数据处理及误差分析.
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
实验误差分析及数据处理
由该式可见对体积误差的影响，直径的测量引起的相对误差远高于高度测量引起的相对误
差。
前面的误差传递公式是一般公式，对于系统误差及偶然误差都是适用的，那么对于标
准误差传递公式的形式如何呢？同样我们设有关系 y = f ( X 1, X 2 ,⋅ ⋅ ⋅⋅, X r ) ，其自变量
5.76
0.16
0.49
0.04
0.36
0.64
1.96
d
2 i
= 11.29
先算出算术平均值，有
m = ∑ mi = 46.5 n
可算出每次测量偏差 di ，再求出这10次测量的标准误差，得∑ s =dFra bibliotek2 i
=
11.29 = 1.12
n −1
9
由表1—1查得测量次数n=10时， c = xi s = 1.96 ，也即合理误差限 xi = 1.96s ，这就说
用最小二乘法原理可确定一组测量值中的最佳值，它能使各测量值误差的平方和为最
小，而最佳值正好是算术平均值。
标准误差S ：
( ) n
∑
Xi − X
2
S = i=1
n−1
我们用δi = Xi − X 表示第i次测量与算术平均值间的偏差，则有
S = ∑δi2
n−1
当 n→ ∞， X → xt 时，则标准误差为
110
地球物理实验
4. 系统误差的修正： 对于系统误差常常用对称法和校准法尽可能的消除或减小它。 对称法：利用对称性在实验系统的对称位置同时进行测量，数据平均以消除系统误
差。 校准法：使用更准确的仪器校准实验仪器，以减小系统误差；分析利用修正公式修正
实验测量数据，以消除系统误差。
误差及误差分析-数据的误差处理
实验数据
X1 x11 x12 x13 x14 x15 x16 X2 x21 x22 x23 x24 x25 x26
1.由测量数据计算直接测量量的最佳估计值 x 1 , x 2 2.由测量式计算间接测量量的最佳估计值 y f(x2,x2)
3.计算直接测量量的不确定度
n
(1)计算X1的A类标准不确定度 uA(x1)s(x1)
测量的精密度、准确度和精确度
精密度：表示测量结果中的随机误差大小的程度。 精密度高即数据的重复性好，随机误差小。
精密度
准确度
精确度
准确度：表示测量结果中的系统误差大小的程度。 准确度高即测量结果接近真值的程度高，系统误差小。
精确度：表示测量结果的重复性及接近真值的程度。。
三、误差的估算
1、偏差（残差）
A
误差及误差分析-数据的误差处理
C
2、测量的分类
按测量方式分：直接测量和间接测量
直接测量：待测物理量的大小可以从选定好的测量仪 器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称 为直接测量量。
间接测量：待测物理量需根据直接测量的值，通过一定 的函数关系，才能计算出来的测量过程。相应的待测 量称为间接测量量。
uB(m )U (k m )0.3 240.08m g
(2) 在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分布，
k 3 , 而a 则取仪器的最大允许误差（误差限） ( x ) , 所以B 类标准不确定度为
uB(x)
a k
(x) 3
直接测量量的B类标准不确定度的估算流程图
3、直接测量量的合成标准不确定度
(1) 对于形如 Y f ( X 1 , X 2 ,X N ) a X 1 b X 2 c X 3 的函数形式（和差关系）, 合成标准不确定度 的计算方法为:
数据处理及误差分析
数据处理及误差分析1. 引言数据处理及误差分析是科学研究和工程实践中一个至关重要的领域。
在收集和处理数据的过程中，往往会受到各种因素的干扰和误差的影响。
因此，正确地处理这些数据并进行误差分析，对于准确得出结论和进行科学决策至关重要。
2. 数据处理数据处理是指对收集到的数据进行整理、分析和解释的过程。
它包括了数据清洗、数据转换、数据提取和数据集成等步骤。
2.1 数据清洗数据清洗是指对原始数据进行筛选、剔除异常值和填充缺失值等处理。
清洗后的数据更加可靠和准确，能够更好地反映实际情况。
2.2 数据转换数据转换主要是将原始数据转化为符合分析需求的形式。
比如，将连续型数据离散化、进行数据标准化等。
2.3 数据提取数据提取是指从庞大的数据集中挑选出有意义和相关的数据进行分析。
通过合理选择变量和提取特征，可以提高数据分析的效率和准确性。
2.4 数据集成数据集成是指将来自不同数据源的数据进行整合和合并，以满足分析需求。
通过数据集成，可以获得更全面、更综合的数据集，提高分析结果的可信度。
3. 误差分析误差分析是对数据处理过程中产生的误差进行评估和分析。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
3.1 系统误差系统误差是由于数据收集和处理过程中的系统性偏差导致的。
它们可能是由于仪器精度不高、实验环境变化等原因引起的。
系统误差一般是可纠正的，但要确保误差产生的原因被消除或减小。
3.2 随机误差随机误差是由于抽样误差、观察误差等随机因素导致的。
它们是不可预测和不可消除的，只能通过多次重复实验和统计方法进行分析和控制。
4. 误差分析方法误差分析通常采用统计学和数学方法进行。
其中，常用的方法有误差传递法、误差平均法、误差椭圆法等。
4.1 误差传递法误差传递法是将各个步骤中产生的误差逐步传递，最终计算出整个数据处理过程中的总误差。
它能够帮助我们了解每个步骤对最终结果的影响程度，并找出影响结果准确性的关键因素。
4.2 误差平均法误差平均法是通过多次实验重复测量，并计算平均值来减小随机误差的影响。
物理实验中的数据处理与误差分析
物理实验中的数据处理与误差分析在物理实验中，数据处理与误差分析是非常重要的环节。
准确地处理实验数据并分析误差，可以提高实验结果的可靠性和准确性。
本文将介绍一些常见的数据处理方法和误差分析技巧，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、数据处理方法1.平均值的计算在实验中，经常需要多次测量同一物理量，然后将测量结果求平均值。
计算平均值可以减小测量误差的影响，提高结果的准确性。
求平均值的方法很简单，只需要将所有测量结果相加，然后除以测量次数即可。
2.误差的传递在物理实验中，往往需要通过测量一些基本物理量来计算其他物理量。
当存在多个物理量的测量误差时，需要对误差进行传递计算。
常见的误差传递公式有乘法、除法和幂函数的误差传递公式。
3.直线拟合与斜率的计算在一些实验中，我们需要通过实验数据拟合一条直线来获得一些重要信息，如斜率、截距等。
直线拟合可以通过最小二乘法来完成，根据实验数据点与拟合直线的最小距离来确定直线的参数。
而斜率的计算可以通过拟合得到的直线参数来得出。
二、误差分析技巧1.随机误差与系统误差在物理实验中，误差通常分为随机误差和系统误差。
随机误差是由实验条件不完全相同或测量仪器精度的限制造成的，它的值在一定范围内变化。
系统误差是由于实验条件的固有缺陷或仪器的固有误差造成的，它的值通常是恒定的。
在误差分析中，需要分别考虑和处理这两种误差。
2.误差的类型与来源误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差值，而相对误差是指绝对误差与测量结果之间的比值。
误差的来源主要有仪器误差、人为误差和环境误差等。
3.误差的评估与控制误差的评估是确定测量结果可靠性和准确性的重要步骤。
通常可以采用标准差、百分误差和置信区间等方法来评估误差。
同时，通过合理地控制实验条件、使用精密的仪器和注意操作技巧等措施，可以降低误差的产生。
三、实例分析为了更好地理解数据处理与误差分析的应用，我们以一次重力实验为例进行分析。
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
误差分析和数据处理
Ⅱ-1 误差的基本概念
五、不确定度
根据国家计量局《关于表达不确定度的建议 草案》，把不确定度按估计其权值所用的方法不 同归并成两类：
A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计 算出的标准偏差。
B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量， 合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确 定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不 确定度，用下式表示：
误差分析和数据处理是判断科学实验和科学 测试结果质量和水平的主要手段。
Ⅱ-1 误差的基本概念
一、误差的定义和表示方法
（一）误差定义：
测量误差：是指被测量的实测值与其真值的 差别。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）表示方法 １、绝对误差
绝对误差=测量值-真值
其中真值在以下情况下被认为是已知的。
Ⅱ-1 误差的基本概念
U K信系数； U 总不确定度。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
一、正态分布规律
在工程应用中，大多数随机误差的分布具有 以下几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。
（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对值大的出现的概率小。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
当置信区间宽为 2时，对应概率为95.4%
当置信区间宽为 3 时，对应概率为99.7%
因此可认为绝对值大于3 的误差几乎不可能
出现，所以通常又把 3 的误差称为单次测量误
差，用lim 表示。
lim 3
（三）算术平均值的概率误差
物理实验中的误差分析和数据处理
物理实验中的误差分析和数据处理在物理实验中，误差分析和数据处理是不可避免的步骤。
只有经过正确的误差分析和数据处理，才能得到准确可靠的实验结果，否则得到的结果可能会出现较大误差。
一、误差的分类误差可以分为系统误差和随机误差。
系统误差指的是在一定条件下所引起的不可避免的误差，例如仪器本身的误差、环境因素的影响等。
系统误差是可以准确量测的，但不能除去。
随机误差指的是对同一量的多次测定，所得结果之间的差异。
随机误差是由测量方法、人为因素、环境因素等引起的，并且无法准确量测。
但是，可以通过多次实验来减小随机误差。
二、误差的处理对于系统误差，需要在实验开始前进行检测和校正，减小系统误差的影响。
而对于随机误差，则需要通过数据处理来减小误差的影响。
1. 多次实验法多次实验法是减小随机误差的有效方法。
通过多次实验，可以得到多组数据，然后求出平均值，平均值时随机误差的影响逐渐减小，所以平均值相对准确。
2. 标准差在多次实验得到数据的基础上，要求出这些数据的平均值和标准差。
标准差可以反映测量数据的离散程度。
标准差越小，数据就越稳定。
标准差表示如下：$s=\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}{N-1}}$其中，$s$表示标准差，$x_i$表示第$i$次测量的数值，$\bar{x}$表示测定数值的平均值，$N$为多次测量得到的数据总数。
3. 实验误差实验误差是由于实验方法的局限性和人的主观因素而产生的误差。
正确处理实验误差，需要选择合理的实验方法并进行多次实验，及时发现和排除主观因素的影响。
4. 其他误差处理方法除了上述方法外，还有其他误差处理方法，例如引入放大器或稳压器等仪器来减少系统误差的影响。
在进行测量时，也可以采用先进的传感器和自动控制系统，来减少实验误差的影响。
三、数据处理数据处理是对实验数据进行整理和分析，以达到正确的实验结果。
常见的数据处理方法包括：1. 直线拟合法直线拟合法是利用最小二乘法，将测得的离散数据拟合成一条直线，从而得到数据的规律性。
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实验报告要求：
1.实验名称 2.实验目的 3.仪器用具 4.实验原理 5.实验步骤 6.数据记录表格 7.数据处理及误差分析 8.思考题
四、成绩评定原则
物理实验成绩根据平时成绩和期末考试成绩 综合评定，各占40％和60％。平时成绩考察 学生预习报告、实验操作和实验报告三方面
期末考试一般采用开卷形式
测量误差与数据处理
第一节 测量与误差
一、测量
测量就是借助一定的仪器或量具，通过一定
的实验方法来实现标准量与待测量的比较。
1.直接测量
用米尺测量桌子的长度
2.间接测量
测物体的运动速率
二、误差
测量值与真实值之差称为误差, 即 误差＝ 测量值－真实值 真实值无
法知晓？
ΔN N N0 测量误差又称绝对误差。 把绝对误差与真实值之比叫相对误差，即
4. 残差（偏差）
把测量值与平均值之差称为偏差，表示为 xi xi xi x i 1,2 n
如果进行了n次测量，这样的残差就有n个。
显然，不能用残差来表示随机误差的大小。
5.标准偏差
把n个残差求平方和，除以n-1再开方，就叫做测量列的标准 偏差，即
2
sx
xi x n 1
此式称为贝赛尔(bessel) 公式。它表示的意义是：如果多次
例如：（1）螺旋测微器的零点读数 （误差恒定）
（2）比热测量的热量散失 （可预知其变化）
二、来源及消除
系统误差误差主要来自仪器自身的缺陷、实 验原理或者实验方法的不完善、周围环境对 测量的影响以及观测者不良的测量习惯等方 面。
可根据来源采取相应的手段消除或减少系统 误差
三、系统误差大小的估算
在大学物理实验中，一般采用仪器的误差来 表示系统误差的大小
5.实验步骤 6.数据记录表格
表格画在实验手册上
预习报告必须写在统一印制的报告纸上。每次实验上课前， 由学习委员统一收齐预习报告，交给老师检查。 根据学校规定：不写预习报告的同学不允许做实验。
操作的要求：
不得迟到（规定：迟到10分钟不允许做实 验）； 不得违反操作规程； 不得抄袭他人数据。 原始数据记在实验手册上，实验完毕应将数 据给老师检查签字，然后整理仪器，方可离 开。
仪器误差的大小由仪器生产厂家或实验室给出 特别强调的是：如果说明书或仪器上没有标注, 可用最小刻度的一半作为仪器误差。
第三节 随机误差
一、定义
随机误差：是在同一条件下多次测量同一物理 量，每次出现的误差或大或小、时正时负，按 不可预知方式变化着的误差分量，但就总体来 说服从一定的统计规律
二、来源
D
2仪
S
2 D
0.003cm
D D D (4.685 0.003)cm
3.单次测量结果的表示
x x测量 仪
二、间接测量结果的表示
设间接测量的函数表达式（测量式）为：
F(x, y, z )
是间接测量量（待测量）
x, y, z 分别是若干个直接测量量，它们都是互相
独立的量，其平均值分别为 x, y, z,S2 x Nhomakorabea2仪
例题1. 一同学用游标卡尺测量某工件的外径，测量结果如下：
仪 0.02mm
次数i 1
2
3
4
5
直径D 4.684 4.686 4.688 4.682 4.484
其测(量cm结) 果如何表示？
【解】：
D Di 4.6848cm n
SD
(Di D )2 0.0023cm n 1
E N 100% N0
三、误差的分类
从研究误差的需要出发，根据误差产生的原因和性 质，误差可分为两类：
1.系统误差
2.随机误差（偶然误差）
也就是说：误差由随机误差和系统误差两个分量组 成
第二节 系统误差
一、定义
系统误差：是在同一条件下多次测量同一物 理量，误差的大小和符号保持恒定或以可预 知方式变化的误差分量
多种因素的微小扰动。
如：环境的温度、气压、电场、磁场的微小扰动； 读数对准标志的不一致；估读数的不一致；被测对 象本身的微小起伏变化
三、随机误差大小的估算
1、随机误差的统计规律
（1）有界性 （2）单峰性 （3）对称性 （4）抵偿性
2、平均值
等精度测量：是指测量条件完全相同的多次测量。相同的 条件是指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等 等。
绪论
一、地位和作用
物理学是实验的科学，实验物理和理论物理 是构成物理学研究的两大支柱。 大学物理实验是一门独立的必修基础课 。是 同学们进入大学以后受到系统实验方法训练 和实验技能训练的开端。是工科学生进行其 它实验和毕业工作后进行科研活动的基础。
二、课时安排
物理实验总学时数为54学时 ，共18次课，除 本次绪论课外，还包括两次习题课、14个实 验项目和一次总复习课，每次3小节。
它们的总不确定度分别为 x , y , z ,
假设对某一物理量进行了n次等精度测量，其测量值分别为
x1、x2 xi xn ， 则x的算术平均值为
n
xi
x i1 n
3.有限次测量结果
可以证明：当系统误差被消除时，测量值的 平均值最接近真实值，故可用平均值来表示 有限次测量的结果
准则：一个等精度测量列的最佳估计值是能 使各次测量值与该值之差的平方和为最小的 那个值
三、学习程序
第一：课前预习 （完成实验预习报告）
第二：课堂操作 （完成实验数据的测量）
第三：课后总结 （完成实验报告）
预习报告要求：
1.实验名称 2.实验目的 3.仪器用具 4.实验原理
必须在认真阅读实验教材的基础上用自己的语言写出，不能 抄书。必须画出实验原理图（仪器图可以不画），画图时要 用尺子铅笔。
2.总不确定度：
指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的 程 度，是表征被测量的真值所处量值范围的评定。
总不确定度有两个分量：
A分量：多次重复测量用统计方法计算出的分量 A ( S x ) B分量：用其他方法估计出的分量 B ( 仪 )
总不确定度用它的两个分量采用“方和根”的方法合 成
2A 2B
测量服从正态分布，那么，任意测量值的误差落在 sx , sx
内的可能性（概率）约为68.3%。
在大学物理实验中， 5 n 10
6.随机误差的估算方法 随机误差的大小用标准偏差表示
第四节 测量结果的表达
一、直接测量结果的表示和总不确定度
1. 测量结果的完整表示
x x x
这表示被测量的真值在的范围之外的可能性（概率）很小