五年级寒假第3讲-应用题一(教师版)

第三讲应用题一一、植树问题植树问题又称间隔问题，主要是研究间隔数（段数）、棵数、每段长度、路长之间的关系，从而解决诸如爬楼梯、锯木头等这一类实际问题．1. 直线型植树问题分为以下三类：1）两端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1，即：棵树=段数+1．2）一端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数等于段数，即：棵树=段数．3）两端都不植树：在植树的线路两端都不植树，则棵树比段数少1，即：棵树=段数−1．2. 封闭型植树问题：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，棵树等于段数，即：棵树=段数．3. 基本关系：段数=总长每段长度；总长=每段长度段数．二、方阵行数和列数相等的正方形方队叫做方阵，例如学生排队，士兵列队时横排、竖排相等．1. 实心方阵：总人（或物）数= 最外层每边人（或物）数最外层每边人（或物）数．2. 实心方阵和空心方阵：1）方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数少；2）每层总数= [每边人（或物）数] ；每边人（或物）数=每层总数．3、空心方阵：总人（或物）数= （最外层每边人（或物）数−层数）层数；总人（或物）数= （最外层人（或物）数最内层人（或物）数）层数三、盈亏问题盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数按两个数的差求未知数的“盈亏问题”．注意：1．条件转换；2．关系互换．四、年龄问题计算有关年龄一类的问题叫做年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现．年龄变化基本规律：1.两人年龄差不变2.两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变3.随着时间推移，两人年龄的增加量相等注意：上面的规律适用于两个人之间的年龄关系，但若涉及到一人年龄与另几人年龄和之间的关系则另当别论．计算年龄问题的基本方法：几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差五、鸡兔同笼鸡兔同笼问题的基本公式：1.如果假设全是兔，那么则有鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数−实际脚数)÷(每只兔子脚数−每只鸡的脚数)兔数=鸡兔总数−鸡数2.如果假设全是鸡，那么则有兔数=(实际脚数−每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数−每只鸡的脚数)鸡数=鸡兔总数−兔数六、平均数问题1．平均数问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少．2．平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据．3．解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数．4．平均数问题的数量关系式：“总数量÷总份数=平均数”，“总数量÷平均数=总份数”，“总份数⨯平均数=总数量”5．平均速度=总路程÷总时间例题1从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆，现在改为每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间还有几根不需移动？【分析】（53−1）×45=2340m45、60 的公倍数：180、3602340÷180=13不需要移动的杆：13+1=14，除了两端的：14−2=12例题2【一】有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？【分析】增加的两层人数为：9 +15=24（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有（24 −8）÷2 = 8（人），现在的方阵共5层，那么最外层有8 + 8×4=40（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是105 人．【二】仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边16人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多8人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心．求原乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）是多少？【分析】根据题意可知在乙方阵外再增加8 ÷2 = 4层的话乙方阵与丙方阵最外层人数相等，此时若将丙方阵的空心填满，那么增加4 层后的乙方阵与填满空心的丙方阵总人数也相等，，由此可得：乙方阵总人数+ 新加4 层的人数= 丙方阵总人数+ 甲方阵总人数= 甲方阵总人数+ 乙方阵总人数+甲方阵总人数，可见乙方阵新加4 层所需人数等于甲方阵总人数的两倍．那么乙方阵新增加4 层所需人数为16×16× 2 = 512（人），那么原乙方阵最外层每边人数为512 ÷ 4 ÷ 4 + 4 −2×4 = 28（人）例题3夏令营营员们到一招待所住宿．若每间宿舍住6人，那么就多14人；若每间宿舍住7人，那么就多1间宿舍．有多少个营员？有多少间宿舍？【分析】每间6 人多14 人每间7 人多1 间说明少7 人(7+14)/(7−6)=21 间21*6+14=140 人例题4一人从家出发到会所参加会议，先用每分钟走50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟．这个人从家到会所的距离是多少？【分析】设从家到会所还有X分钟开会（X+8）*50=（X−7）*60+2*50 X=72 分钟50*（72+8）=4000 米例题5小飞家是个四口之家．今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125岁，爷爷比小飞大57岁，爸爸比妈妈大2岁．5年前这个家庭成员的年龄和为107岁．这个家庭成员现在各几岁？【分析】今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125 岁，5 年前年龄和是105岁，说明小飞现在3 岁，爷爷60 岁；爸爸妈妈的年龄和62 岁，爸爸比妈妈大2 岁；有和差问题得妈妈30 岁，爸爸32 岁．例题6箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？【分析】假设每次一起取7 只白球和21 只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2 ．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3×3 + 2 =11(只)．但是实际上最后剩了53 只红球，比假设多剩42 只，因为每一次实际取得与假设相比少6 只，所以可以知道一共取了42 ÷6 = 7 (次)．所以可以知道原来有红球7×15 + 53 =158 (只)．例题7在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22道．选择题和填空题每题4分，解答题每题10分．这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？【分析】选择题和填空题的分值一样，可以归为一类．如果这次考试的22 道题全是解答题，则总分应是：22×10 = 220 (分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：（220 −100）÷（10 −4）= 20(道)，解答题有：22 −20 = 2 (道)．选择题比填空题少：2×10 −4 =16 (分)，选择题有：（100 −2×10 −16）÷2 ÷ 4 = 8 (道)，填空题有：20 −8 =12 (道)．例题8某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，那么二等奖学生的平均分提高了1分，一等奖学生的平均分提高了3分．那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【分析】（方法一）调整后得一等奖的有10 − 4 = 6（人），平均分提高了3分，说明原来求一等奖的平均分时，这6个人给所调整的4人一共添了6 ×3 = 18（分）；调整后得二等奖的平均分提高了1分，一共用了1×(20 + 4) = 24（分），说明计算新的平均分时所调整的4人一共拿出了24分平分给得二等奖的每个人；上面两部分合在一起，就可以求出原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多的分数为[3× (10 −4) +1×(20 + 4)] ÷4 =10.5（分）．（方法二）矩形图，其中横向代表获奖人数，纵向代表平均分．相比较前后两次，减少了矩形1，增加了矩形2 和矩形3 ．前后两次总分不变，所以矩形的总面积不变．所以，矩形1的面积等于矩形2 和矩形3 的面积之和．这样可以求出原来一等奖的平均分和现在二等奖的平均分的差；从而就能求出原来一等奖的平均分和二等奖的平均分的差．原来一等奖平均分比二等奖平均分多[3× (10 −4) +1×20] ÷4 +1 =10.5（分）．练习1在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？【分析】800÷4=200200=50×4=40×5所以间隔是40练习2有一个用方形瓷砖拼成的正方形，要在横、竖方向分别增加三排瓷砖，拼成一个大正方形，一共需要增加159块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？【分析】原来的正方形最外层的瓷砖块数为(159 −1−3−5) ÷3÷2 = 25（块），那么原来的正方形中瓷砖的块数为25×25 = 625（块）．练习3用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余2米；把绳子四折来量，绳子距井口1米，求井深和绳子长？【分析】3折4 段4 折5 段(2+1)/(5−4)=3 米/段3*5−1=14 米(绳长) (14−2)/4+2=5 米深练习4小雪和小芳各买了一本《奥林匹克读物》，约定在相同的时间内完成．小雪计划前两周做30题，以后每周做25题；小芳计划前两周做35题，以后每周做30题，还剩2周复习．问《奥林匹克读物》有几题？他们约定几周完成？【分析】约定X周完成2*30+(X−2)*25=2*35+(X−4)*30 X=12 2*30+(12−2)*25=310题练习5一家三口，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是儿子的3倍，三人4年前的年龄和是72岁，三人现在各几岁？【分析】设现在儿子x岁，妈妈爸爸各为3x岁；7x−12 = 72 ；得x =12；现在儿子12 岁，妈妈36 岁，爸爸36 岁．练习6买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张【分析】解一:如果拿出40 张8 分的邮票，余下的邮票中8 分与 4 分的张数就一样多. (680−8×40)÷(8+4)=30(张)，这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的各有30 张. 因此8 分邮票有40+30=70(张).解二:譬如，假设有20 张4 分，根据条件"8 分比4 分多40 张"，那么应有60 张8 分.以"分"作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560（分）. 比680少，因此还要增加邮票.为了保持"差"是40，每增加1 张4 分，就要增加1 张8分，每种要增加的张数是(680−4×20−8×60)÷(4+8)=10(张).因此4 分有20+10=30(张)，8 分有60+10=70(张).练习7犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？【分析】这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4 只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”．假设26只都是孔雀，那么就有脚：26× 2 = 52（只），比实际的少：80 −52 = 28（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4 −2 = 2（只）．所以，孔雀有26 −28 ÷2 =12（只），犀牛和羚羊总共有26 −12 =14（只）．假设14 只都是犀牛，那么就有犄角：14×1 =14（只），比实际的少：20 −14 = 6（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：2 −1 =1（只），所以，羚羊的只数：6 ÷1 = 6（只），犀牛的只数：14 − 6 = 8（只）．练习8小华期末考试时，语文、数学和音乐三科成绩平均分是96分，英语成绩公布后，四科平均分下降了2分，小华英语成绩是多少分？【分析】方法一：已知三科成绩平均分是96 分，可以求出三科成绩总分数，英语成绩公布后，四科平均成绩是：96 −2 = 94 (分)，就可以求出四科的总分数，用四科的总分数减去三科的总分数就是英语的分数．⑴语文、数学和音乐三科总分数：96×3 = 288 (分)⑵四科总分数：（96 −2）×4 = 376 (分)⑶英语的分数：376 −288 = 88 (分)综合列式：（96 −2）×4 −96×3 = 88(分)方法二：根据平均分自身特点，可以用“移多补少”的方法．英语成绩公布后，平均分下降了2 分，即四科平均的成绩是96 −2 = 94 (分)，根据题意，可以知道英语成绩低于94分，而英语成绩必须加上其他三科补给的分数，才能达到94 分．由于三科平均成绩下降了2 分，这样三科共低了2×3 = 6 (分)，这6分补给英语成绩，才达到94分，这样就可以求出英语的考试分数．⑴四科平均分是：96 −2 = 94 (分)⑵原三科共下降了：2×3 = 6 (分)⑶英语成绩是：94 −6 = 88 (分)综合列式：（96 −2）−2× 3 = 88(分)。