将军饮马 PPT
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将军饮马问题(课堂PPT)
A'
M
C . .A
.B
O
.N
D .B '
.
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台 边OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
.
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB'C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
例4变式2：
M
作 法 :(1)作 点 A关 于 O M 的 对 称 点 A',
点 B关 于 O N的 对 称 点 B'.
. ( 2 ) 连 结 A '和 B '， 交 O M 于 C ， 交 O N 于 D 。 A
A.'
则 点 C、 D为 所 求 。
.C
B.
.
N
.D
O
B'
.
16
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
.
5
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
最短路径将军饮马造桥选址ppt课件
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
M N
P Q
G H
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
பைடு நூலகம்
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
浙教版八年级上册第二章特殊三角形专题复习将军饮马问题的拓展与应用课件(共18张PPT)
AP
图1
B
B
A
异
P
侧
A’ 图2
变式一：思考，点p在直线L哪个位置的时候，有AP-BP最大？
B
A
A
P 图1
P
图2
B’
同 侧
B
应用1，
如图，若A到直线L的距离AC是3KM，B到直 线L的距离BD是1KM，并且C,D的距离为4KM， 在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小，并 求这个最小值。
A
L
C
B P
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
饮马问题的本质
今天我们共同经历了“饮马问题”拓展的探旅程， 相信你会有所感触，请你延续这种学习方法和探索方式， 你会发现数学其实挺好玩，你更会发现数学很有趣，数学也挺美。
蒲性眼纷琵饮
桃命泪纷琶马
入逐双连幽傍
汉轻双大怨交
家车落漠多河
。 。。。。。
二：探索数学本真
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚 下A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营， 请问怎样走才能使总路程最短？
费马最短时间原理 ：光是沿着光程为B极值的路径传播的
A
河 流
c
A’
两点之间，线段最短
将军饮马问题：
D
A’
H
法二： Y
A (0，3)
E
B (4，1)
P
LC
图1
B
B
A
异
P
侧
A’ 图2
变式一：思考，点p在直线L哪个位置的时候，有AP-BP最大？
B
A
A
P 图1
P
图2
B’
同 侧
B
应用1，
如图，若A到直线L的距离AC是3KM，B到直 线L的距离BD是1KM，并且C,D的距离为4KM， 在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小，并 求这个最小值。
A
L
C
B P
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
饮马问题的本质
今天我们共同经历了“饮马问题”拓展的探旅程， 相信你会有所感触，请你延续这种学习方法和探索方式， 你会发现数学其实挺好玩，你更会发现数学很有趣，数学也挺美。
蒲性眼纷琵饮
桃命泪纷琶马
入逐双连幽傍
汉轻双大怨交
家车落漠多河
。 。。。。。
二：探索数学本真
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚 下A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营， 请问怎样走才能使总路程最短？
费马最短时间原理 ：光是沿着光程为B极值的路径传播的
A
河 流
c
A’
两点之间，线段最短
将军饮马问题：
D
A’
H
法二： Y
A (0，3)
E
B (4，1)
P
LC
将军饮马问题课件
将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换得应用(将军饮马问题)２、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河ＯＡ上得某一位置Ｐ,再马上赶到河OB上得某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线(即选择点P与Q),使得总路程MP+PQ+QN最短.【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河ＯA上得某一位置P,再马上赶到河OB 上得某一位置Q。
请为将军设计一条路线(即选择点Ｐ与Q),使得总路程MＰ＋PＱ最短.３、将军要检阅一队士兵,要求(如图所示):队伍长为a,沿河ＯB排开(从点Ｐ到点Ｑ);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Ｑ检阅队伍后再赶到校场N、请问:在什么位置列队(即选择点P与Q),可以使得将军走得总路程MP+PQ+ＱN最短？4。
如图,点Ｍ在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M得距离与点P到OA 边得距离之与最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM,ON得对称点分别就是与,分别交OＭ, ＯＮ于点Ａ、B,已知=１5,则△ＰAB 得周长为( )ﻫＡ。
15 B 7、5 C。
10 D. ２4ﻫ6、已知∠AOB,试在∠AOB内确定一点P,如图,使P到OA、OB得距离相等,并且到M、N两点得距离也相等、7、已知∠MON=４０°,P为∠ＭON内一定点,OＭ上有一点A,OＮ上有一点B,当△ＰＡB得周长取最小值时,求∠ＡPB得度数、8、如图,在四边形ＡBCＤ中,∠A=９０°,ＡD＝4,连接ＢＤ,BD⊥ＣD,∠AＤＢ=∠C、若Ｐ就是BＣ边上一动点,则DP长得最小值为_＿__＿_.ﻫ练习1、已知点在直线外,点为直线上得一个动点,探究就是否存在一个定点,当点在直线上运动时,点与、两点得距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由、2、如图,在公路得同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库得距离与最短,这个中转站应建在公路旁得哪个位置比较合理？３、已知:、两点在直线得同侧, 在上求作一点,使得最小。
2.将军饮马模型-课件PPT
3
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省齐齐哈尔市
4
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省绥化市
5
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·广西
给妹妹讲初中数学 6
5 真题训练
2023·四川宜宾
给妹妹讲初中数学 7
5 真题训练
2023·湖南省邵阳市
8
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
（2个动点不关联，转化为图形到图形的最值问题）
1个图形做对称图形，与另1个图形的最值。
点到点
图形到图形 直线到直线，垂直 直线到圆，过圆心 圆到圆，过两圆圆心
给妹妹讲初中数学 示例图
4 解题技巧
第五步：求最值。
解题技巧
找到图形中的最短值后，根据题意求解值即可。
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
解题技巧
2 模型探究
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，陕西）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2020，云南）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，沈阳）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
1. 找出最值经过的所有点，标记定点和动点。
2. 画出所有动点的运动轨迹。
3. 判断最值的两个端点是动点还是定点。
4. 根据端点情况，做对称点/对称图形。
5. 求最值。
找动点 画轨迹 判两端 做对称 求最值
给妹妹讲初中数学
将军饮马专题ppt课件
第8题图
返回
1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
将军饮马问题ppt课件
B 根据： 两点之间线段最短.
5
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜 羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关 于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军饮马问题
1
2
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
5
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜 羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关 于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
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（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军饮马问题
1
2
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
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• 3、如图，在∠OAB 内有两点 P、Q，在 OA和 OB 各 找一个点 M、N，使得四边形PMNQ 周长最短（题 眼）。
一般做法：题目中 PQ 距离固 定。所以只是求PM+MN+QN的 最短距离。最终P’Q’+PQ， 即为所求最短周长。M、N 即 为所求的点。
理由：作完对称后，由 于 P’M=PM，Q’N=QN，所以
PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所 以就化成了求 P’到 Q’的最 短距离，所以相连即可。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
常见问题
1. 怎么对称，作谁的对称？ 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是 题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定 的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。怎么对 称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。 或者说只有定点才可以去作对称的。
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题 （轴对称是工具，最短距离是题眼）
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法 就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味 着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出 现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现 可以快速联想到将军问题，然后利用轴对一定要明白，所求点最后反应 在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。
4. 对称的点可以随便选吗？
理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上， 为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下： 对称点方便确定、方便计算长度。
5. 将军饮马一定是求最短距离吗？
解析：要求MN+MC的最小值，那么这三个点，谁是 定点呢，如何构造对称点？
由于点C’与点C是关于BD轴对称， 所以MC=MC’,也就是说要求 MN+MC的最小值，只要求 MC’+MN的最小值，假设N点为 BC上定点，那么可以根据两点 之间线段最短，可知，当C’,M,N 三点在同一条直线上时，其值最 小，现在点N为BC上的动点，又 如何确定其C’M+MN的最小值呢， 不错根据垂线段最短，可知 C’N⊥BC时，其值最小。
那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一 条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动 点所在直线。
2. 对称完以后和谁连接？
接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相 连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对 称点也是一个定点。例如模型二和模型三。
3. 所求点怎么确定？
“将军饮马”模型
平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有： ① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得
到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上 各点所连的线段中,垂线段最短.
在一些“线段的最值”的问题中，通过翻 折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、 ② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般 被称之为“将军饮马”问题。
• 2、如图，在∠OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找 一个点 M、N，使得△PMN 周长最短（题眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点P1、P2。连接 P1、P2。 则P1P2与 OA、OB的交点即为所求 点。P1P2即为最短周长。
理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了 求 P1到 P2的最短距离，直接相连就可以了。
肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类 题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根 本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还 作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最 关键。
例：如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点， N为边BC上的动点，已知AB=6,BC=8,求 MN+MC的最值。
• 1、如图，在直线异侧两个点 A 和 B，在直线上求 一点 P。使得PA+PB 最短（题眼）。
一般做法：作点 A（B）关于 直线的对称点， 连接 A’B，A’B 与直线交点 即为所求点。A’B即为最短 距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直
线任何位置都能得到AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了 求 A’ 到 B 的最短距离，直接相连就可以了。