列方程： 子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2，有：22212121Mv Mv MgL -=μ……②木块离开台面后的平抛阶段，ghv s 22=……③ 由①、②、③可得μ=0.50【点悟】从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理.机械能（1）定义：机械能是物体动能、重力势能、弹性势能的统称，也可以说成物体动能和势能之总和.（2）说明①机械能是标量，单位为焦耳（J ）.②机械能中的势能只包括重力势能和弹性势能，不包括其他各种势能. 机械能守恒定律内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化. 一、应用机械能守恒定律解题的步骤： 1.根据题意选取研究对象（物体或系统）；图5-3-2图5-3-32.分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；3.确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；4.根据机械能守恒定律列出方程进行求解注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性.【例1】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R 的圆形轨道相连接，质量为m 的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？ 【解析】 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点为零重力势能面．因小球恰能通过圆轨道的最高点C ，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列Rv m mg c 2= 得gR m Rv m c 2212=在圆轨道最高点小球机械能:mgR mgR E C 221+=在释放点，小球机械能为: mgh E A = 根据机械能守恒定律 A CE E = 列等式：R mg mgR mgh 221+=解得R h 25=同理，小球在最低点机械能 221BB mv E = gR v E E B CB 5==小球在B 点受到轨道支持力F 和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列mgF Rv mmg F B62==-据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg ．方向竖直向下．【例2】质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图5-5-8所示.物块从钢板正对距离为3 x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动.已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点，若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O 点的距离. 物块从3x 0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒.则有200213.mv x mg =(1) v 0为物块与钢板碰撞时的的速度.因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒.设v 1为两者碰撞后共同速m v 0=2m v 1 (2)图5-5-1 图5-5-8两者以v l 向下运动恰返回O 点，说明此位置速度为零。

运动过程中机械能守恒。

设接触位置弹性势能为E p ，则212)2(21mgx v m E p =+ (3) 同理2m 物块与m 物块有相同的物理过程碰撞中动量守恒2m v 0=3m v 2 (4) 所不同2m 与钢板碰撞返回O 点速度不为零，设为v 则2022')3(213)3(21v m mgx v m E p +=+ (5)因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化E p =E ’p(6)由于2m 物块与钢板过O 点时弹力为零.两者加速度相同为g ，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g ，所以与物块分离，物块以v 竖直上抛.上升距离为:gv h 22=(7)由(1)～(6)式解得v 代入（7）解得021x h =【点拨】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化的.守恒等多个知识点.是一个多运动过程的问题。

关键问题是分清楚每一个过程.建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律.弹簧类问题，画好位置草图至关重要.动量守恒定律1．动量：物体的质量和速度的乘积叫做动量。

动量是状态量，它与时刻相对应。

描述物体的运动状态。

⑵动量是矢量，它的方向和速度方向相同。

运算遵循平行四边形定则。

⑶动量具有相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系 2．动量守恒定律（1）定律内容及公式：一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

即：22112211v m v m v m v m '+'=+ （2）动量守恒定律成立的条件①系统不受外力或者所受外力之和为零；②系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；③系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

④全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。

（3）动量守恒定律的表达形式：除了22112211v m v m v m v m '+'=+，即p 1+p 2=p 1/+p 2/外，还有：Δp 1= -Δp 2【例1】如图11所示，C 是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m ，在木板的上面有两块质量均为m 的小木块A 和B ，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。

最初木板静止，A 、B 两木块同时以方向水平向右的初速度V 0和2V 0在木板上滑动，木板足够长， A 、B 始终未滑离木板。

求：（1）木块B 从刚开始运动到与木板C 速度刚好相等的过程中，木块B 所发生的位移；（2）木块A 在整个过程中的最小速度。

解：（1）木块A 先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动；木块B 一直做匀减速直线运动；木板C 做两段加速度不同的匀加速直线运动，直到A 、B 、C 三者的速度相等为止，设为V 1。

对A 、B 、C 三者组成的系统，由动量守恒定律得：100)3(2V m m m mV mV ++=+解得：V 1=0.6V 0对木块B 运用动能定理，有：2021)2(2121V m mV mgs -=-μ 解得)50/(91:20g V s μ=（2）设木块A 在整个过程中的最小速度为V ′，所用时间为t ，由牛顿第二定律： 对木块A ：g m mg a μμ==/1, 对木板C ：3/23/22g m mg a μμ==,当木块A 与木板C 的速度相等时，木块A 的速度最小，因此有： t g gt V )3/2(0μμ=- 解得)5/(30g V t μ= 木块A 在整个过程中的最小速度为：.5/2010/V t a V V =-=能量守恒定律(1)内容:能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变.(2)导致能量守恒定律最后确立的两类重要事实是:确认了永动机的不可能性和发现了各种自然现象之间的相互关系与转化.(3)建立能量转化与守恒定律工作最有成效的三位科学家是:迈尔、焦耳、亥姆霍兹. (4) 能量守恒定律的建立,是人类认识自然的一次重大飞跃,是哲学和自然科学长期发展和进步的结果.它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一,而且是大自然普遍和谐性的表图11现形式.做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度.需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应.两者的单位是相同的（都是J ），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”.⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理. ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理.【例1】如图5-6-2所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A 位置有一只小球.小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零.小球下降阶段下列说法中正确的是( ) A.在B 位置小球动能最大 B.在C 位置小球动能最大 C.从A →C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D.从A →D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 【解析】小球动能的增加用合外力做功来量度，A →C 小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C →D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B 正确.从A →C 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C 正确.A 、D 两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D 正确.选B 、C 、D .【答案】BCD【例2】如图5-6-4所示,质量为m 的长木板A 静止在光滑水平面上，另两个质量也是m 的铁块B 、C 同时从A 的左右两端滑上A 的上表面，初速度大小分别为v 和2v ，B 、C 与A 间的动摩擦因数均为μ.⑴试分析B 、C 滑上长木板A 后，A 的运动状态如何变化？ (2)为使B 、C 不相撞，A 木板至少多长？【解析】(1)B 、C 都相对于A 滑动时，A 所受合力为零，保持静止.这段时间为gv t μ=∆1 B 刚好相对于A 静止时，C 的速度为v ，A 开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A 、B 、C 最终的共同速度为3v v =' 这段加速经历的时间为gv t μ322=∆ 最终A 将以3v v ='做匀速运动(2)全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热为mgd fd Q μ== 由能量守恒定律列式：()222332122121⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+=v m v m mv mgd μ图5-6-2 D A BC 图5-6-4图5-6-6解得:gv d μ372=这就是A 木板应该具有的最小长度.【例3】如图5-6-5所示，质量为M 的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以速度v 0射入木块中.设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f ，且子弹未射穿木块.若子弹射入木块的深度为D ，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？解:以子弹、木块组成系统为研究对象.画出运算草图，如图5-6-6所示.系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒.据动量守恒定律有mv 0= (M+m)v (设v 0方向为正) 解得:mM mv v +=0 子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：对子弹 2022121mv mv fs -=-子① 对木块 221Mv fs =木 ② 由运动草图可S 木=S 子－D ③ 由①②③解得 mM mD s +=木①+②有）木子s s f mv v m M --=-+(21)(21202 fD mv v m M -=-+20221)(21 即220)(2121v m M mv fD +-=)(2)1(121)()(21212020220220m M v m M m mM m M mv m M v m m M mv E K +-+=+-+=++-=∆图5-6-5经典练习题 1. 如图所示, DO 是水平面,AB 是斜面,初速度为v 0的物体从D 点出发沿DBA 滑动到顶点A 时速度刚好为零.如果斜面改为AC,让该物体从D 点出发沿DCA 滑动到A 点且速度刚好为零.已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零,则物体具有的初速度 ( )A.大于v 0B.等于v 0C.小于v 0D.取决于斜面的倾斜角2. 如图所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB 、BC 两段，AB=2BC 。