八年级几何证明题集锦及解答值得收藏

八年级几何全等证明题归纳1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．求证：CF=AB+AF．证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由．解：垂直．理由：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，∴RT△ABE≌△DCE，∴∠BAE=∠CDE，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴DE⊥CF．3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90º，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证明：CF＝EF解：AED过D作DG⊥BC于G．由已知可得四边形ABGD为正方形，∵DE⊥DC∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF ≌△CDF，∴EF=CF4.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

证明：过点C作CG⊥CA交AF延长线于G∴∠G+∠GAC=90°…………①又∵AE⊥BD∴∠BDA+∠GAC=90°…………②综合①②，∠G=∠BDA在△BDA与△AGC中，∵∠G=∠BDA∠BAD=∠ACG=90°BA=CA∴△BDA≌△AGC∴DA=GC∵D是AC中点，∴DA=CD∴GC=CD由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1在△GCF与△DCF中，∵GC=CD∠2=45°=∠1CF=CF∴△GCF≌△DCF∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA∴∠ADB=∠FDC5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，求证：OE=OF提示：由条件知△BCD为等腰Rt△，连接OC，可证△OCK≌△ODH(AAS)，得OK=OH，再证△FOH≌△EOK(AAS)，得OE=OFAB CDEGFKOH6.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM 交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．解：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，又∵CN⊥DM交AB于N，∴∠NCM+∠CMD=90°，而∠CMD+∠CDM=90°，∴∠NCM=∠CDM，∴△DCM≌△CBN，∴CM=BN，再根据四边形ABCD是正方形可以得到OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，∴△OCM≌△OBN．∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，∴∠BON+∠MOB=90°．∴∠MON=90°．∴OM与ON之间的关系是OM=ON；OM⊥ON．7.如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．证明：根据题意，知AD∥BC．∴∠EAD=∠AEN（内错角相等），∵∠DMA=∠NME（对顶角相等），又∵M是线段AE的中点，∴AM=ME．∴△ADM≌△ENM（ASA）．∴AD=NE,DM=MN．（对应边相等）．连接线段DF，线段FN，线段CE是正方形的对角线，∠DCF=∠NEF=45°，根据上题可知线段AD=NE，又∵四边形CGEF是正方形，∴线段FC等于FE．∴△DCF≌△NEF（SAS）．∴线段FD=FN．∴△FDN是等腰三角形．∴线段MD⊥线段MF．8.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∵DB=DC，CE=BM，∴△DCE≌△BMD，∵∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）∴DN=ND（公共边）∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．E 为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°．∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=30°．∴AD=BD．在DE上截取DM=DC，连接CM，∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，∴△ACD≌△BCD．∴∠ACD=∠BCD=45°．∵∠CAD=15°，∴∠EDC=60°．∵DM=DC，∴△CMD是等边三角形．∴∠CDA=∠CME=120°．∵CE=CA，∴∠E=∠CAD．∴△CAD≌△CEM．∴ME=AD．∴DA+DC=ME+MD=DE．即AD+CD=DE．10.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．证明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，在△AHF与△ADF中，∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），∴△AHF≌△ADF（HL）．∴AH=AD，HF=DF．又∵DF=FC=FH，FE为公共边，∴△FHE≌△FCE．∴HE=CE．∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，∴AE=EC+CD．11.已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF ⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．求证：AB+CD=2BE．证明：过D作DM∥AC交BA的延长线于M．∵梯形ABCS中，AD=BC，∴BD=AC．又∵CD∥AM，DM∥AC，∴四边形CDMA为平行四边形．∴DM=AC，CD=AM．∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，∴DM⊥BD，DM=BD，∴△DMB为等腰直角三角形．又∵DF⊥BM，∴DF=BF．∴BM=2DF=2BF∴AM+AB=2BF．∵CD=AM，∴AB+CD=2BF．∵AC=BD=AB，∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．∴BE=BF．∵AB+CD=2BF，∴AB+CD=2BE．12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：AD=DE．证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．连接BD．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE．13.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．求证：CF=CG；证明：连接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴CD=CE；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，∴△FDC≌△GEC，∴CF=CG．14.如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于C，PA=PB，求证AO+BO=2CO证明：过点P作PQ⊥OB于Q，则∠PQB=90°∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PQ⊥OB∴PC=PQ在Rt△POC与Rt△POQ中，∵PC=PQPO=PO∴Rt△POC≌Rt△POQ（HL）∴OC=OQ∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在Rt△PCA与Rt△PQB中，∵PC=PQPA=PB∴Rt△PCA≌Rt△PQB（HL）∴CA=QB又2OC=OC+OB+BQ∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB15.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG；证明:∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE∴AB=AF．连接AG，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．∴BG=FG16.如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，连接CE、CF，求证：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，∵AF=FD，AE=DC，EF=CF∴△EAF≌△CDF∴∠CDF=∠EAF，∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60° ∴∠AFC-∠DFC=60°∴∠AFE=∠DFC∴∠EFC=60°同理，∠FEC=60°∵CF=CE∴△ECF是等边三角形17.已知正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，过F点作EF⊥BA 于E，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG；证明：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG= MC，∴EG=CG．18.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．解：在AC上取AF=AE，连接OF，则△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC= （180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．19.已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．解：如图，在AB上截取AF=AD，∴AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠FAE，∵AF=AD，AE=AE，∴△DAE≌△FAE，∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE⊥BE，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠DAE+∠CBE=90°，∴∠ABE=∠CBE，同理，∠FEB=∠CEB，∵BE=BE，∴△BEF≌△BEC，∴BF=BC，∴AB=AF+FB=AD+BC．20.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE 相交于点F，连接CD，EB．求证：CF=EF．证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．即∠CAD=∠EAB．∴△CAD≌△EAB，∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．又∵∠ADE=∠ABC，∴∠CDF=∠EBF．又∵∠DFC=∠BFE，∴△CDF≌△EBF．∴CF=EF．21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．求证：AF+EF=DE证明：连接BF∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．B AO DCE 图2初二几何全等证明题集锦（二）1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．C B OD 图1AE（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．4.已知：如图5—132，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ．A BCDEF图甲图乙F EBAF E DCB A 图丙5.如图，在正方形ABCD 中，△PBC 、△QCD 是两个等边三角形，PB 与DQ 交于M ，BP 与CQ 交于E ，CP 与DQ 交于F 。