高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限
两个重要极限公式
两个重要极限公式极限公式在数学中扮演着重要的角色，用于计算和研究函数在特定点处的趋势和性质。
下面将介绍两个重要的极限公式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它描述了函数在闭区间内特定点的导数与函数在该闭区间两个端点的函数值之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，这个定理告诉我们在闭区间上，函数在特定点的导数等于该区间两端函数值的斜率。
这个定理的物理含义是：在其中一段时间内，速度瞬时等于平均速度。
例如，假设我们开车从家到办公室，用时1小时，路程50公里。
那么根据拉格朗日中值定理，我们可以得知，肯定存在一些时刻，我们的速度等于50公里/1小时，即我们的瞬时速度等于平均速度。
拉格朗日中值定理在数学和物理中有着广泛的应用，例如在微分方程的研究中，用于证明存在性和连续性定理。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）柯西中值定理是微分学中的一条基本定理，与拉格朗日中值定理类似，它描述了两个函数在其中一区间内的导数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)不为零，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f'(c)g(b)-f(b)g'(c))/(g(c))^2=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2在(a,b)上成立。
柯西中值定理的物理含义是：在其中一段时间内，两个物体在其中一时刻的速度之比等于它们的速度的平均比值。
例如，假设我们有两个自行车手从家到学校，根据柯西中值定理，可以得知，存在其中一时刻，两个自行车手的速度之比等于他们速度的平均比值。
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
极限存在准则两个重要极限
一、 极限存在准则
定理20
(单调有界准则)单调有界数 列必有极限.
设数列{xn}单调增加，且 xn≤M.从图2-9可以看出，因为数 列单调增加又不能大于M，故该 数列某项以后的所有项必然集中 在某数a(a≤M)的附近，即对ε>0， 必然存在正整数N与数a，使当 n>N时，恒有xn－a<ε，从而数 列{xn}的极限存在.
N=max{N1,N2}，则当n>N
yn－a<ε，zn－a<ε,
a－ε<yn<a+ε，a－ε<zn<a+ε, 从而，当n>N a－ε<yn≤xn≤zn<a+ε, 即xn－a<ε，所以limn→∞ xn=a.
一、 极限存在准则
注
利用定理18求极限，关键是构造出极限相同且易求 的两个数列yn与zn.
【例29】
二、 两个重要极限
数学中常常会对一些重要且有典型 意义的问题进行研究并加以总结，以期 通过对该问题的解决带动一类相关问题 的解决，下面介绍的重要极限就体现了 这样的一种思路，利用它们并通过函数 的恒等变形与极限的运算法则就可以使 得两类常用极限的计算问题得到解决.
二、 两个重要极限
1.
证在图2-10所示的单位圆中,设 ∠AOB=x,先假设0<x< ,点A处的 切线与OB的延长线相交于点D，又 BC⊥OA
谢谢聆听
【例35】
三、 柯西极限存在准则
定理21
(柯西极限存在准则)数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意 给定的正数ε，存在正整数N，使得当m>N，n>N
xm－xn<ε. 证必要性.设limn→∞ xn=a，则对于ε>0，由数列极限的定义，v 正整数N，当n>N
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
第5节极限存在性定理与两个重要极限
tan2 2 x 求 极 限 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当 x 0 时, 1 cos x ~ x , tan2 x ~ 2 x . 2 (2 x )2 原式 lim 8 . 2 x 0 1 / 2 x
13
例7
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
lim [1 ] e
1
1 x 例9 求 lim(1 ) . x x
解
1 x 1 原式 lim[(1 ) ] x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x
21
2 x 例10 求 lim(1 ) . x x x x 2 2 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] e . 解 原 式 lim x x x x 3 x 2x ) . 例11 求 lim( "1 " x 2 x
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) 1.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
且有 lim g( x ) lim h( x ) A ，
4 cos x
2
e4 .
22
例13
连续复利问题
将本金A0 存入银行 , 年利率为 r, 则一年后本息 之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r， 但半年计一次 利息 ,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金 再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
两个重要极限
s x in lim =, 1 x 0 x →
lim o x= . cs 1
x 0 →
13
例2.21 求下列极限:
( )liminx 1 s ;
x 0 →
(2 )lim nx ta
x 0 →
a c nx r ta (4 )lim x 0 → x π 解 (1) 0 s x<x <x< < in ,0 2 s 于是 lim inx=0 +
：
链 接
in x x in x x 解 (1)x→0时, s a ~a ,s b ~b s a in x a a x ∴ lim =lim = x 0s b → in x x 0b → x b
(2)x→0时, ta x~3 n3 x
ta x n3 3 x ∴ lim =lim =3 x 0 → x 0 x → x
22
] ] 1 当x≥ 时 有[x ≤x≤[x + , 1 ,
1 [x] 1 1[ 1 (+ 1 ) ≤( + )x ≤( + ) x]+ , 1 1 [x + ] 1 x [x ]
1 [x]+ 1 [x] 1 1 而 lim1 ( + ) = lim1 ( + ) ⋅ lim1 (+ ) x + →∞ x + →∞ + [x ] [x ] x→∞ [x ]
7
例2.20 设 u = au = a+u− (n≥2 ,其中a>0,求 , n ) 1 n1
lim n. u
n ∞ →
解 首先 u = a+u > a=u;设 u >u− ,则 n n1 2 1 1
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lim
x
1
1 1 [x] 1
e
lim
x
1
1 x
x
e.
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令 t x,
lim
x
1
1 x
x
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t
1
1 t
t
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1
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x
1
1 x
x
e
令 t 1, x
lim(1
x0
1
x) x
lim
t
1
1 t
t
e
1
lim(1 x) x e
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第五节 极限存在性定理与两个重要极限
2.5.1 极限存在性定理
定理 : (夹逼定理) 设在x0的某空心邻域内恒有：
(1) g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A
x x0
x x0
那末极限 lim f (x) A 存在. xx0
An
A0 (1
r )n n
令n→∞，则表示利息随时计入本金，这样， 一年后 其本利和为：
lim
n
A0 (1
r )n n
lim
n
A0
(1
rn )r
n
r
A0e r
25
an 是单调递增的
an 2 2 2 2 2 2 22 2
7
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an 是有界的
lim
n
an
A
存在.
又 an1 2 2 2 2 2 an
即
a2 n 1
2
an ,
于是
lim
n
a2 n1
lim(2
n
an ),
A2 2 A, 解得 A 2, A 1 (舍去)
1
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证： 0, 1,2 0
当0 x x0 1时,有 g(x) A
当0 x x0 2时,有 h(x) A 取 min{1,2} 0
当0 x x0 时, 有A- g(x) f (x) h(x) A .
即 f (x) A . lim f (x) A xx0
g(x) f (x) h(x),且 lim h(x) g(x) 0, x x0
则 lim f (x) x x0
（A）存在且一定等于0。
（B）存在但不一定等于0。
（C）一定存在。
（D）不一定存在。
答案: D
5
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设有数列{an} ： 如果｜an｜≤M , 则称{an}有界。
a1 a2 an an1 , 单调增加
n(n 1) 2!
1 n2
n(n 1) (n n 1) 1
n!
nn
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
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类似地：
an1
(1
1 )n1 n 1
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )
2! n 1
n! n 1 n 1
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例5： 求 lim cos x cos a . xa x a
解：
cos x cos a lim xa x a
2sin x a sin x a
lim
2
2
xa
xa
lim
sin
x
2
a
( sin
x
a)
xa x a
2
2
1 (sin a a ) sin a 2
lim sin x ?
x0
20
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例6:
求
lim
x
1
1 x
x
.
解:
lim
x
1
1 x
x
lim
x
1
1 x
x
1
1. e
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例7:
求
lim
x
3 2
x x
2
x
.
解一:
lim
x
3 2
x x
2x
lim
x
1
x
1
2
x2
2
1
1
4
x 2
e2.
另解:
2x
lim
x
3 2
x x
2
1 ). n2 n
1
n
n2 n
, n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1
n
lim n lim 1 1
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
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考研题欣赏
（2000年3，4）设对任意的x，总有
x x
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考研题欣赏
（2005年3，4）极限
lim
x
x
sin
1
2
x x2
2x
lim x sin
x
1 x2
lim
x
sin
1 2
2
x
x x2
2x2 1 x2
2
1 x2
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2、
lim
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1
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先求
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当 x 1 时, 有 [x] x [x] 1,
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1 [ x] [x] 1
lim
x
1
1 [ x]1 [x] 1
2
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如果数列 xn , yn及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
3
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例1： lim( 1 1 n n2 1 n2 2
解：
n 1
n2 n n2 1
lim 3x
3
lim sin 2x x0 2x 2
x0 2x
11
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一般地有：
设α、β、α／、β／在某个极限过程中是无穷小，且α~ α／， β~ β／。则：
lim
lim(
/
/
/ /
)
lim
/
lim /
lim
/ /
lim
/ /
12
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例4： 求 lim 1 cos x .
x
lim
x
1
x
1
2
x2
x2
e2.
22
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例8: 求 lim(1 sin x)cot x. x0
解:
lim(1 sin x)cot x
x0
lim
x0
(1
sin
x)
1 sin
x
cosx
e
23
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例9:连续复利问题
设有一笔本金A0存入银行，年利率为r，则一年末结算时， 其本利和为：
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n 1
(1 n 1) n 1
显然 an1 an , an是单调增加的 ;
an
11
1 2!
1 11 1
n!
2
1 2n1
3
1 2n1
3
an 是有界的 ;
lim
n
an
存在.
记为
lim
n
1
1 n n
e
(e 2.71828 )
A1＝A0＋rA0 ＝ A0(1＋r)
如果一年分两期结算，每期利率为r/2，且前一期的本 利和作为后一期的本金，则一年末的本利和为：
A2
A0 (1
r) 2
A0 (1
r) 2
r 2
A0 (1
r )2 2
24
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如果一年分n期结算，每期利率为r/n，且前一期的本 利和作为后一期的本金，则一年末的本利和为：
x0
解：
lim
x0
1
cos x2
x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
令：t x 2
lim
t0
2 sin 2
2t 2
t