重庆理工大学2015年 复变函数与积分变换II A 卷
2015年高考重庆理科数学试题与答案(word解析版)
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（ 1）【 2015 年重庆，理 1】已知集合 A 1,2,3 ， B 2,3 ，则（ ）（A ）A B（B ）A B（ C ） A üB（D ） B ü A【答案】 D【解析】 A={1,2,2} ， B={2,3}B A 且 B A B A ，故选 D ．（ 2）【 2015 年重庆，理 2】在等差数列 a n 中，若 a 24 ， a 4 2 ，则 a 6（）（A ） 1 （B ） 0（C ）1（D ） 6【答案】 B【解析】利用 a 2 +a 6 2a 4 可求得 a 6 0 ，故选 B ．（ 3）【 2015 年重庆，理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温（C ）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ）（ A ）19 （B ）20 （C ） 21.5 （D ）23【答案】 B【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 ． 中位数是20+2020 ，故选 B ．（ 4）【 2015 年重庆，理 4】“ x 1 ”是“ log 1x22”的（）2（ A ）充要条件（ B ）充分不必要条件（ C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 log 1 (x2) 0 x1，故选 B ．2（ 5）【 2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （）（A ）1（B ）2（C ）12（D ） 22【答案】 A 3 33 3【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：1 12 11( 12 ) 21 ，故选 A ．3223（ 6）【 2015 年重庆，理 6】若非零向量2 2b3a 2b ，则 a 与 b 的夹角为（）a, b 满足 | a |3| b |，且 a（ A ）4 （ B ）（C ）3（ D ）【答案】 A24【解析】 (ab)(3a 2b )(a b) (3a2b) 0 ，结合 | a |2 2| b |，可得 a b2| b | ，3 3cosa,ba b 2 , a, b [0, ] a,b 4，故选 A ．| a || b | 2（ 7）【 2015 年重庆，理 7】执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（ ）（ A ） s 3 5 （ C ） s 11 （ D ） s 154 （ B ） s 1224【答案】 C 6【解析】s 0,k0是k2， s1是 ，k4，s 1 + 1是 ，k 6，s 1 + 1 + 1 是22 42 4 61k 8， s 1 + 1 + 1 + 1否 ，判断框内应该填 s 1 + 1 + 1 =11，故选 C ．2 4 6 8 2 4 6 12（ 8）【 2015 年重庆，理 8】已知直线 l ：x ay 1 0 a R 是圆C ：2y 24 x 2 y 1 0 的对称轴，过点 A 4, ax作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则|AB| （ ）（A ）2（B ）4 2（C ）6（D ） 2 10【答案】 C【解析】 C : x-22y-1 24 ，其圆心坐标为 C （2,1），半径 r2 ．由题意可知直线 l : x ay 10( a R) 是圆的直径所在直线，它过圆心，所以 2 a1 1 0 a1 A( 4,1)AC2 10 ．由几何图形可C （2,1）知， ABAC 2 r 240 46 ，故选 C ．cos(3 ) （ 9）【 2015 年重庆，理 9】若 tan2tan ，则10 ＝（）5sin()5（A ）1（B ） 2（C ）3（D ）4【答案】 C2sin【解析】tan 2 tansin5cos，5cos35cos() cos[() ] sin( ) sin cos cossin cos1052555sin(5 )sin( ) sin( ) sin coscossin cos5 355 5cos()10将式带入上式可得：3 ，故选 C ．sin()522（ 10）【 2015 年重庆，理 10】设双曲线xy1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F 作 AF 的垂线a 2b 2 与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D ．若 D 到直线 BC 的距离小于 aa 2b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）（ A ） 1,00,1 （ B ）, 11,（ C ）2,00, 2（ D ）,22,【答案】 Ab 2AFca, BFb 2． 在 Rt ABD中，由射影定理有：【 解 析 】 由 题 意 可 得 ： A(a,0), F (c,0), B(c, )a ba2BF 2AF DFDF BF 2 ( a )(ca)2 (c a)．即点 D 到直线 BC 的距离为 (c a) 2 ( ca)，由题AF ca2a 2a)2(ca意 得 ：(c a)22a c 0b1．而双曲线的渐近线斜率a 2< aa babkk( 1,0)(0,1) ，故选 A ．a二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．（ 11）【 2015 年重庆，理 11】设复数 a bi a, b R 的模为3 ，则 abi abi．【答案】 3【解析】复数a bi(a,b R) 的模为3a 2b 23a 2b 2 3 ． (abi)( a bi)a 2b 23 ．215（ 12）【 2015 年重庆，理 12】 x 32 的展开式中 x 8的系数是（用数字作答） ．x【答案】527 rr35 r1r r 1157r3 1 5 8【解析】Tr 1) ( )2158 r 2 ． 故 (xC 5 ( x2 C 52r x22 ) 的 展 开 式 中 x 的 系数 为xx2 15C 52．2 2（ 13）【 2015 年重庆，理 13】在 ABC 中，，AB2 P ABCAD3，则 ACB 120 的角平分线．，【答案】 6【解析】由正弦定理可得：ADABsin ADB2ADB 45BAD 15BAC 30 ，sin BsinADB2C 30 ，再由正弦定理可得： AC AB AC 6 ．sin B sin C考生注意：（ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（ 14）【 2015 年重庆，理 14】如图，圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA 6，AE9， PC3， CE: ED2:1 ，则 BE．【答案】 2【解析】 由切割线定理可得： PA 2 PC PDPD 12 CD 9CE 6, ED 3 ．再由相交弦定理可得： AE BE CE DE BE 2 ．（ 15）【 2015 年重庆，理15】已知直线 l 的参数方程为x 1 ty1 （ t 为参数），以坐标原点为极t点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24(350,) ．则直线44l 与曲线 C 的交点的极坐标为．【答案】 2,【解析】直线 l 的直角坐标方程为yx 2 ．2cos2 42(cos 2sin 2 ) 4 x 2 y 2 4. 由yx 2x222．由35． x 2y 24y 0 x y2 ysin0及 44 =故直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为（2, ．）（ 16）【 2015 年重庆，理 16】若函数 f ( x)x 1x a 的最小值为 5，则实数 a__．【答案】 4 或 -6【解析】分情况讨论： （ 1）当 a1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知： f x 在 a 处取得最小值 5，所以 | a 1| 5a6 ；（ 2）当 a 1 时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：f x 在 a 处取得最小值 5， | a1| 5 a 4 ，综上，可得实数 a6 或 4．三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（ 17）【 2015 年重庆，理 17】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则P AC 21C 31C 51 1 ．C 1034（Ⅱ） X 所有可能取值为 0,1,2，且PXC 83 71 C 21C 827P X2C 22C 8113， P X3， 3．C 1015 C 1015C 1015故分布列见表：X123P7 7 1151515且 E X7 1 7 2 1 3（个）．1515 155（ 18【） 2015 年重庆，理 18（】本小题满分 13分，（ Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）设 f xsinx sin x3 cos 2 x ．2（Ⅰ）求 f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论 fx 在, 2 上的单调性．36解：（Ⅰ）由题 f xcos x sin x3cos 2x1sin 2x3 1 cos2 x sin2x33，故 fx 的最小正周期222T，最大值为22 3 ．（ Ⅱ ） 由 x 2知 0 2x， 从 而 当 0 2 x即 x 5 时 ， f x 单 调 递 增 ； 当,332126362 2 x3即5x 2 时， f x单调递减．因此， f x在6, 5单调递增， 在 5 , 2单1231212 3 调递减．（ 19）【 2015 年重庆，理 19】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分）如图，三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC ，PC3， ACB2 ，D, E 分别为线段 AB, BC 上的点，且 CDDE2 ，CE 2EB2 ．（Ⅰ）证明： DE 平面 PCD ；（Ⅱ）求二面角 A PD C 的余弦值．解：（Ⅰ）因 PC 平面 ABC ，DE 平面 ABC ，故 PC DE ．又 CD DE 2 ，CE 2 ，故 CDE为等腰直角三角形，且 CD DE ．因 PC CD C ， PC 平面 PCD ， CD 平面 PCD ， 所以 DE 平面 PCD ．（Ⅱ）如图，取 CE 的中点 F ，连 DF ．由（Ⅰ）知CDE 为等腰直角三角形，故DFCE ， DF CFFE 1 ．又 ACB，故 DF / /AC ，因此 DFFB2，从而 AC3 ．2ACCB 32zP以 C 为原点， CA, CB, CP 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Cxyz ．则 C 0,0,0 ， A3,0,0 ，E 0,2,0 ， D 1,1,0 ， P 0,0,3 ，故 DA1, 1,0，22DP1, 1,3 ， DE1,1,0 ．设 n 1x 1 , y 1 , z 1 为平面 APD 的法向量，则n 1 DA 0n 1 DPCF EyBADxx 1 2y 1，取 y 11 得 n 12,1,1 ．由（Ⅰ）知 DE平面 PCD ，故 DE 即为平面 PCD 的法即y 1 3z 1 x 1 0向量．因cos n 1, DEn 1 DE 3 ，故所求二面角 A PD C 的余弦值为3 ．| n 1 | |DE|66（ 20）【 2015 年重庆， 理 20】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 5 分）设函数 f x3x 2 ax a R ．e x（Ⅰ）若 f x 在 x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线y f x 在点 1, f 1处的切线方程；（Ⅱ）若 fx 在 3,上为减函数，求 a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题 f x6x a e x3x 2ax e x3x 26 a x a ，因 f x 在 x0 处取得极值， 故 f0 ，e2xex得 a 0 ．因此 fx3x 2 e x， fx6x 3x 2 e x．从而 f13， f13，所以曲线yf x 在ee4点 1, f 1 处的切线方程为 y3 3 x1 即 3x ey0 ．ee（Ⅱ）由题知f x0 对 x3 恒成立，故26 a x a 0 即 a3 3 x1 对 x3 恒成立．显然3xx 1g xx 33 x1在 3,单调递减，故 g max xg 39，所以 a 9 ，即 a 的取值范围为1 229．,2（ 21）【 2015 年重庆，理 21】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）如图，椭圆2 2x y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1, F 2 ，过 F 2 的直线交椭圆于 P, Q 两点，且22abPQ PF 1 ．（Ⅰ）若 | PF 1 | 2 2 ，|PF 2| 2 2 ，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若 | PF 1 | | PQ |，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题 2a |PF 1 | |PF 2|4 ，故 a2 ．又 4c 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 12 ，故 c23 ，因此 b2a2c 21 ，从2而椭圆方程为x2 1 ．4y（Ⅱ）连 F 1Q ，由题 4a |F 1P| |PQ|| QF 1 |2 2 |F 1 P ，|故 |F 1P| 2 2 2 a ，从而 | F 2P | 2a |F 1P|2 2 1 a ，因此 4c2| PF 1 |2| PF 2 |24 96 2 a 2，所以 e 2 9 6 2632，得 e6 3 ．（ 22）【 2015 年重庆，理 22】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）在数列a n 中， a 13 ，a n 1a n a n 120 n N ．a n（Ⅰ）若 0 ， 2 ，求数列 a n 的通项公式；（Ⅱ）若1 k 0 N , k 02 ，1 ，证明： 21 a k 0 1 21．k 03k 0 2k 011解：（Ⅰ）由0 ，2 得 a n 1an2a n 2 ．因 a 1 3 0 ，故 a n0 ，得 a n 1 2a n ．因此 a n 是首项为3 公比为2 的等比数列，从而a n3 2n 1 ．（Ⅱ）由题 a n 1 a n1 a n 2，因 a 1 3 0 ，故 3 a 1 a 2a n0．k 0因 a n 1a n 2 a n 1 11，即 a n 1a n111 ，1k 0k 0k 0 a n 1 k 0k 0 a n 1a nk 0故 a k1a 1k 0a i 1a i3k 01 1 1 3 k111 21 ，i 1i 1k 0 k 0 a i 1 i 1k 0 3k 0 13k 01因此 a 1a 2a k 0a k 0 12 ，从而 a k 013 k 0111 21．k 0 2k 011i 12k 0 综上可知 21 a k 121．3k 0 12k 015。
大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)
2．设22-+=ni nin α),3,2,1( =n ,则=∞→n n αlim （ ）A. 0；B. 1；C. -1+i ；D. 1+i 。
3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。
A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域；C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。
4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )A.1)(+=z ez f ； B ．-=z z f )( ；C ．nz z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x+=。
5A. ∑∞=+08)56(n nni ；C. ∑∞=02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。
3．计算积分⎰-Cdz z z 4)2(sin π4.计算积分4=。
5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。
6.将函数)2)(1(1)(--=z z z f ，在圆环域21<<z 内展成洛朗级数。
四.证明函数yi(+=在复平面内不可导。
（7分）)zxf2参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B .三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：)sin (cos2ππi z +=, （1分）624(cos 23166ππk i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,)25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分）2.解)2()2y xy i x -+,则(),(22y x y x u -=y u x x u ,12=∂∂-=∂∂ 只在21=y ,x v ∂∂-（6分） 故只在21=y 处可导，处处不解析。
重庆理工大学2015年 数学物理方法试卷B-
7（15 分） 、在半平面 y > o 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题
= 2 u 0 y > 0 。 ϕ u x | ( ) = = y 0
-1-
重庆理工大学考试试卷
２０１４ ～ ２０１５ 学年第 一 学期
班级 学号 姓名 考试科目 数学物理方法 B 闭卷 共 3 页
-3-
题号 分数
一
二
三
四
五
六
总分
ห้องสมุดไป่ตู้
总分人
一、填空题（每空 3 分，共 30 分）
得分
1、 i =
z
i
评卷人
。 。
2、 已知复数 z 满足方程 e + 1 = 0 ，则 z =
3、 函数 chωt 的拉普拉斯变换函数，即 L[ chωt ]= 4、 长为 l 的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为 x sin 2 x ，初始速度为 cos 2 x ，则其定解条件为 ， ， 。 ，解析 ，
utt − a 2u xx = 0 11（10 分） 、求解无限长弦的自由振动的定解问题， u |t =0 = ϕ ( x) 。 u | = −aϕ ′( x) t t =0
12（15 分） 、用分离变量法解两端固定弦的自由振动的定解问题
utt − a 2u xx = 0，
u |x =0 = 0 , u |x =l = 0 u |t =0 ϕ ( x) (0 < x < l ) ut |t =0 = ψ ( x)
8（10 分） 、试简要讨论一般有界稳定场问题 u xx + u yy = f ( x, y ) , u | x =0 = f1 ( y ), u | x = a = f 2 ( y ) , u | y =0 = ϕ ( x) , u | y =b = ψ ( x) 的求解思路。
重庆理工大学复变与积变(12-13)试卷A
v∫ dz
4. (z |z−z0|=1 − z0 )n = _______________（n 为自然数）
i
∫ 5. z cos zdz = 1
∫ 6. δ (t) 是单位脉冲函数，则 +∞ δ (t −1)(e−2t + 2t)dt =______________ −∞ 四、计算题(每小题 8 分，共 56 分)
学生答题不得超过此线
6. f (t) = δ (t) (单位脉冲函数)的拉氏变换是 F (s) =
(
)
1
A. 0
B. 1
C.
s
1
D.
s −1
三、填空题（每小题 2 分，共 12 分）
1. 在复平面上，复数方程 z − 1 + 2i = z + 3 表示的曲线是__________________
2. 1 2 =__________________
10．对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
二、选择题（每小题 2 分，共 12 分）
（
）
（
）
(
)
1． 复数 z = cos π − i sin π 的三角形式是 （
）
6
6
A． cos 5π + i sin 5π
6
6
C． cos −5π + i sin −5π
6
6
B. cos π + i sin π
学生答题不得超过此线
注意：本试卷前 2 页为试题部分，请将答案写在后面的答题卷上。
一、判断题(每小题 2 分，共 20 分.对的打“√”，错的打“×”)
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
重庆理工大学复变函数与积分变换练习册答案
习题答案1一、判断题1．× 2．× 3．× 4．× 5．√ 二、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A. 7．A. 三、填空题 1．1；2．2k π，()k z ∈； 3．1，2π-， i ；4．12, 12;5．2, 3π-, 1;6．1- 7．1i erθ-8．cos sin 22i ππαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．810．0四、计算题1（1）解：i i2332++-2sin2cosππi i +==（2）解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ2．i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解3．解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++. 4．解（1）()ln 34i -+()()4ln 5arg tan 234ln 5arg tan 210,1,2,3i n i n n πππ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-++=±±⎢⎥⎣⎦（2）1611cos sin 662i i iei e e πππ-+⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()()()1211ln 141i i k ii i i e eππ⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦-==2244k i k l eππππ⎛⎫⎛+-+-++ ⎪ ⎝⎭⎝==24cos sin 44k ei ππππ-⎡⎤⎛⎛=-++-+ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ 5．（1）解：i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3336．（1）解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）解：i i+12)4sin4(cos21ππi i +=+=习题答案2一、判断题1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．× 6．√ 7．√ 8．× 9．√ 10．× 二、选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．A 10．A 11．C 三、填空题1．2101i n n π=⎧⎨≠⎩；2．整函数；3．{},z z i z C ≠±∈且; 4．2()k ik z π∈;5．(21)z k i π=+; 6．2π 7．1, 8．i 2π- 9．（2π ）或 （ 2π- ）10．1四、计算题1．解：31cos()sin()(1).332i ei πππ-=-+-=2．解：(1)由方程 240z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.(2)222(42)()sin .(4)z e z z f z z z -+'=--3．解：由柯西－黎曼方程得2,v uy x y ∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰2()22,v ux C y x y x∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰所以(,)22.v x y xy y C =++从而2()2(22).f z x y x xy y C i =-++++又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2()2(222).f z x y x xy y i =-++++ 4．解：由R C -条件可知： lxynxy 22=所以 l n =又222233ly x nx my --=+所以 3,3-=-=n l m 且即 ⎩⎨⎧-===31l n m5．（1）解：),(),(1)(2222y x iv y x u yx yi iy x x z z z z f +=+++===2222222222222222)()(2)(2)(y x y x v y x xyv y x xy u y x x y u y x y x +-=+-=+-=+-=当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
重庆理工大学2015年 应用随机过程A
-2-
班级
学号
姓名
考试科目
应用随机过程
A卷
开卷
共
3 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
B（60%） C（5%）
B（10%） C（70%） D（0%） B（20%） C（10%） D（50%）
假设目前购买 A，B，C，D 四种鲜奶的顾客的分布为（25%，30%，30%，15%） ，试求半年后鲜奶 A，B，C， D 的市场份额。 （20 分）
重庆理工大学考试试卷
2014～ 2015 学年第 1 学期
题号 分数
一
二
三
四
五
六
总分
总分人
一、试证：若 Z 0 , Z1 , 为独立同分布随机变量，定义 X n Z 0 Z1 Z n ，则 {X n , n 0} 是独立增量过程。(20 分）
得分 评卷人
二、设 {N (t ), t 0} 是参数 =3 的 poisson 过程，试求： 1. P{N (1) 4} ;2. P{N (1) 1, N (3) 3} ;3. P{N (1) 2 | N (1) 1} .（20 分）
得分 评卷人
重庆理工大学考试试卷
2015年3月份大工《复变函数与积分变换》模拟试卷A
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ B ） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （ C ） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（ C ）A 、∑∞=+1)231(n ni B 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nniD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（ D ） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n nB 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n nC 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n nD 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（ B ） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（ D ） A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（ B ） A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （ A ） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（ C ） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、幂级数∑∞=0!n nzn 的收敛半径是（ A ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +2、将幂函数ii 表示成指数形式为k ek (22ππ--为整数)3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(1+i 。
复变函数与积分变换考试试卷
复变函数与积分变换考试试卷一. 填空题(每空 5 分，共 25 分)1．设100i)(1z +=，则Imz ＝ 。
2.方程lnz=i 3π的解为 。
3.)21(421lim z zi x +++→=_______________________________________。
4.导函数xv i x u x f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为_________。
5.函数)Re()Im()(z z z x f -=仅在点z=____________________处可导。
二．选择题(每题 5 分，共 25 分)1．复数i 218-2116z =的辐角为 （ ） A.arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 2. 方程|z+2-3i|=2所代表的曲线（ ）A.中心为2-3i ，半径为2的圆周B. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周C. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周D. 中心为2-3i ，半径为2的圆周3. 复数)2(tan πθπθ i z -=的三角表示式是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i C.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i D.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i 4. 若函数在复平面内处处解析，那么实常数a=（ ）A.0B.1C.2D. -25.设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是（ ）A. f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以 π2为周期C.2e f(z)iz ize --= D.|f(z)|是无界的 三．计算题(每题10 分，共 50 分)1.设)22(2)(22xy x i y y x z f ++--=，写出f(z)关于z 的表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
得分
评卷人
三、求解下列积分变换问题 (共 20 分)
1 1、求函数 f (t ) 1 0 1 t 0 0 t 1 的傅里叶变换 F ( ) 。 （10 分） 其他
2、试用 Laplace 变换求解微分方程： y y 4sin(t ) 5cos(2 t), y (0) 1, y (0) 2 。 （10 分）
题号 分数
一
二
三
总分
总分人
得分
评卷人
一、解析函数的计算与构造 (共 40 分)
1、计算 6 1 计算化简为“ r (cos( ) i sin( )) ”的形式。 （10 分）
3、试分析函数 f ( z ) xy 2 ix 2 y 在何处可导，何处解析。 （10 分）
-2-
重庆理工大学考试试卷
-1-
2014～ 2015 学年第 1 学期
班级 学号 姓名 考试科目 复变函数与积分变换 II A 卷 闭 卷 共 2 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
重庆理工大学考试试卷
2014～ 2015 学年第 1 学期
班级 学号 姓名 考试科目 复变函数与积分变换 II A 卷 闭 卷 共 2 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
2、计算复积分
C
e iz dz ，其中闭曲线 C： | z 2i | 1.5 ，方向为正向。 （10 分） z2 1
3、计算复积分
C
ez dz ，其中闭曲线 C： z 2 1 ，方向为正向。 （10 分） z2
4、求函数 f ( z )
1 在圆环： 1 | z | 2 上的洛朗展式。 （10 分） (z 1)( z 2)
4、已知调和函数 f ( z )
y ，求函数 v( x, y ) 使得 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 为解析函数。 （10 分） x y2
2
得分
评卷人
二、计算复积分与级数展开 (共 40 分)
1、计算曲线积分
3 i 0
z 2 dz ，其中复曲线 C 是从原点到 3 i 的直线段。 （10 分）