[教学设计]《数列的极限》精品教案

《数列的极限》教学设计
(一)教材分析
数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。

(二)教学对象
学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长P n不断增大，并越来越接近于圆的周长C。

在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。

这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。

但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。

讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。

(三)教学媒体：投影仪
(四)教学目标
⑴掌握数列极限的定义。

⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。

⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。

(五)重点、难点
理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。

(六)教学方法：启发分析，讲练结合。

(七)教学过程
一、定义的引进
1.复习提问
⑴ |a| 的几何意义：表示数a 的点与原点的距离。

⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A 的点之间的距离。

⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解集。

2. 满不等式 |x-A|<ε的点x 全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x 与点A 的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出ε是一个任意小的正数。

3. 定义的引进 本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列： 把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来： ①
0 从图形容易看出，不论项数n 怎样大， 永不为0，只是0 的近似值，但当n 无限增大时，数列 的项就无限趋近于0。

即当n →∞时， →0。

再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……， ，…… 0 0.9 0.99 1
当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n →∞时， →1。

“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？
如图由,||εεε+<<-⇒<-A x A A x )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n 321161814121n
21{}n 21n
21
n
1011-n 1011-n 21
让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会： ① 定义中的数列 {a n } 是什么数列？
②“存在一个常数A ”是什么意思？
③“无论预先指定多么小的正数ε”，这个ε具有什么特征？
④找出一项a N ，这个项数N 是否存在，有多少个？
⑤ |a n -A|<ε恒成立，这里的绝对值是什么意思？
学生回答后，教师用下列表格小结：(用投影仪打出)
n n 的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近于A ，只有当项数n 趋于无穷时，量变到质变，引起质的飞跃，得到了极限A 。

二、应用
1. 例题： ⑴写出这个数列的各项与0的差的绝对值； ⑵第n 项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.1？都小于0.001？都小于0.0003？
⑶第n 项后面的所有项与0的差的绝对值都小于任何预先的正数ε？ ⑷ 0是不是这个数列的极限？
⑴计算 |a n -1|； ⑵第n 项后的所有项与1的差的绝对值都小于 ？都小于任
意指定的正数ε？
⑶确定这个数列的极限。

讲例1、2前先让学生在数轴上表示出这两个数列的前n 项，由数列的变化趋势找到它们的极限。

,......1)1(,......,41,31,21,1:11n n +---已知数列例,......1,......,43,32,21:2+-n n 已知数列例1001
教师讲解例1，然后小结：
当给定任意小的正数ε以后，要找N ，一般可以通过解不等式 |a n -A|<ε找出N 0，大于N 0的N 1都可作为N 。

确定极限的存在关键是对任给的ε>0，保证N 的存在。

例1的(3)实际上就是用定义证明了数列 的极限是0。

例2由学生阅读，然后让学生总结用定义证明数列极限的步骤：
① 由证题者给出任意小的正数ε>0；
② 使 |a n -A|<ε，找出N ，当n>N 时有 |a n -A|<ε。

例3：求常数数列 –7,-7,-7,…… 的极限。

证明：对任意小的正数ε，任取自然数N ，当n>N 时不等式 |-7-(-7)|=0<ε恒成立。

n →∞
小结：任何一个常数数列的极限都是这个常数本身。

2.练习：(用投影仪打出)
Ⅰ. 是非题：
⑴数列极限定义中的ε是一个很小很小的正数。

⑵数列极限定义中的N 有无穷多个，但只要找一个就够了。

⑶一个数列如果有极限，那么极限是唯一的。

⑷与 |a n -A|<ε等价的是a n ∈(A-ε,A+ε)。

⑸ (1-ε,1+ε)内存在有穷多项，(1-ε,1+ε)外存在无穷多项。

⑹无穷数列都有极限。

⑺有穷数列一定没有极限。

Ⅱ. 观察下列数列的变化趋势找出它们的极限：
可见：数列{a n }趋近于极限A 有三种情况：a n 大于A 而趋向于A ；a n 小于A 而趋向于A ；a n 时而小于A 时而大于A 而趋向于A 。

三、本节内容小结
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n 1)1(17)7lim(-=-∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+1)1()1()1(n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1()2({}
n n )1()3(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-n n 1)1(1)4(⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2)5(n n
n =A 四、作业：
课本P72习题十九1,2。

⑴求证：这两个数列的极限分别是5和1； ⑵作一个无穷数列使它各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列极限的和。

为下节四则运算作好铺垫。

2
,......,53,42,3125,......,515,410,35:++n n n n 和已知数列思考题。