云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考数学试卷及答案解析.

云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、选择题

1.复数1z i

=-，则z 的共轭复数为（ ） A.1i -

B.1i +

C.

1122

i + D.

1122

i - 2.已知集合{(,),A x y x y =∣

为实数，且}

2

2

1x y +=，{(,),B x y x y =∣为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

3.已知正实数,a b 满足21()log 2

a

a =，21()log 3

b

b =，则（ ） A. 1a b <<

B. 1b a <<

C. 1b a <<

D. 1a b <<

4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12 5.函数ln e

1x

y x =--的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知tan 3θ=，则3cos 22πθ??

+= ???

（ ） A.4

5

-

B.

35

C.

35

D.

45

8.已知函数()sin()(0,0,02)f x A x b A ω?ω?π=++>>≤<在同一周期内有最高点

,112π?? ???

和最低点7,312π??

- ???，则此函数在,36ππ??-????的值域为（ ）

A.1,1????

B.1????

C.1,2????

D.1,2??

9.若x 、y 满足不等式组1

22x y y x y mx

+≥??

-≤??≥?

，且12y x +的最大值为2，则实数m 的值为（ ）

A.

32

B.32

-

C.

12

D.12

-

10.已知双曲线C:

x 2a ?

y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点为F ， 以F

为圆心，实半轴长为

半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P,Q ，若OQ ??????? =3OP ??????? （其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. √7

B. √5

C.

√5

2

D. √7

2

11.若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，(2)()f x f x -=，且当[0,1]x ∈时，

()f x =()()x

H x xe f x =-在区间 [5,1]-上的零点个数为（ ）

A.4

B.6

C.8

D.10

第II 卷（非选择题）

二、解答题

在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=

．

（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

13.某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.

（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；

（2）用X 表示甲?乙?丙三名同学选择周三活动的人数之和，求X 的分布列和数学期望. 14.如图,四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB ＝90°，平面P AD ⊥平面ABCD ，

P A =BC =1，PD =,E 、F 分别为线段PD 和BC 的中点．

（Ⅰ） 求证：CE ∥平面P AF ；

（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点G ，使得平面P AG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G 的位置；若不存在，请说明理由．

15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，其左?右焦点分别为1F ，2F ，点

()00,P x y 是坐标平面内一点，且||OP =，123

4PF PF ?=(O 为坐标原点).

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点10,3S ?

?- ???

且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由. 16.已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数

2

1()()2

g x f x x bx =+

-． （1）求实数a 的值；

（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）设是函数()g x 的两个极值点，若

，求的最小值．

三、填空题

17.在ABC 中，(

)3,3AB =

，()

CB =-，则CA CB ?=______.

18.10

的展开式的常数项为______. 19.已知正三棱柱外接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为______.

20.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中正确的序号是__________. ①()y f x =的图象关于点()π,0中心对称， ②()y f x =的图象关于π

2

x =对称，

③()f x 的最大值为

2

， ④()f x 既是奇函数，又是周期函数.

参考答案

1.D

【解析】1.

先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 因为()()11111111222

i i z i i i i ++=

===+--+， 所以其共轭复数为11

22

i -. 故选：D. 2.C

【解析】2.

联立22

1

y x x y =??+=?，解方程组，即可求出22

1x y +=与y x =的交点个数，即A B 中元素的个数.

联立22

1y x x y =??+=?

，解得2x y ?=??

??=

??

或2

x y ?

=????

=-??

. 即2

2

1x y +=与y x =

相交于两点??

，? ??

，

故A

B 中有两个元素.

故选：C ． 3.B

【解析】3.

在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 2

3

x

x

y y y x ===的图象，结合图象，即可求解。

由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 2

3

x

x

y y y x ===的图象， 结合图象可得：1b a <<，故选B 。

4.C

【解析】4.试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为2，2，3的直棱柱，截去了一个底面两直角边为1，2，高为3的三棱锥，代入体积公式可得答案． 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为2，2，3的直棱柱，截去了一个底面两直角边为1，2，高为3的三棱锥， 11

2231231132

V =??-????=．

5.B

【解析】5.

将绝对值符号去掉，将函数写成分段函数形式，即可判断函数图象； 解：因为ln e

1x

y x =--

当1≥x 时，()ln 111x

y e

x x x =--=-+=

当01x <<时，()ln 1

11x

y e

x x x

-=+-=

+- 所以1,111,01x y x x x ≥??

=?+-<

当12

x =时，11310

122

2

y =+-=>，故排除D ； 故选：B 6.D

【解析】6.

试题根据框图所给的算法程序可知，进入循环前，2,1S n ==；第一次循环时，

1

112

S =

=--，2n =，12S =-≠

，进入第二次循环；第二次循环时，

111(1)2S ==--，3n =，122

S =≠，进入第三次循环；第三次循环时，1

2112

S ==-，

4n =，此时2S =成立，退出循环；所以输出的4n =，故选D.

7.C

【解析】7.

本题首先可以通过诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将3cos 22πθ??

+

???

转化为22tan tan 1

θ

θ+，然后代入tan 3θ=并计算即可得出结果.

3cos 2cos 2sin 222ππθθθ????+=-+= ? ?????

222

2sin cos 2tan 2sin cos sin cos tan 1

θθθ

θθθθθ==

=++， 因为tan 3θ=，所以23233

cos 22315

πθ???+== ?+??， 故选：C. 8.A

【解析】8.

根据题意，先求出A 和b ，然后求出ω和?，然后，利用三角函数的性质求解值域即可 由题意知，1

3A b A b +=??

-+=-?

，

解得A ＝2，b ＝﹣1；

又1227312

2π

πω?ππω???+=?????+=??，且02?π≤<， ∴解得ω＝2，φ3

π

=

；

∴函数f （x ）＝2sin （2x 3π+

）﹣1，又,36x ππ??

∈-????，所以22,333x πππ??+∈-????

，所以

sin(2)32x π

??

+∈-????

，所以()1,1f x ??∈??，

故选：A 9.A

【解析】9. 作出可行域，令12z x y =

+，结合图形说明当直线12

z x y =+经过直线1

22x y +=与直

线22y x -=的交点A 时，目标函数1

2

z x y =

+取得最大值2，求出点A 的坐标，利用点A 在直线y mx =上可求得实数m 的值.

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

令12z x y =

+，当目标函数12z x y =+取得最大值时，直线1

2

z x y =+在y 轴上的截距最大，

由图象可知，当12z x y =

+经过点A 时，此时目标函数1

2

z x y =+取得最大值2， 联立12222x y y x ?+=???-=?，解得1

32x y =??

?=??

，即点31,2A ?? ???，

此时，点A 在直线y mx =上，则3

2

m =. 故选：A. 10.D

【解析】10.

设双曲线的一条渐近线方程为y =b a

x ，H 为PQ 的中点，可得FH ⊥PQ ，由OQ ??????? =3OP

??????? ，可知H 为OQ 的三等分点，用两种方式表示OH ，即可得到双曲线C 的离心率. 解：设双曲线的一条渐近线方程为y =b

a x ，

H 为PQ 的中点，可得FH ⊥PQ ，

由F （c ，0）到渐近线的距离为FH=d =

√a 2+b 2

=b ，

∴PH=√a 2?b 2，又OQ ??????? =3OP

??????? ∴OH=2?b 2=√c 2?b 2

即7a 2

=4c 2，∴e =

√72

故选：D 11.B

【解析】11.

先分析函数()()x

H x xe f x =-的零点个数，即()y f x =与x

y xe =在区间 [5,1]-上的

交点个数，再分析函数周期性、对称性和单调性画函数图象，看图即得结果.

依题意，函数()()x

H x xe f x =-的零点个数，即()y f x =与x

y xe =在区间 [5,1]-上

的交点个数，

定义在R 上的函数f (x )满足f (?x )=f (x )，f (2?x )=f (x )，

∴函数f (x )是偶函数，且函数的图象关于x =1对称，故[0,1]x ∈，()f x =221x y +=，故函数f (x )是单位圆的

1

4

，利用周期性和对称性可得函数图像. 设g (x )=xe x ，其定义域为R ，g ′(x )=(xe x )′=x ′e x +x (e x )′=e x +xe x 令g ′(x )=0，得：x =?1，且1x <-时g ′(x )<0，1x >-时g ′(x )>0， 故函数g (x )=xe x 的单调递减区间为(?∞,?1)，单调递增区间为(?1,+∞)， 当x =?1时，函数g (x )=xe x 的极小值为()1

1g e

-=-，且0x <时g (x )<0，0x >时g (x )>0，故作图如下：

将x 轴下方部分图像对称到上方，即得x

y xe =图像，

要求()y f x =与x

y xe =在区间 [5,1]-上的交点个数，则作图如下：

结合图像可知，有6个交点，故函数()()x

H x xe f x =-有6个零点. 故选：B.

12.（Ⅰ）2a =，2b =，（Ⅱ）

3

【解析】12.

（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，22

4a b ab +-=，

又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ·

······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ··············································· 6分

（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分

当cos 0A =时，2A π=，6

B π

=

，a =

b =，

当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得a =

b =．

所以ABC △

的面积1sin 23

S ab C ==． ······································································· 12分 13.（1）415；（2）

2815

.

【解析】13.

（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；

（2）由题意可以知道随机变量X 的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解． （1）设A 表示事件“甲同学选周三的活动”， B 表示事件“乙同学选周三的活动”，

则P （A ）122323C C ==，P （B ）2

4353

5

C C ==，

事件A ，B 相互独立，

∴甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为()P AB P =（A ）

234

()(1)3515

P B =?-=；

（2）设C 表示事件“丙同学选周三的活动”，则P （C ）2

4353

5

C C ==，

X 的可能取值为0，1，2，3，则

1224

(0)35575

P X ==??=；

2221321234

(1)35535535515P X ==??+??+??=；

23222313311

(2)35535535525

P X ==??+??+??=；

2336

(3)

P X==??=．

35525

X的分布列

EX=?+?+?+?=．

数学期望0123

7515252515

14.（Ⅰ）先证明EC∥HF即可（Ⅱ）存在

【解析】14.

试题证明（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，

因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,,

因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点所以FC∥AD,所以HE∥FC,四边形FCEH是平行四边形所以EC∥HF 又因为

所以CE∥平面PAF

（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA

由PA=AD=1，可知，PA⊥AD

所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz

因为PA=BC=1，AB=2所以AC=1 所以

假设BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°， 设点G 的坐标为（1，a ，0）， 所以

设平面PAG 的法向量为 则令

所以

又

设平面PCG 的法向量为 则

令所以

因为平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，所以

所以

又

所以

所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°点G 即为B 点

15.（1）2

212

x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.

【解析】15.

（1）利用||2

OP =

，123·

4PF PF =列出方程可得1c =，再由离心率即可求出,a b ，得

出椭圆方程；

（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标.

(1)

2

OP =

，22

0074x y ∴+=，

又123·

4PF PF =，00003(,)(,)4

c x y c x y ∴---?--=，即222

0034x c y -+=，

则可得1c =，又2

e =

，1a b ∴==， 故所求椭圆方程为2

212

x y +=；

(2)设直线1:3

l y kx =-，代入2212x y +=，有22

416(21)039k x kx +--

=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212

22416

,3(21)9(21)

k x x x x k k -+=

=++， 若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =-，22(,)MB x y m =-，

2

1212121212·()()()MAMB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++2

1212121111

()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121

(1)()()339m k x x k m x x m =+-+++++

2222

18(1)(9615)

9(21)

m k m m k -++-=+， 由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立，

即222

18(1)(9615)0m k m m -++-=对k ∈R 成立.

221096150m m m ?-=∴?+-=?

，解得1m =，

∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.

16.（1）1a =；（2）；（3）

．

【解析】16.

（1）先对函数1a =求导，由切线l 与直线20x y +=垂直知，可得实数的值；

（2）存在递减区间，转化为

在定义域上有解，即分析在

上有解；（3）令

，则

是方程两根，

，表示

，然后构造函数求其最小值，注意

条件的充分使用．

（1）∵

，∴

．

∵l 与直线20x y +=垂直，∴，

∴

（2）因为

由题知在

上有解，

∵

设

，则

，

所以只需

故b 的取值范围是．

（3）∵，

所以令

∵

∵

所以设

，所以在单调递减，

∵，

故所求的最小值是

【点晴】

本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、构造函数和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数1a =的最值，先求其单调性，再根据单调性确定其最值，其中要特别注意对定义域的分析；构造函数并用导数进行研究，是导数问题中的难点，要有较强的分析和运算能力． 17.6

【解析】17.

先由(

)

3,3AB =，()

CB =-，求出CA CB AB =-，然后利用数量积公式直接求

解即可. 解：因为(

)

3,3AB =

，()

CB =-，

所以())()

CA CB BA CB AB =+=-=--=-，

则()()

6CA CB ?=-?=. 故答案为：6 18.210

【解析】18.

根据二项展开式的通项公式，先写出展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果.

10

展开式的第1r +项为 ()()()51055

236

110

1010111r

r r r

r

r

r r r

r r

r T C C x

C x ----+=-=-=-， 令5506

r

-

=解得6r =，

因此10

的展开式的常数项为()66

7101210T C =-=. 故答案为：210.

【解析】19.

设底面边长为a ，则根据题意可得侧面积可表示为. 设外接球的球心为O ，正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ,

由于球心O 在底面的射影1O 为底面的中心，则1O A a =

，

h ∴==

∴正三棱柱的侧面积为326a h ah ?===

则当26a =，即a =

∴.

. 20.①②④

【解析】20.

利用函数图象关于点(),0a 对称的充分必要条件：()()2,f a x f x -=-和函数图象关于直线x a =对称的充分必要条件：()()2f a x f x -=，结合三角函数的诱导公式和奇偶性，判定①②正确；利用二倍角公式和同角三角函数的关系将(f x )化为只含有sin x 的表达式，利用换元法并构造函数，使用导数研究单调性，并求得最值，进而判定③错误；利用奇函数的定义和周期函数的定义，结合正余弦函数的周期性可以判定④正确.

()()()()()2cos 2sin22cos sin2f x x x x x f x πππ-=--=-=-,故①正确； ()()()()()cos sin2cos sin2f x x x x x f x πππ-=--=--=,故②正确；

()()()

23cos sin2cos 2sin cos 21sin sin 2f x x x x x x x x t t ==?=-=-，其中sin t x =.

记()3

g t t t =-,[]

1,1t ∈-,则()2

13g t t ='-,令()0g x '=，解得t =，

列表如下：

()max g t ()max f t ，故③错误；

()()()()()cos sin 2cos sin 2f x x x x x f x -=--=-=-，故()f x 为奇函数， ()()()()2cos 2sin 22cos sin 2f x x x x x f x πππ+=++==，故()f x 是周期函数，

故④正确.

故答案为：①②④.