误差及数据分析的统计处理
数据统计中的误差分析与处理
数据统计中的误差分析与处理数据统计在科学研究、商业决策以及各行各业的发展中起着重要作用。
然而，在进行数据统计时，我们经常会遇到误差，这可能导致结果的不准确性。
因此，了解误差的来源、分析和处理方法对于获得可靠的统计结果至关重要。
本文将探讨数据统计中的误差分析与处理方法。
一、误差来源1. 观察误差：观察误差是由于人为因素造成的误差，例如测量仪器的不准确性、操作者的主观误差等。
2. 抽样误差：抽样误差是由于样本选择的随机性和偏见导致的误差。
若抽取样本的方法具有偏向性，可能导致样本不具有代表性，进而影响统计结果的准确性。
3. 测量误差：测量误差是指在测量过程中产生的不确定性误差。
这可能是由于测量仪器的限制、测量环境的条件等引起的。
4. 数据采集误差：数据采集误差是指在数据采集过程中产生的误差。
这可能是由于数据录入的错误、丢失数据等原因导致的。
二、误差分析方法1. 统计指标分析：通常，我们可以使用平均值、标准差、方差等统计指标来对数据进行分析。
通过比较统计指标的差异，我们可以判断误差的大小和分布情况。
2. 图表分析：绘制直方图、散点图、折线图等图表可以直观地显示数据的分布情况。
通过观察图表，我们可以发现异常值和偏差，从而进行误差分析。
3. 假设检验：通过对数据进行假设检验，我们可以确定某一假设的真实性。
例如，使用 t 检验、方差分析等方法来比较样本和总体之间的差异，以检验误差是否显著。
三、误差处理方法1. 数据清洗：在数据统计中，数据的准确性至关重要。
因此，在进行统计分析之前，我们应该对数据进行清洗，包括去除异常值、填充缺失值等操作，以确保数据的可靠性。
2. 方法改进：在数据统计中，选择合适的统计方法也是非常重要的。
如果我们发现某种方法在误差较大或不适用的情况下，可以尝试其他方法来提高结果的准确性。
3. 模型修正：如果误差的来源可以被建模和理解，我们可以通过修正模型的参数或结构来降低误差的影响。
这可能涉及到重新拟合模型、调整参数等操作。
实验数据的统计与误差分析方法
实验数据的统计与误差分析方法引言：在科学研究中，实验数据的统计与误差分析方法是十分重要的。
通过对数据进行统计分析和误差分析，可以更加客观地评估实验结果的可靠性和准确性。
本文将介绍实验数据的统计分析方法和误差分析方法，并提出一些相关的实践经验。
一、实验数据的统计分析方法实验数据的统计分析方法主要包括描述统计和推断统计。
描述统计是对数据的基本特征进行总结和描述，推断统计则是通过样本数据对总体参数进行推断。
1. 描述统计描述统计主要包括以下几种方法：（1）中心位置度量：即对数据的集中趋势进行度量，常用的指标有算术平均值、中位数和众数。
算术平均值是最常用的中心位置度量指标，能够反映数据的总体情况。
（2）离散程度度量：即对数据的分散程度进行度量，常用的指标有标准差、方差和极差。
标准差是最常用的离散程度度量指标，能够反映数据的波动情况。
（3）偏态度和峰态度量：即对数据的分布形态进行度量，常用的指标有偏态系数和峰态系数。
偏态系数描述了数据分布的偏斜程度，峰态系数描述了数据分布的陡缓程度。
2. 推断统计推断统计主要包括以下几种方法：（1）参数估计：通过样本数据对总体参数进行估计，常用的方法有点估计和区间估计。
点估计是直接用样本数据估计总体参数的值，区间估计是用样本数据确定总体参数的置信区间。
（2）假设检验：通过样本数据对总体参数的某个假设进行检验，常用的方法有抽样分布检验和假设检验。
抽样分布检验是根据样本数据构建抽样分布，通过比较样本统计量与抽样分布的关系判断总体假设的合理性；假设检验是通过计算样本统计量的概率值，判断总体假设的接受程度。
二、误差分析方法误差是实验数据与真实值之间的差异，误差分析是对误差进行评估和分析的过程。
误差分析方法主要包括系统误差和随机误差的分析。
1. 系统误差分析系统误差是由于实验过程中存在的系统偏差或定性转换引起的误差。
系统误差的来源可以是仪器的误差、环境的影响、实验操作的不准确等。
系统误差分析的方法包括以下几步：（1）确定系统误差的来源和机理；（2）采用适当的方法进行实验设计，降低系统误差；（3）对实验数据进行分析和处理，比较不同条件下的实验结果，确定系统误差的大小。
误差与分析数据的处理
误差与分析数据的处理概述在科学研究和实验中，我们常常会遇到误差。
误差是指观测值与真实值之间的差异，是由各种不确定性引起的。
正确地处理误差并分析数据是科学研究和实验的重要环节。
本文将介绍误差的分类以及分析数据时常用的方法和技巧。
误差分类根据误差的来源和性质，可以将误差分为以下几类：1.系统误差：系统误差是由于实验仪器、测量方法或操作者的偏差引起的误差。
例如，仪器的不准确性、测量方法的局限性以及操作者的技术水平都可能导致系统误差。
系统误差在实验过程中是相对固定的，可以通过校正或调整仪器、改进测量方法和提高操作技巧来减小。
2.随机误差：随机误差是由于各种无法预测和无法避免的因素引起的误差。
例如，环境条件的变化、仪器的漂移以及实验中的偶然因素都可能导致随机误差。
随机误差在实验过程中是随机出现的，并且不具有固定的方向和大小。
减小随机误差的方法包括增加样本量、重复实验以及使用统计方法对数据进行分析。
数据处理方法在分析数据时，我们常常需要采用一些方法来处理误差和提取有用的信息。
下面是一些常用的数据处理方法和技巧：1.平均值：平均值是最基本的数据处理方法之一。
通过将多个观测值相加并除以观测值的个数，可以得到平均值。
平均值可以反映数据的总体趋势，但在存在较大偏差或异常值的情况下不具有代表性。
2.方差和标准差：方差和标准差是衡量数据分散度的指标。
方差是观测值与平均值之间差异的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
较大的方差和标准差表示数据较为分散，较小的方差和标准差表示数据较为集中。
3.置信区间：置信区间是对数据的估计范围。
通过计算平均值和标准差，可以得到数据的置信区间。
较大的置信区间表示数据的估计范围较大，较小的置信区间表示数据的估计范围较小。
4.线性回归：线性回归是一种用于量化数据之间关系的方法。
通过将数据拟合到一条直线上，可以得到数据之间的线性关系和相关性。
线性回归可以帮助我们预测和预测数据。
数据分析技巧在进行数据分析时，我们还需要一些技巧和策略来处理误差和解释数据。
第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
随机误差
1. 随机误差 由于某些难以控制和无法避免的原因所造成的
误差。如温度、湿度、电流强度等的偶然波动，给试验结果 带来的影响。
2. 随机误差的特点
①分布对称可抵偿：绝对值相同的正负误差出现机会相等， 它们的总代数和等于0； ②单峰且有界：小误差出现的机会大，大误差出现的机会小， 极大误差出现的机会趋于零。
《分析化学》第二章
分 析 化 学
Analytical Chemistry
西北大学化学与材料科学学院
《分析化学》第二章
第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
2-1 定量分析中的误差 2-2 分析结果的数据处理
内容
2-3 误差的传递 2-4 有效数字及其运算规则 2-5 标准曲线的回归分析
吸光度A
0 0.032
0.02 0.135
0.04 0.187
0.06 0.268
0.08 0.359
0.10 0.435
试列出标准曲线的回归方程并计算未知试样中Mn的含量。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.05 0.1 0.15 y = 3.9543x + 0.0383 R 2 = 0.9953
《分析化学》第二章
第二章
小
结
2.1 误差的基本概念: 准确度与精密度、误差与 偏差、系统误 差与随机误差;
2.2 有限数据的统计处理:
异常值的检验（Q检验法，G检验法）；
2.4 有效数字：定义、修约规则、运算规则 。 2.5 标准曲线的回归分析
《分析化学》第二章
本章作业
P27---P28
习题2、6、10、11
G计算 x x1 s
第2章 分析化学中的误差及数据处理
本章所要解决的问题：
对分析结果进行评价，判断误 差产生的原因，尽量采取措施减少 误差。
2013-6-28 1
2.1 定量分析中的误差
• • •
•
误差客观存在 定量分析数据的归纳和取舍（有效数字） 计算误差，评估和表达结果的可靠性和精密 度 了解原因和规律，减小误差，测量结果→真 值(true value)
19
1. 系统误差(systematic error)
由一些固定的原因所产生，其大小、正 负有重现性，也叫可测误差。 1.方法误差 分析方法本身所造成的 误差。 2.仪器和试剂误差 3.操作误差 4.主观误差
2013-6-28
20
系统误差的性质可归纳为如下三点：
1）重现性 2）单向性 3）数值基本恒定 系统误差可以校正。
2013-6-28 15
7、重复性
r 2 2Sr
R 2 2SR
8、再现性
SR
2013-6-28
j 1 i 1
m
n
( xij x j )
m( n 1)
16
2.1.3 准确度和精密度的关系
准确度(accutacy)：测量值与真实值相接 近的程度。用误差来评估。 精密度(precision)：各个测量值之间相 互接近的程度。用偏差来评估。 实际工作中并不知道真实值，又不刻意区 分误差和偏差,习惯把偏差称做误差。但 实际含义是不同的。 系统误差是分析误差的主要来源，影响结 果的准确度 偶然误差影响结果的精密度
4. 校正方法 (correction result ) 用其它方法校正某些 分析方法的系统误差。
误差和分析数据的处理.
十一
第三章
误差和分析数据的处理
第三讲
求出可疑值与其最邻近值之差xn-xn-1或x2-x1，然 后用它除以极差xn-x1，计算出统计量Q：
x n x n 1 Q x n x1
或
x2 x1 Q xn x1
（3-20）
Q 值越大，说明离群越远，远至一定程度时则应将 其舍去。故Q称为舍弃商。 根据测定次数n和所要求的置信度P查QP,n值表33。若Q>QP,n，则以一定的置信度弃去可疑值，反之 则保留，分析化学中通常取0.90的置信度。
十一
第三章
误差和分析数据的处理
第三讲
例1、用标准方法平行测定钢样中磷的质量分数 4次，其平均值为0.087%。设系统误差已经消除，且 σ =0.002%。（1）计算平均值的标准偏差；（2）求 该钢样中磷含量的置信区间。置信度为P=0.95。 解：（1） 0.002% x 0.001% n 4 （2）已知P=0.95时，u=±1.96。根据
x u
十一
第三章
误差和分析数据的处理
第三讲
由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此 常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有
x u x x u
n
(3-17)
式（3-14b）和式（3-17）分别表示在一定 的置信度时，以单次测定值x或以平均值为中心的 包含真值的取值范围，即μ的置信区间。在置信区 间内包含μ的概率称为置信度，它表明了人们对所 作的判断有把握的程度，用P表示。u值可由表31中查到，它与一定7% 1.96 0.001%
0.087% 0.002%
十一
第三章
误差和分析数据的处理
第三讲
误差及数据分析的统计处理
误差及数据分析的统计处理
3. 说明 (1) 绝对误差相等，相对误差并不一定相同; (2) 同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小 , 测定的准确度也就比较高;
(3) 用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切;
(4) 绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果 偏高，负值表示分析结果偏低; (5) 实际工作中，真值实际上是无法获得; 常用纯物质的理论值、国家标准局提供的标准参考物质的证
误差及数据分析的统计处理
3. 精密度 （1）精密度：在确定条件下，将测试方法实施多次，求出
所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。
（ 2）精密度的高低还常用重复性（ Repeatability ）和再现性 （Reproducibility）表示。 重复性 (r) ：同一操作者，在相同条件下，获得一系列结果 之间的一致程度。 再现性(R)：不同的操作者，在不同条件下，用相同方法获 得的单个结果之间的一致程度。
有限次测定无法计算总体标准差 σ 和总体平均值 μ, 则偶然误差并不完全服从正态分布，服从类似于正态 分布的 t 分布( t 分布由英国统计学家与化学家 W.S.Gosset提 出，以Student的笔名发表)。 t 的定义与 u 一致
x t s n
误差及数据分析的统计处理
t 分布曲线
t 分布曲线随自由度 f ( f = n - 1)而变，当 f ＞20时，
dr
xi x x
100%
误差及数据分析的统计处理
算术平均偏差（Average Deviation）：
1 n 1 n d d i xi x n i 1 n i 1
相对平均偏差表示为:
d d r 100% x
误差及分析数据的统计处理
第2章误差及分析数据的统计处理2.1有效数字及其运算规则2.2定量分析中的误差3.3分析结果的数据处理2.1 有效数字及运算规则2.1.1有效数字: 分析工作中实际能测量得到的数字，包括全部可靠数字及一位不确定数字在内(1)数字前0不计,数字后计入: 0.03400 (4位有效数字）(2)数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表示: 1000(1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103) （分别是2位、3位、4位有效数字）(3)自然数和常数可看成具有无限多位数(如倍数、分数关系)(4)数据的第一位数大于等于8的,可多计一位有效数字，如9.45×104, 95.2%, 8.65 （它们都是4位有效数字）(5)对数与指数的有效数字位数按尾数计,如pH=10.28, 则[H+]=5.2×10-11（2位有效数字）(6)误差只需保留1～2位2m◇分析天平(称至0.1mg):12.8228g(6),0.2348g(4) , 0.0600g(3)◇千分之一天平(称至0.001g): 0.235g(3)◇1%天平(称至0.01g): 4.03g(3), 0.23g(2)◇台秤(称至0.1g): 4.0g(2), 0.2g(1)V☆滴定管(量至0.01mL):26.32mL(4), 3.97mL(3)☆容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4)☆移液管:25.00mL(4);☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)32.1.2 有效数字运算中的修约规则四舍六入五成双2.1.2.1有效数字的修约例如, 要修约为四位有效数字时:尾数≤4时舍, 0.52664 -------0.5266尾数≥6时入, 0.36266 -------0.3627尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双:10.2350----10.24, 250.650----250.6若5后面还有不是0的任何数皆入:18.0850001----18.0945禁止连续多次修约运算时可多保留一位有效数字进行0.57490.570.5750.58×2.1.2.2有效数字的计算规则A加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d 1 n di 1 n xi x
n i1
n i1
2-5
那么单次测定的相对平均偏差可表示为：
d dr 100 %
x
2-6
2.标准偏差（均方根偏差），分为总体标准偏差σ（n→∞） 和样本标准偏差s（n为有限次数）
n
xi 2
2-7
i1
n
n
2
xi x
2-8
s i1 n 1
(n-1)表示n个测定中具有独立偏差的数目，又称自由度
标准偏差常用的计算公式：
s
n 2
n i1
xi 2
xi
i 1
n
2-9
n 1
相对标准偏差
s
sr x
2-10
Sr如用百分率表示又称为变异系数CV
两种计算偏差的方法中用标准偏差更合理，因为它能将 较大的偏差显著地表现出来。
例: 两组测定数据 甲：2.9 2.9 3.0 3.1 3.1 乙：2.8 3.0 3.0 3.0 3.2
产生的原因?
(2) 产生的原因
a.方法误差——选择的方法不够完善
例： 重量分析中沉淀的溶解损失、共 沉淀现象、灼烧时沉淀分解或挥发等；
滴定分析中反应进行不完全、干扰离子 影响、计量点和滴定终点不符合、副反应的 发生等。这些因素系统地导致测定结果的偏 低或偏高。
b.仪器误差——仪器本身的缺陷
例： 砝码重量、容量器皿刻度不准确 、天平两臂不等；
E 0.2 mg
Er 0.1%
0.2 mg
1%
用相对误差表示各种测定结果的准确度更为确切些
例1 测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A. 铁矿中，
x 62.32% E x
B. Li2CO3试样中, 0.042x 0.044%
E x 0.002
A. Er E 100% 0.06 0.1%
随机误差分布的性质： 1.对称性 2.单峰性 3.有性 4.抵偿性
称为置信区间：真 实值在指定概率下
表2-1 随机误出差现的的区区间间概率
测定值或误差出现的概率称为 置信度或置信水平，其意义可 以理解为某一定范围的测定值 （或误差）出现的概率
随机误差u出现的区间 (以σ 为单位)
3. 过失误差
粗枝大叶、不按操作规程办事等造成的，完全可以避免的
4.误差的减免 (1) 系统误差的减免
(1) 方法误差—— 采用标准方法,对比实验 (2) 仪器误差—— 校正仪器 (3) 试剂误差—— 作空白实验
(2) 偶然误差的减免
——增加平行测定的次数
2.1.5随机误差分布服从正态分布—无限多次测定
(3) 两者的关系 精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
2.1.4 误差分类及避免误差的方法
1. 系统误差（可测误差）
(1) 特点—单向性
a.对分析结果的影响比较恒定； b. 在 同 一 条 件 下 ， 重 复 测 定 ， 重复出现； c.影响准确度，不影响精密度； d.可以消除。
2.1.3 准确度与精密度的关系
x1 x2
x3
x4
图2-1 不同工作者分析同一试样的结果
准确度和精密度——分析结果的衡量指标。
( 1) 准确度──分析结果与真实值的接近程度 准确度的高低用误差的大小来衡量； 误差一般用绝对误差和相对误差来表示。
(2) 精密度──几次平行测定结果相互接近程度 精密度的高低用偏差来衡量， 偏差是指个别测定值与平均值之间的差值。
判断其精密度的差异。
两组数据平均偏差相同，但数据离散程度不同。乙 更分散，说明有时候平均偏差不能 反应客观情况，
而是用标准偏差来判断。
解：平均值： x 甲= 3.0 平均偏差：d甲=0.08 标准偏差：S甲=0.08
x 乙=3.0
d乙=0.08
s乙=0.14
精密度是指在确定条件下将测试方法实施多次求出所得 结果之间的一致程度,其大小常用偏差来表示。也可用重复性 和再现性来表示。
62.38
B. Er E 100% 0.002 5%
0.042
2.1.2偏差与精密度
偏差是指个别测定结果xi与几次测定结 果的平均值之间的差别.分为绝对偏差和相 对偏差，其定义式：
di xi x
2-3
xi x
dr
100 %
2-4
x
平均偏差的表示方法有以下几种：
1.算术平均偏差（单次测定的平均偏差）：各偏差值的绝对 值的平均值。其数学式：
负误差表示分析结果偏低. ▪ 在实际应用中一般用准确度来表示测定结果的可靠性，即平
均值与真值接近的程度.
例: 滴定的体积误差
滴定剂体积应为20～30mL
V 20.00 mL
E 0.02 mL
Er 0.1%
2.00 mL 0.02 mL
1%
称量误差 m
0.2000 g 0.0200 g
称样质量应大于0.2g
第二章 误差及分析数据的统计处理
▪ 内容: ▪ 2.1定量分析中的误差 ▪ 2.2分析结果的数据处理 ▪ 2.3有效数据及其运算规则
在任何测量中误差都是客观存在的
2.1定量分析中的误差
▪ 2.1.1误差与准确度 ▪ 误差是测定值xi与真值μ之差,可分为绝对误差E和相对误差Er
E xi ▪ 相对误差表示占真值的百分率 Er xi ▪ 绝对误差和相对误差有正负之分,正误差表示分析结果偏高,
砝码、滴定管、容量瓶未校正。
▪ c.试剂误差——所用试剂有杂质
▪ 例：去离子水不合格；
▪
试剂纯度不够
▪ （含待测组份或干扰离子）。
▪ d.操作误差——操作人员主观因素造成
▪ 例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅；
▪
滴定管读数不准；灼烧沉淀时温度过高
或过低等；
2. 偶然(随机）误差
(1) 特点 a.不恒定（时大时小时正时负） b.难以校正 c.服从正态分布(统计规律) (2) 产生的原因 偶然因素：测量时环境的温度、湿度、气压的微小波动， 仪器的微小变化，分析人员处理时的微小差别等
0.4
y: 概率密度
0.3
x: 测量值 μ: 总体平均值
x-μ: 随机误差
0.2
σ : 总体标准差
0.1
0
u x
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
u
-3 -2 - 0 2 3 x- -3 -2 - + +2 +3 x
68.3%
95.5%
99.7%
图2-2 标准正态分布曲线
特点:
1. 极大值在 x = μ 处. 2. 拐点在 x = μ ± σ 处. 3. 于x = μ 对称. 4. x 轴为渐近线.