将军饮马问题PPT课件
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将军饮马问题(课堂PPT)
A'
M
C . .A
.B
O
.N
D .B '
.
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台 边OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
.
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB'C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
例4变式2：
M
作 法 :(1)作 点 A关 于 O M 的 对 称 点 A',
点 B关 于 O N的 对 称 点 B'.
. ( 2 ) 连 结 A '和 B '， 交 O M 于 C ， 交 O N 于 D 。 A
A.'
则 点 C、 D为 所 求 。
.C
B.
.
N
.D
O
B'
.
16
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
.
5
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt
• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间 线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间 线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水 ，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C， 使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转 化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以 将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
最短路径将军饮马造桥选址ppt课件
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
M N
P Q
G H
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
பைடு நூலகம்
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
将军饮马问题课件
将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换得应用(将军饮马问题)２、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河ＯＡ上得某一位置Ｐ,再马上赶到河OB上得某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线(即选择点P与Q),使得总路程MP+PQ+QN最短.【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河ＯA上得某一位置P,再马上赶到河OB 上得某一位置Q。
请为将军设计一条路线(即选择点Ｐ与Q),使得总路程MＰ＋PＱ最短.３、将军要检阅一队士兵,要求(如图所示):队伍长为a,沿河ＯB排开(从点Ｐ到点Ｑ);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Ｑ检阅队伍后再赶到校场N、请问:在什么位置列队(即选择点P与Q),可以使得将军走得总路程MP+PQ+ＱN最短？4。
如图,点Ｍ在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M得距离与点P到OA 边得距离之与最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM,ON得对称点分别就是与,分别交OＭ, ＯＮ于点Ａ、B,已知=１5,则△ＰAB 得周长为( )ﻫＡ。
15 B 7、5 C。
10 D. ２4ﻫ6、已知∠AOB,试在∠AOB内确定一点P,如图,使P到OA、OB得距离相等,并且到M、N两点得距离也相等、7、已知∠MON=４０°,P为∠ＭON内一定点,OＭ上有一点A,OＮ上有一点B,当△ＰＡB得周长取最小值时,求∠ＡPB得度数、8、如图,在四边形ＡBCＤ中,∠A=９０°,ＡD＝4,连接ＢＤ,BD⊥ＣD,∠AＤＢ=∠C、若Ｐ就是BＣ边上一动点,则DP长得最小值为_＿__＿_.ﻫ练习1、已知点在直线外,点为直线上得一个动点,探究就是否存在一个定点,当点在直线上运动时,点与、两点得距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由、2、如图,在公路得同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库得距离与最短,这个中转站应建在公路旁得哪个位置比较合理？３、已知:、两点在直线得同侧, 在上求作一点,使得最小。
2020年中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型和典型例题 课件(共38张PPT)
致
A
用
EC
D F
G
K
H
B
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
选做题
（ （ （
1.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径，AB=8cm，AC=CD=BD，M是AB上 一动点，求CM+DM的最小值。
D'
A MO
B
C
D
选做题
（
2.如图,MN是⊙O的直径,已知点A是⊙O上一个三等分点,点B是AN的 中点,点P是半径ON上的动点,若⊙O的半径为1,求AP+BP的最小值。
（1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的 mx n k 解集；
x （3）在x轴上取点P，使PA-PB取得最大值时，求出点P的坐标。
y
A B′
CO
Px
B
数学活动室
1.如图，正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O，N是AO的中
点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一动点，求|PM-PN|
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
？ 分别为BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。
学以致用
例 2 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE和
PC的长度之和最小值。
将军饮马课件ppt
05
将军饮马问题的扩展和挑 战
变种问题
01
02
03
04
障碍物问题
在路径上设置障碍物，求最短 路径时需要避开障碍物。
多点折返问题
在路径上设置多个折返点，求 最短路径时需要多次折返。
限制条件问题
在求最短路径时加入限制条件 ，如步数限制、时间限制等。
动态变化问题
路径长度会随时间或其他因素 变化，需要求最短路径时考虑
这些变化。
计算复杂度
最坏情况下的时间复杂度
在最坏情况下，算法的时间复杂度可 能较高，需要优化算法以降低时间复 杂度。
空间复杂度
并行计算
为了提高算法的效率，可以考虑使用 并行计算来加速计算过程。
算法的空间复杂度也需要考虑，以评 估算法的内存消耗。
实际应用中的限制和优化
数据精度
在实际应用中，需要考虑 数据精度对算法的影响， 以避免误差累积导致结果 不准确。
在车辆调度方面，将军饮马问题同样 适用。通过优化车辆的出发时间和行 驶路线，物流公司可以最大化利用车 辆资源，提高运输效率。
计算机算法
图论算法
将军饮马问题作为图论中的经典问题，可以应用于计算机算法领域。通过解决将军饮马问题，可以开 发出更高效的图论算法，用于解决其他相关问题。
最短路径算法
最短路径算法是计算机算法中的重要组成部分。将军饮马问题可以作为最短路径算法的参考模型，帮 助开发人员找到图中两点之间的最短路径。
03
04
几何法是利用几何知识解决将 军饮马问题的方法。
它通过将问题转化为几何图形 ，利用几何定理和性质来找到
最短路径。
几何法适பைடு நூலகம்于具有明显几何特 征的问题，如两点之间的最短 距离、三角形中的最短路径等
2.将军饮马模型-课件PPT
3
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省齐齐哈尔市
4
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省绥化市
5
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·广西
给妹妹讲初中数学 6
5 真题训练
2023·四川宜宾
给妹妹讲初中数学 7
5 真题训练
2023·湖南省邵阳市
8
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
（2个动点不关联，转化为图形到图形的最值问题）
1个图形做对称图形，与另1个图形的最值。
点到点
图形到图形 直线到直线，垂直 直线到圆，过圆心 圆到圆，过两圆圆心
给妹妹讲初中数学 示例图
4 解题技巧
第五步：求最值。
解题技巧
找到图形中的最短值后，根据题意求解值即可。
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
解题技巧
2 模型探究
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，陕西）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2020，云南）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，沈阳）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
1. 找出最值经过的所有点，标记定点和动点。
2. 画出所有动点的运动轨迹。
3. 判断最值的两个端点是动点还是定点。
4. 根据端点情况，做对称点/对称图形。
5. 求最值。
找动点 画轨迹 判两端 做对称 求最值
给妹妹讲初中数学
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问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
7
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’
（2）连结B’A，交MN于点 C；
所以 点C就是所求的点．
B
A
M
N
C
B’
8
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2证明：在MN 上任取另一点C’， B
A
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
2019/11/2
教师：吴琼 电话：
2019/11/2
2
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短 2019/11/2
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时 代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得 其解的问题：
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军每天骑马从城堡A出发， 到城堡B，途中马要到小溪边饮水 一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而 广为流传的问题。
2019/11/2
4
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程 最短？
A
最短路线：
A'
M
C. .A
.B
O
.N
D .B'
16
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
17
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
则点B, C为所求。
12
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部 例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
13
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷， 请你帮助确定这一天的最短路线。
P
A ---P--- B.
B 根据： 两点之间线段最短.
5
将军饮马：
拓展1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜羊 羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关于 小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E处 汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
9
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
10
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
例4变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
9; .C
O
B' 18
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
2019/11/2
19
反 思 是 进 步 的 阶 梯
2019/11/2
我的收获；
我的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时， 我们可以通过怎样的途径去研究它？
20
M 草地
O
.驻地A
N 河边
11
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3已知如图 MON 和 MON内一点A ,
求作:OM上一点B, ON上一点C, 使AB+BC+AC最小
. A' B.
作法（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A’、A”
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A''，交OM 于B，交ON于C。
A
B
河
7
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’
（2）连结B’A，交MN于点 C；
所以 点C就是所求的点．
B
A
M
N
C
B’
8
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2证明：在MN 上任取另一点C’， B
A
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
2019/11/2
教师：吴琼 电话：
2019/11/2
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看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短 2019/11/2
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时 代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得 其解的问题：
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军每天骑马从城堡A出发， 到城堡B，途中马要到小溪边饮水 一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而 广为流传的问题。
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将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程 最短？
A
最短路线：
A'
M
C. .A
.B
O
.N
D .B'
16
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
17
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
则点B, C为所求。
12
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部 例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
13
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷， 请你帮助确定这一天的最短路线。
P
A ---P--- B.
B 根据： 两点之间线段最短.
5
将军饮马：
拓展1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜羊 羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关于 小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E处 汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
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(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
10
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
例4变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
9; .C
O
B' 18
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
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反 思 是 进 步 的 阶 梯
2019/11/2
我的收获；
我的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时， 我们可以通过怎样的途径去研究它？
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M 草地
O
.驻地A
N 河边
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(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3已知如图 MON 和 MON内一点A ,
求作:OM上一点B, ON上一点C, 使AB+BC+AC最小
. A' B.
作法（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A’、A”
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A''，交OM 于B，交ON于C。