全国优质课-二项式定理

1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计一、教学内容解析“二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。

另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。

总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。

教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。

本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。

二、教学目标设置1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。

2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。

三、学情分析学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a)b一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。

但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。

而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。

根据以上学情，制定如下教学难点：教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

四、数学情境与学习问题的设置根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。

这样才能更有利于解决本节课数学知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾，从而也能提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养。

本节课重点从情境的来源、情境设计的意图和围绕情境意图设计问题三方面关注了数学情境与学习问题的设置。

1，情境来源情境设计应以学生已有知识或熟悉的生活现象为出发点，设置已经学了数学知识为情境。

为此，本节课从教材中的学生熟知的一个数学问题,即关于多项式相乘且能结合计数原理的知识出发设置了探究))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开式的项数的问题情境和求3)(b a +展开式的各项组成形式和各项系数的情境。

2，情境意图情境设置的意图重在考察学生运用已有知识和经验分析问题和解决问题的能力，建立特例问题与一般数学结论间的联系。

本节课中这两个情境可以帮助学生获得多项式相乘时，各乘积项形成的方法以及根据各乘积项形成的过程结合计数原理分析各项的系数，而这正是解决二项式定理的两个前提，并且在此过程中也提升了学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。

3，情境的问题设计问题的设计应通过针对情境特征的剖析，通过设置思考和追问等问题形式结合学生独立思考和小组探究等活动，引导学生深入反思，强化概念形成的合理性和科学性。

本节课就是在两个情境问题的解决过程中设置了一系列思考和探究活动，重在使学生自然发现利用多项式乘法法则得到乘积项特征以及利用乘积项特征结合计数原理分析系数的本质，期间关注了数学抽象和逻辑推理等核心素养。

五、教学策略分析为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从计数原理的一道课后练习入手，求乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项，既符合学生的最近发展区，也巧妙地让学生经历了从多项式法则结合计数原理分析特殊的多项式乘积展开的问题。

既分散了教学重难点，又能通过问题的进一步特殊化和一般化层层推进教学，也符合数学问题发生和发展的探究过程。

为了调动学生探究积极性，使每个学生经历定理的探究过程，遵循以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者的课堂教学原则，教学上采取“启发式教学”方法；学生主要采取自主学习和小组合作相结合的“探究式学习法”，小组合作也为不同认知学生提供了学习的机会和帮助。

为了探求知识发生发展的根源，结合学生思维发展规律，本节课采取由特殊到一般，由一个特例入手，层层推进设计“问题串”教学，以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题。

本节课倡导学生主动参与，引导学生观察和分析问题，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中完成二项式定理的探究。

六、教学过程1、创设情境 初步体验问题1:在教材10P 有这样一个问题，乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？你认为如何解决这一问题？设计意图：（1）检验学生多项式乘法法则是否清楚，这是为什么可以利用计数原理分析二项展开式的原因；（2）使学生明确，分析多项式乘积结果时可以运算展开、计数原理分析和模拟摸球三种策略；（3）通过问题的特殊化和一般化，便以引出课题，也符合数学问题认知规律。

预设1: 根据多项式运算，展开求解。

预设2: 共有45533=⨯⨯项。

追问1：你能解释一下这三个多项式相乘，运算结果为45项的运算过程吗？预设1：根据多项式运算法则，乘积每一项都是k j i c b a 形式，结合分步乘法计数原理共有45533=⨯⨯项。

预设2：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问题。

思考1: 是否所有的多项式相乘求展开式项数问题都能类似问题1的方法快速求出？预设：不是，当各因式相同时乘积有同类项，合并后项数发生改变。

追问1：请举例说明。

预设：2222)(b ab a b a ++=+，项数发生改变不是4。

师：这位同学给我们提出一个新的问题，当因式相同时展开会有同类项需要合并，项数发生改变，当然各项系数也有变化。

下面我们就来尝试能否解决相同因式相乘中最特殊的一类，即n b a )(+展开式有什么特征?项数，各项系数和次数是多少?2、探究归纳 发现规律问题2: 请同学们设计一个探究n b a )(+的展开式思路。

预设：由特殊到一般，先研究4,3,2=n 时情况。

追问1：观察特例展开式的哪些信息有助于帮助我们得到一般展开式的规律，进而得到n b a )(+的展开式。

预设：各项组成形式、项数、各项系数和次数。

思考1：请同学们按照设计的思路进行研究，看能否帮助我们得到n b a )(+的展开式。

师生活动：学生先独立思考，然后再小组探讨，最后请小组代表发言展示探究结果。

预设1：总结出n b a )(+展开式项数为1+n ，次数为n ，各项形式为k k n b a -，但是各项系数没有得到规律。

预设2：个别同学发现了系数的“杨辉三角”规律，但是只能各项递推，并不能得出一般式系数。

思考2: 请同学们结合问题1的解决带来的启发，思考能否不通过多项式相乘计算展开，探究一下为什么3()a b +展开式的组成结构只能是形如3223,,,b ab b a a 这样的项？当然这就解决了展开式项数为4，各项次数为3的问题。

同时思考能否根据各项的形成过程结合所学知识求出各项的系数？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。

预设1：3a 这样的项只能每个因式都取a 相乘，只有一种情况，因此系数为1，而产生b a 2需要在3个因式)(b a +中有2个取a ，1个取b 相乘，利用分布乘法原理结合组合数的意义，这样的情况有1123C C ，即3种，因此b a 2的系数为3，其余各项系数类似可得。

预设2:模拟摸球。

追问1: 请同学们思考刚才的推导方法4=n 时是否适用？预设：适用。

追问2：请同学们按照上述方法快速给出4)(b a +的展开式。

师生活动：教师巡视，边巡视边与学生交谈，纠正问题。

思考3: 请同学按照刚才得到的规律和方法，猜想一下)()(*∈+N n b a n 的展开式，并观察展开式有多少项，展开式各项的组成形式有什么特征，能否用一个式子表示这个特征？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。

预设：猜想n n n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 02121100......)(++++=+--，共有1+n 项，每一项的都是n 次，每一项可以写成k k n b a -的形式，系数是k n C 。

追问1：能否解释一下，为什么每一项都是成k k n b a -的形式，系数是k n C 。

预设1：多项式乘法法则分析项的组成形式，计数原理分析系数。

预设2：模拟摸球模型解决。

追问2：我们能不能说展开式中的每一都是)....2,1,0(n k b a C k k n k n=-的形式？ 预设：是。

3、知识建构 认识定理问题3: 公式)(............)(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n nn ∈+++++=+--叫做二项式定理，右侧展开式称为n b a )(+的二项展开式。

请同学们观察二项展开式一共有多少项？次数是多少？各项系数是多少？a 的次数排列规律是什么？b 的次数排列规律是什么？通项k k n k nb a C -是二项展开的第几项？预设：共有1+n 项，次数都是n ，系数为k n C ，a 按降幂排列，次数由n 到0，b 按升幂排列，次数由0到n ，通项k k n k nb a C -是展开式的第1+k 项. 师：请大家结合定理得推导过程牢记定理内容，我们称各项的系数)....2,1,0(n k C k n=为二项式系数，二项展开式的通项用1+k T 表示，记为)......2,1,0(1n k b a C T k k n k n k ==-+即通项为展开式的第1+k 项. 追问:大家想不想知道二项式定理的创始人?师：讲述二项式定理得创始人牛顿，以及牛顿在数学上所作的贡献，提升学生数学文化。

4、实战演练 巩固新知例1，求5)12(x-的展开式； 问题4: 观察5)12(x -的结构，根据这节课所，,你准备如何解决这个问题? 预设: 直接利用公式展开。