1998年加拿大数学奥林匹克

①
b1b= a2- m 2
②
由①知, b1 是整数, 由②知, b1 < 0, 于是
b1 为负整数.
m 2=
a2+ a b1 +
b21 1
<
0.
矛盾. 所以 a≥m.
而由上面过程来看, 只要 m < a < b, b 总
可以用另一个正整数 b1 取代, 并且
b1b= a2- m 2< a2< ab,
+ sin60°sin20°)
= sin40°(co s20°+ 3 sin20°) , ∴ sin80s°in- 40si°ns4in02°c0o°s20°= 3 . 如图所示, 不妨设△A B C 的外接圆半径
AG GF
=
A
B- B GF
G=
3.
所以, ∠B A F = 30°. 于是 A F ⊥B C.
{
a 2
}+
{
a 3
}+
{
a 5
}=
1 30a
,
且{
a 2
}=
0,
1 2
,
{
a 3
}=
0,
1 3
,
2 3
,
{
a 5
}=
0,
1 5
,
2 5
,
3 5
,
4 5
,
故共有
2×3×5=
30 个.
又 15i+ 10j + 6k ( i= 0, 1, j = 0, 1, 2, k =
0, 1, 2, 3, 4) 是方程的解. 所以, a = 15i&1< [ x ]≤x , 可得
a >
(
a 2
-
1) +
(
a 3
-
1) +
(
a 5
-
1)
=
31 30a
-
3,
a
≤
a 2
+
a 3
+
a 5
=
3310a.
∴
0≤a< 90.
又 a 是非负整数, 故
a
≥
(
a 2
-
1 2
)
+
(
a 3
-
2 3
)
+
(
a 5
-
4 5
)
,
∴
a ≤59.
由题设可知:
1 n+
1
(1+
1 3
+
…+
1 2n -
1)
+
1 n+
1
(
1 2
+
1 4
+
…+
1 2n
)
>
1 n
(
1 2
+
1 4
+
…+
1 2n
)
+
1 n+
1
(
1 2
+
1 4
+
…+
1 2n
)
Ζ
1 n+
1
(1+
1 2
+
1 3
+
…+
1) 2n
>
2n+ 1 2n (n+ 1)
(1+
1 2
+
…+
1) n
Ζ
1+
1 2
+
1 3
+ 6k ( i= 0, 1, j = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, 3, 4).
x-
1 x
≥0,
21 由 1-
1 x
≥0,
x ≠0 得 x ≥1.
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51 设 m 是一个正整数. 数列{an } 定义
为: a0= 0, a1= m ,
an+ 1= m 2an- an- 1, n ≥1.
证明: 一个有序非负整数对 (a, b) (其中
a<
b)
是方程a2+ ab+
b2 1
=
m2
的解的充分必要条
件是 (a, b) 具有 (an, an+ 1) 的形式, 其中 n≥0.
1999 年第 6 期 数 学 通 讯
47
因为 x =
x-
1 x
+
1-
1 x
①
为
1 2
,
则
B C = sin40°,
所以
1 x
=
x-
1 x
-
1-
1 x
x- 1
A B = sin80°. 易 知 ∠B FC =
x -
x
1=
x-
1 x
-
1-
1 x
②
70°= ∠B CF , 故 B F = B C = sin40°. 作 GF
+
…+
1 2n
>
(1+
1 2n
)
(1+
1 2
+
…+
1) n
Ζ
1 n+
1+
n
1 +
2+
…+
1 2n
>
1 2n
(
1+
1 2
+
…+
1 n
).
上面这个不等式显然.
41 首先
sin80°= 2sin40°co s40°
= 2sin40°co s (60°- 20°)
= 2sin40°(co s60°co s20°
51 首先证明: 如果正整数 a, b 满足
a2+ ab+
b2 1
=
m
2,
0<
a<
b,
那么 a≥m.
事实上, 如果 0< a< m , 把上式写成关于
b 的一元二次方程的形式:
b2- (m 2a ) b+ (a2- m 2) = 0.
设这个方程的另一个根为 b1, 由韦达定
理, 得
b1+ b= m 2a
46
数 学 通 讯 1999 年第 6 期
数 学 竞 赛 之 窗
本栏特邀主持人 熊 斌 冯志刚
有关本栏的稿件, 请直接寄给熊斌 (200062, 华东师大数学系) , 或冯志刚 (200231, 上海市上海中学). 提供 试题及解答请尽量注明出处.
本期给出由伍能先生提供的 1998 年加 拿大数学奥林匹克试题及解答.
①+ ②, 得
⊥A B , 垂足为 G , 则
x+
xx
1=
2
x-
1 x
.
B G = sin40°co s20°, GF = sin40°sin20°,
两边平方并且化简后得
此即
(第 3 题图)
x 4- 2x 3- x 2+ 2x + 1= 0, (x 2- x - 1) 2= 0,
∴
x=
5+ 2
1.
31 原不等式等价于
1998 年加拿大数学奥林匹克
11 求满足下面方程的实数 a:
[
a 2
]+
[
a 3
]+
[
a 5
]=
a.
其中[ x ]表示不超过 x 的最大整数.
21 求所有的实数 x , 使得
x=
x-
1 x
+
1-
1 x
.
31 设 n≥2 是自然数, 证明
n
1 +
1
(1+
1 3
+
…+
1 2n -
1)
>
1 n
(
1 2
+
1 4
+
…+
1 2n
).
41 在 三 角 形 A B C 中, ∠B A C = 40°,
∠A B C = 60°. D 和 E 分别是边 A C 和 A B 上
的点, 使得∠CB D = 40°, ∠B CE = 70°. F 是
直线 B D 和 CE 的交点. 证明直线 A F 和直
线B C 垂直.
∴ b1< a.
这 样, 由对称性, 一组解 (a, b) 就用 (b1,
a) 来替代了, 此处 b1= m 2a- b.
这一过程不可能无限地进行下去, 而由
上述论证知, 最后总能化到 (0, m ) 这组“基本
解”. 以上每步都是可以逆推的. 最后便知 (a,
b) 必定是数列{an}的连续两项.
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