高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)汇编
导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
第一讲选修2—2导数及其应用(答案解析)
第一讲选修2—2导数及其应用基础典型题归类解析对基础典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行巩固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集.当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正的做到然不动".一、题型1:导数及导函数的概念题1、利用极限求导1 2例1 •已知s=- gt，求t=3秒时的瞬时速度.2"任它千变万化，我自岿A s解析：由题意可知某段时间内的平均速度亠随i t变化而变化，A t越小,A tA s极限定义可知，这个值就是加T O时，」的极限.A t A s—越接近于一个定值，由A t1 2 1 2 A s —(3 + A t) g3,竽r s(3 + At)-s(3) 「2g 2 V= l)m A t = ljm = lim -- --------------- 為◎A t A t1=—g lim (6+A t)2 S=3g=29.4(米/ 秒).4变式练习：求函数y=—f的导数-x4 4 解析：0 = 2 - 2 =(X + A x) x 4ix(2x + A x)2 2X(X + A x)A y 2x+心XA F 2A x X(X + A x)2= 4X2(X +M2」二、题型2:导数的几何意义的深刻领会导数的几何意义要深刻把握：导数值对应函数在该点处的切线斜率1已知曲线上的点求此点切线斜率例2.已知曲线y= 2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A. 4B. 16C. 8D. 2解析：选C.1 2 3变式训练(1)：已知曲线y= 2x2—2上一点P(1, - 2)，则过点P的切线的倾斜角为解析：切线的倾斜角为45°变式训练(2):求过点P(— 1,2)且与曲线y = 3x 2-4x + 2在点M(1,1)处的切线平行的直线.(所求 直线方程为2x - y + 4= 0)2、已知切线斜率求相关点坐标 例3函数y = x 2 + 4x 在x = X 0处的切线斜率为 2,则 血= .解析：2 = 2x 0 + 4,•- X o =— 1.变式训练：下列点中，在曲线y = x 2上，且在该点处的切线倾斜角为 n的是( )=xlnV2 = xln2 ■f(x)= log a X , f ，(1) = - 1，贝y a =解析：••• f ，(x) = £,xl na1 •f，(1)=斎-1.1 •••Ina =— 1, a = 一 e'(2)、已知直线y = kx 是曲线y = Inx 的切线，贝U k 的值等于 ___________ .1 1 1解析：因为y ，= (Inx)，= -，设切点为(X 0, y 0), 则切线方程为y — y 0= —(x — X 0)，即y = —x +Inx 0X X 0 X 01—1.由 lnX 0— 1= 0，得 X 0= e..・. k =-e 2、指数函数求导—x例 5 f(x)= 2 .解••• 2-x = (2)x ,•- f ，(x)= [g x ]，=(挤^一 (『In2.3、幕函数求导例6 .已知f(x)= x a ，贝U f ，(- 1) =- 4,贝U a 的值等于(A . 4B . - 4C . 5D . - 5 解析：选 A.f ，(x) = ax a -1, f ，(- 1) = a(- 1)a -1 = - 4,变式练习.求与曲线 y =暫X 2在点P(8,4)处的切线垂直于点 解：••• y =饭2,•- y ，=(晴)， 即在点P(8,4)的切线的斜率为 从而适合题意的直线方程为四、题型4:复合函数的导数1、用和差积商求导法则求基本函数导数例7求下列函数的导数：A . (0,0)B . (2,4) 解析：选D三、题型3:常见函数导数的运算及基本应用 1、对数函数求导 例 4. f(x) = log J 2x ; 解：f ，(x) = (log 证X)，C .(扌，点D- (2, 4)变式练习：(1)、设函数a = 4.故选A. P 的直线方程.2•-y ，l x = 8=2X 82 , 2 -1=(X 3)= 3x 3,-L1 3= 3.1-适合题意的切线的斜率为-3. y —4=- 3(x — 8)，即 3x + y — 28= 0.2—x(1)y =3x +xcosx；(2)y =市；(3)y =lgx — e；解：(1)y'= 6x+ cosx — xsinx; (2)y'=:::子=(〔農丫； (3)y'= (lgx)'— (ej’L :xn^^ — e X2、例8 •求下列复合函数的导数：(2)f(x)= (g 1)(士 - 1)；(3)y = 5log 2(2X + 1) • (4)y = si n2x — cos2x.解：(1)因为 f(x)= ln(8x)= In8 +lnx ,1 所以 f ' (x) = (ln8)'+ (Inx)'=-x1 1 1 1 ——(2)因为 f(x)=(心+ 1)(頁-1)= 1 —谄+灵-1 = ^^—+不=^—, -w —C —x必所以f ' (x)= ----------------x⑶设 y = 5log 2u , u = 2x + 1, 则 y '= 5(log 2u)' (2x + 1)'(4)法一:10 = uln2 =(2x + 1 Jn2'y '= (si n2x — cos2x) '= (sin2x)' — (cos2x)'= 2cos2- + 2si n2x = ^2si n( 2x +^). 10法二:y =*sin(2x —》，••• y '= ^cos(2x -^) 2= 2迈sin(2x +3、求导的应用例9、已知 f(x) = ax 3 + 3x 2+ 2，若 f ' (— 1) = 4,贝U a 的值是()19 A. 513 Cl 310 D.§ 解析: 选 D. •••f ' 变式练习( 1 )•若函数 16 B.!62 10 (x) = 3ax + 6x ,.・.f ' (— 1) = 3a — 6= 4.• a^ —.3xe 解析: x••• f(X)=ex ，f(x)=二在x = c 处的导数值与函数值互为相反数，则 c 的值为_—c=ef ' (c)=X ' '， c 1 c = 2 ) xc •- f(c) = e，又 c- -、 e x — e f (x)= x 2c c. 八 ••• e + 半M L 0, • 2c — 1 = 0 得 c c 依题意知 f(c) + f ' (c)= 0,2) 若函数 f(x)= ax 4 + bx 2+ c 满足 f ' (1) = 2，贝U f ' (— 1)=( A • — 1 B • — 2 C • 2 D • 0解析：选 B.由题意知 f ' (x) = 4ax 3 + 2bx ,若 f ' (1) = 2,即f ' (1) = 4a + 2b = 2,从题中可知f ' (x)为奇函数，故f ' (— 1) = — f ' 4、导数中利用待定系数法求解析式例10、已知f ' (x)是一次函数，x 2f ' (x) — (2x — 1)f(x)= 1.求f(x)的解析式. 解：由f ' (x)为一次函数可知f(x)为二次函数.设 f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰 0), 则 f ' (x)= 2ax + b.把 f(x), f ' (x)代入方程 x 2f ' (x) — (2x — 1)f(x) = 1 得：x 2(2ax + b) — (2x — 1)(ax 2 + bx + c) = 1,即(a — b)x 2 + (b — 2c)x + c — 1= 0. 要使方程对任意 x 恒成立，则需有a = b , b = 2c , c — 1 = 0, 解得 a = 2, b = 2, c = 1，所以 f(x)= Zx 2 + 2x + 1.小结：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少 运算量，提高运算速度，减少差错；如：例 8中1、2 (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导•有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.变式练习( (1)=- 4a — 2b =— 2五、题型5:借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间 例11•求下列函数的单调区间.1(1)y = x -1 nx ;(2)y =衣解：(1)函数的定义域为(0 ,+s ).其导数为y ，=令1 — x>0,解得x>1 ;再令1 — -<0,解得入入因此，函数的单调增区间为 (1 ,+s )，函数的单调减区间为(0,1). ⑵函数的定义域为(一s, 0) U(0 ,+s ).1 1y '=— 27,所以当 xM0时，y '=— 27<0,而当x = 0时，函数无意义，所以y= ■在(—s, 0), (0 ,+s )内都是减函数，厶入即y= 2-的单调减区间是(一s, 0), (0 ,+s ).2x变式练习：函数f(x) = (x — 3)e x 的单调递增区间是( A. (— s, 2) B. (0,3) C. (1,4) 解析：选 D.f ' (x) = (x — 3)' e x + (x — 3)(e x )' 令f ' (x)>0，解得x>2，故选D. 2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例12、若函数f(x)= X 3+ bx 2 + cx + d 的单调减区间为［—1,2］，贝U b = _ 解析：••• y '= 3/+ 2bx + C, 由题意知［—1,2］是不等式3x 2 + 2bx + c<0的解集， •.— 1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的根，由根与系数的关系得b =—多,c =— 6.变式练习：若函数 y = — |x 3 + ax 有三个单调区间，则 a 的取值范围是 解析：••• y '=— 4x 2+ a ，且y 有三个单调区间，方程y '=— 4x 2+ a = 0有两个不等的实根，2 △= 0 — 4 X (— 4) X a>0,. a>0.3、用导数解复杂函数中的恒成立问题 例13.函数y = ax 3— x 在R 上是减函数，则( ) 1A . a >3B .解析：选D.因为y '=3ax ； 所以y '= 3ax 2— K 0恒成立， 即3ax 2w 1恒成立. 当x = 0时，3ax 2w 1恒成立，此时 a € R ；变式练习.已知函数 f(x)= ax — -— 21 nx(a 》0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取x值范围.解：F (x)= a + 負—2，要使函数f(x)在定义域(0 ,+s )内为单调函数， 只需f ‘(X)在(0,+s )内恒大于0或恒小于0.当a= 0时，f' (x)=— 2<0在(0 ,+s )内恒成立；x当a>0时，要使f ' (x)= a(1—丄)2 + a — - >0恒成立，二a —0,解得a > 1.x a aa综上，a 的取值范围为a > 1或a = 0.4、通过导数解决函数极值问题例14、函数f(x)= x 3— 6x 2— 15x + 2的极大值是0<x<1.)D. (2 ,+s ) =(x- 2)e x , a= 1C. a= 2D. aw 0:2- 1,函数y = ax 3-x 在(— s,+s )上是减函数,，极小值是解析：f '(X)= 3x 2— 12x — 15= 3(x — 5)(x + 1),在( — 8, — 1), (5 ,+s )上 f' (x)>0，在(—1,5)上 f' (x)<0, ••• f(x)极大值=f(— 1) = 10,f(x) 极小值 =f(5) =— 98.变式练习：函数f(x) = — 3x 3 + 2x 2+ 2x 取极小值时，x 的值是()322,— 1 C . — 1 D . — 32选 C f (x) = — X +x + 2=— (x — 2) (• + 1),f ’(x)<0,右侧f ' (x)>0,.・.x =— 1时取极小值.已知f(x)在x =— 3时取得极值，则a =( ) C . 4 D . 5••• f(x)在 x =— 3 处取得极值，••• f ' (— 3) = 0,即 27 — 6a + 3= 0^a = 5.已知函数f(x) = X 3— ax 2— bx + a 2在x = 1处有极值10,则a 、b 的值为( )a =— 4,b = 11B . a =— 4, b = 1 或 a = — 4, b = 11 a =— 1, b = 5 D .以上都不正确 f ' (x)= 3X 2— 2ax — b ,'••在 x = 1 处 f ' (x)有极值， ••• f ' (1)= 0，即 3— 2a — b = 0.① 又 f(1) = 1 — a — b+ a 2= 10,1 卩 a 2— a — b — 9 = 0.② 由①②得 a 2 + a —12 = 0,• a = 3 或 a = — 4. f a =— 4,f a = 3 2 2或｛ 当｛ 时，f ' (X) = 3X 2— 6x + 3= 3(x —1)2>0,(b = 11. 也=—3X (0, n) n 3 n (n—)3 n T 3 n _ 、("2，2n)f ' (X)+ 0 一+f(x)n+ 2\T因此，由上表知f(x)(0n 2n)(n f(3n=3^,极大值为f( n = n+ 2.•••在x =— 1的附近左侧 例 15、函数 f(x)= X 3 + ax 2 + 3x — 9, A . 2 B . 3解析：选 D.f ' (x)= 3x 2 + 2ax + 3, 变式练习(1):A . C .解析：选A.a= 3, b=— 3,a = 3a =— 4,舍去.••• 1 b =— 3 L b =11.变式练习(2):若函数y =— X 3 + 6x 2 + m 的极大值等于13，则实数m 等于 _________________ . 解析：y '=— 3/+ 12x ，由 y '= 0,得 x = 0 或 x = 4,容易得出当x = 4时函数取得极大值，所以— 43+ 6X42+ m = 13,解得m =— 19. 例16、设a € R ,若函数y = e x + ax , x € R ,有大于零的极值点，则 解析：y '= e X + a ，由 y '= 0 得 x = ln( —a).由题意知 ln( — a)>0 ,• a<— 1. • (— s, — 1) 已知函数 y = X — ln(1 + X 2)，则y 的极值情况是() 有极小值 B .有极大值 C .既有极大值又有极小值 D . f ' (X) = 1 -(X — y > 0，•函数 f(x)在定义域1 + X 1 + X(2010年高考安徽卷)设函数f(x)= sinx — cosx +x + 1 (0<x<2n),求函数f(x)的单调区间故f(x)在R 上单调递增，不可能在x = 1处取得极值，所以a 的取值范围为 变式练习： D .无极值解析：选R 上为增函数. 综合练习： 与极值.解：由 f(x)= sin x — cosx + x + 1,0<x<2n,知 f ' (x) = cos x +sin x + 1，于是 f ' (x) = 1 + 灵sin(x + 令 f' (x)= 0,从而 sin(x + 4)=—警, 得 x= n 或 x=竽 当x 变化时，f '(X)、f(x)的变化情况如下表：5、通过导数解决最值问题例17、(06浙江卷)f(x) =X 3 —3x 2 +2在区间［—1,1］上的最大值是( ) 即当x = 3时，f(x)的极小值f(3)= — 9.又 f(1) = — 1, f(5) = 15, (A) - 2(B)0(C)2(D)4解析：f (x) =3x 2 —6x =3x(x —2)，令 f'(X)=0 可得 x = 0 或 2 (2 舍去),当一1空＜0 时，f'(x)＞0,当时，f'(X)＜；0,变式练习( 解析：由 所以当x = 0时，f (X )取得最大值为 2选C ;1 )：函数y = 4x 2(x -2)在x € [ — 2,2]上的最小值为 y '= 12x 2- 16x = 0,得 x = 0 或 x =-.34128x = 0 时，y = 0 ;当 x =-时，y =— -278;x =- 2 时，y =— 64;当 x = 2 时，y = 0.比较可知 y max = 0, y min =— 64.，最大值为例18.A . - 10 C . - 15解析：选变式练习 范围是 ____当变式练习(2):函数y = xe X 的最小值为 _____________ . 解析：令 y '= (x + 1)e x = 0，得 x =- 1.1 当 x< — 1 时，y ' <0;当 x> —1 时，y ' >0..・. y min = f( — 1)=-丄 e函数f(x) = X 3- 3X 2- 9x + k 在区间[—4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) B .- 71D .- 22f (X) = 3x 2- 6x - 9= 3(x - 3)(x + 1).由 f ' (X) = 0 得 X = 3,- 1.又 f( - 4) = k - 76, f(3) = k -27, f(- 1)= k + 5, f(4) = k - 20.由 f(x)max = k + 5 = 10,得 k = 5, • f(x)min = k - 76=- 71.(1):已知f(x) = - x 2+mx + 1在区间[—2, - 1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，贝U m 的取值解析：f ‘ (x)= m -2x ,令 F(X)= 0,得 x =岁由题设得 m€ [ - 2,- 1],故 m € [ - 4,- 2].变式练习 ⑵.函数f(x) = ax 4- 4ax 2 + b(a>0,1 <x < 2)的最大值为3，最小值为一5,贝U a = 解析：y '= 4ax 3— 8ax = 4ax(x 2- 2) = 0, X 1 = 0, X 2=J 2 , X 3=—返,又 f(1) = a - 4a + b = b - 3a , f(2) = 16a - 16a + b = b , f(V 2) = b -4a , f(0) = b , f(-V 2) = b -4a. j b -4a =- 5,• • 5…a = 2. b=3b = 3,例 19.已知函数 f(x)= X 3- ax 2 + 3x.(1)若f(x)在 x € [1 ,+s )上是增函数，求实数 a 的取值范围； ⑵若x = 3是f(x)的极值点，求f(x)在 x € [1 , a]上的最大值和最小值. 解：(1)令 f ' (X) = 3x 2- 2ax + 3 > 0,；(x + X h = 3(当x = 1时取最小值). ••• a <•/ x > 1, • a < 3, a = 3 时亦符合题意，二 a < 3. (2)f ' (3) = 0，即 27-6a + 3= 0,•• a = 5, f(x)= X 3— 5x 2 + 3x , f ' (x)= 3X 2— 10x + 3.令 f ' (x) = 0,得 X 1 =3, x2=；(舍去).3当 1<x <3 时，f ' (x)< 0,当 3< x < 5 时，f ' (X) >0,••• f(x)在[1,5]上的最小值是f(3) = — 9，最大值是f(5) = 15.变式练习(06 山东卷)：设函数f(x)= 2x 3-3(a-1)x 2 +1,其中a>1. (I)求f(x)的单调区间；(n) 讨论f(x)的极值.解：由已知得 f '(x) =6x[x-(a-1)]，令 f '(x)=O ，解得x,=0,X2=a-1.(I)当a=1时，f '(x)=6x 2 , f (x)在(亠，畑)上单调递增;当 a :>1 时，f '(X)=6x [x -(a -1 , f '(x), f (x)随 x 的变化情况如下表:从上表可知，函数 f(x)在(虫,0)上单调递增；在(0,a-1)上单调递减；在(a -1,xc )上单调递增.f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=a-1处取得极小值i_(a-1)3.六、题型6:定积分问题1、计算定积分的值2、求定积分中的参数值1 32 例21 M = J (x 3-ax+b) dx ，若使M 最小，贝U a,b 需为何值?(n)由(I)知，当a =1时，函数 例 20.( 1)『(X —1)5dx ；(2) 『(X + sin x)dx ；1 6 解析：(1)因为[一(X -1)6]6 = (x-1)5,- 1 1 所以 I (X -1)5dx = -(X -1)6|2 =-； 勺 6 6(2)]sinx)dH = I —— COSS71 cos ——-(0-1)=¥+12 故込3、应用定积分处理平面区域内的面积__2 -变式练习(2).：由抛物线y= _x +4X-3及其在点A(0-3), B(3,0)处两切线所围成的图形的面积解；I 切A ： y=4x —3，l 切B ： y=—2x+6s =育[(4x-3) —(-X 2 +4x-3)]dx+ ^[(-Zx + G) -(-X 2 +4x-3)]dx = m4解：M = J/x 3 —ax + b) dx7 5 3 3 517583 当 a = —'b =0 时，M min51变式练习： 已知0 (3ax+1)(x+b)dx = 0 , a, b 忘R ，试求a b 的取值范围.1解: L(3ax+1)(x+b)dx =0= 2(a +b)+3ab +1 = 0175 3t +1 令 a ，b=t ，贝y a + b=- ----- 22 3t +1，故a,b 为方程X +x +t =0的两根例22.求抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围成的图形的面积.解:2y=x =X -2y -3 = 0[y = -1Xi 或. X =9变式练习 解：由 1 L9L X — 3S =2 0 J xdx + 1 (J x - 2)dx2X Z X 210+(2X 3 3+ |x)32(1).y 2求由抛物线2y =x-1所围成图形的面积.15l y 2 =x-141P(1,0)S=2[『｛5dx —CGidx]=彳3 二 P(2,3)。
选修2-2导数及其应用典型例题
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一 求平均变化率：例1.已知函数2()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则y x∆∆=_______.变式训练：1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +∆这段时间的平均速度v .2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π=附近的平均变化率，并比较他们的大小.题型二 实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =∆=时，求s t ∆∆；（2）当2,0.001t t =∆=时，求st ∆∆；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度.题型三 求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数.题型四 曲线的切线问题例 4（1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程.（2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程.（3）求曲线321()53f x x x =-+在x=1处的切线的倾斜角.（4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.1.2 导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.基本初等函数的导数公式：3.导数的运算法则：4.复合函数的导数：【典型例题】题型 一 基本初等函数导数公式运用例1 给出下列结论： ①1(cos )sin 662ππ'=-=-；②若21y x=，则32y x -'=-；③若()3f x x =，则[(1)]3f ''=；④.若y =y '= 其中正确的是_________________.题型 二 导数运算法则的应用例 2 求下列函数的导数：（1）531253y x x =+；（2）lg x y x e =-；（3cos x ；（4）sin cos 22x x y x =-.变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.2221cos 2(1cos )sin ()x x x x x x x +++'=题型三复合函数求导的应用例7求下列函数的导数.（1）3(1cos2)y x=+；（2）21sinyx=.变式训练：求函数2(2y x=-题型四切线方程及应用例4曲线sin xy x e=+在点（0，1）处的切线方程是？变式训练：曲线32y x x=+-在P处的切线平行于直线41y x=-，则点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5 若曲线3y x ax=+在坐标原点处的切线方程是20x y-=，则实数a=_________变式训练：若函数()x ef xx=在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值题型 六 对数求导数的应用（选讲）例6 求下列函数的导数（1）(1)(2)(3)(3)y x x x x =--->；（2）(1)(2)(3)1()212x x x y x x +++=>-+；1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：【典型例题】题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像例1 已知导函数()f x '的下列信息：当23x <<时，()0f x '<； 当3x >或2x <时，()0f x '>；当3x =或2x =时，()0f x '=；试画出函数f （x ）图像的大致形状.题型 二 判断或者证明函数的单调性例2 试判断函数()ln f x x x =+在其定义域上的单调性.变式训练：证明：函数ln ()xf x x =在区间（0，2）上是单调递增函数.题型三求函数的单调性例3确定函数32()267f x x x=-+的单调区间.变式训练：求函数3y x x=-的单调性.题型四含有参数的函数的单调性例4已知函数2()ln(2)f x x ax a x=-+-，讨论f（x）的单调性.变式训练：已知函数1()2axf xx+=+在(2,)-+∞单调递增，数a的取值围.1.3.2 导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型 一 求函数的极值例1 求下列函数的极值：（1）276y x x =-+； （2）2ln y x x =.变式训练：设32()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2)f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.（2）设()()xg x f x e -'=，求函数()g x 的极值.题型 二 判断函数极值点的情况例2 判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.（1）31()43f x x =+； （2）321()43f x x x x =++； （3）23()1(2)f x x =--.变式训练：设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数f （x ）没有极值点，当0ab <时,函数f （x ）有且只有一个极值点，并求出极值.题型 三导函数的图像与函数极值的关系例3 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）有极小值点的个数为（ ）A 1个 B.2个 C.3个 D.4个题型四极值的逆向问题例4 已知函数44f x ax x bx c x=+->在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.()ln(0)（1）试确定a，b的值.（2）讨论函数f（x）的单调区间.综上：若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”.1.3.3 函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1 求函数543f x x x x=+++在区间[1,4]()551-上的最大值和最小值.变式训练：设函数3f x ax bx c a=++≠为奇函数，其图像在(1,(1))()(0)f处的切线与直线--=垂直，导数的最小值为-12.x y670（1）求a，b，c的值.（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大小值.题型 二 含参数最值问题例 2 设a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.变式训练：1.设3211()232f x x x ax =-++ （1）若f （x ）在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值围. （2）当02a <<时,f （x ）在[1,4]上的最小值为163-，求f （x ）在该区间上的最大值.题型 三 由函数的最值求参数的值例3 设213a <<，函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1，最小值为，求a ，b 的值.1.4 生活中的优化问题【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型 一 利润最大问题例 1 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x （单位：元, 021x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.（1）将一星期的商品销售利润表示成x 的函数（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m （3≤m ≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x （9≤x ≤11）元时，一年的销售量为(12-x)2万件．（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （m ）．题型二用料最省、费用最低问题例2如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值围；（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．题型 三 面积、体积最值问题例 3如图在二次函数2()4f x x x =-的图像与x 轴所围成的图形中有一个接矩形ABCD ，求这个接矩形的最大面积.变式训练：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？x y1.5 定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型一利用定义计算积分例1利用定积分定义，计算21(32) x dx+⎰题型二求曲边梯形的面积例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线3y x=围成的图形的面积.1.6 微积分基本定理【知识点归纳】1.牛顿—莱布尼茨公式：2.定积分的取值：3.定积分的一些性质：【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1 求下列函数的定积分：（1）2211()x dxx+⎰；（2）22sin xdxππ-⎰；（3）4dx+⎰；题型二求分段函数的定积分例2 求函数32,[0,1](),[1,2]2,[2,3]xx xf x x xx⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⎩在区间[0，3]上的定积分.变式训练：求定积分：（1）2201x dx -⎰； （2）题型 三 定积分的实际应用例 3 汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为21.8 /a m s =刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离.变式训练：等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304s xdx =⎰，则公比q 的值是多少？1.7 定积分的简单应用【知识点归纳】1.常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用：【典型例题】题型 一 用定积分求平面图形的面积例 1 求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积.变式训练：求由抛物线22,15xy y x ==-所围成的图形的面积例2 求正弦曲线3sin,[0,]2y x xπ=∈和直线32xπ=及x轴所围成的平面图形的面积.变式训练：求由曲线222,24y x x y x x=-=-所围成的图形的面积题型二用定积分求变速直线运动的距离例3 有一两汽车以每小时36km的速度形式，在B出以22 /m s的加速度减速停车，问从开始刹车到停车一共行驶多少的路程.题型三用定积分解决变力作功问题例4 有一个长为25cm的弹簧，若以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求弹簧由25cm伸长到40所做的功.. -. 可修编.。
人教A版选修2-2导数及其应用常考题型：函数的极值与导
函数的极值与导数【知识梳理】1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0. 当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．【常考题型】题型一、运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解：函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.题点三已知函数的极值求参数3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)解析：选D若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.4．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：⎩⎨⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c .又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2. (2)当a ＜0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2. 【类题通法】 1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根．(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．题型二、函数极值的综合应用典例] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．一题多变]1．变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝0，可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－7627. 2．变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．【类题通法】(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．。
人教A版高中数学高二选修2-2】1.3重视导数应用的热点题型
重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1．求切线斜率根据导数的几何意义，函数)(x f 在点0x 处的导数是曲线)(x f 在点))(,(00x f x P 处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例1 求曲线0532222=-+-++y x y xy x 在点)1,1(处的切线方程.分析 利用隐函数求导法则，得出在点)1,1(处的切线斜率，从而可求出切线方程. 解 对方程0532222=-+-++y x y xy x 两边关于x 求导，得0'32'22'22=+-+++y yy y xy x .解之得322222'++--=y x yx y .易知)1,1(点在曲线上，72')1,1(-=y .∴曲线在点)1,1(处的切线方程为)1(721--=-x y ，即0972=-+y x .评注：(1)两边对x 求导，特别要注意y 是x 的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含x ，y 两个变量.2．求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果导数0)('>x f ，则函数在这个区间上为增函数；如果导数0)('<x f ，则函数)(x f 在这个区间上为减函数.例2 (2004全国卷Ⅰ理)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 解 函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f +=+='（I ）当0=a 时，若0<x ，则)(x f '<0，若0>x ,则)(x f '>0.所以当0=a 时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当0>a 时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当0<a 时，由022>+ax x ，解得ax 20-<<, 由022<+ax x ，解得0<x 或ax 2->. 所以当0<a 时，函数)(x f 在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 3．求极值利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数)(x f y =在点0x 处连续且0)('=x f .若在点0x 附近左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，则)(0x f 为函数的极大值；若在点0x 附近左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，则)(0x f 为函数的极小值.例 3 已知函数1)(3+++=bx ax x x f ，当1-=x ，1=x 时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a ，b 的值；(2)求)(x f 的极大值和极小值. 解 (1) b ax x x f ++=2435)('.∵1=x 时有极值，则035)1('=++=b a f . ∴53--=a b 代入)('x f 得)]53(5)[1)(1()('2++-+=a x x x x f .且0)53(52≠++a x .对任意实数x 成立，∴053>+a .∴5->a .)∴当1-=x 时取得极大值，1=x 时取极小值.即4)1()1(=--f f∴3-=+b a .再由53--=a b ，解出1-=a ，2-=b . (2)3)1(=-f 为极大值， 1)1(-=f 为极小值. 4．求最值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f ，在[]b a ,上必有最大值与最小值，设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，先求出)(x f 在),(b a 内的极值，然后将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4 (2004湖南理)已知函数e a e x x f ax,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值. 解 （Ⅰ）.)2()(axe ax x xf +='（i ）当0=a 时，令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增； 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当a <0时，令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减；若)2,0()(,0)(,20a x f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增； 若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减.（Ⅱ）（i ）当0=a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f（ii ）当02<<-a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是ae f =)1(.（iii ）当a ≤2-时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =-5．求实际应用问题中的最值在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使0)('=x f ，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.例5 (2000高考)用总长8.14m 的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长5.0m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解 设容器底面边长为x m ，另一边长为)5.0(+x m ，高为x x x 22.34)5.0(448.14-=+--，由022.3>-x 和6.100<<⇒>x x .设容器的容积为y m 3，则有)6.10)(22.3)(5.0(<<-+=x x x x y即x x x y 6.12.2223++-= 令0'=y ，有06.14.462=++-x x 即154,1041115212-==⇒=--x x x x ，(不合题意，舍去) 所以当1=x 时，8.16.12.22max =++-=y (m 3).。
高中数学选修2-2函数的单调性与导数(2021年整理)
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1.3。
1函数的单调性与导数［学习目标] 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系。
2。
能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间（其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间（a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x）〉0单调递增f′（x）<0单调递减f′（x)＝0常函数思考以前,我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f（x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f（x）比较复杂的情况下，比较f（x1)与f（x2）的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性?答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减。
知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：（1）确定函数f（x)的定义域.（2)求出函数的导数f′(x).（3)解不等式f′（x）＞0,得函数的单调递增区间；解不等式f′（x)＜0，得函数的单调递减区间。
(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档
19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
选修2-2导数计算题型大全
导数计算题型一 利用运算法则求导【例1-1】（2019·海南高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．(ln 2)'0= B ．(cos )sin x x '=C ．()xxe e--'=D ．()5615xx --=-'【例1-2】（2019·西藏高二期末）求下列函数的导数. （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【举一反三】1.（2019·陕西高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.2．（2017·全国高二课时练习）求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝22x ＋33x(4)y ＝lg x －21x ；(5)y题型二 复合函数求导【例2】（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数（1）y =； （2）2sin y x =.（3）()cos 32y x =-； （4）312x y +=.【举一反三】1．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，； (2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-； (4)2)2(+5y xsin x ＝．2．求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋；(3)y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭；(4)y ＝ln(2x －5).题型三 求切线方程【例3】（2019·安徽高二期末）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【举一反三】1．（2019·安徽合肥一中高二期中（文））已知函数3()16f x x x =+- （1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 2．（2019·河北安平中学高二月考）曲线xy sinx e ＝＋在点()0,1处的切线斜率是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．（2019·重庆高三（理））已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（ ）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π4．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程为（ ）A ．30x y +=或24540x y --=B ．30x y -=或24540x y --=C ．30x y +=或24540x y -+=D ．24540x y --=题型四 利用导数求值【例4】(1)（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5(2)（2019·昌吉市第九中学高二月考）设函数f (x )=ax +3x 2，若f ′(1)=3，则a 等于（ ） A ．1 B ．−1 C ．3 D ．−3【举一反三】1．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1x f x e x x=+-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -C ．1e -D ．e2．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知2019()ln f x e x x =+g ，则()1f '=（）A ．1B ．20191e +C ．20191e -D ．2019e3．（2019·江西高二期末（理））已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．58题型五 综合运用【例5】（2019·江苏启东中学高二期中）曲线2x y e x =++在点()0,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【举一反三】 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 2．（2019·湖北高二期末（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 课后练习1．（2019·全国高三）已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2019·陕西高二期末）函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+B ．2(21)y x ='+C ．3(21)y x ='+D ．4(21)y x ='+3．（2019·浙江高二期末）函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++4．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-5．（2019·湖北高二期末（文））下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '= B ．'=C ．()xxe e --'=D ．2ln 2(log )x x'=6．（2019·昌吉市第九中学高二月考）曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A ．740x y --= B ．10150x y --= C ．10x y -+=D ．+10x y -=7．（2019·山东高三期中）已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．（2019·河南高三（理））设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·甘肃临夏中学高三（文））函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（ ）.A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=10．（2019·江西高三月考）已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．311．（2019·山东高考模拟（理））函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．10x y -+=D ．10x y ++=12．（2019·辽宁高二期末（理））已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．313．（2019·河南高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.15（2019·河北高三开学考试（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.16．（2019·甘肃高三月考）已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．17．（2019·贵州高二期末（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____18．（2019·广东高二期末（理））若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫=⎪⎝⎭____ 19．（2019·湖南高二期末（理））已知函数2()xf x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.20．已知函数()()()10ln 212f x f x x +'=-+，则()0=f '________. 21（2019·湖南师大附中高三月考（文））曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．22（2019·河北高三月考）若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是__________．23．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（理））函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是_____________.24．（2019·内蒙古高三月考（文））已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.25．（2019·重庆高三（理））已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 26．（2019·河北高三月考（理））已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.27．（2019·河南高三月考）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，则a 的值为________.28．（2019·天津高考模拟）已知函数()xf x e ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与曲线ln y x =-相切，则a =______．29．（2019·原平市范亭中学高二月考（理））已知曲线2()f x x = 求: （1）曲线在点(1,1)P 处的切线方程 （2）曲线过点()3,5P 的切线方程30．（2019·福建高二期中（理））已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．31．（2019·贵州高二期中（理））已知曲线32()2f x x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.。
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导数题型分类解析一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x到x+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）四、基本导数的求导公式①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )A ．2111x x x +='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B ．()='x 2log =2ln 1x C ．()e x x 3log 33='D ． ()x x x x sin 2cos 2-='例2：若()()()()()()()N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'=⋯⋯'='==+,,,,sin 112010，，则()=x f 2005五、导数的运算法则常数乘积：.)(''Cu Cu = 和差：(.)'''v u v u ±=±乘积：.)('''uv v u uv += 除法：='⎪⎭⎫⎝⎛v u 2''v uv v u - 例1：（1）函数32log y x x =+的导数是 （2）函数12+x n e x 的导数是六、复合函数的求导A ．B ．C ．D ．[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=，从最外层的函数开始依次求导。
例1：（1）3(1cos 2)y x =+ （2）21sin y x= 七、切线问题 （曲线上的点求斜率）例1：曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° （曲线外的点求斜率）例1：已知曲线2y x =，则过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线方程为 . 例2：求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程. （切线与直线的位置关系）例1：曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--例2：若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=八、函数的单调性 （无参函数的单调性） 例1：证明：函数ln ()xf x x=在区间（0，2）上是单调递增函数. （带参函数的单调性）例1：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论l ()xf x x=的单调性； 例2：已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=，讨论)(x f 的单调性； 例3：已知()ax x x f -=ln ，讨论()x f y =的单调性.九、结合函数单调性和极值求参数范围例1：已知函数32()321f x x x =+-在区间()0,m 上是减函数，则m 的取值范围是 .例2：已知函数()()323m f x x x x m R =+-∈，函数()f x 在区间()2,+∞内存在单调递增区间，则m 的取值范围 .例3：已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈，若函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，则a 的取值范围 .例4：已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥若()f x 在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围 .例5：已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .例6：已知函数()x a x x f ln 2+=，若()()xx f x g 2+=在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围例7：如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812十、函数的极值与最值 （无参函数的极值与最值）例1：函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.（含参函数的极值与最值）例1：已知函数f (x )=ax e x -2(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.例2：已知()ax x x f -=ln ，求函数在［1，2］上的最大值.十一、函数图像例1：f （x ）的导函数 )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 例2：函数14313+-=x x y 的图像为( )例3：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 个数为 .例4：已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )例5：已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如右，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点例6：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )A.0＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-f(2)B.0＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('fC.0＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)3('f 十二、积分 （代数形式）x yo 4 - 2 4 -2 --x yo 4 - 2 4 -2 --xyy 4 - 2 4 -2 --6 6 6 6 yx--o 4 2 24abxy)(x f y ?=O例1：⎰-+22)cos (sin ππdx x x 的值为（ ） A.0 B. 4π C.2 D.4 例2：函数||)(x e x f =，则=⎰-42)(dx x f例3：定积分⎰---102])1(1[dx x x 等于（ ） A.42-π B. 12-π C. 41-π D. 21-π （面积形式）例1：由曲线y =x 2，y =x 3围成的封闭图形面积为（ ） A.121 B.41 C. 31 D. 127 例2：求由抛物线342-+-=x x y 与它在点A （0,-3）和点B （3,0）的切线所围成的区域面积。
例3：如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.41B.51C. 61D. 71例4：如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线)0(sin πx x y ≤≤=与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ） A. π1 B. π2 C. 4π D. π3练习题1.（西安一中2015~2016高二下学期期中）若1Δ)()Δ2(lim 000Δ=-+→xx f x x f x ，则)('0x f 等于（ ）A. 2B. -2C. 21D. 21-2.（西安一中2015~2016高二下学期期中）已知6)1('2)(2-+=xf x x f ，则)1('f 等于（ ）A. 4B. -2C. 0D. 23. ()()()()()()()().________cos sin 201411211=∈'='=-=*++x f N n x f x f x f x f x f x f x x x f n n n n ，则，，，的导函数，即是，练：已知Λ4. 若函数ax x x f -=ln )(在点P （1,b ）处的切线与x+3y-2=0垂直，则2a+b=（ ）A.2B.0C.-1D. -25.设曲线P 为曲线C ：y =x 2-2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A. ]21,1[-- B. ]0,1[- C. ]1,0[ D. ]23,1[6. 已知函数x x x x f ln 3421)(2-+-=在区间[t,t+1]上不单调，则t 的取值范围是 7. 函数ax x a ax x g 3)1(2)(23--+=在区间)3,(a -∞内单调递减，则a 的取值范围是 8. 若函数2)()(c x x x f -=在x =2处有极大值，则常数c 的值为9. 已知1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 10. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)( x f ，则)0(')1(f f 的最小值为（ ） A. 3 B. 25C. 2D. 23。