竖向集中荷载作用下土中应力计算

z=z(aeAh) z(beAg) z(dfAh)+ z(cfAg) 图4-20 角点法示意图
情况3: O点在荷载面的边缘：
z o o ( z z ) p0
O
Ⅱ
Ⅰ 其中azI 、azII 为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加
应力系数。
情况4:O点在荷载面的边缘外侧：
edc
o h g 荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah） f a b + 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh）
z
3F
2 z2
cos5
r
F
2 z2
3
sin
2
cos3
(1 2) cos2 1 cos
t
F (1 2) 2 z2
cos3
cos2 1 cos
rz
3F
2 z2
(sin
cos4 )
tr tz 0
▪ 对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成
式中：
z
3Fz3
2 R5
3F
这种方法适用于基底面不 规则的情况，每块面积划 分得越小，计算精度就越 高。
4.4.2 分布荷载作用下土中应力计算
（1）空间问题 应力与计算点处的坐标(x, y, z)有关。 （如l/b 10的基础，独立基础）
（2）平面问题 应力与计算点处的坐标(x, z)有关。 （如l/b 10的条形基础、路堤、土坝）
2
po
l 0
b
1
0 (x2 y2 z2 )5/2
dxdy z po
其中,角点应力系数为：
z
1
2
(m2
mn(1 2n2 n2 )(1 n2 )
m2) 1 m2
n2
arctan
m
(1 n2 )(m2 n2 )
▪可由表4-5查得 ▪这里m=l/b，n=z/b 注意：l为长边，b为短边。
2 R5
zx
xz
3Fxz 2
2 R5
式中：x、y、zM点的坐标；E、弹性模量及泊松比
。
X、Y、Z 轴方向的位移：
u
F (1 ) 2 E
xz R3
(1
2)
x R(R
z)
v
F (1 ) 2 E
yz
R3
(1
2)
y R(R
z)
w
F (1 ) 2 E
z2
R3
2(1
)
1
R
当采用极坐标表示M点的应力时：R r 2 z2
4.4.1 竖向集中荷载作用下土中应力计算
1、布辛奈斯克解（半空间表面集中力作用下） Boussinesq课题：
半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P，计算任一点M的应力 。
图 4-14 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
2、等代荷载法－基本解答的初步应 用
由于集中力作用下地基中的附加应力σz是荷载的一次函数，因此当若 干竖向集中力Fi作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M 的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和 。
n
z
i
i
Fi zi 2
等代荷载法－基本解答的初步应用
将基底面基底净压力的分 布划分为若干小块面积并 将其上的分布荷载合成为 小的集中力，即可应用等 代荷载法进行计算。
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
R3
(
R
z
)2
y
3F
2
zy2 R5
1 2
3
R2 Rz z2
R3(R z)
y2 (2R z)
R3
(
R
z)2来自剪应力：xyyx
3F
2
xyz R5
1 2
3
xy(2R z)
R3
(R
z)2
yz
zy
3Fyz 2
4.4.3 空间问题的附加应力
一、 矩形面积均布荷载
a) 矩形面积角点下
▪在基底范围内取单元面积dA=dxdy
▪单元面积上分布荷载看作是集中力dF=podxdy
▪集中力在M点处的竖向附加应力为：
d z
3
2
po z3 (x2 y2 z2 )5/2
dxdy
进行积分：
z
A d z
3z3
z
3z3
2
p
l 0
x dxdy bb
0
5
(x2 y2 z2)2
mn
2
1 n2 m2
(1 m2 )
n2 1
m2
n2
p
t1
p
其 中 ， t1
mn
2
1 m2 n2 (1 n2 )
n2
1 m2 n2
称为应力系数，为n=l/b和m=z/b的函数，可由表4-8查得 。
表4-8 三角形分布的矩形荷载 角点下的竖向附加应力系数AT1
2 z2
1
5
[1 r / z2 ]2
F z2
3
2
1
[1 r /
5
z2 ]2
称为应力分布系数，是r/z的函数。
例题4-2 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度
z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用 点r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。
[解] 列表计算见表4-2和4-3。
0.25
0.20
0.17
z(kPa)
0
0.084
0.273
0.369
0.410
0.433
0.444
3.5
0
16.8
13.7
8.2
5.1
2.5
图4-14 土中应力分布
规律分析：
减 （ 1 ） 集 中 力 作 用 线 上 随 深 度 小，
（2）水平方向随着r的增加而逐渐减
小。 （3）集中力作用点处为奇异点。 （4）作用有多个集中力时，可叠加 。
z (c c c cV ) p0
则：
二、 矩形面积上作用三角形分布荷载
求角点下M的竖
向应力？
▪将 坐 标 原 点 取 在 荷 载 为零的角点上，注意b 是三角形的荷载分布方 向；
▪取 单 元 面 积 dA=dxdy ，
其上作用集中力
dF=(x/b)p dx dy；
▪ 计算公式：
表4-2 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表4-3 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
表4-5 矩形均布荷载角点下竖 向附加应力系数
表4-5 矩形均布荷载角点下竖 向附加应力系数（续）
b) 土中任意点的计算（角点法）
情况1：投影A点在矩形面积范围之内
z=z(aeAh)+ z(ebfA)+z(hAgd)+ z(Afcg) 图4-20 角点法示意图
情况2：投影A点在矩形面积范围之外 求 M 点应力：
和AT2
表4-8 三角形分布的矩形荷载 角点下的竖向附加应力系数AT1
和AT2 （续1）
表4-8 三角形分布的矩形荷载 角点下的竖向附加应力系数AT1