数学奥林匹克高中训练题66
2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷
2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷1、求所有的三元正整数组(aa,bb,cc)，满足aa2aa=bb2bb+cc2cc．2、如图，用144根完全相同的长度为1的细棒摆成边长为8的正方形网格状图形．问：至少需要取走多少根细棒，才能使得剩余图形中不含矩形?请证明你的结论.3、设aa，bb，cc，dd都是不超过1的非负实数．证明：11+aa+bb+11+bb+cc+11+cc+dd+11+dd+aa⩽41+2√aabbccdd4．4、如图，四边形AAAAAAAA内接于圆Γ，对角线AAAA，AAAA互相垂直，交点为EE．设FF是边AAAA上一点，射线FFEE交Γ于点PP，线段PPEE上一点QQ满足PPQQ⋅PPFF=PPEE2，过点QQ且垂直于AAAA的直线交AAAA于点RR．证明：RRPP=RRQQ．5、如图，在锐角△AAAAAA 中，AAAA <AAAA ，AAAA 是高，GG 是重心，PP 、QQ 分别是内切圆与边AAAA 、AAAA 的切点，MM 、NN 分别是线段AAPP 、AAQQ 的中点．设AA 、EE 是△AAAAAA 内切圆上两点，满足：∠AAAAAA +∠AAAAAA =180°，∠AAEEAA +∠AAAAAA =180°．证明：直线MMAA ，NNEE ，GGAA 三线共点．6、设实数xx 1，xx 2，⋯，xx 22满足对任意1⩽ii ⩽22，有2ii−1⩽xx ii ⩽2ii ．求(xx 1+xx 2+⋯+xx 22)�1xx 1+1xx 2+⋯+1xx 22� 7、给定奇素数pp 和正整数aa 、bb 、mm 、rr ，其中pp ∤aabb ，且aabb >mm 2．证明：至多只有一对正整数(xx ,yy )满足xx 与yy 互素，且aaxx 2+bbyy 2=mmpp rr ．8、对于平面直角坐标系中任意两点AA (xx 1,yy 1)、AA (xx 2,yy 2)，定义dd (AA ,AA )=|xx 1−xx 2|+|yy 1−yy 2|，设PP 1，PP 2，⋯，PP 2023是该坐标系中2023个两两不同的点．记λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �．(1) 证明：λλ⩾44．(2) 给出一组PP 1，PP 2，⋯，PP 2023，使得λλ=44．1 、【答案】(1,4,4)，(2,4,4)，(4,5,6)，(4,6,5);【解析】设xx mm=mm2nn，则当nn⩾2时，xx mm−xx mm+1=mm−12nn+1>0，故12=xx1=xx2>xx3>xx4>⋯，不妨设bb⩽cc，由条件等式得aa<bb⩽cc，（1）若bb=cc，则aa2aa=bb2bb−1，故bb aa=2bb−aa−1∈ZZ，设bb=aaaa(aa>1)，则aa=2aaaa−aa−1⩾aaaa−aa，即(aa−1)(aa−1)⩽1，由aa⩾2知aa=1或2，均有bb=2bb−2，得bb=4，（2）若bb<cc，则aa2aa⩽aa+12aa+1+aa+22aa+2=3aa+42aa+2①⇒aa⩽4，注意到，xx1=xx2=12，xx3=38，xx4=14，xx5=532，xx6=332<18，若aa=1或2，则xx bb+xx cc=12⇒xx bb>14⇒bb=3，此时cc无解．若aa=3，则xx bb+xx cc=38⇒xx bb>316⇒bb=4,此时cc无解；若aa=4，则式①等号成立，即bb=5，cc=6，经检验，满足要求，综上，所求(aa,bb,cc)为(1,4,4)，(2,4,4)，(4,5,6)，(4,6,5)．【标注】 ( 数论模块 )2 、【答案】43;【解析】首先证明至少需要移除43根细棒，假设图形中不含矩形，则每个有界连通区域至少由3个单位正方形组成，即面积至少为3，记[xx]表示不超过实数xx的最大整数，这样至多有�643�=21个有界连通区域，每取走一根细棒至多使得有界连通区域的个数减少1（将两个有界连通区域合并为一个有界连通区域，或者将一个有界连通区域与无界连通区域合并），最初时有64个有界连通区域，故至少取走64−21=43根细棒，下图给出了取走43根细棒的例子，其中每个有界连通区域的面积均是3，且图中不含矩形．【标注】 ( 数论模块 )3 、【答案】证明见解析;【解析】注意到，当√aacc⩽xx时，1xx+aa+1xx+cc−2xx+√aacc=(√aa−√cc)2(√aacc−xx)(xx+aa)(xx+cc)(xx+√aacc)⩽0，①由条件可知√aacc⩽1⩽1+bb，√aacc⩽1+dd，在式①中取xx=1+bb和xx=1+dd，分别得11+aa+bb+11+bb+cc⩽21+bb+√aacc，11+cc+dd+11+dd+aa⩽21+dd+√aacc，可见以√aacc代替aa和cc时，不等式左边不减，而右边不变，故不妨设aa=cc，类似地，不妨设bb=dd，这样，原不等式变为证明11+aa+bb⩽11+2√aabb，由均值不等式aa+bb⩾2√aabb可知上式成立．【标注】 ( 不等式 )4 、【答案】证明见解析;【解析】如图，作EEEE//AAFF，交AAPP于点EE，交AAPP于点YY，延长EEQQ、YYQQ，分别交AAAA于点SS、TT，联结AAPP，记⊙AAAAAA表示过AA，AA，AA三点的圆，由PPPP PPPP=PPPP PPPP=PPPP PPPP⇒EEQQ//AAEE，类似地，YYQQ//AAEE，由∠EEEESS=∠AAEEEE=∠AAAAAA=∠EEAASS⇒EE，EE，SS，AA四点共圆，由∠PPEEEE=∠PPAAAA=∠PPAAEE⇒EE，EE、PP，AA四点共圆，故EE，EE，SS，PP，AA五点共圆，类似地，YY，EE、TT，PP，AA五点共圆，由∠PPQQTT=∠PPEEAA=∠PPSSTT⇒PP，SS、QQ，TT四点共圆，由SSQQ//AAEE，TTQQ//AAEE，AAEE⊥AAEE⇒SSQQ⊥TTQQ，由∠RRQQSS=90°−∠QQEEYY=90°−∠QQTTSS=∠RRSSQQ，可知RR是⊙PPSSQQTT的圆心．从而，RRPP=RRQQ．【标注】 ( 平面几何 )5 、【答案】证明见解析;【解析】在△AAAAAA的外接圆上取点FF，使得AAAAAAFF是等腰梯形．直线FFAA与⊙AAAAAA的另一个交点为LL，与中线AAAA交于点GG′．如图，由AAFF=2AAAA⇒PPGG′GG′KK=PPPP HHKK=2⇒GG′是△AAAAAA的重心⇒点GG′与GG重合，故∠AALLAA=∠AALLFF=12AAFF⌢∘=12AAAA⌢∘=∠AAAAAA，结合条件∠AAAAAA+∠AAAAAA=180°得∠AAAAAA+∠AALLAA=180°⇒AA，LL，AA，AA四点共圆，类似可证∠AALLAA=∠AAAAAA，且AA，LL，AA、EE四点共圆，由于∠AALLAA=∠AAAAAA，PPAA与⊙AALLAAAA切于点AA，记△AAAAAA的内切圆为Γ，PPAA是Γ与⊙AALLAAAA的外公切线，由MMPP =MMAA 可知MM 是Γ与⊙AALLAAAA 的等幂点，从而，直线MMAA 是Γ与⊙AALLAAAA 的根轴，类似可证直线NNEE 是Γ与⊙AALLAAEE 的根轴，又直线GGAA 是⊙AALLAAAA 与⊙AALLAAEE 的根轴，故直线MMAA 、NNEE 、GGAA 要么三线共点，要么两两平行．若MMAA 、NNEE ，AAAA 两两平行，则⊙AALLAAAA 的圆心OO 1，⊙AALLAAEE 的圆心OO 2、Γ的圆心II 三点共线， 由于∠AAAAAA 与∠AAEEAA 都是钝角，于是，点OO 1，OO 2在AAAA 下方，显然点II 在AAAA 上方，设OO 1、OO 2、II 在AAAA 上的投影分别为EE 、YY 、ZZ ，则EE ，YY 分别是AAAA 、AAAA 的中点，由AAAA <AAAA 知点YY 、ZZ 在AAAA 同侧，且AAZZ =PPAA+BBAA−PPBB 2>BBAA 2>AAHH 2=AAYY ， 故点ZZ 在线段EEYY 上．因此，OO 1、OO 2、II 不可能共线，矛盾， 从而，MMAA 、NNEE 、GGAA 三线共点．【标注】 ( 平面几何 )6 、【答案】 �212−1−1211�2 ;【解析】 设yy ii =xx ii 211(ii =1,2,⋯,22) ， 注意到， ff (tt )=tt +1tt在区间(0,1]上递减，在区间[1,+∞)上递增，对1⩽ii ⩽11，有1212−ii ⩽yy ii ⩽1211−ii ⇒yy ii +1yy ii ⩽212−ii +1212−ii ； 对12⩽ii ⩽22，有 2ii−12⩽yy ii ⩽2ii−11⇒yy ii +1yy ii ⩽2ii−11+12ii −11， 则 �∑22ii=1xx ii ��∑22ii=11xx ii �=�∑22ii=1yy ii ��∑22ii=11yy ii� ⩽14���yy ii +1yy ii �mm ii=1�2⩽14���212−ii +1212−ii �11ii=1+��2ii−11+12ii −11�22ii=12�2=�21+22+⋯+211+121+122+⋯+1211�2 =�212−1−1211�2， 当xx ii =�2ii−1,1⩽ii ⩽112ii ,12⩽ii ⩽22 时，上式等号成立， 故所求最大值是 是�212−1−1211�2． 【标注】 ( 不等式 )7 、【答案】 证明见解析;【解析】 反证法．假设有两对不同的正整数解 (xx 1,yy 1)、(xx 2,yy 2)，由于xx 1与yy 1互素，于是，pp ∤xx 1yy 1， 类似地，pp ∤xx 2yy 2，由 aaxx 12≡−bbyy 12(mod pp rr )aaxx 22≡−bbyy 22(mod pp rr )，可知 aabbxx 12yy 22≡aabbxx 22yy 12(mod pp rr ) 又pp ∤aabb ，故pp rr |(xx 12yy 22−xx 22yy 12)， 注意到，xx 1yy 2−xx 2yy 1与xx 1yy 2+xx 2yy 1不能都被pp 整除，否则，pp |2xx 1yy 2，这与pp 是奇素数且pp ∤xx 1yy 1xx 2yy 2矛盾， 故pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1)或pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1)， 若xx 1yy 2−xx 2yy 1=0，则 xx 1xx 2=yy1yy 2， 结合aaxx 12+bbyy 12=aaxx 22+bbyy 22，可知xx 1=xx 2，yy 1=yy 2，这与(xx 1,yy 1)≠(xx 2,yy 2)矛盾， 因而，xx 1yy 2−xx 2yy 1≠0， 若pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1)，则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ，若pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1)，则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾|xx 1yy 2−xx 2yy 1|⩾pp rr ，因此总有xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ，利用条件aabb>mm2和上式有mm2pp2rr=(aaxx12+bbyy12)(aaxx22+bbyy22)=(aaxx1xx2−bbyy1yy2)2+aabb(xx1yy2+xx2yy1)2⩾aabb(xx1yy2+xx2yy1)>mm2pp2rr，矛盾．故假设不成立，原命题成立．【标注】 ( 数论模块 )8 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) 见解析;【解析】 (1) 对aa=1，2，⋯，2023，设PP aa(xx aa,yy aa)，记uu aa=xx aa+yy aa，vv aa=xx aa−yy aa，记AA=mmaaxx1⩽ii⩽jj⩽2023dd�PP ii,PP jj�，则对于任意1⩽ii、jj⩽2023，有|uu ii−uu jj|=|�xx ii−xx jj�+�yy1−yy jj�|⩽|xx ii−xx jj|+|yy ii−yy jj|=dd�PP ii,PP jj�⩽AA，因此，uu1，uu2，⋯，uu2023中的最大数与最小数之差不超过AA，即全在某个区间[aa,aa+AA]中，类似地，vv1，vv2，⋯，vv mm全在某个区间[bb,bb+AA]中，对aa、ll=1,2,⋯,44，考虑区域AA aa,ll=��uu+vv2,uu−vv2�|aa+aa−144AA⩽uu⩽aa+aa44AA,bb+ll−144AA⩽vv⩽bb+ll44AA�，点PP ii，PP2，⋯，PP2023落在这442=1936个区域中，由抽屉原理知存在两点在同一区域，假设PP1、PP jj∈AA aa,ll，记UU=uu ii−uu jj，VV=vv ii−vv jj，则−DD44⩽UU、VV⩽DD44，dd�PP ii,PP jj�=|xx ii−xx jj|+|+|yy ii−yy jj|=�uu ii+vv ii−uu jj+vv jj�+�uu ii−vv ii−uu jj−vv jj�=�UU+VV 2�+�UU−VV 2� ∈�±UU+VV 2±UU−VV 2�={UU ,−UU ,VV ,−VV }，由于每种情况都有 dd�PP ii ,PP jj �⩽mmaaxx {|UU |,|VV |}⩽DD 44， 故 mmii nn 1⩽ii<jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽dd�PP ii ,PP jj �⩽DD 44⇒λλ⩾44． (2) 关于构造，取点集MM ={(xx ,yy )∈ZZ 2|xx ,yy 同奇偶，|xx +yy |⩽44，|xx −yy |⩽44} =��uu+vv 2,uu−vv 2�|uu =0,±2,±4,⋯,±44;vv =0,±2,±4,⋯,±44�， 集合MM 中共有452=2025个点，从中任选2023个点作为PP 1，PP 2，⋯，PP 2023，则 dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |是偶数且大于0，即dd�PP ii ,PP jj �⩾2， 另一方面，dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |⩽mmaaxx�|(xx ii +yy ii )−�xx jj +yy jj �|,|(ii yy ii )−�xx jj −yy jj �|�⩽88， 故此时λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽882，由（1）知此时λλ=44， 图1是nn =25个点满足λλ=4的例子，图2是16个区域划分，可以用来证明nn =17个点时λλ⩾4．第11页， 共11页【标注】。
2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） ........................................................................................................................... 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ........................................................................................................................... 8 数学奥林匹克高中训练题（06） ...........................................................
数学奥林匹克高中训练题(06)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（06）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)若,x y R ∈，则实数集2{|31}P s s x x ==++与2{|31}Q t t y y ==-+具有的关系是(D)．(A) PQ φ= (B)P Q ⊂ (C)Q P ⊃ (D)P Q =2．(训练题11)方程112log log y x x+-=的图象是(C)．3．(训练题11)在ABC ∆中，cos2cos2B A >是A B >的(C)．(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要的条件4．(训练题11)圆台两底面半径分别为R 和r ()R r >，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分．那么，截面圆半径是(B)．(A) Rr (B) 222r R + (C) 2r R + (D) 无法确定5．(训练题11)等差数列{}n a 中，2n ≥，公差0d <，前n 项和是n S ．则有(C)．(A)1n S na ≥ (B)n n S na ≤ (C)1n n na S na << (D)1n n na S na << 6．(训练题11)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点。
那么，线段PQ 中点的轨迹方程是(B)．(A)221y x =- (B)222y x =- (C)221y x =-+ (D)222y x =-+二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)已知函数, 01,()1, 10.x x f x x x -<≤⎧=⎨+-≤≤⎩则它的反函数是11,(0,1](),[1,0]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈-⎩．2．(训练题11)已知复数z 的模1z =且，111z z +=，则z=1(1)2±． 3．(训练题11)某市电话号码从六位升至七位，这一改可增加761010-个拨号． 4．(训练题11)1arctan arctan1x x x -++的值是 3144ππ-或 ． 5．(训练题11)平面α内有圆ABC (如图)AB 是直径，SA α⊥，C 是AB 上一点．若::1:2:2AC AB SA =，则二面角C SB A --的平面角的余弦值是5．6．(训练题11)ABC ∆顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知(6,8)A -，且ABC ∆的重心在原点，则过B ，C 两点的直线方程为480x y +-=． 三、(训练题11)(本题满分20分) 如图，四棱锥S ABCD -的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点O ，已知棱锥S ABCD -的高恒为3，22,(,,)S ADO S BCO V m V n m n R m n +--==∈≠．问当四棱锥S ABCD -取得最小体积时，底面ABCD 是怎样的四边形？四、(训练题11) (本题满分20分) 抛物线22(0)y px p =>的焦点是F ．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过F 点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由五、(训练题11)(本题满分20分)数列{}n a 的首项0a ≠，该数列是公比为a -的等比数列．记lg n n n b a a =，1nn i i S b ==∑．(1) 证明: 当1a ≠-时，对一切n N ∈，都有12lg [1(1)(1)](1)n nn a a S n na a a +=+-+++． (2) 当01a <<时，是否存在自燃数m ，使得对任何自然数n ，都有n m b b ≤．第二试一、(训练题11)(本题满分35分)H 为ABC ∆的垂心，,,D E F 分别是,,BC CA AB 中点，一个以H为SCBAO D圆心的H 交直线,,EF FD DE 于121212,,,,,A A B B C C ．求证：121212AA AA BB BB CC CC =====．二、(训练题11)(本题满分35分)若n 是素数，证明存在0,1,2,,1n -的一个排列12(,,,)n a a a ，使得11212312,,,,n a a a a a a a a a 被n 除的余数各不相同．三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．已知这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，则无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？。
数学奥林匹克高中训练题(11)及答案
数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题16)一元二次复系数方程02=++b ax x 恰有两个纯虚根，则（C ）．（A ）a 是零，b 是负实数 （B ）a 是零，b 是纯虚数（C ）a 是纯虚数，b 是实数（D ）a 是纯虚数，b 是纯虚数2． (训练题16)n 是一个正整数，n y xy x =++22的整数组解的数目是（B ）．（A ）4的倍数 （B ）6的倍数（C ）2的倍数 （D ）8的倍数3．(训练题16)满足211x x x x x x -+->+-+的所有实数x 在（D ）．（A ）（3,31）内 （B ）（3，+∞）内 （C ）（－∞，31）内 （D ）（－∞，31）∪（3，+∞）内 4．(训练题16)d cx bx ax x x f ++++=234)(，这里d c b a ,,,是实数．已知,15)3(,10)2(,5)1(===f f f 则)4()8(-+f f 是（C ）．（A ）2500 （B ）不确定的 （C ）2540 （D ）8605．(训练题16)平面内，设函数)(x f 的图象与x y 2-=的图象关于直线32+=x y 对称，则)(x f 的解析表达式是（A ）．（A ）2)1234(52643---=++x y x y （B ）2)1234(10643---=++x y x y （C ）2)34(5243x y x y --=+ （D ）2)1234(52643---=-+x y x y 6．(训练题16),3≥n 方程n x x x x x x x x x x x x x n n n n n n =+++---1321121121 的有序整数组解一共有（B ）． （A ）n 组 （B ）12-n 组 （C ）n 2组 （D ）12+n 组二、填充题（每小题9分，共54分）1．(训练题16)任意整数,,,z y x 满足等式z y x bz ay cx az cy bx cz by ax ++=++++++++的所有实数c b a ,,是 (1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)---共6组 ．2．(训练题16)使得zy x z y x 111,++++和xyz 都是整数的全部正有理数组（),,z y x （)z y x ≤≤是 (1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)共5组 ．3．(训练题16)圆台上的上底半径r 与下底半径R （R.>r ）之和是母线l 的6倍,而上底面积、侧面积、下底面积成等比数列，此圆台的高为2023r -，此圆台体积的最大值是 500(29π+ ． 4．(训练题16)设x x x kx x x f (11)(2424++++=∈R ），对任意三个实数a,b,c,已知存在一个三角形，三边长分别为),(),(),(c f b f a f 则满足上述条件的所有实数k 的范围是 1(,4)2- ． 5．(训练题16)设),6sin 6(cos 3)(ππi z z f +=这里z 是复数，用A 表示点),31(i f +B 表示点),0(f C 表示点)4(i f ，则∠ABC= 6π ． 6．(训练题16)b a ,是正实数，),1(21,,1110n n n x x x b x a x +===-+这里x ∈N 。
数学奥林匹克高中训练题(61)
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9& 不妨考虑 ! " # " （ 的情况， 锯# # ! " ! " $ 可同样考虑） 次后得 # " # " # 的一大块， 这块的中心有一个单位正 方体的六个面都需锯开 % 故至少还要再锯 & 次， 因此 至少需锯 ’ 次 % 二、 ( % #& % 设三边长分别为 ! 、 且 !! "! #， "、 #， # ) ((， !* 则 " + #， &! " !(( $ 当 " ) &、 构成 ( 个三角形； ! ) & 时， 当 " ) ,、 构成 # 个三角形； ! 为 !、 &、 , 时， …… 当 " ) ((、 …、 构成 (( 个三角形 $ ! 为 (、 $、 (( 时， 故共有 ( * # * ! * … * (( ) #& 个 $ $ $ (- $ ( # . / $ 0 123! ! 0 $， 4 0! 0 ! % ! ! （ （ ! *!） （ ! *!） % !） ) 567 * 825 )" $567 ! *! * ! % 9 为偶函数， .（ % !）
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2024全国高中数学奥林匹克竞赛试题
1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。
通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。
经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。
（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。
根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。
经过计算，c=√7。
（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。
我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。
通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。
经过推导，n的最大值为120。
（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。
根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。
经过计算，a₁₀=55。
（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。
数学奥林匹克高中训练题76
100 100 所以 ②ACAD数学奥林匹克高中训练题(76)第 一 试∠A P B = 120°,则椭圆 C 的离心率的最小值为() .一、选择题(每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 已知函数 f ( x ) = - 2 x 3- x . 若 x、 x 2 、(A) 13(B) 33(C) 2 3(D) 63 x 3 ∈R 且 x 1 + x 2 > 0 , x 2 + x 3 > 0 , x 3 + x 1 > 0.4. 已知正四棱锥 S - ABCD 的高为 2 ,底 则 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) () .面边长为 , 点 P 、Q 分别在线段 BD 、SC (A) 大于零(B ) 小于零(C ) 等于零上. 则 P 、Q 间的最短距离为() . (D ) 大于零或小于零2. 在 △ABC 中 , a 2+ b 2= 7 c 2. 则 (A ) 1 (B )2 33(C ) 2 55(D ) 105(cot A + cot B ) tan C = ( ) . 5. 从 1 到 300 的自然数中 ,任取三个不( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 同的数使其和能被 3 整除. 共有( ) 种取 A 3B 3 x2C - 3D - 3y2法.(A) C 3(B) C 1·C 1 ·C 13. 设椭圆 C : a 2 + b2 = 1 ( a > b > 0) 的长100 (C) 3C 3100 (D) 3C 31001100 10011001100轴两端点为 A 、B . 若椭圆 C 上有一点 P 满足二、如图 7 , 联结DE 、DH . 因为 CE 平分 ∠ACB , 故 ∠1 = ∠2. 从而 ,A F = AC. ①故 HF ∥BC .三、因为 a 为正整数 ,故抛物线开口向上.又抛物线 y = ax 2 + bx + c 在 x 轴上方 ,所以 ,b 2 - 4 ac < 0.①由于抛物线过点 A ( - 1 ,4 a + 7) 、B (3 ,4 a - 1) ,FD DC图 7从而 ,有又 ∠1 + ∠3 =∠2 + ∠5 ,且 ∠4 = ∠5 ,所以 , ∠3 = ∠4 , A E = A F .由 A 、E 、D 、H 四点共圆 ,知 ∠BAC = 90°. 于是 , ∠EDH = 90°, 即 ∠7 + ∠8 = 90°.又 ∠6 + ∠8 = 90°,故 ∠6 = ∠7.由 ∠E AD + ∠D AC = ∠BC A + ∠D AC = 90°得 ∠EAD = ∠ACD . 从而 , △EAD ∽ △HCD ., A E = AD .HC CD由 ①、②可得HC =DF.2 + C ·C ·C 13a -b +c = 4 a + 7 ,9 a + 3 b + c = 4 a - 1.解 得 b = - 2 - 2 a , c = a + 5. 代入 ①,则有( - 2 - 2 a ) 2 - 4 a ( a + 5) < 0.解 得 a > 1.又 a 是不大于 2 005 的正整数 ,所以 , a ≥1. 故 b = - 2 - 2 a ≤- 4 , - b ≥4 , c = a + 5 ≥6. 取 a = 1 , b = - 4 , c = 6 时 ,抛物线 y = x 2 - 4 x +6 满足题设条件.因此 , a - b + c 的最小值为 11.(杨 晋 安徽省芜湖市第 13 中学 ,241002)i ∑ 1 2 n 2n 2 n6. 已知存在整数 x 1, x 2 , , x n 满足y 2 线 2 - x 2 2 = 1 在第一象限内的一点 , 直线x 4+ x 4++ x 4= 1 599. 则正整数 n 的最小 a b值为() .(A ) 14 (B ) 15 (C ) 16 (D ) 1 599二、填空题(每小题 9 分 ,共 54 分)1. 设 a 、b 为异面直线 ,在直线 a 上有三点A 、B 、C ,且 AB = BC ,过 A 、B 、C 分别作直线 b 的垂线 AD 、B E 、CF ,垂足分别为 D 、E 、F . 已知 AD = 15 , B E =7 、 C F = 10 . 则异 面直线 a 与 b 之间的距离为.2. 方程 x 2- 2 a sin (cos x ) + a 2= 0 仅有一个解. 则实数 a = .3. 设 x 、y 为正数 ,且 x + y =4. 若不等PA 、PB 分别交椭圆于点 C 、D , D 恰好为 PB中点.(1) 求直线 CD 的斜率 ;(2) 若 CD 通过椭圆的上焦点 ,求双曲线的离心率.五、(20 分) 已知 a 、b 、c 为实数 ,当且仅 当 x ≤0 或 x > 1 时 ,有2 x 2+ ax + b > x - c .求 c 的取值范围.第 二 试一、( 50 分) 如图 1 , 在直角梯形 ABCD1 + 4x y ≥m 恒成立 ,则实数 m 的最大值为 中 , E 是 AB 的 中 点 , 且 ∠CED = 90°. 记 △DA E 、 △CB E 、.4. 将棱长为某整数的正方体切割成 99个小正方体 , 其中 98 个是棱长为 1 的正方体 ,另一个正方体的棱长也是整数. 则它的棱长 是 .5. 将一个 4 ×4 棋盘中的 8 个小方格染为黑色 , 使得每行、每列都恰有 2 个黑色方格. 则有 种不同的染法.6. 已知非常数数列{ a i }满足 △CED 的内心分别为 O 1 、O 2 、O 3 . 证 明 : 四 边 形 EO 1 O 3 O 2 是平行 图 1四边形.二、(50 分) 已知正整数 x 1 < x 2 < <x n , 且x 1 + x 2 ++ x n = 2 003 , n ≥2 ,a 2- ai - 1 a i2i - 1 = 0 ,f ( n ) = n ( x 1 + x n ) .且 a i + 1 ≠a i - 1 , i = 1 ,2 ,, n .对于给定的正整数 n , a 1 = a n + 1 . 则n - 1a i=.i = 0三、(20 分) 设 1 < x 1 < 2 ,对于 n = 1 ,2 ,求 f ( n ) 的最小值.三、(50 分) 有 12 支球队进行足球比赛 , 每两队都赛一场 ,胜者得 3 分 ,负者得 0 分 , 平局各得 1 分. 那么 ,有 1 支球队最少要得多少分才能保证最多有 6 支球队的得分不少于该队的得分 ?,定义 x n + 1 m= 1 + x - 1 x 2. 当 m ≥3 时 , 证 参 考 答 案明 : ∑| x i - 2| < 1.第 一 试i = 34 y2x2一、1. B.四、(20 分) 已知点 A 、B 为椭圆a2+b2= 1 ( a > b > 0) 的上、下两个顶点 , P 是双曲易知 f ( x ) 是 R 上的奇函数且是减函数 ,所以 ,f ( x 1 ) < f ( - x 2 ) ,式 + a2 ab 23 ( a 2 - b 2 ) ≤ b ,b 2 2 b a + 3 ai 4 4 == . 即 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) < 0.同理 , f ( x 2 ) + f ( x 3 ) < 0 , f ( x 3 ) + f ( x 1 ) < 0. 故 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) < 0.2.A.又 1 599 = 54 + 12 ×34 + 2 ×14,从而 ,1 599 可表 示为 15 个整数的 4 次方之和.二 、1. 6 .设异面直线 a 、b 之间的距离为 x ,作直线 a 、b (cot A + cot B ) tan C = cos A + cos Bsin A sin B = sin ( A + B ) ·sin C = c ·c · 2 ab sin Ccos C 的公垂线段 MN , N ∈a ,过点 M 作直线 a ′∥a ,且直线 b 与直线 a ′确定平面α. 由题设 ,知 MN = x ,且 AB= BC , 则sin A ·sin B ·cos C a b a 2 + b 2 - c 2 2 c 2 1a 2 +b 2 - c2 3 3.D.2B E 2 - x 2 =AD 2 - x 2 +CF 2 - x 2 .解得 x = 6 .2. 0 或 2sin 1.设 P ( x , y ) , 则 tan 120°= 2 a | y 0 |= - 3 .令 f ( x ) = x 2 - 2 a sin (cos x ) + a 2 , 则 f ( x ) 为 偶0 0 x 2 + y 2 - a 2函数.a 2将 x 2- a 2= - b 2 ab 2y 2 代入上式 ,得 于是 , f (0) = 0 ,即a 2 - 2 a sin 1 = 0.| y 0 | =3 ( a 2 - b 2 ) .解得 a = 0 或 a = 2sin 1.又 - b ≤y 0 ≤b ,于是 ,3. 9 . 41 4 1 ( ) 1 4即- 1≤0.+ = 45 + y xx + y+ 4 x y x + y 解得b ≤1 .y 4 x9 a32b2≥1 25 + 2 x ·y = 4 . 从而 , e = 1 -a1 - 3 = 3. 6e < 1. 4. C.P 、Q 间的最短距离即异面直线 BD 与 SC 之间的距离. 设底面正方形 ABCD 的中心为 O ,则 BD ⊥ 4. 3.设原正方体的棱长为 a ,切割后的另一个正方体的棱长为 b ( a 、b ∈Z + , a > b ) . 则a 3 - 98 =b 3 ,即 ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = 98.a -b = 1 , 平面 SOC . 过 O 作 OM ⊥SC 于 M ,则 OM 即为所求.于是 ,a 2 + ab + b 2 = 98 ;因为 SO = 2 , OC = 1 ,故 SC = 5 .2 5a -b = 2 , a - b = 7 , a 2 + ab + b 2 = 49 ;a 2 + ab + b 2 = 14.由 SO ·OC = SC ·OM ,得 OM = 5 .5. D.将 1 到 300 的自然数按模 3 分类 ,每一类各取一个数或三个数都取自同一类均可满足题设条件.6. B.x 为偶数时 , x 4 ≡0 (mod 16) ;x 为奇数时 , x 2≡1 (mod 8) , x 4≡1 (mod 16) .故 x 4 ≡0 或 1 (mod 16) .而 1 599 ≡15 (mod 16) ,所以 , n ≥15.经检验 ,知 a = 5 , b = 3.5. 90.第一行染 2 个黑格有 C 2种染法. 第一行染好后 ,有如下三种情况 :(1) 第二行染的黑格均与第一行的黑格同列 ,这时 ,其余行只有一种染法 ;(2) 第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列 ,这时 ,第三行有 C 2种染法 ,第四行的染法随之确定 ;(3) 第二行染的黑格恰有 1 个与第一行的黑格=14 ≥1 4 故2 同列 ,这样的染法有四种 ,而在第一、第二这两行染好后 ,第三行染的黑格必然有 1 个与上面染的黑格< 1 + 1 + + 1 = 2 131 - 12 m - 223 24 2m 1 ∑222 均不同列 ,这时 ,第三行的染法有两种 ,第四行的染法随之确定.因此 ,共有 6 ×(1 + 6 + 4 ×2) = 90 种.= 1 4- 1 2 m< 1 . 41 - 26. 0.四 、(1) 设 P ( x 0 , y 0 ) , A (0 , a ) , B (0 , - a ) . 则2 2 y 2x 2已知 a i- a i - 1 a i +a i - 1 = 0 ,所以 ,0 - 0 = 1. ①22a 2b 2a i + 1 - a i a i + 1 + a i = 0.相减得( a i + 1 - a i - 1 ) ( a i + 1 + a i - 1 ) - a i ( a i + 1 - a i - 1 ) = 0.又 PB 的中点 Dx 0 , y 0 - a2 2( y 0 - a ) 2x 2在椭圆上 ,则有即 ( a i + 1 - a i - 1 ) ( a i + 1 + a i - 1 - a i ) = 0.4 a 2+4 b 2= 1. ②又因为 a i + 1 ≠a i - 1 ,所以 ,a i + 1 + a i - 1 - a i = 0.故 a 0 = a 1 - a 2 , a 1 = a 2 - a 3 ,a n - 2 = a n - 1 - a n , a n - 1 = a n - a n + 1 .n - 1于是 , a i = a 1 - a n + 1 = 0. i = 0三、当 n = 2 时 ,由式 ①、②解得 , x 0 = 3 b , y 0 = 2 a . 将直线 PA 的方程代入椭圆得 C - 3 b , a 22从而 , y C = y D . 故 k CD = 0.(2) 设椭圆的半焦距为 c 1 ,双曲线的半焦距为 c 2 . 因为 CD 过椭圆的上焦点 ,故a= c 1 . 从而 ,x = 1 + x-1 x2 =3 - 1( x - 1) 2a = 2 c 1 ,b = 3c 1 .32 2 2 2 22又 c 2 = a 2 + b 2 = 7 c 2 , 所 以 ,3 1211 2 2 = 2 - 2 x 1 - 2 x 1. c = 7 c , e =c 2 = 7 .21a2由于二次函数 f ( x ) = - 1x 2 + x 在(1 ,2) 上单调递减 ,因此 ,五、由题意得不等式2 x 2 + ax + b > x - c①3 - 1 < x < 3 . 的解集是 x ≤0 或 x > 1 ,而式 ①等价于2 83 2 2 x 2 + ax + b ≥0 , - 1 8 3 < 3-2 1 -18< x 3 - 2 x 2 + ax + b > ( x - c ) 22 x 2 + ax + b ≥0 , < 2- 所以 ,| x 3 < 8 .- 2| < 1. 23≥1或x - c < 0.设 A = { x | 2 x 2 + ax + b ≥0}= { x | x ≤x 1 或 x ≥x 2 } ,假设 m = k ( k 3) 时 ,| x k - 2| < 2k.其中 x 1 、x 2 为方程 2 x 2 + ax + b = 0 的两个根 ( x 1 ≤当 m = k + 1 时 ,x 2 ) ;| x k + 1 - 2| =1 | x k 2- 2| ·| x k + - 2|B = { x | 2 x 2 + ax + b > ( x - c ) 2}= { x | x < y 1 或 x > y 2 } ,1 1 1 1< 2 · k | 2 k + 2 - 2| < 2k + 1 .其中 y 1 、y 2 为方程 2 x 2 + ax + b = ( x - c ) 2的两个根综上知 ,对一切 m ≥3 的自然数 ,有( y 1 ≤y 2 ) ;| x m- 2| < 1.2m C = { x | x - c < 0} = { x | x < c } .则式 ①的解集为故 | x 3 - 2| + | x 4 - 2| ++ | x m - 2|( A ∩B ) ∪( A ∩C ) = A ∩( B ∪C )0 2 22 2 故2n - 1 22 8 1 23 1 3 = { x | x ≤0 或 x > 1} . 故将 x 1 = 0 , y 2 = 1 各自代入方程得] ( n - 1) x n - [ 1 + 2 + + ( n - 2) ]≥x 2 + x 3 ++ x n = 2 002 b = 0 , x = -a> 0 , 2 ] ( n - 1) x n- 1 ( n - 1) ( n - 2) ≥2 002 2a = ( c - 1) 2- 2 , y 1 = - c 2 .]≥12 002则 A = { x | x ≤0 或 x ≥- a} ,x n2 ( n - 2) + n - 1]2f ( n ) = n (1 + x n ) = n + nx nB ∪C = { x | x < max{ - c 2 , c } 或 x > 1} .于是 ,有 0 < max{ - c 2 , c } ≤- a≤1.≥n + 1 n ( n - 2) + 2 2 002 n = 1 n 2 + n - 1 2 2 002 n .n - 1 2从而 ,0 < c ≤1.g ( n ) = 1 2知 :n 2 + 2 002 n ,考察 g ( n ) 的单调性一、如图 2 , 设第 二 试当 n ≤13 时 , g ( n ) 单调递减 ; 当 n ≥14 时 , g ( n ) 单调递增.CE 交 DA 延长线于F . 则g (13) = 2 253 + 13 , g (14) = 2 254 ,因此 ,1 △B EC ≌ △A EF . 于是 , DE 为 CF 的中垂线.图 2从 而 , ∠EDA = ∠EDC .故 Rt △ADE ∽ Rt △EDC .f ( n ) ≥g ( n ) ≥2 253 + 3] f ( n ) ≥2 254.当 n = 14 时 ,取x 1 = 1 , x 2 = 148 , x 3 = 149 ,, x 14 = 160 ,则 有 f ( n ) min = n ( x 1 + x n ) = 2 254.三、假设有 7 支球队的得分与该队得分相同 ,那么 ,这 8 支球队每两队比赛一场的得分最多为 3 分.因此 , ∠O DO = ∠ADE ,DO 1 = DO 3. 所以 ,他们的得分最多为 3C 2= 84 分 ,每队的得分不 13AD ED8所以 , △O O D ∽ △A ED .能超过 84= 10 分 ,故每队最多只能胜 3 场.1 38 即得 ∠O 3 O 1 D = 90°.由于 ∠EO 1 D = 90°+ 1∠EO 1 O 3 = 45°.因为 ∠O 1 EO 2 = 90°+ 1 EO 2 ∥O 1 O 3 .同理可证 , EO ∥O O . 因此 ,四边形 EO O O为平行四边形. 现将 12 支球队分成两组 ,一组为 8 支得分相同的球队 ,另一组为另外 4 支球队. 同在一组的 8 支球队依次排成一圈 ,其中每队胜他后面的 3 支队 ,并与第 4 支队踢平 ,且负于另 3 支队. 那么 ,这 8 支球队的每队得分最多为(3 ×3 + 1) + 3 ×4 = 22 分(即同在 一组的 8 支球队都胜同组的 3 队平 1 队负于 3 队 ,胜另一组的 4 支队) .因此 ,当有 8 支球队得分相同(有 7 支球队的得 二、若 x 1 值不变 ,则> 1 ,设 x ′1 = 1 , x ′n = x n + x 1 - 1 ,其余 x分不少于该队) 时 ,每队最多可得 22 分 ,故当题设命 题成立时 ,该队的得分不少于 23 分.下面证明 :若有 1 支球队至少得 23 分 ,那么 ,最 x ′1 + x 2 + x 3 ++ x n - 1 + x ′n = 2 003 ,f ( n ) = n ( x 1 + x n ) = n (1 + x ′n ) .不妨设 x 1 = 1.当 n = 2 时 , f (2) = 4 006. 当 n ≥3 时 ,由x 2 < x 3 << x n] x n - 1 ≤x n - 1 , , x 2 ≤x n - ( n - 2)多有 6 支球队的得分不少于该队. 否则 ,设有 7 支球队得分不少于 23 分 ,那么 ,这 8 支球队的得分不少于 8 ×23 = 184 分. 另一方面 ,将 12 支球队分成两组 , 一组 8 支球队 ,另一组 4 支球队. 同在一组的 8 支球队的总分最多为 3C 2+ 3 ×4 ×8 = 180 分. 但 180 <184 ,矛盾 ,所以 ,命题成立.(许 勇 成都市第七中学 ,610041)记又 2i。
数学奥林匹克高中训练题(59)
2
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小值 ! 三、 （(’ 分） 已知 （ #" ， …， 是自然数 "， ## ， #2 ） #， …， 且满足： 对任意 "$ 1 $ 2 $ "， 均有 2 的一个排列， #1 ) 1 $ #1 ) " ) 1 ) " ! （"） 若记 "1 为数 （ 在排列中所处位置 1 "$ 1 $ 2 ） 的序号 （如排列 （"， 中， +， ,， #） "" % "， "# % ,， "+ % #， ", …， 对每一个满足题意的排列 （ #" ， ## ， % +） ! 求 证： ， 均有 "1 ) 1 $ "1 ) " ) 1 ) （ 成立 ! #2 ） " "$ 1 $ 2 $ "） （#） 试求满足题意的排列的个数 ( （ 2）!
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数学奥林匹克高中训练题_66(1)及解析
数学奥林匹克高中训练题_66注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知a 、b 、c 均为正数，且都不等于1.若实数x 、y 、z 满足a x=b y=c z ，1x +1y +1z=0，则abc 的值等于（ ）.A. 12B. 1C. 2D. 4 2.对任意x∈R ，f (x )=|sinx |，当n ≤x <n +1（n 为整数）时，g (x )=x −n .则在f (x )、g (x )、f (x )+g (x )、f (x )g (x )这4个函数中，必为周期函数的函数有（ ）个.A. 1B. 2C. 3D. 43.在直角坐标平面内，称横、纵坐标均为整数的点为整点.设n 为正整数，则如图所示的正方形G n 内（包括边界）整点的个数是（ ）.A. 4n +1B. 8n −3C. n 2+2n +2D. 2n 2+2n +14.已知四面体ABCD 的6条棱的长分别为4、7、20、22、28、x （单位：cm ）.则x 可取的最小值整数的部分为（ ）. A. 10 B. 9 C. 8 D. 75.若正数x 满足x 5−x 3+x =2，则x 的取值范围是（ ）. A. √36<x <√23B. √26<x <√36C. x<√36 D. x >√236.一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作3个三角形.当这3个三角形无公共顶点且边互不相交时，我们把它称为一种构图.满足这样条件的构图共有（ ）种.A. 3B. 6C. 9D. 12第II 卷（非选择题）二、填空题7.设双曲线的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且∠PA 2x =3∠PA 1x +10°.则∠PA 1x 的度数是______.8.如图所示，ΔABC 是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC ，且PA =√64.设点A 关于平面PBC 的对称点为A ′，则直线A ′C 与AB 所成角的度数是______.9.已知平面向量a→=(√3,−1)，b→=(12,√32).若存在非零实数k 和角α，α∈(−π2,π2)，使得c→=a→+(tan 2α−3)b→，d→=−k a→+(tanα)b→，且c→⊥d→，则k=______（用α表示）.10.数列{x n }满足x 1=12，x k+1=x k 2+x k .则和1x 1+1+1x 2+1+...+1x 2003+1的整数部分是______.11.关于x 的方程x 3+px +q =0（p 、q∈C ）有三个复数根，且它们在复平面上对应的点是边长为√3的正三角形的三个顶点.若复数q 的辐角主值为2π3，则p +q=______.12.M 1、M 2、M 3、M 4这4位同学去购买编号分别为1,2,3,...,10这10种不同的书.为了节约经费、便于相互传阅，他们约定每人只购买其中5种书，任2位同学均不能买全这10种书，任3位同学均买全这10种书.当M 1买的书的号码为1,2,3,4,5，M 2买的书的号码为5,6,7,8,9，M 3买的书的号码为1,2,3,9,10时，为了满足上述要求，则M 4应买的书的号码是______.三、解答题13.已知椭圆a 2+b2=1(a >b >0)，过中心O 作两条互相垂直的弦AC 和BD ，设点A 、B 的离心角分别为θ1、θ2.求证： |sin (θ2−θ1)|≥2aba 2+b2.14.已知a 、b 都是不等于零的常数，变量θ满足不等式组{asinθ+bcosθ≥0,acosθ−bsinθ≥0.试求sinθ的最大值 . 15.已知f (x )=14x +2(x ∈R )，P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)是函数y =f (x )图像上两点，且线段P 1P 2中点P 的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值； （2）若数列{a n }的通项公式为a n=f (nm )(m ∈N +,n =1,2,...,m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；（3）若m∈N +时，不等式a mS m <am+1Sm+1恒成立，求实数a 的取值范围.16.如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，BC =CD .E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，EF ∥BD ，且EF 交AC 于G .求证： ∠GBD =∠FCD ，∠GDB =∠ECB .17.设n 是给定的正整数，且n≥3.对于n 个实数x 1,x 2,...,x n ，记|x i −x j |(1≤i <j ≤n )的最小值为m .若x 12+x 22+...+x n 2=1，试求m 的最大值.18.圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,...,800，它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第k 号点已被染红，则可按顺时针方向转过k 个间隙，再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.参考答案1.B【解析】1. 令a x=b y=c z =t （t >0，且t ≠1），则1x =log t a ，1y =log t b ，1z=log t c . 因为1x +1y +1z =log t a +log t b +log t c =log t (abc )=0，所以，abc =1. 选B.2.B【解析】2.容易验证f (x )和g (x )的周期分别为π和1.f (x )+g (x )和f (x )g (x )都不是周期函数.事实上，若f (x )+g (x )为周期函数，T (T≠0)为一个周期，则对任意x ∈R ，有f (x +T )+g (x +T )=f (x )+g (x ). ①在式①中，令x =0，则f (T )+g (T )=f (0)+g (0)=0.又f (T )≥0，g (0)≥0，故f (T )=0，g (T )=0. 由f (T )=0，得T =kπ（k 为非零整数）； 由g (T )=0，得T =m （m 为非零整数）. 所以，m=kπ.矛盾.同理可证f (x )g (x )也不是周期函数. 选B. 3.D【解析】3.设正方形G n 内的整点个数为a n .显然a 1=5.当n 增加到n +1时，第一象限内（包括x 轴的正半轴）增加的整点有(1,n )，(2,n −1)，(3,n −2)，…，(n,1)，(n +1,0)，共n +1个.由对称性知，正方形G n+1内共增加4(n +1)个整点.由此得递推关系式a 1=5，a n+1=a n +4(n +1).故a n=a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=5+4(2+3+...+n )=2n 2+2n +1. 选D.4.C【解析】4.当x ≤4时，以28cm 为棱的两个侧面三角形必须同时满足两边之和大于第三边，只有22+7>28，22+20>28.此时长为22cm 的棱不可能出现在均有长为28cm 的棱的两个侧面上. 当x>4时，如图所示的四面体才可能使x 达到最小.在ΔABC 和ΔABD 中，有{28−20<x <28+20,7−4<x <7+4.解得8<x <11. 故[x ]=8,9,10，即[x ]min =8. 选C.5.A【解析】5. 显然x ≠0，x 6+1=(x 2+1)(x 4−x 2+1)=x 2+1x (x 5−x 3+x )=2(x +1x ).因为x>0且x ≠1，所以，x 6+1=2(x +1x)>4，x >√36. 又由题设，得2x 3+1=x 2+1x 2>2，则x <√23.故√36<x <√23. 选A. 6.D【解析】6.记这9个点依次为A 1,A 2,...,A 9.分两种情形：（1）当9个点分成3组，每相邻3个点为一组构成一个三角形（如图所示），则这样的3个三角形无公共点且边互不相交.由于这样的分组方法只有3种，所以共有3种构图.（2）当9个点任取其中相邻2点，再左右各间隔3点，取其边所对顶点，此3点构成一个三角形，该三角形同侧的3个点构成一个三角形（如图所示）.则这样的3个三角形无公共顶点且边互不相交.由于从9个点中任取相邻2点的取法有9种，所以共有9种构图.综合（1）、（2）知，共有12种构图. 选D. 7.20°【解析】7.设P (x 0,y 0)，则x 02−y 02=6.因为tan∠PA 1x =x +6，tan∠PA 2x=0x −6，所以，tan∠PA 1x ∙tan∠PA 2x =y 02x 02−6=1.故∠PA 2x=90°−∠PA 1x .由3∠PA 1x +10°=90°−∠PA 1x ，得∠PA 1x =20°.8.90°【解析】8.如图所示，设AA ′与平面PBC 相交于点O ，取BC 的中点为D ，则点O 在PD 上.在RtΔPAD 中，AO ⊥PD ，PA =√64，AD =√32，则PD=√PA 2+AD 2=3√24.由面积关系，得AO=PA∘AD PD=12.故A ′A =2AO =1.又点A ′与A 关于平面PBC 对称，所以，A ′B =AB =1，A ′C =AC =1. 故四面体A ′ABC 为正四面体.因此，异面直线A ′C 与AB 所成的角为90°. 9.14(tan 3α−3tanα)，α∈(−π2,π2)【解析】9.由a →∙b→=(√3,−1)∙(12,√32)=0，得a→⊥b→. 又c→⊥d→，则[a→+(tan 2α−3)b→]∙[−k a→+(tanα)b→]=0，即k a→2=(tan 3α−3tanα)b→2，k |a→|2=(tan 3α−3tanα)|b→|2.由题设知|a→|=2，|b→|=1，从而，k =14(tan 3α−3tanα)，α∈(−π2,π2).10.1【解析】10.由题设知，{x n }是一个递增数列，且x 3>1.由1xk+1=1xk (x k +1)=1x k−1x k+1，得1x k+1=1x k−1xk+1. 则S =∑1x k +12003k=1=∑(1x k−1x k+1)2003k=1=1x 1−1x 2004=2−1x 2004.又x 2004>x 3>1，则1<S <2，故[S ]=1.11.−12+√32i【解析】11.边长为√3的正三角形的外接圆半径为1，故3个顶点对应的复数满足方程 (x +a )3=b （a 、b ∈C ，|b |=1），即x 3+3ax 2+3a 2x +a 3−b =0. 与已知方程比较，有3a=0，3a 2=p ，a 3−b =q ，故p =0，q =−b .由于|b |=1，则|q |=1. 又argq=2π3，q=−12+√32i ，故p +q =−12+√32i .12.4,6,7,8,10【解析】12.设M i 买的书的号码构成的集合为A i ，i =1,2,3,4.令全集U ={1,2,3,...,10}.因为A 1={1,2,3,4,5}，A 2={5,6,7,8,9}，A 3={1,2,3,9,10}，A 1∪A 2={10}，A 2∪A 3={4}，A 3∪A 1={6,7,8}，有A 4⊇(A 1∪A 2)∪(A 2∪A 3)∪(A 3∪A 1)={10}∪{4}∪{6,7,8}={4,6,7,8,10}.又|A 4|=5，则A 4={4,6,7,8,10}.13.见解析【解析】13.当AC 、BD 与坐标轴不重合时，令∠xOA =φ1，∠xOB =φ2，则φ2=φ1±π2，tanφ1∙tanφ2=−1.因为θ1是点A 的离心角，则A (acosθ1,bsinθ1). 故tanφ1=batanθ1.同理，tanφ2=batanθ2.可是，|tan (θ2−θ1)|=|tanθ2−tanθ11+tanθ1∘tanθ2| =|ab (tanφ2−tanφ1)1+a 2b2tanφ1∘tanφ2| =ab a 2−b 2|tanφ2−tanφ1|.又|tanφ2−tanφ1| =|tan (φ1±π2)−tanφ1| =|−cotφ1−tanφ1|≥2，从而，|tan (θ2−θ1)|≥2ab a 2−b2.故|sin (θ2−θ1)|=√1−11+tan 2(θ2−θ1)≥√1−11+(2ab a 2−b2)2=2ab a +b .当AC 、AC 与坐标轴重合时，|sin (θ2−θ1)|=1>2ba 2+b2.综上所述，|sin (θ2−θ1)|≥2b a 2+b2.14.见解析【解析】14. 令x=cosθ,y =sinθ约束条件转化为{bx +ay ≥0, ①ax −by ≥0, ②x 2+y 2=1. ③于是，问题转化为：求单位圆③在①、②区域内点的纵坐标的最大值.下面分 4 种情况讨论.（1）a>0,b>0 .此时，约束条件描述的是图中卡阴影部分的圆弧.显然，直线ax−by=0与单位圆的交点纵坐标为所求最大值.计算得y max=√a2+b. （2）a>0,b<0.单位圆上的点(0,1)始终满足①、②.故y max=1.（3）a<0,b<0.类似（1）可得y max=√a2+b.（4）a<0,b>0 .类似（1）可得当a≤−b时，y max=√a2+b.当a>−b时，y max=√a2+b.15.（1）略（2）112（３ｍ－１）（3）a＞5 2【解析】15.解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，则ｙ＋ｙ＝＋＝…＝故＝。
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若实数 x 、 y、 z 满足 a = b = c ,
). = 0 ,则 abc 的值等于 (
x
y
z
1
x
+
1
y
+
1
z
别为 A 1 、 A2 , P 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 , 且 ∠PA 2 x = 3 ∠PA 1 x + 10° . 则 ∠PA 1 x 的度数 是 .
1 上两点 ,且线段 P1 P2 中点 P 的横坐标是 . 2 ( 1) 求证 : 点 P 的纵坐标是定值 ; ( 2) 若数列{ an }的通项公式为
n an = f m
= log t a , 1
x
1
y y
= log t b , 1
z
1
z
= log t c .
因为
+1Fra bibliotek+
= log t a + log t b + log t c
AO = PA ・ AD 1 = . PD 2
记这 9 个点依次为 A 1 , A 2 , …, A 9 . 分两种情形 :
(1 ) 当 9 个 点 分
成 3 组 ,每相邻 3 个 点为一组构成一个三 角形 ( 如图 5) ,则这样 的 3 个三角形无公共 点且边互不相 交 . 由 于这样的分组方法只 有 3 种 ,所以共有 3 种构图 .
44 ( n ,1) , ( n + 1 ,0) , 共 n + 1 个 . 由对称性知 , 正方形
Gn + 1 内共增加 4 ( n + 1) 个整点 . 由此得递推关系式 a1 = 5 , an + 1 = an + 4 ( n + 1) .
中 等 数 学 三角形同侧的 3 个点 构成一个三角形 ( 如图
2 设 P ( x0 , y0 ) ,则 x2 0 - y 0 = 6. 因为
当 x≤ 4 时 ,以 28 cm 为棱的两个侧面三角形必 须同时满足两边之和大于第三边 , 只有 22 + 7 > 28 ,
22 + 20 > 28. 此 时 长 为 22 cm的棱不可能出现在
图6
(2) 知 ,共有 12 种构图 . 综合 (1) 、
3 ,则 2
PD = PA + AD =
2 2
因为 x > 0 且 x ≠ 1 ,所以 ,
x +1=2 x +
6
1
x
3
> 4 , x > 3.
2
6
6 , AD = 4
图7
又由题设 ,得
6 3
2
x
+1= x +
1
x
2
> 2 ,则 x < 2.
3
故 3 < x < 2.
6. D.
3 2 . 4
由面积关系 ,得
2
图1
π π 2 , ,使得 c = a + ( tan α - 3 ) b , d = 2 2 ) b ,且 c ⊥d ,则 k = ( 用 - k a + ( tan α α表示) .
4. 数列{ x n } 满足 x1 = 1 2 ,x = x k + xk . 2 k+1 1
x2 003 + 1
- 6
= 1.
在 △ABC 和 △ABD中 ,有
28 - 20 < x < 28 + 20 , 7 - 4 < x < 7 + 4.
由 3 ∠PA 1 x + 10° = 90° - ∠PA 1 x ,得 ∠PA 1 x = 20° .
2. 90° .
解得 8 < x < 11. 故 [ x ] = 8 ,9 ,10 ,即 [ x ] min = 8.
又 f ( T) ≥ 0 , g (0) ≥ 0 ,故 f ( T) = 0 , g ( T) = 0. π ( k 为非零整数) ; 由 f ( T) = 0 ,得 T = k 由 g ( T) = 0 ,得 T = m ( m 为非零整数) . π. 矛盾 . 所以 , m = k 同理可证 f ( x ) g ( x ) 也不是周期函数 .
(B) 8 n - 3 (D) 2 n2 + 2 n + 1
4. 已知四面体 ABCD 的 6 条棱的长分别
则和
1
x1 + 1
+
1
x2 + 1
+ …+
的整数部
为 4、 7、 20 、 22 、 28 、 x ( 单位 : cm) . 则 x 可取的 ). 最小值整数的部分为 (
(A) 10 (B) 9
长为 1 的正三角形 , PA ⊥ 平面 ABC , 且 PA =
6 .设 4
) 个. 函数中 ,必为周期函数的函数有 ( (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 4 3. 在 直 角 坐 标平 面 内 , 称 横 、 纵坐 标 均 为 整 数 的点为整点 . 设 n
点 A 关于平面 PBC 的对 称点为 A′ , 则直线 A′ C与 AB 所 成 角 的 度 数 是 .
的号码是 .
( 20 分 ) 已知椭圆 三、
x y 2 + 2 = 1( a > b a b
2 2
…+ x n = 1 ,试求 m 的最大值 .
( 50 分) 圆周上有 800 个点 ,依顺时针 三、
2
> 0) ,过中心 O 作两条互相垂直的弦 AC 和
θ BD ,设点 A 、 B 的离心角分别为θ 1 、 2 . 求证 :
3. D.
证: ∠GBD = ∠FCD ,
设正方形 Gn 内的整点个数为 an . 显然 a1 = 5.
图3
当 n 增加到 n + 1 时 , 第一象限内 ( 包括 x 轴的正半 轴) 增加的整点有 ( 1 , n ) , ( 2 , n - 1 ) , ( 3 , n - 2 ) , …,
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6) . 则这样的 3 个三角
故 a n = a1 + ( a2 - a1 ) + ( a3 - a2 ) + …+ ( a n - a n - 1 )
= 5 + 4 (2 + 3 + …+ n) = 2 n + 2 n + 1. 4. C.
2
形无公共顶点且边互 不相交 . 由于从 9 个点 中任取相邻 2 点的取 法有 9 种 , 所以共有 9 种构图 . 二、 1. 20° .
参考答案
第一试
一、 1. B. 令 ax = by = cz = t ( t > 0 ,且 t ≠ 1) ,则
1
x
试求 sin θ的最大值 .
1 ( 20 分) 已知 f ( x ) = x ( x ∈R) , 五、 4 +2
P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 是函数 y = f ( x ) 图像
= log t ( abc) = 0 ,
所以 , abc = 1.
2. B.
( m ∈N+ , n = 1 ,2 , …, m ) ,
求数列{ an }的前 m 项和 S m ;
a a ( 3) 若 m ∈N+ 时 , 不等式 < 恒成 Sm Sm + 1
m m+1
容易验证 f ( x ) 和 g ( x ) 的周期分别为π 和 1.
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2004 年第 1 期
43
10 种书 ,任 3 位同学均买全这 10 种书 . 当 M1
买的书的号码为 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , M2 买的书的号 码为 5 ,6 ,7 ,8 ,9 , M3 买的书的号码为 1 ,2 ,3 ,
立 ,求实数 a 的取值范围 . 第二试
( 50 分 ) 如图 一 、 3 ,在圆内接四边形 ABCD 中 , BC = CD . E、 F 分 别 是 边 AB 、 AC 上的点 , EF ∥BD , 且 EF 交 AC 于 G. 求
①
在式 ① 中 ,令 x = 0 ,则
f ( T) + g ( T) = f (0) + g (0) = 0.
图2
3. 已 知 平 面 向 量 a = ( 3 , - 1 ) , b = 1 3 . 若 存 在 非 零 实 数 k 和 角 α, α ∈ , 2 2
为正整数 , 则如图 1 所示的正方形 Gn 内 ( 包括边界 )
). 整点的个数是 ( (A) 4 n + 1 ( C) n + 2 n + 2
2 ab | sin (θ 2 - θ 1) | ≥ 2 2. a + b ( 20 分) 已知 a 、 四、 b 都是不等于 0 的常 θ 数 ,变量 满足不等式组
a sin θ+ bcos θ≥ 0, acos θ- bsin θ≥ 0.
方向标号为 1 , 2 , …, 800 , 它们将圆周分成 800 个间隙 . 今选定某一点染成红色 , 然后按 如下规则 ,逐次染红其余的一些点 : 如果第 k 号点已被染红 ,则可按顺时针方向转过 k 个 间隙 ,再将所到达的那个端点染红 . 如此继续 下去 . 试问圆周上最多可得到多少个红点 ? 证明你的结论 .